袁杜娟 ,陳曉陽* ,李清清 ,邱良偉 ,張 濤

(1.上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院,上海 200444;2.上海天安軸承有限公司,上海 201108)

角接觸球軸承作為高速旋轉(zhuǎn)動力裝備的核心支承部件，其工作性能直接影響機械設(shè)備的壽命及精度.目前國內(nèi)外對角接觸球軸承的研究日漸完善[1-3]，但仍是研究熱點.由于高速工況下保持架的不穩(wěn)定性會導(dǎo)致軸承的過早失效甚至設(shè)備無法正常運行，為了進一步提高軸承的工作性能，對保持架進行動力學(xué)建模與動態(tài)性能分析必不可少，進而為軸承的設(shè)計與應(yīng)用提供理論指導(dǎo).

目前理論研究主要集中在保持架的動力學(xué)模型、動態(tài)性能和失效形式等方面.Walters[4]首次分析了高速球軸承的動力學(xué)問題，計算出任意瞬時滾動體和保持架的位置和轉(zhuǎn)速，仿真分析了球軸承中球與保持架的動態(tài)性能.隨后幾年，Gupta等[5]建立了所有零件具有六自由度滾動軸承的完全動力學(xué)模型，并開發(fā)了動力學(xué)分析程序ADORE.Wensing[6]運用ANSYS對球軸承進行模態(tài)分析和瞬態(tài)分析.Weinzapfel等[7]和Ashtekar等[8]采用離散元法建立了深溝球和角接觸球軸承保持架的柔性模型，分析發(fā)現(xiàn)，柔性保持架可明顯減小球與保持架兜孔的作用力，并可減少軸承達到穩(wěn)態(tài)運轉(zhuǎn)的時間.崔立等[9]運用ANSYS/LS-DYNA建立保持架的有限元模型，從保持架應(yīng)力分布和動態(tài)響應(yīng)中分析得出影響保持架穩(wěn)定性和導(dǎo)致其故障的主要原因.姚廷強等[10]在ANSYS/LS-DYNA中建立了角接觸球軸承的柔性多體接觸動力學(xué)模型，進行接觸仿真來分析球軸承的運動狀態(tài)對保持架穩(wěn)定性的影響.鄧四二等[11]考慮保持架柔性變形影響獲得保持架的質(zhì)心軌跡.馮毅杰等[12]基于ABAQUS建立角接觸球軸承有限元模型，通過施加不同的轉(zhuǎn)速和載荷進行動力學(xué)仿真，從保持架質(zhì)心運動軌跡和質(zhì)心渦動速度偏差比兩方面對其動態(tài)特性進行分析.涂文兵等[13]建立了軸承塑性材料柔性接觸的非線性動態(tài)有限元模型，采用顯式動力學(xué)LS-DYNA對其在三種不同轉(zhuǎn)速波動形式下的非線性運行過程進行動態(tài)仿真，獲得了轉(zhuǎn)速波動工況下的保持架角速度曲線和打滑率曲線.咼如兵等[14]基于圓錐滾子軸承零件受力模型及潤滑理論建立適用于沖擊工況的軸承保持架動力學(xué)模型，考慮聯(lián)合載荷和沖擊載荷的作用，基于ANSYS/LS-DYNA分析了兜孔間隙和引導(dǎo)間隙對保持架動態(tài)特性的影響.相較于ADORE等仿真程序，不能考慮零件的柔性且無法分析應(yīng)力的限制，借助有限元方法可以將保持架柔性化，從而對保持架應(yīng)力進行精確分析.

試驗研究方面，Kingsbury[15]最早通過試驗研究發(fā)現(xiàn)球與保持架的摩擦引起保持架的渦動，保持架的不穩(wěn)定渦動導(dǎo)致嘯叫.立石佳男等[16]根據(jù)試驗研究保持架質(zhì)心軌跡形狀，將保持架的運動區(qū)分為兩種：低速高載時大體上停留在軸承內(nèi)固定處，高速輕載時沿著外圈引導(dǎo)面做圓形運動，但結(jié)果中沒有考慮重力因素的影響.國內(nèi)黃迪山[17]、Wen等[18]和Han等[19]分別研制了適用不同軸承尺寸和工況的保持架動態(tài)性能試驗機，研究了載荷、轉(zhuǎn)速及保持架偏心質(zhì)量對質(zhì)心運動的影響.以上關(guān)于保持架動態(tài)特性試驗的研究均需要對被試軸承做特殊加工處理，降低了試驗結(jié)果的準確性.

以上文獻中的研究成果對軸承的安裝、適用工況和保持架的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計等提供了一定的參考.然而，目前的研究主要集中在使用工況、幾何結(jié)構(gòu)和材料等方面，很少考慮軸承安裝方向?qū)Ρ３旨軇恿W(xué)性能的影響.在有限元仿真方面，現(xiàn)階段通用的有限元軟件中軸承的三維模型建立、網(wǎng)格劃分以及邊界條件、載荷、接觸對和分析參數(shù)設(shè)置等前處理占用了分析的絕大部分時間，且所得的結(jié)果缺乏驗證，因此需要更全面的研究來分析保持架的動態(tài)特性.

本文中基于保持架動力學(xué)研究現(xiàn)狀，運用課題組已有的深溝球軸承靜力學(xué)有限元前處理系統(tǒng)[20]，實現(xiàn)角接觸球軸承有限元模型的參數(shù)化建模，將保持架柔性化，并結(jié)合試驗驗證仿真結(jié)果的可靠性，進而研究軸承的水平以及豎直安裝方式對保持架動態(tài)特性的影響，其結(jié)果可為滾動軸承的理論研究以及實際應(yīng)用中的軸承安裝提供參考.

1 有限元模型的建立與求解

1.1 角接觸球軸承有限元仿真前處理

針對滾動軸承的運動特點，在建立完整的軸承仿真分析模型中做出如下的假設(shè)條件：

(1) 不考慮倒角、圓角及對接觸分析沒有影響的其他微小幾何結(jié)構(gòu)；

(2) 角接觸球軸承的仿真模擬過程中忽略游隙和油膜的影響；

(3) 考慮軸承的塑性變形較小，不考慮材料非線性特性，假設(shè)軸承的元件(內(nèi)圈、外圈和滾動體)采用線彈性材料，保持架可采用線彈性或者剛性材料.

運用有限元軟件MSC Patran的命令語言PCL，對仿真前處理程序進行二次開發(fā)，利用模塊化設(shè)計思想，將整個角接觸球軸承動力學(xué)有限元前處理系統(tǒng)劃分為4個模塊，如圖1所示.選擇相應(yīng)的模塊進入對話框，只需要輸入軸承的幾何參數(shù)、材料參數(shù)和載荷參數(shù)，程序就會自動控制生成角接觸球軸承的內(nèi)外圈、球和保持架的三維實體模型以及有限元網(wǎng)格模型，并由程序驅(qū)動自動完成材料屬性的設(shè)置以及轉(zhuǎn)速和載荷等邊界條件的施加.

在軸承的動力學(xué)特性有限元分析中，關(guān)鍵是網(wǎng)格劃分以及接觸設(shè)置.為了兼顧計算精度和速度，采用了六面體網(wǎng)格劃分及等距或者以長度等比遞增方式進行布網(wǎng)格劃分種子[21]，接觸區(qū)域網(wǎng)格劃分細致，非接觸區(qū)域劃分較粗.接觸設(shè)置為自動面-面接觸，通過設(shè)置判斷循環(huán)語句來完成接觸設(shè)置.設(shè)置有3n+1 (n為滾動體個數(shù))對接觸對，分別為滾動體與內(nèi)圈、外圈和保持架兜孔的接觸以及保持架與引導(dǎo)套圈的接觸.表1列出了摩擦系數(shù)值，fs為靜摩擦系數(shù)，fd為動摩擦系數(shù).摩擦系數(shù)的設(shè)置雖會影響質(zhì)心軌跡的形狀以及等效應(yīng)力的大小，但不會改變安裝方式對保持架質(zhì)心軌跡影響的規(guī)律趨勢，同時也不會改變最大等效應(yīng)力發(fā)生的位置.本文中仿真過程忽略游隙和油膜的影響，考慮到保持架與球及套圈擋邊之間的相對滑動速度較大，因此動摩擦系數(shù)均設(shè)為恒定值0.05[2]，本文中所做分析以此為參考，也可根據(jù)具體工況作相應(yīng)的設(shè)置.

Fig.1 Pre-processing system for simulation analysis圖1 仿真分析前處理系統(tǒng)

表1 摩擦系數(shù)設(shè)置Table 1 Setting of friction coefficient

為便于后續(xù)分析，將軸承的安裝方向分為水平安裝和豎直安裝，建模后可獲得圖2所示的兩種安裝方向的角接觸球軸承的有限元模型，其中g(shù)代表重力方向.

1.2 前處理結(jié)果文件計算及后處理分析

經(jīng)過集成自動化的前處理操作后生成求解需要的key文件，前處理模型的信息包括節(jié)點信息、單元信息、接觸設(shè)置和載荷等.在求解提交key文件前對此文件進行關(guān)鍵字修改，例如仿真的時間、步數(shù)、軸承的工況(軸承的轉(zhuǎn)速、載荷及摩擦系數(shù)等)及重力加速度方向等的設(shè)置.

有限元動力學(xué)分析一般采用顯式算法，本文中采用Ls-Dyna求解器進行求解，主要運用中心差分法，避開了對線性方程組的迭代求解，很大程度上節(jié)約了計算的求解時間.在顯式動力學(xué)有限元分析中，系統(tǒng)的求解方程式為

在中心差分法中，加速度和速度可以用位移表示為

其中：Δt為時間步長，由此可得個離散時間點的位移遞推公式為

由于模型網(wǎng)格數(shù)量較多且為動力學(xué)，計算量大，因此借助上海大學(xué)集群式高性能計算機“自強4 000”進行求解.計算完成后運用后處理分析軟件Ls-prepost提取結(jié)果，可以清晰直觀地得到整個仿真時間內(nèi)軸承各零件的動態(tài)過程.

2 模型的驗證

2.1 試驗驗證

作者所在課題組使用的配對軸承差動保持架動態(tài)特性試驗裝置在不需要改變試驗軸承結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，能精確測量保持架在不同旋轉(zhuǎn)工況下的運動情況[22].試驗裝置實物和結(jié)構(gòu)圖如圖3和圖4所示.在被試軸承外圈固定的工況下，電主軸驅(qū)動內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)，由高速攝像機清晰地記錄保持架的運動情況，通過圖像處理得到軸承保持架在徑向平面內(nèi)的位移量，從而繪制出保持架的質(zhì)心軌跡.

Fig.2 Finite element models of angular contact ball bearings in different installation directions圖2 不同安裝方向時角接觸球軸承的有限元模型

Fig.3 Photograph of test device圖3 試驗裝置實物圖

Fig.4 Structure diagram of test device圖4 試驗裝置結(jié)構(gòu)圖

為了精準定量分析保持架質(zhì)心軌跡運動圖像，需要對拍攝照片進行圖像處理，首先采用邊緣檢測(Canny算子[23])對圖像進行邊界提取，再進行Hough變換[24]取圓，對提取出的相應(yīng)圓的點采用最小二乘法對其進行擬合，最后根據(jù)擬合的邊界圓得到保持架的質(zhì)心位置.保持架質(zhì)心提取的圖像處理過程如圖5所示，保持架上白點標(biāo)記可用于在控制轉(zhuǎn)速時辨別保持架是否發(fā)生公轉(zhuǎn).

采用7003C角接觸球軸承作為試驗與仿真分析對象，其幾何參數(shù)和材料參數(shù)列于表2和表3中.ni表示軸承的內(nèi)圈轉(zhuǎn)速，設(shè)置軸承的工作條件為內(nèi)圈轉(zhuǎn)速3 000 r/min，輕預(yù)緊工況下軸向載荷25 N.將本文中有限元仿真結(jié)果與試驗得到的質(zhì)心軌跡進行對比，保證試驗工況的一致性，得到穩(wěn)定狀態(tài)時的保持架質(zhì)心軌跡如圖6所示，Y和Z分別表示保持架在徑向平面內(nèi)的位移.

表2 7003C角接觸球軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Structural parameters of angular contact ball bearing 7003C

表3 7003C角接觸球軸承材料參數(shù)Table 3 Material parameters of angular contact ball bearing 7003C

從圖6所示的保持架的質(zhì)心軌跡可以看出，本文中有限元仿真結(jié)果與試驗中所得到的保持架的質(zhì)心軌跡形狀接近，質(zhì)心軌跡半徑較為一致，從而證明了利用本文中的有限元方法進行軸承動態(tài)性能仿真結(jié)果的可靠性.

2.2 文獻驗證

有限元仿真分析7220C角接觸球軸承水平安裝時保持架的質(zhì)心運動軌跡，為進一步保證仿真分析結(jié)果的可靠性，與文獻[25]的結(jié)果以及軸承動力學(xué)商業(yè)分析軟件ADORE的結(jié)果進行對比.軸承的工作條件如下：外圈固定內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)，內(nèi)圈轉(zhuǎn)速1 000 r/min，純軸向載荷為100 N.由于程序運算較為費時，本文中僅仿真軸承運行0.7 s，而文獻中試驗時間為16.75 s，為便于對比，提取文獻中2.28～3.04 s的試驗數(shù)據(jù)，得到圖7(b)的結(jié)果，可以看出，文獻結(jié)果、ADORE數(shù)值仿真結(jié)果以及本文中有限元結(jié)果呈現(xiàn)的保持架的質(zhì)心軌跡基本吻合，其質(zhì)心軌跡近似呈圓形，且相較于ADORE的結(jié)果，利用本文中有限元方法得到的質(zhì)心軌跡與文獻結(jié)果更為接近，充分驗證了本文中有限元仿真計算結(jié)果的正確性.

3 結(jié)果與討論

同樣以7003C角接觸球軸承為研究對象，仿真分析了水平安裝方向以及豎直安裝方向?qū)Ρ３旨軇討B(tài)特性的影響.輕預(yù)緊工況下軸承承受純軸向預(yù)載荷為25 N，保持架有限元模型共有9 216個單元，13 620個節(jié)點，軸承有限元模型有217 420個單元，238 296個節(jié)點，仿真時間為0.3 s.

3.1 安裝方向?qū)Ρ３旨苜|(zhì)心軌跡的影響

軸承外圈固定，內(nèi)圈轉(zhuǎn)速分別為3 000、6 000和9 000 r/min，當(dāng)軸承水平和豎直安裝時，保持架的質(zhì)心軌跡分別如圖8(a)和圖8(b)所示.

Fig.5 Image processing for extraction of cage centroid圖5 保持架質(zhì)心提取的圖像處理過程

從圖8可以看出，轉(zhuǎn)速低于6 000 r/min，當(dāng)軸承水平安裝時，保持架的質(zhì)心軌跡近似圓形；當(dāng)軸承豎直安裝時，保持架質(zhì)心軌跡在偏離軸承中心的下方某點附近晃動.轉(zhuǎn)速大于6 000 r/min，軸承水平和豎直安裝時，保持架穩(wěn)定之后均可以形成近似圓形的質(zhì)心軌跡.

在低速工況下，軸承豎直安裝時，保持架的重力方向與保持架離心力均在軸承徑向平面內(nèi)，保持架的離心力不足以克服重力作用，易在軸承下方某點形成無規(guī)則運動；軸承水平安裝時，保持架的重力方向與軸承軸向重合，保持架的重力均勻分配在滾動體上，滾動體的公轉(zhuǎn)速度恒定，保持架與滾動體及套圈的接觸碰撞和摩擦作用易使保持架形成圓形的渦動軌跡.

Fig.6 Cage centroid orbit for ni=3 000 r/min圖6 ni=3 000 r/min時保持架質(zhì)心軌跡

Fig.7 Comparison of cage centroid orbit in three methods圖7 三種方法的保持架質(zhì)心軌跡比較

Fig.8 Comparison on the cage centroid trajectory under different rotation speeds and installation directions圖8 不同轉(zhuǎn)速及安裝方向工況下保持架質(zhì)心軌跡比較

Fig.9 Axial displacement of the cage versus time圖9 保持架軸向位移隨時間變化曲線

圖9所示為不同轉(zhuǎn)速兩種安裝方式時保持架的軸向位移，對其求標(biāo)準差后得到的結(jié)果列于表4中.內(nèi)圈轉(zhuǎn)速分別為3 000、6 000和9 000 r/min，水平安裝時軸向位移的標(biāo)準差分別為0.075、0.076和0.088，豎直安裝時軸向位移標(biāo)準差分別為0.045、0.051和0.07.可以看出，軸承水平安裝相較于豎直安裝，軸向位移的波動幅度較大，此時保持架的重力方向沿軸向，球與保持架的碰撞作用使保持架在軸向的合力增加，軸向的振動增加.隨著轉(zhuǎn)速增加，兩種安裝方向下的軸向位移波動幅度均增加，但兩種安裝方式的波動性差值有所減小，說明低速時安裝方式對保持架的運動影響更大.

表4 保持架軸向位移的波動性比較Table 4 Comparison of volatility of axial displacement of cage

Fig.10 Maximum von mises stress vs time and stress distribution of the cage for bearing with horizontal installation when ni=3 000 r/min圖10 ni=3 000 r/min時軸承水平安裝時保持架最大等效應(yīng)力-時間曲線及應(yīng)力云圖

Fig.11 Maximum von mises stress vs time and stress distribution of the cage for bearing with vertical installation when ni=3 000 r/min圖11 ni=3 000 r/min時軸承豎直安裝時保持架最大等效應(yīng)力-時間曲線及應(yīng)力云圖

3.2 最大等效應(yīng)力分析

對保持架上最大等效應(yīng)力隨時間變化仿真分析，得出圖10和圖11所示的結(jié)果，內(nèi)圈轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，軸承水平安裝時，最大等效應(yīng)力平均值為26.03 MPa，0.057 s時在保持架兜孔的側(cè)梁位置(對應(yīng)單元為65961)出現(xiàn)最大應(yīng)力值60.04 MPa；豎直安裝時最大等效應(yīng)力平均值為34.62 MPa，0.036 s時保持架兜孔過梁位置(對應(yīng)單元為65576)出現(xiàn)最大值80.73 MPa.

從表5可以看出，隨著轉(zhuǎn)速的增大，保持架上的應(yīng)力增大，同一轉(zhuǎn)速下豎直安裝時保持架上的最大應(yīng)力值較大.低速工況下，豎直安裝時，保持架最大應(yīng)力發(fā)生在過梁位置，水平安裝時最大應(yīng)力發(fā)生在側(cè)梁位置；高速工況下，兩種安裝方向的最大應(yīng)力均發(fā)生在過梁.在重力作用下，豎直安裝時，滾動體分布不均，公轉(zhuǎn)速度不恒定，與保持架兜孔的瞬時碰撞作用增大，且在過梁位置發(fā)生碰撞時的法向速度分量較大，從而產(chǎn)生較大應(yīng)力；而水平安裝時，滾動體與保持架兜孔在側(cè)梁位置發(fā)生碰撞時的法向速度較小，因此接觸應(yīng)力小于豎直安裝的應(yīng)力值.

表5 不同轉(zhuǎn)速下保持架上最大等效應(yīng)力比較Table 5 Comparison of the maximum equivalent stress on the cage at different speeds

4 結(jié)論

本文中利用有限元軟件MSC Patran的二次開發(fā)模塊實現(xiàn)了角接觸球軸承的參數(shù)化建模與動力學(xué)仿真，通過與試驗結(jié)果對比，驗證了本文中所建立的有限元參數(shù)化模型的有效性.基于該模型，分析了角接觸球軸承水平與豎直安裝方向?qū)Ρ３旨芊€(wěn)定性以及應(yīng)力的影響，得到如下結(jié)論：

a.軸承豎直安裝時，在較低轉(zhuǎn)速下由于重力作用，保持架質(zhì)心在偏離軸承中心一側(cè)無規(guī)則擺動，轉(zhuǎn)速較高時保持架易形成近似圓形的質(zhì)心軌跡.軸承水平安裝時重力方向與球?qū)Ρ３旨茏饔昧Φ妮S向分量方向一致，在離心力作用下，不同轉(zhuǎn)速下的保持架質(zhì)心運動軌跡近似圓形.

b.軸承在不同轉(zhuǎn)速下運轉(zhuǎn)，隨著滾動體與保持架碰撞點位置的變化，進而影響保持架上的最大應(yīng)力值及最大應(yīng)力位置的變化.同一工況下豎直安裝時保持架上的最大應(yīng)力值較大；低速工況下，豎直安裝時保持架最大應(yīng)力發(fā)生在過梁位置，水平安裝時最大應(yīng)力發(fā)生在側(cè)梁位置；高速工況下，兩種安裝方向的最大應(yīng)力均發(fā)生在過梁位置.