夏 陽(yáng)，王懷相，周 茵，安仲文，魏玉光

(1.中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 運(yùn)輸及經(jīng)濟(jì)研究所，北京 100081；2.中國(guó)國(guó)家鐵路集團(tuán)有限公司 客運(yùn)部，北京 100844；3.北京交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044)

我國(guó)2016年起明確放開(kāi)高速鐵路(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“高鐵”)動(dòng)車(chē)組的票價(jià)管理權(quán)限，實(shí)行由鐵路運(yùn)輸企業(yè)依法自主制定的政策。價(jià)格政策的放開(kāi)，為高鐵票價(jià)市場(chǎng)化改革提供了法律依據(jù)和政策支持，推動(dòng)了鐵路企業(yè)打破票價(jià)形式單一的限制，鐵路企業(yè)開(kāi)始積極嘗試以市場(chǎng)為導(dǎo)向的票價(jià)機(jī)制改革實(shí)踐，例如在高鐵動(dòng)臥產(chǎn)品及部分高鐵線路上采取差異化票價(jià)策略。然而，我國(guó)高鐵票價(jià)市場(chǎng)化改革還處于起步探索階段，尚未形成完善、成熟的票價(jià)優(yōu)化理論與技術(shù)體系。因此，健全高鐵票價(jià)體系、合理確定票價(jià)水平、充分發(fā)揮企業(yè)市場(chǎng)主體地位，已成為我國(guó)高鐵亟待解決的關(guān)鍵問(wèn)題。

高鐵票價(jià)優(yōu)化屬于收益管理范疇。收益管理最初應(yīng)用于航空領(lǐng)域，發(fā)展至今已較為成熟。然而與航空運(yùn)輸相比，鐵路運(yùn)輸服務(wù)網(wǎng)絡(luò)及資源與產(chǎn)品映射關(guān)系更復(fù)雜，實(shí)施收益管理難度更大，導(dǎo)致鐵路收益管理發(fā)展較為緩慢。盡管目前已有部分學(xué)者針對(duì)高鐵票價(jià)進(jìn)行了優(yōu)化研究，但總體上仍處于研究初期階段?？紤]到旅客異質(zhì)性，文獻(xiàn)[1]研究旅客出行選擇行為機(jī)理，分析票價(jià)變化如何影響旅客選擇行為。文獻(xiàn)[2-3]利用Logit模型研究競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下鐵路票價(jià)對(duì)客流分擔(dān)率的影響。文獻(xiàn)[4]根據(jù)平均列車(chē)上座率劃分客流時(shí)段，構(gòu)建城際鐵路分時(shí)定價(jià)優(yōu)化模型，并設(shè)計(jì)混合啟發(fā)式算法進(jìn)行求解，但未能綜合考慮每列車(chē)的服務(wù)屬性。文獻(xiàn)[5]研究高鐵差異化定價(jià)，構(gòu)建雙層規(guī)劃模型，并利用啟發(fā)式算法求解，但僅優(yōu)化某一具體的始發(fā)-終到站(OD)。文獻(xiàn)[6-7]分別對(duì)荷蘭和中國(guó)鐵路的高峰、低谷時(shí)段差異化定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化研究，結(jié)果表明低谷時(shí)段的降價(jià)策略更利于提升經(jīng)濟(jì)效益。文獻(xiàn)[8]在旅客分類(lèi)的基礎(chǔ)上，研究高鐵動(dòng)態(tài)定價(jià)問(wèn)題。文獻(xiàn)[9]運(yùn)用前景理論，針對(duì)不同類(lèi)型列車(chē)的差異性，構(gòu)建高鐵動(dòng)態(tài)定價(jià)隨機(jī)規(guī)劃模型。文獻(xiàn)[10-13]對(duì)高鐵動(dòng)態(tài)定價(jià)與票額分配進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化研究。文獻(xiàn)[14]對(duì)高鐵票價(jià)和時(shí)刻表進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化研究。文獻(xiàn)[15]在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上考慮票價(jià)對(duì)公平性的影響。

既有研究中僅少數(shù)學(xué)者研究高鐵系統(tǒng)的公布票價(jià)[2-3]，未考慮不同列車(chē)間的差異化定價(jià)。隨著高鐵建設(shè)和運(yùn)營(yíng)管理的不斷發(fā)展，越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始研究高鐵差異化票價(jià)，以期利用票價(jià)調(diào)控客流，提高經(jīng)濟(jì)效益，從而提升高鐵的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力。根據(jù)是否考慮票價(jià)在售票期內(nèi)的動(dòng)態(tài)變化，可將既有研究分為兩大類(lèi)：①靜態(tài)差異化定價(jià)方面，部分是以某一個(gè)OD為對(duì)象，來(lái)制定某一時(shí)段或不同列車(chē)的票價(jià)[4-5]，雖優(yōu)化了每列車(chē)在各服務(wù)OD間的票價(jià)，但構(gòu)建的模型為非線性化模型，往往需要通過(guò)啟發(fā)式算法求解，無(wú)法保證解的質(zhì)量[6-7]；②動(dòng)態(tài)定價(jià)方面，依然存在模型非線性化導(dǎo)致需使用啟發(fā)式算法求解的問(wèn)題[8-13]。

高鐵的靜態(tài)差異化定價(jià)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是高鐵列車(chē)服務(wù)網(wǎng)絡(luò)上的配流問(wèn)題，由于價(jià)格的浮動(dòng)性質(zhì)，其服務(wù)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)拓展為能體現(xiàn)不同價(jià)格等級(jí)特點(diǎn)的多維時(shí)空網(wǎng)絡(luò)。在此理論基礎(chǔ)上，針對(duì)既有研究的不足，本文①通過(guò)設(shè)置離散價(jià)格策略，在列車(chē)服務(wù)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上引入價(jià)格維度，構(gòu)建了價(jià)格-時(shí)空三維網(wǎng)絡(luò)；②將高鐵靜態(tài)差異化定價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為考慮時(shí)空資源限制的多商品流問(wèn)題，同時(shí)考慮客流守恒、列車(chē)能力、旅客有限理性選擇等約束，建立高鐵票價(jià)0-1整數(shù)線性規(guī)劃模型；③為突破大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題受限于求解器計(jì)算能力的瓶頸，提出基于拉格朗日松弛的求解算法，通過(guò)將原始問(wèn)題分解為相互獨(dú)立的子問(wèn)題，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的上界啟發(fā)式算法，能夠獲得可行解與上界解之間的誤差率，以評(píng)估求解質(zhì)量。

1 問(wèn)題描述

1.1 旅客分組

旅客在出行時(shí)，會(huì)綜合考慮旅行時(shí)間、票價(jià)、出發(fā)時(shí)刻等因素，選擇出行成本最小的方案。在扁平化票價(jià)策略下，影響旅客選擇的主要因素是時(shí)間(旅行時(shí)間、出發(fā)時(shí)刻等)。采用差異化票價(jià)策略后，列車(chē)在同一OD間的票價(jià)不同，從而對(duì)旅客出行選擇行為產(chǎn)生較大影響。在研究過(guò)程中，若對(duì)每個(gè)旅客單體分別建模，會(huì)導(dǎo)致模型規(guī)模過(guò)大，難以求解。因此采用旅客分組技術(shù)。

旅客對(duì)價(jià)格的敏感程度具有差異，收入是影響這一程度的關(guān)鍵因素之一。根據(jù)收入水平將旅客分為高收入、中收入、低收入3個(gè)等級(jí)，不同等級(jí)旅客具有不同的價(jià)格敏感度。顯然，低收入旅客對(duì)票價(jià)的敏感性要高于高收入旅客。在此基礎(chǔ)上，考慮旅客出行OD和期望出發(fā)時(shí)間：g為旅客組，g=(o,d,m,π)；o為旅客始發(fā)車(chē)站；d為旅客終到車(chē)站；m為收入層級(jí)，m∈{1,2,3}，1、2、3分別為高、中、低收入層級(jí)；π為期望出發(fā)時(shí)刻；G為旅客組集合，g∈G。

每個(gè)旅客組中的旅客具有相同的期望出發(fā)時(shí)刻和收入水平，因此其感知出行效用的能力相同，即乘坐同一列車(chē)出行成本相等。當(dāng)面對(duì)多個(gè)可乘坐列車(chē)時(shí)，同一組內(nèi)旅客傾向于選擇同一列車(chē)(對(duì)其而言出行費(fèi)用最小的列車(chē))。因此，本文假設(shè)每個(gè)旅客組不可分割，在建模過(guò)程中僅需考慮各個(gè)旅客組，從而降低問(wèn)題規(guī)模。

1.2 價(jià)格-時(shí)空網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

圖1 簡(jiǎn)單高鐵物理網(wǎng)絡(luò)及其列車(chē)運(yùn)行計(jì)劃

圖2 列車(chē)服務(wù)時(shí)空網(wǎng)絡(luò)

為提升高鐵經(jīng)濟(jì)效益，采用差異化票價(jià)策略，即對(duì)于同一OD，不同列車(chē)上的票價(jià)并不相同，具體方法是設(shè)置不同的離散價(jià)格等級(jí)。N為價(jià)格等級(jí)集合，N={1,2,…,n,…，|N|}；wn為價(jià)格等級(jí)n∈N所代表的具體價(jià)格策略，如增加10%、維持原價(jià)和降低10%等。價(jià)格等級(jí)集合N決定了票價(jià)的變動(dòng)界限和取值范圍，應(yīng)在綜合考慮政策文件、鐵路公司要求和市場(chǎng)需求的基礎(chǔ)上確定?；诹熊?chē)服務(wù)時(shí)空網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)引入價(jià)格等級(jí)維度，可構(gòu)建與圖1相對(duì)應(yīng)的三維價(jià)格-時(shí)空網(wǎng)絡(luò)(V,A)，見(jiàn)圖3[17]。圖3中，V為時(shí)空網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)集合；A為弧集合，圖中為了統(tǒng)一標(biāo)識(shí)服務(wù)弧，未區(qū)分不同列車(chē)的物理服務(wù)弧段顏色。

圖3 價(jià)格-時(shí)空網(wǎng)絡(luò)

圖3包含了2個(gè)價(jià)格等級(jí)層n1、n2和一個(gè)虛擬始發(fā)層n0，各價(jià)格等級(jí)層具有相同的列車(chē)服務(wù)時(shí)空網(wǎng)絡(luò)。價(jià)格-時(shí)空網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)集合V由4個(gè)子集合組成，分別為：

(1)虛擬始發(fā)點(diǎn)集合Vsource={(i,t,n0)|i=o(g),t=π(g),g∈G}，式中：o(g)為旅客組g的始發(fā)站點(diǎn)；π(g)為旅客組g的期望出發(fā)時(shí)刻。所有旅客的虛擬始發(fā)點(diǎn)都落在虛擬始發(fā)層n0。

因此，V=Vsource∪Vsink∪Vde∪Var?？梢钥闯觯總€(gè)旅客組在價(jià)格-時(shí)空網(wǎng)絡(luò)中均有相對(duì)應(yīng)的虛擬始發(fā)點(diǎn)和終到點(diǎn)，并且與其自身屬性(始發(fā)站、終到站、期望出發(fā)時(shí)刻)相一致，從而能夠便于完整準(zhǔn)確地刻畫(huà)每個(gè)旅客組的出行路徑。

價(jià)格-時(shí)空網(wǎng)絡(luò)中弧段集合A主要包含進(jìn)入弧、服務(wù)弧、終到弧以及虛擬弧，具體如下：

為了有效計(jì)算旅客出行路徑的效用(成本)，對(duì)價(jià)格-時(shí)空網(wǎng)絡(luò)中各弧段的費(fèi)用進(jìn)行如下設(shè)定：進(jìn)入弧的費(fèi)用由兩部分組成：①實(shí)際出發(fā)時(shí)間與期望出發(fā)時(shí)間之間的偏差;②列車(chē)旅行時(shí)間(每條服務(wù)弧與具體一列列車(chē)對(duì)應(yīng))；列車(chē)服務(wù)弧的費(fèi)用是票價(jià)；終到弧的費(fèi)用為0；虛擬弧的費(fèi)用為旅客可承受的出行成本上限。綜上，價(jià)格-時(shí)空網(wǎng)絡(luò)中各弧段的費(fèi)用為

(1)

f(i,j,t,t′,n,n′)單獨(dú)表示旅客使用各弧段(i,j,t,t′,n,n′)所帶來(lái)的收益，即

f(i,j,t,t′,n,n′)=

(2)

1.3 研究問(wèn)題

一般情況下，客流時(shí)空分布并不均衡。具體地，在一天的各個(gè)時(shí)間段內(nèi)，客流量往往存在較大差異，從而產(chǎn)生了客流高峰期和低谷期。在客流低谷期內(nèi)，列車(chē)上座率可能較低，既影響資源利用效率，又不利于提升經(jīng)濟(jì)效益；而在客流高峰期，由于列車(chē)能力限制，可能導(dǎo)致部分高鐵客流流失。此外，旅客出行時(shí)，并非僅考慮具有最小成本的交通方案，而是會(huì)在自身可承受的出行成本范圍內(nèi)進(jìn)行合理選擇。因此，本文的目標(biāo)是通過(guò)合理制定各列車(chē)的票價(jià)，來(lái)控制不同旅客的出行成本，實(shí)現(xiàn)“削峰填谷”，一方面最大化客票收入，另一方面減少旅客流失，提升列車(chē)能力利用效率。

在構(gòu)建價(jià)格-時(shí)空網(wǎng)絡(luò)后，旅客出行選擇可視為在網(wǎng)絡(luò)中選擇一條合理的出行徑路。由于對(duì)網(wǎng)絡(luò)中各弧段設(shè)置了相應(yīng)的成本和收益，因此每一條出行徑路的成本和產(chǎn)生的客票收入均可計(jì)算。同時(shí)，旅客在選擇出行徑路時(shí)會(huì)受到列車(chē)能力、出行總成本等因素的限制。當(dāng)出行成本高于其可承受的最高值或列車(chē)能力不足時(shí)，部分旅客將流失，即選擇其他交通方式出行。因此，基于價(jià)格-時(shí)空網(wǎng)絡(luò)，高鐵的靜態(tài)差異化定價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為考慮時(shí)空資源限制的多商品流問(wèn)題。

2 高鐵差異化票價(jià)優(yōu)化模型

2.1 模型假設(shè)

①各OD間期望乘坐高鐵的客流已知，即潛在的客流需求給定。

②通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查等方法可以獲得旅客的收入水平和期望出發(fā)時(shí)刻信息。

③僅考慮線路的一個(gè)列車(chē)運(yùn)行方向，相反方向可采用同樣方法處理。

④每個(gè)旅客組不可分割，即選擇相同徑路出行。

⑤各OD間旅客均勻到達(dá)。

2.2 符號(hào)、參數(shù)和變量說(shuō)明

符號(hào)、參數(shù)和變量及含義見(jiàn)表1。決策變量及含義見(jiàn)表2。

表1 符號(hào)、參數(shù)說(shuō)明

表2 變量說(shuō)明

2.3 模型構(gòu)建

目標(biāo)函數(shù)為

xg(i,j,t,t′,n,n′)×rg

(3)

式(3)表示總客票收入最大。

約束條件如下。

(1)流平衡約束

(4)

式中：(i=o(g),t=π(g),n=n0)、(i=d(g),t=T2,n=n)為旅客組g的虛擬起始點(diǎn)和終到點(diǎn)。

該約束規(guī)定了旅客組出行路徑的完整性，且每組旅客只能選擇一條出行路徑。

(2)列車(chē)能力約束

rg≤cap(k) ?k∈K?(i′,j′)∈E

(5)

該約束規(guī)定了所有列車(chē)在各區(qū)段運(yùn)輸?shù)穆每涂偭坎坏贸^(guò)其最大運(yùn)載能力。

(3)旅客有限理性約束

旅客有限理性約束在文獻(xiàn)[16]中提出。本文在參考該文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上構(gòu)建為

xg(i,j,t,t′,n,n′)+βg×

(6)

(4)變量關(guān)聯(lián)約束

?(i,j,t,t′,n,n)∈Atr

(7)

式中：M為一個(gè)極大常數(shù)。

該約束表示只有當(dāng)服務(wù)弧(i,j,t,t′,n,n′)開(kāi)放時(shí)(對(duì)應(yīng)列車(chē)在該OD使用價(jià)格策略n)，旅客組g才能選擇該弧段，即出行路徑中可包含該弧段；否則，旅客組將選擇其他路徑出行。該約束僅僅作用于服務(wù)弧，其他弧段不受約束，原因在于決策變量y(i,j,t,t′,n,n′)僅對(duì)應(yīng)每個(gè)服務(wù)弧段。

(5)價(jià)格策略約束

(8)

該約束規(guī)定了不同價(jià)格等級(jí)層上的同一列車(chē)服務(wù)弧段，只能選擇開(kāi)放一個(gè)，即列車(chē)k在OD對(duì)(i,j)上只能采用一種價(jià)格策略，從而保證所有旅客均以相同價(jià)格購(gòu)買(mǎi)該車(chē)票。

(6)價(jià)格邏輯約束

(9)

該約束規(guī)定里程長(zhǎng)的OD票價(jià)要高于里程短的OD票價(jià)，避免旅客套利行為。

3 拉格朗日松弛求解方法

在二維時(shí)空網(wǎng)絡(luò)中，本文采用物理服務(wù)網(wǎng)絡(luò)，各列車(chē)的服務(wù)弧確定，且數(shù)量有限。與傳統(tǒng)時(shí)空網(wǎng)絡(luò)相比，也無(wú)需考慮列車(chē)徑路的優(yōu)化(僅優(yōu)化旅客路徑)，也就無(wú)需建立數(shù)量龐大的列車(chē)停站、等待、運(yùn)行弧等。此外，本文通過(guò)采用旅客組技術(shù)，進(jìn)一步降低問(wèn)題規(guī)模。綜上，本文建立的價(jià)格-時(shí)空網(wǎng)絡(luò)所含弧的數(shù)量較少，問(wèn)題復(fù)雜度也較低。

拉格朗日松弛算法將原問(wèn)題中的困難約束，通過(guò)設(shè)置拉格朗日乘子松弛至目標(biāo)函數(shù)中，從而將原問(wèn)題分解為多個(gè)易于求解的子問(wèn)題。通過(guò)求解拉格朗日松弛問(wèn)題，可以獲得原問(wèn)題的最優(yōu)邊界，并且經(jīng)過(guò)乘子的不斷迭代更新，松弛解將逐步逼近原問(wèn)題的最優(yōu)解。綜上，考慮到模型的結(jié)構(gòu)特征、變量類(lèi)型以及約束形式，本文采用拉格朗日松弛算法求解模型。

3.1 模型分解

(10)

基于決策變量，松弛后的問(wèn)題可分解為兩個(gè)子問(wèn)題Fx和Fy。

子問(wèn)題Fx為

(11)

約束為式(4)。

由于只有服務(wù)弧的收益大于0，因此在式(11)中未考慮其他弧所帶來(lái)的收益。

子問(wèn)題Fy為

(12)

約束為式(8)、式(9)。

子問(wèn)題Fx為|G|個(gè)相互獨(dú)立的最短路徑問(wèn)題，可利用標(biāo)號(hào)設(shè)定法求解；子問(wèn)題Fy可用求解軟件(如Cplex)求解。

3.2 上界啟發(fā)式算法

通過(guò)求解兩個(gè)子問(wèn)題可獲得下界解，但該解可能由于違反約束條件規(guī)則是非可行解。因此，本節(jié)設(shè)計(jì)啟發(fā)式算法得到上界可行解。該算法根據(jù)獲得的上界解中的旅客路徑信息，初始化票價(jià)策略，并尋找出不滿(mǎn)足列車(chē)能力約束和有限理性約束的旅客，將其分配至出行成本最小的可行路徑中，最后尋找各列車(chē)可以采用的最優(yōu)價(jià)格策略。算法步驟如下：

Step1價(jià)格策略初始化?；谇蠼庾訂?wèn)題Fx獲得的各OD間旅客組的出行徑路，將路徑中的價(jià)格等級(jí)層均調(diào)整為1(采用最低折扣的優(yōu)惠)，從而保證價(jià)格策略的唯一性。

Step2檢索出行成本過(guò)高的旅客組?；谡{(diào)整后的旅客組路徑信息，計(jì)算每個(gè)旅客組的出行成本，若某旅客組出行成本大于其最高可承受值，則將該旅客組加入待分配集合中，并更新服務(wù)弧流量。

Step3檢索使列車(chē)能力過(guò)載的旅客組。依次檢測(cè)每列車(chē)每個(gè)區(qū)段，當(dāng)某區(qū)段能力過(guò)載時(shí)，按組人數(shù)降序?qū)⑾鄳?yīng)旅客組加入待分配集合，直至符合能力約束。

Step5確定價(jià)格策略?；诳土鞣峙浣Y(jié)果，對(duì)每列車(chē)每個(gè)服務(wù)OD間的價(jià)格進(jìn)行策略提升檢測(cè)，即逐步提升價(jià)格策略等級(jí)，并測(cè)算是否旅客組的新出行成本均小于最大承受值，若滿(mǎn)足，則繼續(xù)提升策略等級(jí)；否則確定該列車(chē)該OD間的價(jià)格策略。

Step6計(jì)算上界，并更新上界可行解。

3.3 算法框架

算法整體步驟為

Step1初始化。令迭代次數(shù)z=0；拉格朗日乘子為0；初始化下界LB*=-∞；初始化上界UB*=+∞。

Step2求解下界解。

Step2.1利用標(biāo)號(hào)設(shè)定法求解子問(wèn)題Fx。

Step2.1利用CPLEX求解子問(wèn)題Fy。

Step3求解上界可行解。利用3.2小節(jié)提出的啟發(fā)式算法求解上界可行解。

Step4更新上、下界解。更新下界LB*=max{LB*,LBz}，更新上界UB*=min{UB*,UBz}。

Step5更新拉格朗日乘子。

Step5.1

其中,θz為第z次迭代時(shí)的步長(zhǎng)，θz=1/(z+1)。

Step5.2

c(i,j,t,t′,n,n′)×xg(i,j,t,t′,n,n′)+βg×

Step5.3

Step6終止條件判定。若迭代次數(shù)達(dá)到上限H，則終止算法；否則z=z+1，返回Step2。算法在迭代次數(shù)達(dá)到設(shè)置上限H時(shí)終止。

4 案例分析

本文使用Python編程語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)提出算法，所有實(shí)驗(yàn)均在一臺(tái)Intel Core i5-8265U CPU @1.60 GHz,8 GB RAM的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行。

4.1 輸入數(shù)據(jù)

(1)列車(chē)運(yùn)行數(shù)據(jù)

以京滬高鐵2021年10月25日6:00—12:00運(yùn)行的18列車(chē)為對(duì)象進(jìn)行案例分析(僅考慮本線北京南—上海虹橋區(qū)間的列車(chē))。考慮到列車(chē)在廊坊站、泰安站、滕州站、蚌埠南站、滁州站、定遠(yuǎn)站及丹陽(yáng)站的總?？看螖?shù)均小于3次，這些站點(diǎn)產(chǎn)生客流量較小，故在案例分析過(guò)程中將不考慮這些車(chē)站。所有列車(chē)的停站方案以及在各站點(diǎn)的到達(dá)和出發(fā)時(shí)刻見(jiàn)圖4，圖4中車(chē)站名稱(chēng)后的數(shù)字為車(chē)站編號(hào)。

圖4 案例列車(chē)的停站方案及在各站的到達(dá)和出發(fā)時(shí)刻

(2)客流數(shù)據(jù)

由于篇幅限制，無(wú)法列出所有旅客組的信息，在此重點(diǎn)介紹旅客組的生成過(guò)程：

①6:00—6:59和11:00—11:59為客流低谷期，7:00—10:59為客流高峰期。

②根據(jù)停站方案和時(shí)刻表依次為每一列車(chē)生成其服務(wù)OD間的客流。

③規(guī)定各OD旅客期望出發(fā)時(shí)間為列車(chē)在其出發(fā)站點(diǎn)的發(fā)車(chē)時(shí)刻。

④將各OD間的旅客平均劃分為3個(gè)旅客組，分別表示高、中、低收入旅客。

需要說(shuō)明的是，在第二步生成各OD間客流時(shí)，本文控制低谷期客流量小于列車(chē)能力，而令高峰期客流數(shù)量接近或超過(guò)列車(chē)能力。

此外，扁平化票價(jià)策略下的旅客組的最短路成本可通過(guò)標(biāo)號(hào)設(shè)定法獲得，在此不詳細(xì)列出。

(3)票價(jià)數(shù)據(jù)

各OD間的原始票價(jià)來(lái)自12306官方售票網(wǎng)站。2019 年12月開(kāi)始，我國(guó)對(duì)高鐵線路執(zhí)行票價(jià)進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整，將執(zhí)行票價(jià)設(shè)置為5～7 檔的浮動(dòng)體系，最大浮動(dòng)范圍是最低檔為最高檔的5.5 折，浮動(dòng)范圍大約在40%左右。同時(shí)，考慮到價(jià)格等級(jí)若設(shè)置過(guò)細(xì)過(guò)多，會(huì)導(dǎo)致問(wèn)題復(fù)雜度急劇增加。綜上，本文考慮票價(jià)等級(jí)N={1,2,3,4,5},即設(shè)定降低20%、10%、維持原價(jià)、增長(zhǎng)10%、20%共5種票價(jià)策略。

(4)其他數(shù)據(jù)

實(shí)施案例所需的其他參數(shù)設(shè)定情況見(jiàn)表3。具體地，由于旅客出行目的和自身習(xí)慣屬于較為隱私的信息且難以獲取，本文參考文獻(xiàn)[14]，設(shè)定所有旅客組的轉(zhuǎn)換系數(shù)α(g)為1，表明實(shí)際出發(fā)時(shí)刻與期望值的偏差可等價(jià)視為在途時(shí)間；設(shè)定旅客對(duì)成本偏離最短路的容忍上限ε(g)為60；參考文獻(xiàn)[15]，高、中、低收入旅客組所對(duì)應(yīng)的票價(jià)敏感系數(shù)βg分別為0.5、1和1.5；所有列車(chē)運(yùn)載能力相同，為1 000；算法最大迭代次數(shù)H為400。

表3 參數(shù)設(shè)定表

4.2 結(jié)果分析

(1)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

將上述參數(shù)帶入模型進(jìn)行求解，經(jīng)400次迭代，耗時(shí)2.0 h，求得的上界、下界分別為1 204.25、1 077.93萬(wàn)元，誤差率為10.49%，上、下界及誤差率隨迭代次數(shù)的變化曲線見(jiàn)圖5、圖6。算法的收斂效果良好，驗(yàn)證了算法的可行性。

圖5 上下界隨迭代次數(shù)變化曲線

圖6 誤差率隨迭代次數(shù)變化曲線

在客流低谷期發(fā)出列車(chē)的上座率見(jiàn)表4。由于列車(chē)能力不足和出行成本過(guò)高，部分旅客將流失，總的旅客流失數(shù)量為1 465人。

表4 低谷期列車(chē)的上座率

通過(guò)求解也能獲得每列車(chē)在各服務(wù)OD間的票價(jià)方案。本文通過(guò)列出各列車(chē)所采取的不同票價(jià)策略的次數(shù)來(lái)反映票價(jià)的變化情況，見(jiàn)表5。在獲得的可行解中，G103、G127、G129和G133等在大多在客流低谷期發(fā)出的列車(chē)在更多的OD間采取了折扣優(yōu)惠票價(jià)策略，以降低旅客出行費(fèi)用，從而吸引更多旅客乘坐高鐵。特別地，由于列車(chē)G9停站次數(shù)較少，旅行時(shí)間短，使得其無(wú)需采用降價(jià)措施。此外，由于長(zhǎng)距離OD的基礎(chǔ)票價(jià)較高，在采取漲價(jià)策略后，漲幅較大，因此部分高峰期列車(chē)在長(zhǎng)距離OD間也采取了降價(jià)措施，但均為折扣10%。

表5 各列車(chē)采取票價(jià)策略的次數(shù)

(2)兩種票價(jià)策略對(duì)比分析

本文將價(jià)格等級(jí)改為N={3}(即始終維持原價(jià))，保持其他參數(shù)不變，進(jìn)行第二組實(shí)驗(yàn)，以對(duì)比分析差異化票價(jià)策略與扁平化票價(jià)策略的差別。

在扁平化票價(jià)策略下，求得上界值為1 104.54萬(wàn)元，下界值為982.77萬(wàn)元，流失旅客數(shù)量為3 399人，見(jiàn)表6。由表6可見(jiàn)，與扁平化票價(jià)策略相比，差異化票價(jià)策略?xún)?yōu)勢(shì)明顯。在上界值提升的同時(shí)，所獲得的可行解(下界值)也更優(yōu)，總客票收入增加約95.16萬(wàn)元，提升9.68%。此外，流失旅客數(shù)量下降了1 934人，使得低谷期列車(chē)上座率得到提升，見(jiàn)圖7。這說(shuō)明合理制定列車(chē)票價(jià)可以吸引更多旅客乘坐高鐵，從而達(dá)到“削峰填谷”的效果。需要說(shuō)明的是，由于列車(chē)G127停站次數(shù)少，且G127、G129次列車(chē)發(fā)車(chē)間隔時(shí)間偏差小，導(dǎo)致在扁平化票價(jià)策略下G127吸引了部分G129的旅客。

表6 收入上、下界和流失旅客對(duì)比

圖7 低谷期列車(chē)上座率對(duì)比

4.3 靈敏度分析

(1)參數(shù)ε(g)

本文對(duì)參數(shù)ε(g)進(jìn)行靈敏度分析。具體地，保持其他參數(shù)與4.1節(jié)一致，在此基礎(chǔ)上，依次將ε(g)設(shè)定為20、40、80和100帶入模型進(jìn)行求解。實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表7。

表7 參數(shù)ε(g)靈敏度分析結(jié)果

由表7可見(jiàn)，隨著參數(shù)ε(g)的增長(zhǎng)，旅客可承受的最高出行成本在上升，一方面更多OD的票價(jià)可上浮范圍擴(kuò)大，另一方面使得更多的旅客可乘坐低谷期列車(chē)，從而帶來(lái)了旅客流失量的減少和總票價(jià)收入的提高。

(2)參數(shù)α(g)

本文分別設(shè)定參數(shù)α(g)為0.5和1.5，同時(shí)設(shè)定其他參數(shù)與4.1節(jié)一致(ε(g)=60)，進(jìn)行靈敏度分析，結(jié)果見(jiàn)表8。

表8 參數(shù)α(g)靈敏度分析結(jié)果

由表8可見(jiàn)，隨著參數(shù)α(g)值的增長(zhǎng)，旅客實(shí)際出發(fā)時(shí)間與期望值的偏差在總成本中的占比提高，從而導(dǎo)致在可承受最高出行成本一定的情況下，流失旅客數(shù)量變多，且總票價(jià)收入降低。

(3)票價(jià)策略

在此實(shí)驗(yàn)中，延續(xù)4.1節(jié)參數(shù)設(shè)定，但增加兩種價(jià)格策略(降價(jià)30%和漲價(jià)30%)，以測(cè)試模型算法的可行性和有效性，結(jié)果見(jiàn)表9。

表9 增加票價(jià)策略數(shù)量的求解結(jié)果

顯然，由于票價(jià)可浮動(dòng)范圍擴(kuò)大，高峰期列車(chē)可進(jìn)一步提升票價(jià)，而低谷期列車(chē)則可在部分OD間采用大幅降價(jià)模式來(lái)吸引旅客，最終使得總票價(jià)收入上升和流失旅客數(shù)量下降。此外，票價(jià)策略個(gè)數(shù)增加，使得價(jià)格-時(shí)空網(wǎng)絡(luò)中弧的數(shù)量增長(zhǎng)，導(dǎo)致求解時(shí)間變長(zhǎng)。

5 結(jié)論

(1)本文通過(guò)構(gòu)建價(jià)格-時(shí)空三維網(wǎng)絡(luò)，將高鐵票價(jià)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多維網(wǎng)絡(luò)中的客流分配問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，考慮旅客對(duì)價(jià)格敏感度的異質(zhì)性，提出刻畫(huà)旅客出行成本的效用表達(dá)式。最終，考慮列車(chē)能力限制、旅客有限理性選擇、價(jià)格策略唯一性等約束，構(gòu)建高鐵票價(jià)整數(shù)線性規(guī)劃模型，并提出基于拉格朗日松弛的求解算法。

(2)以京滬高鐵為對(duì)象進(jìn)行案例分析，驗(yàn)證了本文提出方法的可行性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，客流低谷期列車(chē)采用適當(dāng)?shù)钠眱r(jià)折扣優(yōu)惠策略能夠降低流失旅客的數(shù)量，提高列車(chē)上座率，同時(shí)與固定票價(jià)策略相比，能夠使總客票收入增加了9.68%。此外，對(duì)模型中的不同參數(shù)進(jìn)行了靈敏度分析，驗(yàn)證了方法的有效性和合理性。

(3)未來(lái)可考慮票價(jià)在售票期內(nèi)的動(dòng)態(tài)調(diào)整，并改善價(jià)格-時(shí)空網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建思路和方法，以開(kāi)展高鐵動(dòng)態(tài)定價(jià)研究，豐富和完善高鐵票價(jià)優(yōu)化理論與技術(shù)。