曾 煥，王少平

（廣東省深圳市鹽田區(qū)云海學(xué)校，廣東 深圳 518083）

運(yùn)算能力作為小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵能力，其主要特征包括“正確運(yùn)算、理解算理、方法合理”三個(gè)方面。從曹培英教授關(guān)于運(yùn)算能力的“四面體結(jié)構(gòu)模型”可以看出（如圖1）：基本口算是基礎(chǔ)，算理和算法是運(yùn)算能力的一體兩翼，不可有偏頗。

圖1 四面體結(jié)構(gòu)模型

但在小學(xué)階段的實(shí)際教學(xué)中，“運(yùn)算教學(xué)”時(shí)常被片面地認(rèn)為是一種純粹的“技能訓(xùn)練”，這顯然是錯(cuò)誤的。從學(xué)生發(fā)展的角度看，僅靠大量機(jī)械訓(xùn)練形成的計(jì)算技能，只是一種短暫認(rèn)知，不利于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展。而實(shí)際運(yùn)算教學(xué)中大量的分析比較、抽象與概括的內(nèi)容是幫助學(xué)生建立知識(shí)間的聯(lián)系形成整體知識(shí)結(jié)構(gòu)、發(fā)展辯證思維和創(chuàng)新思維等高階思維的典型學(xué)材。

本文結(jié)合算理的理解和算法的歸納談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中如何運(yùn)用知識(shí)間蘊(yùn)藏的規(guī)律性建立知識(shí)聯(lián)系，形成整體和辯證性思維；如何在算理理解與算法歸納中發(fā)展分析、概括和創(chuàng)新思維。筆者做了如下嘗試，以期與同行商榷。

一、在算理理解中培養(yǎng)整體思維與辯證思維

整體性思維可幫助學(xué)生整體把握事物間的相互關(guān)系并建立統(tǒng)一聯(lián)系進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，辯證思維可幫助學(xué)生運(yùn)用事物間的關(guān)系進(jìn)行合理歸納和演繹。運(yùn)算教學(xué)中將二者結(jié)合，利于學(xué)生對(duì)運(yùn)算步驟做出分析和推理，從而幫助學(xué)生理解算理，繼而再?gòu)恼w上對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容做出判斷，有益于形成穩(wěn)定的、有聯(lián)系的知識(shí)體系。

以“口算”教學(xué)為例。在口算教學(xué)中，可以通過(guò)數(shù)感的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想的滲透、歸納與演繹等推理能力的培養(yǎng)等多種方式，將整體思維和辯證思維具體化，從而促進(jìn)學(xué)生從本質(zhì)看待問(wèn)題、分析問(wèn)題，促進(jìn)結(jié)構(gòu)化知識(shí)的形成。

（一）口算中將數(shù)感培養(yǎng)與滲透數(shù)學(xué)思想相結(jié)合

在基本的口算教學(xué)中，如“10 以?xún)?nèi)加減”“20 以?xún)?nèi)加減”“整十（整百）數(shù)乘一位數(shù)”……這些看似簡(jiǎn)單的口算，其背后都包含著豐富的內(nèi)容：不僅有數(shù)感的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算的方法技巧，更有數(shù)學(xué)的理性思考和數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含其中。以“10 以?xún)?nèi)的加減”教學(xué)為例，不少孩子還沒(méi)有進(jìn)入小學(xué)，就已經(jīng)能計(jì)算10 以?xún)?nèi)加減了。那么，一年級(jí)學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)，還可以教什么、怎么教呢？有位一年級(jí)數(shù)學(xué)教師從“認(rèn)識(shí)數(shù)字5”開(kāi)始，便結(jié)合數(shù)的分與合，讓學(xué)生們整理“（）＋（）＝5”，結(jié)果發(fā)現(xiàn)孩子們的整理有兩種類(lèi)型，一種是全部整理了出來(lái)，但無(wú)序；一種是全部整理了出來(lái)，但是有序（如圖2、圖3）。

圖2

圖3

圖2 呈現(xiàn)出的思維是無(wú)序的點(diǎn)狀狀態(tài)，而圖3 呈現(xiàn)出的思維是有序的，表現(xiàn)出初步的結(jié)構(gòu)性思維。教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比兩種結(jié)果，感悟其中的排列規(guī)律，學(xué)生在觀察、比較與感悟中發(fā)展了數(shù)感。接下來(lái)教學(xué)“6——10 的分與合”時(shí)，教師都有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生整理，學(xué)生不僅掌握了數(shù)字中“分與合”的知識(shí)，而且讓學(xué)生從整體上感悟到了“10 以?xún)?nèi)的口算”中蘊(yùn)含的遞增、遞減的規(guī)律，并且體悟到“加數(shù)”與“和”之間的相互依存關(guān)系。其間，既體現(xiàn)了思維的整體性、辯證性，也有“有序性”數(shù)學(xué)思想的滲透。這樣的教學(xué)，其價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于純粹的口算練習(xí)。

（二）在算理理解中融入歸納、概括等演繹思維

為幫助學(xué)生理解算理并掌握算法，離不開(kāi)歸納概括和演繹推理。以“整十（整百）數(shù)乘一位數(shù)口算”為例，當(dāng)教師出示一道算式“20×3”時(shí)，好多孩子不假思索地就說(shuō)出結(jié)果“等于60”。問(wèn)學(xué)生“是怎樣算的？”學(xué)生的解釋是“2 乘3 得6，在后面添個(gè)0 就行了”?？梢?jiàn)，學(xué)生雖然會(huì)計(jì)算，但對(duì)其中的算理仍處于懵懂的狀態(tài)。一位教師在教學(xué)這節(jié)課時(shí)，進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)：首先出示一組算式“2×3＝，20×3＝，200×3＝ ”，學(xué)生報(bào)出每一題的結(jié)果分別是“6、60、600”。教師提出問(wèn)題：“對(duì)比這幾題的計(jì)算過(guò)程，有什么相同之處，又有什么不同之處？”學(xué)生們對(duì)比交流后答：“相同之處是這幾題都用到了一句相同的乘法口訣‘二三得六’；不同的是第一題是2 個(gè)一乘3，得6 個(gè)一，結(jié)果是6；第二題是2 個(gè)十乘3，得6 個(gè)十，結(jié)果是60；第三題是2 個(gè)百乘3，得6 個(gè)百，結(jié)果是600。所以，在第二題的后面要添一個(gè)0，第三題的后面要添兩個(gè)0?！?/p>

這里，學(xué)生的回答是融合了“乘法的意義”“數(shù)的組成”“位值制”等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系進(jìn)行的演繹推理。接著，教師又引導(dǎo)學(xué)生在幾組練習(xí)中進(jìn)行算法歸納。這樣的設(shè)計(jì)，促使教師整體把握教材、利用知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系合理架構(gòu)教學(xué)環(huán)節(jié)，借助“比較說(shuō)理、總結(jié)算法”，讓學(xué)生的思維在歸納概括、演繹推理中得到進(jìn)階。

二、在算法掌握中培養(yǎng)實(shí)踐思維與創(chuàng)新思維

高階思維強(qiáng)調(diào)學(xué)生面對(duì)真實(shí)問(wèn)題時(shí)的實(shí)踐思維能力，以及面對(duì)開(kāi)放性問(wèn)題時(shí)思維的靈活性與獨(dú)創(chuàng)性。因此，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生在直觀理解算理的基礎(chǔ)上探究算法，既可以通過(guò)分析、判斷等能力探究解決問(wèn)題的方法，又可以從個(gè)性化視角彰顯問(wèn)題解決過(guò)程中的創(chuàng)新性，通過(guò)遷移實(shí)現(xiàn)算法優(yōu)化。具體做法如下：

（一）算理的直觀性與分析思維的抽象性相結(jié)合

算理是算法的理論依據(jù)，它是算法思維方式的直觀呈現(xiàn)，保證了計(jì)算的合理性與正確性，讓學(xué)生不僅知其然，還知其所以然。例如在《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》的運(yùn)算教學(xué)中，就需要借助直觀圖形引導(dǎo)學(xué)生探索分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法。以為例，先表示出“整體1”的再把平均分成4 份，表示出的繼而發(fā)現(xiàn)算式與結(jié)果之間的數(shù)值關(guān)系，得出是“整體1”的（見(jiàn)圖4）。通過(guò)圖形的直觀演示，融合了分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)乘法的意義，打通了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。學(xué)生運(yùn)用知識(shí)間的聯(lián)系對(duì)運(yùn)算結(jié)果做出邏輯判斷，實(shí)踐思維、分析思維、創(chuàng)新思維得到培養(yǎng)。

圖4

算理是客觀存在的規(guī)律，需要在操作中探究最優(yōu)方法，從而為概括算法做好鋪墊?？v觀小學(xué)數(shù)學(xué)教材中整數(shù)的加減乘除，無(wú)一不是借助直觀操作幫助學(xué)生理解算理的，而且這種方式遷移到了小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算。由此可見(jiàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)離不開(kāi)直觀化的操作，唯有這樣才可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)踐思維到形象思維，再到分析與創(chuàng)新思維的發(fā)展。

（二）算法優(yōu)化和培養(yǎng)創(chuàng)新性思維相結(jié)合

在教學(xué)兩位數(shù)除以一位數(shù)時(shí)，教師用小棒幫助學(xué)生理解算理，出現(xiàn)了兩種思路。計(jì)算“68÷2”，展示如下：

思路1：先把6 捆平均分成2 份（1 捆表示1 個(gè)十），每份3 捆；再把8 根平均分成2 份，每份是4 根（如圖5）。

圖5

思路2：先把8 根平均分成2 份，每份是4 根；再把6 捆平均分成2 份，每份3 捆（如圖6）

圖6

顯然，無(wú)論是先分十位的數(shù)還是先分個(gè)位的數(shù)，兩種思路都是正確的。在計(jì)算“52÷2”時(shí)，再讓學(xué)生用小棒分一分。同樣，也出現(xiàn)了兩種思路：有的學(xué)生是先分5 個(gè)十，后分2 個(gè)一（如圖7）；有的學(xué)生先分2個(gè)一，后分5 個(gè)十（如圖8）。隨后，教師讓學(xué)生對(duì)比這兩種分法，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：先分十位上的數(shù)計(jì)算更簡(jiǎn)便。這就優(yōu)化出了更具普遍性的算法：從高位算起。

圖7

圖8

這里借助圖示，把分小棒的過(guò)程與豎式計(jì)算步驟緊密結(jié)合，在操作中進(jìn)行對(duì)比分析引發(fā)認(rèn)知沖突，在對(duì)先前的認(rèn)知進(jìn)行自我否定的基礎(chǔ)上，進(jìn)行邏輯判斷并做出正確選擇，實(shí)現(xiàn)方法的優(yōu)化，學(xué)生的創(chuàng)新思維得到發(fā)展。

三、建立運(yùn)算模型發(fā)展運(yùn)算能力，培養(yǎng)反思思維與批判思維

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中需要為學(xué)生構(gòu)建幫助學(xué)生理解和思考的模型，使學(xué)生可以根據(jù)教師的引導(dǎo)對(duì)知識(shí)和問(wèn)題進(jìn)行反復(fù)追問(wèn)和質(zhì)疑，推動(dòng)學(xué)生不斷加深對(duì)問(wèn)題的理解，進(jìn)而培養(yǎng)反思思維和批判思維。同時(shí)，要鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行不斷反思，在反思中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、提升能力。小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)要注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，其中就包括模型思想，而模型的建構(gòu)過(guò)程利于規(guī)律的習(xí)得，利于發(fā)展反思思維和批判思維。

以“加法結(jié)合律”為例。教師出示一個(gè)問(wèn)題情境，學(xué)生列出形如“a×（b＋c）”“a×b＋a×c”這兩種不同思路的算式，通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)這兩道算式間的相等關(guān)系，并提出大膽猜想：“一個(gè)數(shù)乘兩個(gè)數(shù)的和，等于用這個(gè)數(shù)分別去乘兩個(gè)數(shù)的乘積之和?！苯又l(fā)質(zhì)疑，對(duì)結(jié)論的合理性進(jìn)行追問(wèn)：“這個(gè)規(guī)律成立嗎？”促使學(xué)生自發(fā)尋找可以作為支撐的例子，并對(duì)列舉出的例子進(jìn)行反復(fù)甄別判斷，直至舉不出反例。這一過(guò)程就是反思思維和批判思維得以彰顯和培養(yǎng)的過(guò)程。學(xué)生們通過(guò)不完全歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律，統(tǒng)一用字母式表示為“a×（b＋c）＝a×b＋a×c”，再運(yùn)用這一規(guī)律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。就這樣，在“比較——猜想——質(zhì)疑——驗(yàn)證——?dú)w納——運(yùn)用”中，經(jīng)歷逐步抽象的過(guò)程，促進(jìn)運(yùn)算能力的形成，完成運(yùn)算模型建構(gòu)，同時(shí)發(fā)展了反思、批判等高階思維，讓模型建構(gòu)過(guò)程成了思維訓(xùn)練場(chǎng)。

四、問(wèn)題類(lèi)化調(diào)整認(rèn)知建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)創(chuàng)新思維

“類(lèi)化”，即將數(shù)學(xué)問(wèn)題按其結(jié)構(gòu)、解題思路的相同特點(diǎn)歸為一類(lèi)，同一類(lèi)的數(shù)學(xué)問(wèn)題成為一種模型。在解決問(wèn)題時(shí)學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題情境的識(shí)別，對(duì)該問(wèn)題的結(jié)構(gòu)、解法等作出判斷，將當(dāng)前的問(wèn)題與已有的知識(shí)或數(shù)學(xué)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，運(yùn)用已有的模型解決當(dāng)前的問(wèn)題，或者建構(gòu)新的模型，從而培養(yǎng)創(chuàng)新思維。通過(guò)問(wèn)題類(lèi)化將已有模型運(yùn)用于新問(wèn)題，并在解決新問(wèn)題中構(gòu)建出新模型的過(guò)程中創(chuàng)新思維得到培養(yǎng)。但需要指出的是，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行模式識(shí)別不是機(jī)械地套用已有的解法，而是需要將待解決的問(wèn)題與已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，利用已有經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題。

五、小結(jié)和反思

隨著問(wèn)題解決中高階思維的研究和實(shí)施，學(xué)生在解決問(wèn)題中能根據(jù)問(wèn)題信息準(zhǔn)確分析信息間的邏輯聯(lián)系，能采用合適的操作方法呈現(xiàn)信息間的關(guān)聯(lián)，繼而確定正確的問(wèn)題解決步驟，并能將其不斷優(yōu)化。在這一過(guò)程中，分析、創(chuàng)新、反思、評(píng)價(jià)等高階思維得到發(fā)展。數(shù)學(xué)是培養(yǎng)思維的學(xué)科。數(shù)學(xué)運(yùn)算作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，其教學(xué)絕不是簡(jiǎn)單純粹的技能訓(xùn)練，應(yīng)該結(jié)合運(yùn)算教學(xué)的目標(biāo)要求滲透數(shù)學(xué)思想、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的分析、反思、批判、創(chuàng)新等高階思維能力。唯有這樣，才可以讓學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)育人目標(biāo)。