周乾君,吳盤龍,李繼民

(南京理工大學(xué)自動化學(xué)院,江蘇 南京 210094)

RAM(Rocket, Artillery and Mortar)類武器是火箭彈、榴彈、迫擊炮彈等武器的統(tǒng)稱,其威力大，火力猛，機(jī)動性能好，射程遠(yuǎn)，火力覆蓋能力強(qiáng)，操作方便,是當(dāng)前戰(zhàn)場主要的火力壓制武器,所以，用于防御這類武器的C-RAM系統(tǒng)是新形勢下部隊(duì)防護(hù)的迫切需求。RAM類武器作為彈道目標(biāo),其實(shí)際運(yùn)動規(guī)律與高炮火控系統(tǒng)在解相遇問題的過程中常用的勻速、 勻加速直線目標(biāo)運(yùn)動規(guī)律不符。因此,有必要研究面向RAM類目標(biāo)的跟蹤與預(yù)測算法。

RAM類目標(biāo)被動段會沿著一個(gè)由目標(biāo)類型以及相應(yīng)的性能特征事先確定好的飛行路徑運(yùn)動,具有顯著的動力學(xué)特性,對該類目標(biāo)建模的主要依據(jù)是目標(biāo)的動力學(xué)因素,其中，最典型的參數(shù)就是質(zhì)阻比。對于合作目標(biāo),其質(zhì)阻比已知,可直接根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動方程進(jìn)行跟蹤,并對后續(xù)軌跡進(jìn)行預(yù)測。

然而，在實(shí)際作戰(zhàn)場景下,來襲的RAM類目標(biāo)往往是非合作目標(biāo),質(zhì)阻比未知,需要對其進(jìn)行估計(jì)。質(zhì)阻比的估計(jì)精度和收斂速度與目標(biāo)狀態(tài)的估計(jì)相互耦合,當(dāng)前估計(jì)質(zhì)阻比主要有兩種方法。1)利用濾波算法實(shí)時(shí)估計(jì)目標(biāo)的距離、速度、加速度,根據(jù)質(zhì)阻比物理意義與目標(biāo)狀態(tài)及雷達(dá)量測的關(guān)系推導(dǎo)出質(zhì)阻比計(jì)算公式,該方法在建模過程中不考慮質(zhì)阻比的影響,往往模型與運(yùn)動特性不符,估計(jì)精度較差。2)基于目標(biāo)的運(yùn)動規(guī)律,將質(zhì)阻比與選取的各狀態(tài)分量一起組成擴(kuò)維的狀態(tài)向量,利用非線性濾波實(shí)時(shí)估計(jì)質(zhì)阻比,該方法充分將目標(biāo)運(yùn)動規(guī)律與質(zhì)阻比相結(jié)合,估計(jì)精度較高。文獻(xiàn)[5]將質(zhì)阻比建模為常數(shù), 采用高斯分布對其進(jìn)行描述,但因?yàn)閷|(zhì)阻比建模不滿足其慢時(shí)變特性,會影響濾波器的收斂速度和精度。文獻(xiàn)[6]采用指數(shù)函數(shù)在每一個(gè)小的時(shí)間間隔內(nèi)對質(zhì)阻比建模, 該方法計(jì)算量大且收斂速度不理想,達(dá)不到實(shí)際作戰(zhàn)場景下對來襲目標(biāo)快速跟蹤的要求。

基于此,本文采用一階馬爾科夫過程對質(zhì)阻比建模,通過CKF算法對質(zhì)阻比進(jìn)行估計(jì),并加入強(qiáng)跟蹤思想來應(yīng)對環(huán)境干擾導(dǎo)致的模型失配問題。

1 RAM類目標(biāo)動力學(xué)模型

RAM類目標(biāo)為典型的彈道目標(biāo),主動段結(jié)束后,被動段一般保持零攻角。對RAM類目標(biāo)建模如圖1所示,不考慮目標(biāo)的外形和姿態(tài)變化,目標(biāo)在運(yùn)動過程中受到重力和空氣阻力作用?？諝庾枇εc速度方向相反,重力指向地心。

圖1 RAM類目標(biāo)動力學(xué)模型

忽略地球自轉(zhuǎn),在雷達(dá)東北天坐標(biāo)系下，對RAM類目標(biāo)被動段的運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行描述,其狀態(tài)模型可以表示為:

(1)

為了對質(zhì)阻比進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì),需要對前面建立的模型進(jìn)行狀態(tài)擴(kuò)維作為濾波器的狀態(tài)模型。常見方法是直接將質(zhì)阻比作為一個(gè)常量來擴(kuò)維,但這樣不能保證質(zhì)阻比的非負(fù)性。為了防止濾波發(fā)散,這里采用了式(2)的指數(shù)模型:

()=()

(2)

式中，為質(zhì)阻比初始值,可選取典型RAM類武器的質(zhì)阻比參數(shù)?？紤]質(zhì)阻比變化為慢時(shí)變過程,()應(yīng)為一個(gè)慢時(shí)變參數(shù),這里使用能夠較好地模擬慢時(shí)變的一階馬爾科夫過程對()建模,即

(3)

式中,為一階馬爾科夫過程的時(shí)間常數(shù),常取為一個(gè)較大值,()為零均值高斯白噪聲。增廣后的RAM類目標(biāo)狀態(tài)向量為

()=[(),(),(),(),(),(),()]

(4)

采用四階龍格-庫塔法對狀態(tài)方程進(jìn)行離散,最終得到目標(biāo)的離散非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為

+1=()+

(5)

2 雷達(dá)量測模型

本文以觀測雷達(dá)為坐標(biāo)系原點(diǎn),在球體極坐標(biāo)系下建立目標(biāo)量測模型,如圖2所示。雷達(dá)量測值包括彈道目標(biāo)到雷達(dá)的徑向距離、目標(biāo)方位角、高低角。根據(jù)雷達(dá)東北天坐標(biāo)系和雷達(dá)極坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，建立非線性量測方程:

(6)

考慮雷達(dá)量測噪聲,系統(tǒng)的量測方程為

=()+

(7)

式中,=[,,]和=[,,]分別為雷達(dá)量測和量測噪聲,噪聲用零均值高斯白噪聲表示。

圖2 雷達(dá)量測模型

3 強(qiáng)跟蹤容積卡爾曼濾波(STCKF)

目前主流的非線性濾波算法中,拓展卡爾曼濾波算法(EKF)只適用于弱非線性系統(tǒng),無跡卡爾曼濾波算法(UKF)面對高維非線性系統(tǒng)存在計(jì)算量大、精度低的問題,粒子濾波算法(PF)對環(huán)境要求低,但存在粒子退化、計(jì)算量大的問題。近年來,Arasaratnam和Haykin提出了基于Cubature變換的容積卡爾曼濾波方法,該方法充分利用球面-相徑容積規(guī)則選取容積點(diǎn),利用動態(tài)模型進(jìn)行容積點(diǎn)非線性變換產(chǎn)生新的容積點(diǎn), 再對新容積點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)處理來近似非線性函數(shù)傳遞的后驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)均值及協(xié)方差矩陣。

CKF適用于任何非線性模型,高維的情況下也能夠有效跟蹤。算法具體流程如下:

步驟1:初始化。

步驟2:預(yù)測。

(8)

(9)

[1]?表示維空間的點(diǎn)集,即:

(10)

(11)

狀態(tài)方程傳遞容積點(diǎn):

(12)

計(jì)算狀態(tài)預(yù)測均值和預(yù)測協(xié)方差:

(13)

(14)

步驟3:更新。

(15)

(16)

量測方程傳遞容積點(diǎn):

(17)

計(jì)算量測預(yù)測均值、新息協(xié)方差、狀態(tài)與量測間的互協(xié)方差和濾波增益:

(18)

(19)

(20)

(21)

計(jì)算時(shí)刻后驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)均值和協(xié)方差:

(22)

(23)

CKF算法實(shí)現(xiàn)簡單且估計(jì)精度高,但當(dāng)目標(biāo)受到外界干擾模型失配時(shí),估計(jì)精度將會變差，甚至發(fā)散。強(qiáng)跟蹤濾波器更加強(qiáng)調(diào)量測信息的作用,可以更好地應(yīng)對目標(biāo)的狀態(tài)突變,其原理是選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臅r(shí)變增益矩陣，使得狀態(tài)估計(jì)殘差方差最小,強(qiáng)迫輸出殘差序列保持相互正交,即:

(24)

(25)

式中，為殘差。

在式(19)的新息協(xié)方差中引入時(shí)變漸消因子,即

(26)

的計(jì)算公式為

(27)

4 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文方法,設(shè)計(jì)地面雷達(dá)對RAM類目標(biāo)跟蹤的仿真場景。以某口徑的火箭彈為例,根據(jù)炮彈三自由度運(yùn)動方程,在雷達(dá)站坐標(biāo)系下生成目標(biāo)的真實(shí)軌跡,發(fā)射高低角為45°,落點(diǎn)在雷達(dá)附近。雷達(dá)掃描周期為20 ms,測距精度為 10 m,測角精度為 1 mrad(包括高低角和方位角)。節(jié)選目標(biāo)飛行中段及末段25 s軌跡作為跟蹤對象,并加入10 m/s的橫風(fēng)模擬外界環(huán)境的干擾,使軌跡產(chǎn)生橫偏,運(yùn)動軌跡如圖3所示。

圖3 RAM類目標(biāo)運(yùn)動軌跡

為驗(yàn)證所建立模型的優(yōu)勢,采用三種方法對比仿真,分別對有風(fēng)和無風(fēng)狀態(tài)下的目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。

1)把質(zhì)阻比建模為常數(shù)的CKF方法,狀態(tài)噪聲協(xié)方差為

=diag([01,01,01,01,01,01,30])

2)基于改進(jìn)模型的CKF方法,馬爾科夫模型的時(shí)間常數(shù)設(shè)為=1×10,狀態(tài)噪聲協(xié)方差為

=diag([01,01,01,01,01,01,001])

3)基于改進(jìn)模型的STCKF方法,參數(shù)設(shè)置與方法2一致。

本文共進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真,質(zhì)阻比初值均為=4 000 kg/m。 無風(fēng)條件下的跟蹤結(jié)果如圖4、5、6和表1所示。從圖4可看出,利用傳統(tǒng)模型估計(jì)質(zhì)阻比可以收斂至真值附近,但收斂速度緩慢。相比之下,本文模型收斂速度大幅提高,比普通方法快了40%,且精度較好。因?yàn)榛谝浑A馬爾科夫過程的質(zhì)阻比模型可以更好地表征RAM類目標(biāo)質(zhì)阻比的慢時(shí)變過程,從而加快了濾波的收斂速度。從圖6和圖7可以看出,目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的收斂速度和精度也有了明顯提高,精度提高了30%。但STCKF方法和CKF方法在精度上并沒有太大的區(qū)別,因?yàn)闊o風(fēng)條件下本文建立的模型與目標(biāo)較匹配,引入強(qiáng)跟蹤算法并不會對跟蹤效果有明顯的提升。

表1 無風(fēng)下位置與速度均方根誤差平均值

圖4 無風(fēng)下質(zhì)阻比估計(jì)對比

圖5 無風(fēng)下位置估計(jì)均方誤差對比

圖6 無風(fēng)下速度估計(jì)均方誤差對比

有風(fēng)條件下的跟蹤結(jié)果如圖7、8、9和表2所示,從圖7可以明顯看出,因?yàn)榇嬖跈M風(fēng)的擾動,模型失配,基于改進(jìn)模型的CKF方法對質(zhì)阻比的估計(jì)效果會明顯變差。對比之下,引入了強(qiáng)跟蹤的STCKF算法對質(zhì)阻比的估計(jì)依然能夠收斂到真值,位置和速度跟蹤誤差對比普通CKF方法也有一定改善,因?yàn)閺?qiáng)跟蹤算法更加強(qiáng)調(diào)量測信息的作用,對系統(tǒng)模型不準(zhǔn)確具有一定的魯棒性,增加了估計(jì)的穩(wěn)定性。

圖7 有風(fēng)下質(zhì)阻比估計(jì)對比

圖8 有風(fēng)下位置估計(jì)均方誤差對比

圖9 有風(fēng)下速度估計(jì)均方誤差對比

表2 有風(fēng)下位置與速度均方根誤差平均值

5 結(jié)束語

本文以RAM類目標(biāo)為對象,根據(jù)其運(yùn)動特性，提出了一種狀態(tài)與質(zhì)阻比聯(lián)合估計(jì)的目標(biāo)跟蹤方法。考慮傳統(tǒng)建模中將質(zhì)阻比視為常量，與質(zhì)阻比的慢時(shí)變過程不符,本文采用一階馬爾科夫過程對質(zhì)阻比建模。為提高對彈道類目標(biāo)跟蹤的可靠性,引入強(qiáng)跟蹤容積卡爾曼濾波器。經(jīng)仿真驗(yàn)證,該模型相比于常用的常數(shù)模型,跟蹤的收斂速度提高了40%,精度提高了30%, 強(qiáng)跟蹤濾波器的引入也提高了算法的魯棒性。