苗 蕾，王 煜

(1.北京交通大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院,北京 100044；2.中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 電子計算技術(shù)研究所，北京 100081)

2020年起，鐵路運(yùn)輸企業(yè)推出計次票、定期票等新產(chǎn)品，廣受市場歡迎，尤其是定期票產(chǎn)品。定期票產(chǎn)品以“公交化、便利化出行”為設(shè)計理念，主要針對通勤旅客和部分商務(wù)旅客，通過“量多價惠”的原則吸引目標(biāo)旅客，增加用戶黏性，提高市場占有率。定期票持有者可在規(guī)定時間內(nèi)乘坐規(guī)定次數(shù)，購買產(chǎn)品時指定發(fā)到站及席別的列車。旅客可按出行期限靈活選擇產(chǎn)品，如5、10、30日定期票等。定期票產(chǎn)品推出時間較短，無直接“量化的定價理論”可供參考，價格制定還處在探索研究階段，目前鐵路定期票產(chǎn)品定價主要依靠各級價格管理人員的經(jīng)驗，缺乏量化的理論模型來確定定期票產(chǎn)品的合理價格，難以最大化鐵路運(yùn)輸企業(yè)收益。

定期票在城市公共交通等領(lǐng)域已有應(yīng)用，如公交、城市軌道交通等，多以周末票、7日票、月票等形式推出。但鐵路定期票產(chǎn)品應(yīng)用場景與上述公共交通票務(wù)產(chǎn)品區(qū)別很大，能夠從中借鑒的極為有限，高速鐵路(以下簡稱“高鐵”)定期票產(chǎn)品定價是一項嶄新的命題。另一方面，既有關(guān)于定期票產(chǎn)品定價理論研究較少，尤其是帶有數(shù)據(jù)和模型支撐的量化理論研究幾乎為空白，難以借鑒既有研究成果。

定期票定價屬于鐵路客運(yùn)產(chǎn)品定價范疇，與鐵路主流定價理論具有共通性。文獻(xiàn)[1]研究交通運(yùn)輸產(chǎn)品即易逝品的定價問題。文獻(xiàn)[2]研究不確定需求下單一產(chǎn)品定價模型。文獻(xiàn)[3]構(gòu)建基于多列車多停站的票額和票價綜合優(yōu)化模型，根據(jù)模型特點設(shè)計混合啟發(fā)式算法，從而得到不同列車在不同區(qū)段的不同定價，解決差異化定價的問題。文獻(xiàn)[4-5] 研究我國鐵路實施客票折扣銷售的可行性及相關(guān)折扣制定依據(jù)。文獻(xiàn)[6]以時間敏感性、價格敏感性及出發(fā)時段偏好為基礎(chǔ)，對旅客進(jìn)行分類，再研究同一區(qū)段兩列平行列車的動態(tài)定價問題。文獻(xiàn)[7-8]首先模擬旅客需求函數(shù)，得到客運(yùn)產(chǎn)品需求與票價的數(shù)學(xué)關(guān)系，再逐步構(gòu)建高鐵動態(tài)票價優(yōu)化模型并求解。文獻(xiàn)[9]以京滬高鐵為例，考慮多種交通競爭方式，基于Logit模型構(gòu)建票價與收入的關(guān)系范式，得到收益優(yōu)化后的票價范圍。文獻(xiàn)[10]構(gòu)建不同時刻、不同運(yùn)輸方式的旅客出行廣義費(fèi)用函數(shù)，建立雙層規(guī)劃模型，優(yōu)化不同時段城際鐵路票價。文獻(xiàn)[11]依據(jù)最大凹向包絡(luò)理論，建立基于乘客出行選擇行為的動態(tài)定價策略模型。本文基于以上理論模型，研究單列車多停站定期票定價優(yōu)化模型。

1 參數(shù)定義與假設(shè)

為研究定期票定價問題，對部分內(nèi)容進(jìn)行簡化和假設(shè)：

①不考慮退票、改簽對定價過程的影響。

②定期票定價基準(zhǔn)對象是始發(fā)終到區(qū)間。

③每位旅客都是理性人，以自身利益最大化為出發(fā)點決策是否購買定期票，非始發(fā)終到旅客一般不會購買定期票，除非可以套利。購買定期票后旅客不會乘坐非始發(fā)終到的短區(qū)間。

④以二等座為研究對象。

主要變量及其含義見表1。

表1 主要變量及定義

2 模型構(gòu)建

2.1 旅客需求分析

旅客根據(jù)其乘車歷史判斷是否購買定期票，對于某列車始發(fā)終到區(qū)間來說,旅客決定購買定期票的原因：①自身歷史參考期(某個時間段)內(nèi)實際乘車花費(fèi)高于定期票價格，購買定期票產(chǎn)品劃算；②更加便捷(隨時預(yù)約席位，預(yù)約最多10個席位，不用每次提前購票，提高乘車效率)，部分旅客考慮定期票出行的便捷性，同時考慮到自身在歷史參考期的花費(fèi)僅略低于定期票價格，決定以提高少量花費(fèi)換取乘車便捷性從而購買定期票產(chǎn)品；③部分旅客雖然在歷史參考期實際花費(fèi)低于定期票價格，但定期票單次乘車價格下降會使這部分旅客預(yù)期增加乘車次數(shù)，從而購買定期票。對于情況②和③，旅客在歷史參考期的實際花費(fèi)比較接近定期票產(chǎn)品價格才有可能最終選擇購買定期票產(chǎn)品。本文引入預(yù)期系數(shù)概念β對情況②和③的旅客在歷史參考期的實際花費(fèi)接近定期票產(chǎn)品價格的程度進(jìn)行度量，再結(jié)合情況①得到定期票旅客判別條件Φ為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：μ1、σ1分別為該正態(tài)分布的均值、標(biāo)準(zhǔn)差。

(9)

(10)

(11)

式中：μ2、σ2分別為該正態(tài)分布的均值、標(biāo)準(zhǔn)值。

(12)

式(12)表示定期票旅客在購買定期票后相對于歷史參考期乘車次數(shù)會調(diào)高自己在時間段t內(nèi)的實際乘車次數(shù)。時間段t內(nèi)，如果(r,s)為非始發(fā)終到區(qū)間，則(r,s)只有非定期票旅客乘車需求，其客流需求假設(shè)服從獨(dú)立的正態(tài)分布，則其客流需求概率密度函數(shù)為

(13)

式中：μrs、σrs分別為該正態(tài)分布的期望和標(biāo)準(zhǔn)差。

區(qū)間(r,s)期望售出數(shù)量Qrs為

(14)

(15)

(16)

(17)

時間段t內(nèi)總定員Ct為

Ct=t·C

(18)

式中：C為列車定員。

同時以上分析需要滿足約束

(19)

(20)

(21)

qrs∈N 1≤r

(22)

式(18)～式(20)為列車能力約束，式(21)為定價約束，式(22)為整數(shù)約束。

2.2 定期票定價優(yōu)化模型

對于鐵路運(yùn)輸企業(yè)，在時間段t，始發(fā)終到區(qū)間定期票產(chǎn)品提供的收益R1為

(23)

(24)

非始發(fā)終到區(qū)間收益R2為

(25)

最終單列車多停站下的定期票定價優(yōu)化模型為

(26)

s.t. 式(18)～式(22)

3 模型求解

模型是帶約束條件的隨機(jī)非線性規(guī)劃模型，需要選擇啟發(fā)式算法求解。粒子群算法具有迭代過程簡單、易于理解、依賴參數(shù)少等優(yōu)勢，可兼顧求解復(fù)雜度和效率，采用粒子群算法對模型求解。

式(26)需要同時優(yōu)化定期票票價和票額兩個變量，為簡化后續(xù)求解，降低解向量的維度，先將所有非定期票旅客的收益計算公式合理轉(zhuǎn)化為等效模型[13]為

(27)

s.t. 式(20)、式(22)

q1L≥μ2

(28)

(28)

式中：gh為與A維度相同的向量，各分量服從(-d,d)上的均勻分布，d為整數(shù)。

(29)

(30)

(31)

(32)

h=1,2，…，Psize

(33)

圖1 求解過程

4 算例模擬

由于目前定期票推出的時間還太短，還多旅客還不了解定期票產(chǎn)品，真實銷售數(shù)據(jù)還不能反映真實的需求；同時為簡化問題復(fù)雜度，提高模型迭代效率，基于本文假設(shè)的統(tǒng)計學(xué)分布生成模擬數(shù)據(jù)對單列車多停站下的定期票定價優(yōu)化模型進(jìn)行算例分析。假設(shè)定期票設(shè)定乘車有效期為10 d，t=10。允許最大乘車次數(shù)為10次，m=10。定期票乘車區(qū)間為北京南至上海虹橋，涉及唯一列車為G22。G22定員1 103，C=1 103。經(jīng)停南京南站，共涉及3個區(qū)間：北京南至上海虹橋，北京南至南京南，南京南至上海虹橋。取J=2,北京南至上海虹橋區(qū)間旅客乘車次數(shù)分布見表2、表3。

表2 第1個標(biāo)本時間段旅客乘車次數(shù)分布

表3 第2個樣本時間段旅客乘車次數(shù)分布

北京南至南京南、南京南至上海虹橋發(fā)送量均值和標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)見表4。

表4 非始發(fā)終到區(qū)間客流量 人次

各區(qū)間票價見表5。

表5 各區(qū)間票價

根據(jù)鐵路客運(yùn)一線價格管理人員的專家經(jīng)驗估算預(yù)期系數(shù)β=1.5，激勵系數(shù)α=1.2。定期票價格上限為正常乘車總價格即6 310元，為了防止非始發(fā)終到區(qū)間旅客通過購買始發(fā)終到區(qū)間定期票套利，也為了打消購買定期票旅客乘坐非始發(fā)終到短區(qū)間的可能性，需要分析定期票最低限價，非始發(fā)終到區(qū)間中最高票價區(qū)間為北京南至上海虹橋，票價為504元，因而定期票下限(乘坐10次)為5 040元。

利用Python實現(xiàn)求解過程，設(shè)定粒子規(guī)模Psize=20，最大迭代次數(shù)為300次，收斂控制系數(shù)δ=1，φ1=0.5，φ2=0.5。以正常乘坐9次價格5 679元和定期票潛在旅客數(shù)量樣本均值82作為初始解輸入模型求解。迭代過程見圖2，可知在迭代到40次左右時達(dá)到收斂，最終定期票價格5 678元，取得總收入366.8萬元。各區(qū)間票額分配結(jié)果見表6。

圖2 算法迭代過程

表6 各區(qū)間票額分配結(jié)果

從表6可知，以10 d為定期票使用期限，需單日分配給北京南—上海虹橋定期票旅客席位126個。對于非定期票旅客，北京南—上海虹橋分配票額3 917張，北京南—南京南分配票額6 445張，南京南—上海虹橋分配票額6 445張。最終。以不推出定期票所有區(qū)間票額正常售出為對比方案，在t1和t2兩個樣本期平均收入為360萬元，可知本文推出的定期票產(chǎn)品5 678(10,10)可以幫助鐵路運(yùn)輸企業(yè)提高收入1.9%。

5 結(jié)論

本文以解決客運(yùn)價格管理實踐中的實際問題入手，提出一種針對定期票產(chǎn)品定價的優(yōu)化模型。首先假設(shè)旅客需求呈現(xiàn)正態(tài)分布，其次引入預(yù)期系數(shù)與激勵系數(shù)模擬旅客決策行為從而得到定期產(chǎn)品的潛在旅客需求函數(shù)，最后以收益最大化為目標(biāo)構(gòu)建基于單列車多停站的定期票定價優(yōu)化模型并求解。該模型將現(xiàn)有鐵路定價理論與實際應(yīng)用場景相結(jié)合，保證一定程度的落地應(yīng)用，為各級價格管理人員提供了一種定期票定價決策方法，彌補(bǔ)了目前定期票產(chǎn)品定價過程中過于依靠人工經(jīng)驗的瑕疵。算例模擬結(jié)果表明通過本文提出的定期票定價模型能夠提高總體收益1.9%，保證鐵路運(yùn)輸企業(yè)繼續(xù)擴(kuò)大推廣定期票產(chǎn)品的積極性，同時也為通勤旅客帶來更適合的運(yùn)輸產(chǎn)品，增強(qiáng)鐵路市場競爭力，實現(xiàn)鐵路運(yùn)輸企業(yè)與旅客的雙贏。

但是，本文是以單列車多停站下的應(yīng)用場景，與多列車多停站的實際應(yīng)用場景還有差距。同時，本文的假設(shè)也與實際條件有一定差距，尤其是旅客會在購買定期票后在短區(qū)間乘車這一現(xiàn)象會使得本文研究問題更加復(fù)雜，這些都是下一步需要深化研究的。