楊金富,張家鋒

(貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院,貴陽 550025)

研究如下形式的Kirchhoff方程高能量徑向解的存在性問題：

(1)

其中a>0,b>0,4.5

(2)

該方程是由Kirchhoff在1883年的文獻(xiàn)[1]中提出的，用來刻畫彈性弦在橫向振動(dòng)過程中弦長(zhǎng)變化的動(dòng)態(tài)模型，其中0

(3)

(4)

其中a，b，μ>0；對(duì)于方程(3)的研究結(jié)果，可參考文獻(xiàn)[2-5],在這些文獻(xiàn)中，當(dāng)f滿足線性、非線性或者奇異增長(zhǎng)性時(shí)，作者得到了該方程解的存在性和多重性結(jié)果，而方程(4)的相關(guān)結(jié)果，感興趣的讀者可查閱文獻(xiàn)[6-8]；然而對(duì)于方程(2)，在文獻(xiàn)[3,6-7]中，可以看到，不同的作者通過變分方法、Nehari流形方法、極小極大方法得出了該類方程正解的存在性、唯一性以及多重性結(jié)果.但該類方程關(guān)于高能量解的文章非常少，因此，在某些自治非線性項(xiàng)的作用下，該類Kirchhoff方程是否會(huì)存在高能量解？下面將會(huì)回答這個(gè)問題.

1 預(yù)備知識(shí)

在本文中，將使用下面這些記號(hào).

1)H1(3)={u∈L2(3):?u∈L2(3)}表示通常使用的Sobolev空間.

7)C1(H1(3),)表示H1(3)→上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)(弱導(dǎo)數(shù))的泛函所構(gòu)成的空間.

8)c,ci,C,Ci為不同的正常數(shù).

2 主要結(jié)果與證明

為了回答提出的問題，考慮含有純冪次非線性項(xiàng)f(u)=|u|p-1u(4.5

(5)

顯然I∈C1(H1(3),)，且I關(guān)于?v∈Hr1(3)的弱導(dǎo)數(shù)為

(6)

(7)

引理1(i) ?r>0,ρ>0，使得

(ii) 給定?n∈，存在奇連續(xù)映射

使得，對(duì)于?δ∈Sn，有

J(τ0n(δ))≤I(τ0n(δ))<0.

(ii) 根據(jù)文獻(xiàn)[11]的定理10，能發(fā)現(xiàn)?n∈，存在一個(gè)奇連續(xù)映射3)，使得?δ∈Sn有ζn(δ)≠0；設(shè)B={x∈3|ζn(δ)≠0}，由問題(5)結(jié)合4.5

根據(jù)文獻(xiàn)[12]第9章，定義對(duì)稱山路值如下

(8)

這里En={δ=(δ1,δ2,…,δn)∈n:|δ|≤1}并且定義映射集

屬于Γn且?n∈，Γn≠φ.

引理2設(shè)J(u)是由前面給出的，bn與(8)中的相同，則

(i)J(u)滿足Palais-Smale條件；(ii)bn是J(u)的臨界值；(iii) 當(dāng)n→∞時(shí)，bn→∞.

J(un)→C,J′(un)→0.

(9)

(10)

由

由式(9)易知

〈J′(un)-J′(u),un-u〉→0.

又由H?lder不等式和式(10)知

(ii) 由(i)知J(u)滿足Palais-Smale條件，根據(jù)參考文獻(xiàn)[12]中的定理2.2，易知J(u)存在臨界值bn，即(ii)成立.

這里i(Y)表示集合Y的虧格，εm是∈3{0}的閉集族，使得-A=A且i(A)是集合A的Krasonelski虧格.由文獻(xiàn)[13]，定義另一個(gè)極小極大值序列

則?n∈，有bn≥dn且d1≤d2≤…≤dn≤dn+1≤…；此外，由于J(u)滿足Palais-Smale條件，則稍微修改文獻(xiàn)[14]第9章中的參數(shù)，便得到dn→∞(n→∞)，則bn→∞(n→∞).

I(uj)→an>0,I′(uj)→0.

(11)

由式(5)和式(6)得

(12)

又由式(6)和式(11)知

(13)

由式(6)知

將兩式相減得

由式(11)易知，〈I′(uj)-I′(u0),uj-u0〉→0(j→∞)；又根據(jù)式(12)和H?lder不等式知

I(u0)=an,I′(u0)=0.

3 結(jié)語

從文獻(xiàn)[2-7,9-10]可以看到，一些Kirchhoff方程解的存在性、多重性、唯一性等主要結(jié)果已經(jīng)通過不同研究者的努力展現(xiàn)在眼前，而本文則通過研究得到了一類Kirchhoff方程高能量解的存在性.因此，本文可作為文獻(xiàn)[2-7,9-10]中相關(guān)結(jié)果的一種補(bǔ)充.