福建省平潭縣第三中學(xué) (350400) 薛臘松

廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) (363123) 林運(yùn)來

競賽試題是數(shù)學(xué)題目中的經(jīng)典力作，大都蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法，變化靈巧，精彩迭出.因此，重視對一些典型競賽題的研究和探討，實(shí)屬必要.本文對2021年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽(初賽)暨全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A2卷第9題的解法進(jìn)行探究，供大家參考.

一、試題呈現(xiàn)

題目已知△ABC滿足AB=1，AC=2，cosB+sinC=1，求BC邊的長.

分析：此題是聯(lián)賽一試解答題的起點(diǎn)題，把三角恒等變換以及正、余弦定理的應(yīng)用作為考查的重點(diǎn)，考查了分析、推理、計(jì)算等關(guān)鍵能力，體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)教學(xué)對三角函數(shù)學(xué)習(xí)的基本要求，有助于學(xué)生正確認(rèn)識三角函數(shù)知識的重要性.試題數(shù)量關(guān)系簡潔，計(jì)算過程簡單，有利于考生穩(wěn)定發(fā)揮.

二、解法探究

思路1 先求三角形內(nèi)角的函數(shù)值，再求三角形邊長.

思路2 利用余弦定理直接求三角形邊長.

思路3 利用射影定理求解.

思路4 構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)求解.

圖1

思路5 構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解.

三、解題反思

“三角”一詞的希臘文原意是三角形和測量，最初的理解是指解三角形的計(jì)算.后來，歐拉引入了三角函數(shù)，使三角比(正弦、余弦、正切等)不僅和解三角形有關(guān)，而且大大豐富了“三角”的內(nèi)容.18世紀(jì)后，“三角”是被看作包含三角函數(shù)和解三角形兩部分內(nèi)容的一門數(shù)學(xué)的分學(xué)科.三角函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科領(lǐng)域中具有非常廣泛的應(yīng)用，它是中學(xué)數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識之一.

一般地，涉及三角形邊角關(guān)系類的試題，綜合性較強(qiáng)，不僅涉及正弦定理、余弦定理、三角形的幾何性質(zhì)，還會涉及各種三角變換.其常規(guī)解法就是利用正(余)弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的互化，有時還需利用三角公式進(jìn)行恒等變形.中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，三角函數(shù)的定義或是聯(lián)系著一個直角三角形，或是聯(lián)系著一個直角坐標(biāo)系，或是聯(lián)系著一個單位圓，總之離不開一個圖形，這就為學(xué)習(xí)“三角”時實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合提供了一條理想的途徑.“數(shù)形結(jié)合”是基本的數(shù)學(xué)思想之一，正如著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”.對本題而言，相對于常規(guī)的解法1、解法2和解法3而言，解法4、解法5通過畫圖，再利用圖形來進(jìn)行計(jì)算和推理，不僅使問題變得形象直觀、一目了然，而且極大地減少了運(yùn)算量，使問題化繁為簡，應(yīng)引起足夠的重視.