數(shù)學文化融入高中數(shù)學課堂的案例研究
——以“等比數(shù)列的前n項和”為例

?吉林師范大學

宋櫻花

1 數(shù)學文化融入高中課堂現(xiàn)狀

數(shù)學文化融入數(shù)學教育，即HPM觀點，背后蘊含的理論支撐依據(jù)是“歷史發(fā)生原理”的數(shù)學教學.通過課堂中呈現(xiàn)數(shù)學知識在歷史長河中的發(fā)生、發(fā)展、拓展的一系列過程，讓學生利用較短的課堂時間，經歷整個人類較為漫長的探索過程.

汪曉勤教授在《基于數(shù)學史的數(shù)學文化內涵實證研究》一文中曾論述，數(shù)學史融入高中數(shù)學課堂教學，不僅有助于學習者知識體系的建構，也體現(xiàn)了教師教學方法的獨特，學習者在獲得探究數(shù)學史樂趣的同時也能夠幫助學習者發(fā)展數(shù)學隱性能力，展現(xiàn)中華民族的文化之美，在數(shù)學史中也可以傳承和發(fā)揚中華民族的美德[1].然而，HPM理論在一線實際教學環(huán)節(jié)仍存在著無法將理念落地生根的困境.針對我國數(shù)學文化融入高中課堂的難題，諸多一線教育工作者也在不斷的探索與實踐當中[2].

2 數(shù)學文化融入高中課堂原則

2.1 真實性原則

在漫長的數(shù)學學科的探索過程中，數(shù)學知識中蘊含著許多寶貴的財富.無論是數(shù)系的不斷擴充，還是歐氏幾何的建立，都是為了解決人類長時間以來難以破解的實際問題.數(shù)學文化想要融入高中課堂教學中，教師在引入數(shù)學文化時，應當符合真實性原則.既要保證內容上的真實，也要保證思想上的真善美.只有將真實的問題情境、數(shù)學情境、歷史情境引入到教學活動中，才能讓學生感受到數(shù)學史的魅力，以更飽滿的熱情進入到學習活動當中.

2.2 再創(chuàng)造原則

在一線教學活動中，大多數(shù)教師往往過于關注知識的傳授結果，對結果的評價往往也只是通過考試或測驗來進行，這種評價方式忽略了學習過程.因此，更為重要的是要讓學生了解知識產生的過程.學習者學習的時間是十分短暫的，而知識的產生發(fā)展是經歷了很長時間的.只有通過數(shù)學史的融入，使學生對數(shù)學的發(fā)展歷程產生濃厚的興趣，學習起來才會事半功倍，這跟以往教師照本宣科的講解方式相比是具有優(yōu)勢的.只有通過教師在教學活動中的二次創(chuàng)造，才能引導學生們不斷發(fā)現(xiàn)，不斷感悟數(shù)學知識的發(fā)展歷程，從而獲得更好的教學效果.

2.3 適當性原則

在一線教學中，對數(shù)學文化的引用應當遵循適當性原則.“適當”從兩個角度而言：其一是知識水平上的適當，即尋找符合學生知識水平和教學內容的數(shù)學史料，二者要有一定的關聯(lián)性才能保證難度的適當；其二是使用程度的適當，即在四十五分鐘的標準課時中，應當恰當使用，精選兩到三個數(shù)學史、數(shù)學人物、數(shù)學故事進行呈現(xiàn)，而不是在整個數(shù)學課堂中一直講授數(shù)學文化的背景，導致喧賓奪主，從數(shù)學課變?yōu)闅v史課.在實際的導入或講授的過程中，適當性原則要由教師進行調控，這樣才可以做到適當.

3 數(shù)學文化融入高中課堂案例

3.1 教材內容分析

數(shù)列是高中數(shù)學的重要內容之一，現(xiàn)實生活很多內容常用到它.前面已經學習了數(shù)列的許多基礎知識，這為本節(jié)內容的學習奠定了基礎.而等比數(shù)列求和的學習又為數(shù)列在各方面的應用做好鋪墊.

首先，在情境與問題中，通過數(shù)學故事進行導入，把學生帶入到等比數(shù)列求和的情境中，由直觀感知到數(shù)學抽象，提升學生的人文素養(yǎng)，體現(xiàn)數(shù)學的人文育人價值；其次，在知識與技能中要使學生達到掌握數(shù)列基本內容的要求；再次，在自主探究的過程中，用觀察、比較、分析、歸納、概括等方法對若干實例進行提煉和概括并建立數(shù)學模型，并嘗試運用錯位相減法或構造方程的思想解決等比數(shù)列求和問題，使學生感悟從特殊到一般的數(shù)學思想方法；最后，在交流與反思中，通過交流分享活動，養(yǎng)成用規(guī)范的數(shù)學語言表述的習慣，培養(yǎng)具體問題具體分析的理性精神，發(fā)展數(shù)學建模、邏輯推理等素養(yǎng).

3.2 學情分析

從認知角度而言：學生已經掌握等差數(shù)列定義、性質、求和公式和等比數(shù)列的定義與性質，有一定的學習基礎，對即將學習的內容做好了知識上的準備.

3.3 數(shù)學文化融入的教學內容設計

(1)創(chuàng)設情境.

通過古書中描述的有關數(shù)列求和的問題、萊茵德紙草書記載的數(shù)列求和問題、舍罕王的棋盤放置麥粒故事三個數(shù)學史情境，引入本節(jié)課所學習的數(shù)列求和問題.在講解的過程中也讓學生理解到數(shù)學歷史發(fā)展的曲折與艱辛[3].例如，本節(jié)教學，使學生了解到了等比數(shù)列前n項和的探索過程以及其背后蘊含的數(shù)學原理，也使課堂有了更加良好的學習氛圍，促使學生獲得了更多的知識.

師生活動過程：

問題1古巴比倫泥板M7 857上載有等比數(shù)列99，891，8 019，72 171，649 539 的求和.

問題2萊因德紙草書是現(xiàn)存的重要的數(shù)學典籍之一，萊因德紙草書上曾經記錄這樣一個關于數(shù)列的問題：“假設有7個草屋，每一個草屋中有7只貓，每只貓可以抓7只老鼠，每只老鼠吃7個稻谷，每個稻谷含7個稻粒容積單位，問草屋、貓、老鼠、稻谷、容積總數(shù)分別為多少？”

問題3古印度的一位智者發(fā)明了早期的國際象棋.國王要給發(fā)明者獎勵，發(fā)明者說: 請在棋盤中放置麥粒，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到將整個棋盤裝滿.請同學們思考一共需要多少顆麥粒？

設計意圖：以數(shù)學史中的素材為引例，背景是真實的歷史材料或歷史故事，充滿趣味性，容易把學生帶入到等比數(shù)列求和的情境中，由直觀感知到數(shù)學抽象，從側面激發(fā)學生的學習興趣，幫助學生從感性認識上升到理性思考.同時也體現(xiàn)了數(shù)學的人文育人價值.

(2)數(shù)學抽象，建立模型.

問題4根據(jù)上面問題3求麥粒的數(shù)目，實際上是計算1+21+22+……+263=？的問題，也就是求首項是1，公比是2的等比數(shù)列前64項的和.

問題5這三個問題是否是一類問題？能不能建立一個更大的數(shù)學模型描述這類問題？

問題6首項為1，公比為q的等比數(shù)列的前n項和公式是什么？

問題7如何求以a1為首項，以q為公比的等比數(shù)列的前n項的和？

設計意圖：在模型建立環(huán)節(jié)，創(chuàng)設了五個環(huán)環(huán)相扣的數(shù)學問題，在不斷的追問下啟發(fā)學生的思維，是基于對數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)分析與解決策略上的理性思考.五個追問，使學生的探索始終處于自我成長的最近發(fā)展區(qū)；五個思考，使學生對問題步步深入，對問題的挖掘越來越深刻，在師生、生生碰撞中得出解決問題的方法.

(3)啟發(fā)教學，公式證明.

通過以下三種不同的證明思路，啟發(fā)學生學習，開拓學生思路.

根據(jù)定義，得

Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1

①

①式兩端同乘q，得

qSn=a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn

②

當q為1時，Sn=na1.

因為Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1，所以，Sn=a1+q(a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2).

化簡，得Sn=a1+q(Sn-an).

證明方法三：Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an.

根據(jù)等比數(shù)列定義，得

因此，

所以，

(4)案例設計回顧.

學習目標依據(jù)學生實際情況定位.課程目標側重于知識技能、過程、方法；素養(yǎng)目標側重于學生的情感態(tài)度、價值觀、數(shù)學素養(yǎng)的提升.通過深入挖掘新課標、新教材，在充分把握學情的基礎上，力求給學生起到預習引領的作用，為學生本節(jié)課的學習奠定基礎.

探索學習中創(chuàng)設情境，化史料素材為數(shù)學問題，尋找共性特征，歸納總結，建立模型.在交流分享活動中，組織學生加入到小組的活動中，以小組的形式進行展示，展示過程中要注重學生的情感體驗，教師在恰當?shù)臅r機進行點撥和肯定.通過小組交流，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力.在展示活動中要注意緊扣各個環(huán)節(jié)，逐步呈現(xiàn)思維過程.

4 數(shù)學文化融入高中課堂的反思

4.1 將數(shù)學應用融入數(shù)學的日常教學

可以將數(shù)學在歷史、藝術、文化、科學等諸多方面的應用融合到高中數(shù)學教學中，提升學生在學習中的體驗感并且激發(fā)他們的興趣.由于學生生活經驗的欠缺，可以通過教師閱歷的講述來吸引學生.教學內容的選取從與現(xiàn)實生活相接近的方面進行切入，譬如，學習三角函數(shù)時，可以從教師的生活出發(fā)，提出對應的問題引發(fā)學生思考，再通過細致的講述完成知識點的講解，從而解決上課之初提出的問題.

4.2 將數(shù)學思想融入數(shù)學的日常教學

將數(shù)學思想介紹給學生可以有兩種方式：(1)以各種文字或者圖片材料作為具體闡述的載體，高中生可以直接通過閱讀來理解吸收并運用其中的思想；(2)將數(shù)學思想融入授課過程中，將具體的實際問題簡化為數(shù)學問題，建立合適的數(shù)學模型就是數(shù)學思想的應用.

4.3 將數(shù)學之美融入數(shù)學的日常教學

數(shù)學美屬于一種特殊之美，可以將數(shù)學之美與高中數(shù)學課堂相結合，在潛移默化之中讓學生體會獨特的數(shù)學之美.它的美具體到現(xiàn)實生活中，通常以許多建筑為代表，可以將它們抽象為對應的數(shù)學圖形，探索對應圖形的基本特征從而探知數(shù)學之美.生活中的萬事萬物都體現(xiàn)數(shù)學之美，圖形的對稱、旋轉，日常的窗花，都是數(shù)學之美的體現(xiàn).所以將數(shù)學之美融合進課堂教學之中，非常有利于高中學生拓寬視野，陶冶他們的情操.

4.4 將數(shù)學史融入數(shù)學的日常教學

從古至今，無數(shù)的數(shù)學家為數(shù)學史做出了卓越的貢獻，但由于教科書的篇幅有限不能將與知識點相關的數(shù)學史全部講述，教師可以在備課之時選取部分數(shù)學史以故事的形式講述出來.譬如勾股定理的證明，除去教材的證明方式，還可以采用一些相對容易理解的方法證明，并提出此種證明方法的數(shù)學家的故事，用獨特的視角吸引學生的注意力.

5 結束語

綜上所述，高中階段的數(shù)學教育工作者應該將精力投入到把數(shù)學文化融入高中數(shù)學課堂之中.這個過程必將需要大量的時間和精力，需要恒心、細心還有耐心.這一過程不是一蹴而就的，正如《勸學》中所說：“不積跬步，無以至千里”，長久的積累終究會實現(xiàn)這一長久目標.