董桓宇 陳善學(xué) 陳雯雯

(重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院 重慶 400065) (重慶郵電大學(xué)移動(dòng)通信技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶 400065)

0 引 言

高光譜圖像解混是高光譜圖像處理的一個(gè)重要的方向，其對(duì)地物成分和光譜特性的體現(xiàn)，使其受到越來(lái)越多的關(guān)注?；旌舷裨纸鈺r(shí)，關(guān)于端元和豐度都是未知的，而非負(fù)矩陣分解受初始的端元和豐度影響比較大，因此初始化所用的端元提取算法和豐度估計(jì)算法也是十分重要的。常用的端元提取算法有最大體積法N-Finder[1]和頂點(diǎn)成分分析(Vertex Component Analysis,VCA)[2]等。豐度估計(jì)較常用的算法有全約束最小二乘法(Fully Constrained Least Squares,FCLS)[3-4]等。

非負(fù)矩陣分解(Nonnegative Matrix Factorization,NMF)由于其算法復(fù)雜度較低、簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)，又有模型簡(jiǎn)明、實(shí)際意義明確、易于改進(jìn)等優(yōu)點(diǎn)，受到了國(guó)內(nèi)外研究人員的追捧。非負(fù)矩陣分解算法由Lee等[5]提出，并給出了乘法迭代規(guī)則。Hoyer[6]提出了基于非負(fù)矩陣分解的稀疏編碼方式，并予以證明，并重點(diǎn)說(shuō)明了L1稀疏約束非負(fù)矩陣分解(L1-SNMF)的情況。并且以上的方法在近年依舊散發(fā)著活力。Feng等[7]也提出了將L1稀疏約束引入深度網(wǎng)絡(luò)的算法。He等[8]結(jié)合了總變差，為再權(quán)重稀疏非負(fù)矩陣分解算法添加了分段平滑性。陳善學(xué)等[9]提出了用正交非負(fù)矩陣分解結(jié)合L1/2稀疏約束非負(fù)矩陣分解(SONMF)的算法。江子特等[10]還針對(duì)基于Fan模型的Fan-NMF進(jìn)行了研究。除非負(fù)矩陣分解之外，高光譜圖像解混方法也是近年來(lái)的研究熱點(diǎn)，例如劉萬(wàn)軍等[11]還提出基于最大體積單體的端元子集優(yōu)選方法，既可以作為比較成熟的解混算法，也可以作為性能較優(yōu)的端元提取算法從而進(jìn)一步優(yōu)化解混算法。由此可見(jiàn)解混仍舊是近年來(lái)比較熱門(mén)的研究課題。

雖然文獻(xiàn)[9]所提出的方法極大彌補(bǔ)了傳統(tǒng)基于NMF線性解混方法對(duì)高光譜數(shù)據(jù)表達(dá)不足的問(wèn)題，取得了非常好的效果，具有算法簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)、解混效果好和分解效率高、物理意義明確等優(yōu)點(diǎn)，但仍存在一些不足。RONMF將在SONMF基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)和創(chuàng)新，在一些情景下使解混效果更優(yōu)。

1 線性混合模型與非負(fù)矩陣分解

1.1 線性混合模型

線性混合模型(Linear Mixing Model,LMM)是一種重要的混合模型，具有簡(jiǎn)單明了的數(shù)學(xué)特性和一定的物理意義，很多研究都建立在線性混合模型之上。在一般情況下，像元的反射率可以近似地看作端元的線性混合：

R=AS+n

(1)

式中：R為像元反射率；A為端元反射率矩陣；S為豐度矩陣，地物豐度滿足非負(fù)性與全加性；n為噪聲干擾。

1.2 非負(fù)矩陣分解

文獻(xiàn)[5]提出非負(fù)矩陣分解，并給出了乘法迭代規(guī)則。構(gòu)建基于歐氏距離的目標(biāo)函數(shù)：

(2)

A←A.*(RST)./(ASST)

(3)

式中：.*表示哈達(dá)瑪積。

S←S.*(ATR)./(ATAS)

(4)

2 算法設(shè)計(jì)

2.1 再權(quán)重稀疏非負(fù)矩陣分解

再權(quán)重稀疏非負(fù)矩陣分解算法(RSNMF)[12]是一種改進(jìn)的L1稀疏非負(fù)矩陣分解算法，在數(shù)理上，其具備L1和L0兩種范數(shù)稀疏非負(fù)矩陣分解算法的優(yōu)點(diǎn)。用非凸的對(duì)數(shù)和(log-sum)懲罰函數(shù)作為權(quán)重約束，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)：

(5)

式中：λ為調(diào)節(jié)參數(shù)；N為像元數(shù)；K為波段數(shù)；eps為誤差補(bǔ)償。對(duì)數(shù)和懲罰函數(shù)比L1范數(shù)有更多潛在的稀疏獎(jiǎng)勵(lì)。接下來(lái)就引出了再權(quán)重約束，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)：

(6)

式中：⊙表示矩陣的對(duì)應(yīng)位置元素的乘積；Y表示圖像數(shù)據(jù)矩陣；W為非負(fù)權(quán)重矩陣，作為由豐度矩陣計(jì)算得到的用于下一次迭代的通解。W元素表示為：

(7)

乘法更新規(guī)則為：

A←A.*(RST)./(ASST)

(8)

S←S.*(ATR)./(ATAS+λW)

(9)

關(guān)于論證RSNMF與L1-SNMF和L0-SNMF的稀疏性，在文獻(xiàn)[12]中舉了一個(gè)簡(jiǎn)單且有趣的例子，并被文獻(xiàn)[8]延用。

假設(shè)y=As0=[1,1,2]T并且有：

關(guān)于L0稀疏的解為s0=[0,1,0]T，關(guān)于L1稀疏的解為s0=[1/3,0,1/3]T。如果我們引入權(quán)重向量w=[3,1,3]T，則式(6)中加權(quán)重L1范數(shù)的解和L0范數(shù)的解是一樣的。

2.2 正交非負(fù)矩陣分解

最早提出正交約束的正交非負(fù)矩陣(ONMF)分解算法的是Choi[13]。在此之前Ding等[14-15]就已經(jīng)做了關(guān)于ONMF與K-means等價(jià)的研究和ONMF與kernel K-means之間的關(guān)系進(jìn)行了分析，為Choi提出正交約束的ONMF做了鋪墊，以下簡(jiǎn)稱(chēng)ONMF。文獻(xiàn)[9]使用Gram-Schmidt正交化方法。將ATA∝I作為約束條件構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)：

(10)

式中：α為正交回歸參數(shù)。乘法更新規(guī)則為：

A←A.*(RST+2αA)./(ASST+2αAATA)

(11)

S←S.*(ATR)./(ATAS)

(12)

2.3 再權(quán)重稀疏和正交非負(fù)矩陣分解

由于某些端元光譜曲線是相近的，比如tree和grass等，因此希望盡量保證端元獨(dú)立性。文獻(xiàn)[14-15]已經(jīng)證明了正交非負(fù)矩陣分解等價(jià)于K-means聚類(lèi)，可以很好地保證端元獨(dú)立性。由于豐度具有非負(fù)性和全加性，因此稀疏性約束非常適合用于豐度約束，但由于約束項(xiàng)的不同，使得稀疏約束解混效果不同，RONMF采用再權(quán)重稀疏非負(fù)矩陣分解的方法對(duì)豐度進(jìn)行稀疏性約束。RONMF構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)為：

(13)

則乘法迭代規(guī)則更新為：

A←A.*(RST+2αA)./(ASST+2αAATA)

(14)

S←S.*(ATR)./(ATAS+λ(1./(S+ε)))

(15)

式中：ε表示誤差補(bǔ)償。

在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步對(duì)L1/2范數(shù)和再權(quán)重L1范數(shù)的稀疏性進(jìn)行比較，圖1所示是L1/2范數(shù)和再權(quán)重L1范數(shù)懲罰函數(shù)隨豐度變化的懲罰量級(jí)變化。

圖1 稀疏性對(duì)比

算法1RONMF算法

輸入：高光譜圖像R，像素點(diǎn)數(shù)P，I行J列，波段數(shù)L。

步驟1使用N-Finder或Hysime初始化端元矩陣A，然后用Fcls初始化豐度矩陣S。

步驟2使用式(14)更新端元矩陣A。

步驟3使用式(15)更新豐度矩陣S。

步驟4一直重復(fù)步驟2、步驟3更新，直到達(dá)到最大迭代次數(shù)，或滿足迭代要求。

3 實(shí)驗(yàn)與仿真

數(shù)據(jù)采用美國(guó)地質(zhì)調(diào)查局的JasperRidge2場(chǎng)景，100×100像素的數(shù)據(jù)區(qū)域，移除波段為1～3、108～112、154～166、220～224，剩余198個(gè)波段。圖2為場(chǎng)景的一個(gè)波段。

圖2 場(chǎng)景第12個(gè)波段

RONMF參數(shù)：根據(jù)文獻(xiàn)[8-9,12]，α設(shè)置為0.2，λ設(shè)置為0.01，ε設(shè)置為0.01。使用光譜角距離(Special Angle Distance, SAD)、均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

表1和表2是再權(quán)重L1范數(shù)稀疏約束非負(fù)矩陣分解(RNMF)、總變差再權(quán)重L1范數(shù)稀疏約束非負(fù)矩陣分解(TVRNMF)、L1/2范數(shù)稀疏正交約束非負(fù)矩陣分解(SONMF)和再權(quán)重稀疏正交非負(fù)矩陣分解(RONMF)四種算法的解混端元對(duì)比。可以看出，本文算法總體而言性能最佳，與RNMF和TVRNMF相比較具有相對(duì)較大的優(yōu)勢(shì)，與SONMF相比較性能優(yōu)越性不是很明顯。在圖3真實(shí)端元與RONMF解混端元對(duì)比中也可以看出RONMF解混端元與真實(shí)端元基本重合。而土壤和路的端元波形更相近，SONMF和RONMF解混效果要更好一些，這是因?yàn)檎患s束部分對(duì)端元獨(dú)立性增強(qiáng)的作用。

表1 場(chǎng)景的4端元光譜角距離

表2 場(chǎng)景的4端元均方根誤差

(a) 樹(shù)的端元光譜對(duì)比(b) 水的端元光譜對(duì)比

(c) 土壤的端元光對(duì)比(d) 瀝青路的端元光譜對(duì)比圖3 端元對(duì)比

圖4是四種算法四個(gè)端元的豐度圖，第一行為RONMF算法，第二行為SONMF算法，第三行為T(mén)VRNMF算法，第四行為RNMF算法，第五行為真實(shí)地物的豐度。從豐度上直觀觀察四種算法都有不錯(cuò)的效果，但是RONMF對(duì)比度明顯一些，效果更佳。在土壤和路，TVRNMF和RNMF豐度相對(duì)模糊一些，RONMF和SONMF豐度清晰一些，解混效果更佳。

圖4 四種算法四端元豐度

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出一種結(jié)合再權(quán)重L1范數(shù)稀疏約束和正交約束非負(fù)矩陣分解的解混算法，利用正交約束增強(qiáng)端元獨(dú)立性，利用再權(quán)重L1范數(shù)稀疏約束增強(qiáng)豐度的稀疏性，針對(duì)線性非負(fù)矩陣的非凸性造成容易陷入局部最優(yōu)解的問(wèn)題進(jìn)行了改進(jìn)，并與SONMF進(jìn)行了對(duì)比分析。再權(quán)重L1范數(shù)稀疏約束與L1/2范數(shù)稀疏約束，都是增強(qiáng)的稀疏約束方法，構(gòu)成的懲罰函數(shù)凸性更強(qiáng)，兩種方法各有勝場(chǎng)。根據(jù)文獻(xiàn)[8]，L1/2范數(shù)稀疏約束作為L(zhǎng)q范數(shù)稀疏約束中的一員，q值仍舊是關(guān)鍵問(wèn)題，并且Lq范數(shù)稀疏約束更適合于低信噪比的模型，而再權(quán)重L1范數(shù)稀疏約束對(duì)這一問(wèn)題有針對(duì)改進(jìn)。并且稀疏性上再權(quán)重L1范數(shù)稀疏約束比L1/2范數(shù)稀疏約束更接近于L0范數(shù)稀疏約束，也更適用于地物豐度較高的情況。因此在JasperRidge2場(chǎng)景和類(lèi)似場(chǎng)景，RONMF比SONMF有更好的解混表現(xiàn)。