一道三角形面積最小值問(wèn)題的多解探究

黑龍江省大慶第一中學(xué) (163000) 程 欣

解三角形是高考數(shù)學(xué)?？贾R(shí)點(diǎn)，若涉及求解三角形面積的最小值，則往往需要考慮基本不等式或三角函數(shù)知識(shí)在解題的靈活、綜合運(yùn)用，求解此類(lèi)問(wèn)題有利于幫助我們順利破解目標(biāo)，提高分析解決問(wèn)題的能力.

1.題目呈現(xiàn)

2.解法探究

思路1：(面積法)處理解三角形問(wèn)題時(shí)，根據(jù)具體的圖形，可考慮利用“分割組合思想”，有利于從面積角度出發(fā)去分析、運(yùn)用圖形特征，進(jìn)而為目標(biāo)問(wèn)題的獲解創(chuàng)造有利條件.

評(píng)注：該解法的關(guān)鍵是先得到邊長(zhǎng)a,c滿(mǎn)足的關(guān)系式，再靈活運(yùn)用基本不等式加以求解.

思路2：(建系法)由于解三角形問(wèn)題涉及到具體的平面圖形，所以可在適當(dāng)建立平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用有關(guān)解析幾何知識(shí)，或者有關(guān)平面向量知識(shí)加以求解.

圖1

思路3：(向量法)由于平面向量具有“數(shù)”和“形”的雙重功能，所以處理有關(guān)解三角形問(wèn)題時(shí)，可結(jié)合圖形，考慮有關(guān)平面向量知識(shí)(尤其是向量的線(xiàn)性表示)在解題中的靈活運(yùn)用.

思路4：(定理法)處理解三角形問(wèn)題，最基本最常用的方法就是考慮正、余弦定理的靈活運(yùn)用.需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是余弦定理的“多次”運(yùn)用；二是先巧作輔助線(xiàn)，再靈活運(yùn)用正、余弦定理解題.

圖2

評(píng)注：解法4體現(xiàn)了三角形角平分線(xiàn)性質(zhì)定理與余弦定理的綜合運(yùn)用；而解法5體現(xiàn)了線(xiàn)線(xiàn)平行的性質(zhì)與正弦定理的綜合運(yùn)用.此外，還可以過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線(xiàn)，進(jìn)行求解.

思路5：(平幾法)由于解三角形問(wèn)題，涉及具體的平面圖形，所以可在適當(dāng)巧作輔助線(xiàn)的基礎(chǔ)上，有意識(shí)地去考慮初中所學(xué)平面幾何知識(shí)在解題中的靈活運(yùn)用.

圖3

評(píng)注：該解法完全是根據(jù)初中平面幾何知識(shí)，求得2(a+c)=ac，故值得關(guān)注、學(xué)習(xí)！

思路六：(參數(shù)法)處理三角形面積最值問(wèn)題時(shí)，可結(jié)合圖形，靈活引入角參數(shù)，將三角形的面積表示成關(guān)于角參數(shù)的函數(shù)表達(dá)式，從而可借助有關(guān)三角函數(shù)知識(shí)加以靈活求解.

評(píng)注：該解法的關(guān)鍵是引入角參數(shù)，將目標(biāo)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)表達(dá)式的最小值.

3.推廣探究

4.解后反思

綜上，本題設(shè)計(jì)較好，看似簡(jiǎn)單，實(shí)則內(nèi)涵豐富，具有較強(qiáng)的訓(xùn)練價(jià)值和研究?jī)r(jià)值.顯然，不同的思維切入點(diǎn)，往往可以獲得不同的解題體驗(yàn)，真可謂“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，需要我們?cè)趯W(xué)中“悟”，在“悟”中不斷提升解題的技能技巧.

從本質(zhì)上講，借助“一題多解”的教研方式，不僅有利于幫助我們突破以往的局限性解題思維模式，探尋最優(yōu)解題思維；而且也有利于幫助我們逐步實(shí)現(xiàn)舉一反三、融會(huì)貫通之目的.因此，在未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們可以選取一些典型試題，深層次挖掘，拓寬解題思維，促進(jìn)教師的專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).