李傳旭, 孟秀云,*, 王 捷

(1. 北京理工大學宇航學院, 北京 100081; 2. 北京電子工程總體研究所, 北京 100854)

0 引 言

隨著飛行器作戰(zhàn)任務的日益多樣化和復雜化,為提升飛行器的飛行性能,往往需要飛行器按照預設的優(yōu)化軌跡進行飛行,比如固定翼飛行器的棲落機動[1-3]、高超聲速飛行器的再入軌跡跟蹤[4-5]等。然而飛行器在飛行過程中會受到多種擾動因素的影響,導致實際的飛行軌跡偏離參考軌跡,因此需要設計軌跡跟蹤控制器確保飛行器在擾動作用下仍能精確跟蹤參考軌跡。一般情況下,參考軌跡是隨時間變化的位置信息,軌跡跟蹤控制的目的是使飛行器能夠在相應時間精確運動到對應位置上[6]。

現有的飛行器軌跡跟蹤控制方法從設計思路上可大體分為兩類。第一類方法是通過在參考軌跡上設置移動的虛擬目標點,將軌跡跟蹤問題轉換為制導問題,通過設計制導律控制飛行器追蹤目標點,間接實現對參考軌跡的跟蹤。文獻[7-8]使用速度追蹤法跟蹤虛擬目標點,并設計了無人機的多回路控制結構。文獻[9]在視線角法的基礎上引入了一種修正的非線性擾動觀測器(modified nonlinear disturbance observer,MNDO),提升了無人飛艇跟蹤軌跡時的抗干擾能力。文獻[10]使用彈道成型的方法,采用帶有攻擊角約束彈道成型制導律進行跟蹤,降低了跟蹤過程的需用過載。文獻[11-12]提出了一種非線性制導律,具有較好的曲線跟蹤能力,文獻[3]將該方法應用于飛行器棲落軌跡的跟蹤。文獻[13]提出了一種基于虛擬力的制導律,使無人機在跟蹤軌跡的同時進行障礙規(guī)避。文獻[14]設計了一種基于終端滑模和動態(tài)面控制的軌跡跟蹤制導律,具有較好的魯棒性。這一類方法能夠較好地控制飛行器沿著參考軌跡對應的曲線飛行,但受虛擬目標點選取方式的影響,難以充分利用參考軌跡中的時間信息,較難保證飛行器在相應時間到達對應位置。第二類方法是基于飛行器當前時刻的位置誤差設計控制律直接進行軌跡跟蹤控制,由于實時的位置誤差包含了時間信息,這類方法可以實現位置和時間的精確跟蹤。目前已有不少學者基于多種控制理論設計了軌跡跟蹤控制器,如比例積分微分控制[2,15]、線性二次型調節(jié)控制[5,16]、模型預測控制[17-21]、變結構控制[4,22-25]等。文獻[19]基于多級模型預測控制方法實現了旋翼無人機的軌跡跟蹤。文獻[21]使用無偏模型預測技術,提升了涵道風扇無人機軌跡跟蹤控制的魯棒性?；Ｗ兘Y構控制(sliding mode control,SMC)在系統模型存在不確定性和外界擾動等因素具有較好的魯棒性,且對非線性系統有較好的控制效果,因此被廣泛應用于軌跡跟蹤控制。文獻[4]設計了自適應滑模控制器用于高超聲速飛行器的縱向軌跡跟蹤。文獻[22]使用模糊邏輯系統近似的滑模控制方法實現了平流層衛(wèi)星的軌跡跟蹤。文獻[24]基于自適應終端滑?？刂评碚撛O計了水下航行器的深度跟蹤控制器。文獻[25]運用自適應反步滑模方法設計了欠驅動飛艇的軌跡跟蹤控制器,具有良好的抗干擾能力。

現有的飛行器軌跡跟蹤控制方法主要研究的是二維平面內軌跡跟蹤問題,而對三維軌跡跟蹤問題的研究相對較少。三維軌跡跟蹤控制器的設計需要考慮飛行器產生機動力方式,固定翼飛行器主要采用傾斜轉彎(bank-to-turn,BTT)的控制方式,通過滾轉運動改變升力面的方向從而產生側向過載,實現轉彎機動。對于滑?？刂品椒?終端滑模(terminal sliding mode, TSM)相較傳統線性滑模面具有有限時間收斂的優(yōu)點,非奇異TSM(nonsingular TSM, NTSM)控制解決了TSM存在的控制指令奇異問題。為進一步解決NTSM在系統遠離平衡點時收斂較慢的問題,文獻[26-27]提出了非奇異快速終端滑?？刂?nonsingular fast TSM, NFTSM)方法,對于提升軌跡跟蹤控制器性能具有較大應用價值。

本文針對多種擾動作用下的固定翼飛行器三維軌跡跟蹤問題,首先建立BTT控制方式下的飛行器三維軌跡跟蹤誤差模型,為增強軌跡跟蹤控制器的抗干擾能力,在非線性擾動觀測器的基礎上引入狀態(tài)估計誤差反饋,提升對時變擾動的估計能力。為進一步提升軌跡跟蹤控制器的快速性,基于NFTSM方法,采用雙冪次趨近律設計三維軌跡跟蹤控制器。最后,結合實際工程應用對本文設計的軌跡跟蹤控制器進行仿真分析。

1 問題描述與模型建立

對于BTT控制方式的飛行器,在理想情況下其側滑角為零,滾轉角近似等于速度傾斜角,并考慮到在常規(guī)飛行條件下發(fā)動機推力主要影響飛行速度的大小,對速度方向的影響較小,因此在建模時將推力的影響作近似處理,將建模誤差視為擾動項。基于上述條件,得到BTT飛行器三維質心運動方程組為

(1)

(2)

式中:CD為阻力系數;Sref為參考面積;ρ為大氣密度。

已知參考軌跡xd(t)、yd(t)、zd(t)為隨時間變化的三維空間位置,軌跡跟蹤的目標是控制飛行器的質心在相應時間精確運動到對應的位置。下面建立BTT飛行器三維軌跡跟蹤誤差模型。定義當前時刻飛行器x、y、z3個方向的軌跡跟蹤誤差分別為

(3)

為表明控制輸入與軌跡跟蹤誤差的關系,對其沿時間求二階導數,將式(1)代入,得到軌跡跟蹤誤差模型為

(4)

式中:L為旋轉矩陣,其表達式為

(5)

2 擾動觀測器設計

2.1 非線性擾動觀測器

對于一般一階非線性系統：

(6)

式中:x為系統的狀態(tài)變量;f(x)和g(x)為已知非線性函數;u為控制量;d為未知擾動項。NDO的一般形式如下[28]:

(7)

(8)

(9)

2.2 基于狀態(tài)估計誤差反饋的擾動觀測器設計

為提高NDO對時變擾動的估計能力,在NDO的基礎上引入狀態(tài)估計誤差反饋,設計改進的NDO(improved NDO, INDO)。

(10)

(11)

(12)

(13)

為保證擾動觀測器穩(wěn)定,系統的特征根應具有負實部,所以擾動觀測器的設計參數應滿足l>0且k>0。相較于傳統NDO,INDO可以無靜差地跟蹤斜坡輸入,具有更好的估計時變擾動的能力。

3 三維軌跡跟蹤控制器設計

3.1 基于雙冪次趨近律的NFTSM控制方法

考慮如下含未知擾動的二階非線性單輸入單輸出(single input single output,SISO)系統:

(14)

式中:x=[x1,x2]T為系統狀態(tài)量;u為控制輸入;d為未知擾動;y為系統輸出;f(x,t)和g(x,t)為已知函數。

為使系統狀態(tài)在有限時間收斂,并在避免控制量奇異的同時提升系統遠離平衡點時的收斂速度,選取NFTSM滑模面[27]為

(15)

式中：設計參數m,n,p,q均為正奇數,并且滿足1

p/q;α,β∈R+。對于被控對象(14),當系統處于滑動模態(tài)時,系統狀態(tài)能夠在有限時間收斂。

為保證系統能夠在有限時間到達滑動平面,并進一步提升收斂速度,同時避免系統抖振,采用雙冪次趨近律[29]。由于選取的是NFTSM滑模面,為避免控制律中出現負指數項導致控制律奇異,對雙冪次趨近律進行調整,得到如下趨近律:

(16)

其中,設計參數k1>0,k2>0,γ1>1,0<γ2<1。

對滑模函數s求導可得

(17)

(18)

控制律中的k1|s|γ1sgns項和k2|s|γ2sgns項均為連續(xù)函數,因此能夠避免由非連續(xù)切換項導致的抖振問題。

3.2 穩(wěn)定性分析

(19)

式中:V(x0)為V(x)的初值。

(20)

證明構造Lyapunov函數

V=0.5s2

對其沿時間求導可得

(21)

將控制律(18)代入式(21),可得

(22)

(23)

(24)

經變形可得

(25)

(26)

已知0<γ2<1,則0.5<(γ2+1)/2<1,根據引理1可知,系統能在有限時間內收斂到區(qū)域

(27)

證畢

3.3 INDO-NFTSM三維軌跡跟蹤控制器設計

飛行器在三維空間中的質心運動本質上為質點的三維運動問題。對于三維空間中的質點,若其控制輸入為慣性坐標系三軸的加速度,則它在慣性坐標系中3個方向的運動是相互獨立的。

由于飛行器的軌跡跟蹤誤差是在慣性坐標系中描述的,為了將軌跡跟蹤控制器從x、y、z3個方向分開進行設計,給出慣性坐標系三軸加速度與BTT控制方式下飛行器的控制量推力P、法向加速度ay、滾轉角γ的轉換關系。定義3個中間控制量ux、uy、uz,并定義dx、dy、dz3個中間擾動項,表達式為

(28)

中間控制量ux、uy、uz的實際物理含義為飛行器加速度在慣性坐標系3個方向的分量。由此可將式(4)改寫為

(29)

若將中間控制量視為控制輸入,將跟蹤誤差視為輸出,則可將三維軌跡跟蹤誤差模型按x、y、z方向分解為3個相互獨立的如式(14)的二階SISO子系統。

根據式(15),對于分解后的3個子系統分別選取NFTSM滑模面,各方向的參數用下標x、y、z加以區(qū)分,滑模面形式為

(30)

(31)

最后根據式(28)對中間控制量進行變換,得到BTT飛行器三維軌跡跟蹤控制律為

(32)

其中,T1、T2、T3為中間量,表達式為

(33)

4 仿真結果與分析

本文采用的固定翼飛行器基本參數為:M=300 kg,Sref=0.06 m2,CD=0.5。考慮實際飛行條件限制,采用BTT-45控制方式,限制滾轉角指令γcmd范圍在±45°范圍內,限制可用推力范圍為300～1 500 N;可用法向加速度范圍為±40 m/s2。考慮到飛行器姿態(tài)回路和發(fā)動機的工作特性,仿真時將飛行器對推力指令、法向加速度指令和滾轉角指令的響應過程等效為二階振蕩環(huán)節(jié):推力控制回路的自然頻率為15 rad/s,阻尼比為0.9;法向過載控制回路的自然頻率為25 rad/s,阻尼比為0.8;滾轉角控制回路的自然頻率為30 rad/s,阻尼比為0.8。

在INDO-NFTSM三維軌跡跟蹤控制器中:滑模面參數選取為:αx=6,βx=0.8,αy=5,βy=1,αz=6,βz=0.8,mx=my=mz=7,nx=ny=nz=3,px=py=pz=5,qx=qy=qz=3;趨近律參數選取為:k1x=0.1,k2x=0.8,k1y=0.2,k2y=1.2,k1z=0.1,k2z=0.8,γ1x=γ1y=γ1z=1.5,γ2x=γ2y=γ2z=0.5。

選取文獻[28]提出的NDO與文獻[9]提出的MNDO進行對比仿真分析。為確保3種擾動觀測器具有相近的響應速度,選取NDO的參數為lNDO=17.5,MNDO的參數為lMNDO=12.5,kMNDO=19.5,INDO的參數為lINDO=32,kINDO=400。

4.1 勻速直線軌跡跟蹤

參考勻速直線軌跡保持1 000 m的飛行高度,飛行速度大小為200 m/s,速度方向朝x正方向。

仿真結果如圖1和圖2所示。

圖1 勻速直線軌跡跟蹤誤差曲線Fig.1 Tracking error curve of uniform linear trajectory

圖2 勻速直線軌跡跟蹤控制量變化曲線Fig.2 Control input curve of uniform linear trajectory

從圖1中可以看出,在多種擾動的綜合作用下,INDO-NFTSM三維軌跡跟蹤控制器能較好地控制飛行器跟蹤勻速直線參考軌跡,x、y、z3個方向的跟蹤誤差均能夠快速收斂至0附近,且超調量較小,x方向最大跟蹤誤差為0.006 m,y、z方向最大跟蹤誤差為0.02 m,系統具有較高的跟蹤精度和良好的魯棒性。采用MNDO的跟蹤精度略微高于NDO,兩者在x方向的最大跟蹤誤差均在0.01 m附近,y、z方向最大跟蹤誤差均在0.05 m附近。說明在時變擾動作用下,采用INDO的跟蹤精度明顯高于NDO和MNDO,且過渡過程平緩。

從圖2中可以看出,軌跡跟蹤控制器能夠控制飛行器持續(xù)機動以減弱外界擾動的影響。同時可以發(fā)現由于采用了雙冪次趨近律,推力、法向加速度、滾轉角3個控制指令均沒有出現明顯的抖振現象。

圖3 擾動估計誤差曲線Fig.3 Disturbance estimation error curve

4.2 空間機動軌跡跟蹤

參考軌跡的初始高度為1 000 m,初始速度為150 m/s,速度方向朝x正方向,加速度為1 m/s2,爬升速度傾角為5°,側向蛇形機動周期為25 s,最大需用滾轉角為35°。

仿真結果如圖4～圖7所示。

圖4 空間機動飛行軌跡Fig.4 Maneuvering flight trajectory

圖5 空間機動軌跡跟蹤誤差曲線Fig.5 Tracking error curve of maneuvering trajectory

從圖4和圖5中可以看出,在同時存在初始位置偏差和航向偏差的情況下,飛行器能夠快速修正誤差進行蛇形機動爬升,跟蹤誤差能夠收斂至0附近。采用NDO時,x方向最大跟蹤誤差為0.04 m,y方向為0.022 m,z方向為0.14 m;采用MNDO時,x方向最大跟蹤誤差為0.02 m,y方向為0.02 m,z方向為0.07 m;采用INDO時,x方向最大跟蹤誤差為0.013 m,y方向為0.017 m,z方向為0.04 m。在圖7中,由于初始狀態(tài)落后于參考軌跡,飛行器需要先額外加速進行追蹤,在跟蹤上參考軌跡后,飛行器能夠保持1 m/s2的加速度進行勻加速飛行,與參考軌跡要求相同。

圖6 空間機動軌跡跟蹤控制量變化曲線Fig.6 Control input curve of maneuvering trajectory

圖7 飛行速度大小變化曲線Fig.7 Flight velocity curve

采用INDO時飛行器的軌跡跟蹤誤差明顯小于NDO和MNDO。說明在擾動作用下,INDO-NFTSM三維軌跡跟蹤控制器對于空間機動軌跡仍具有良好的跟蹤能力。

5 結 論

本文針對多種擾動影響下的固定翼飛行器三維軌跡跟蹤問題,設計了一種基于改進非線性擾動觀測器的非奇異快速終端滑模三維軌跡跟蹤控制器。首先推導了BTT控制下的飛行器三維軌跡跟蹤誤差模型,然后設計了基于狀態(tài)估計誤差反饋的INDO觀測器對系統的綜合擾動進行觀測。之后基于NFTSM控制方法,使用雙冪次趨近律設計了三維軌跡跟蹤控制器,并證明了閉環(huán)控制系統的穩(wěn)定性。最后分別使用勻速直線軌跡和蛇形爬升機動軌跡檢驗本文設計的軌跡跟蹤控制器性能。仿真結果表明,本文設計的INDO觀測器能夠較好地觀測時變擾動,在系統模型不確定性和外界擾動的綜合作用下,所設計的軌跡跟蹤控制器能夠對三維軌跡進行準確、穩(wěn)定的跟蹤。