李曌斌，董國丹，秦建華，周志登，楊曉雷，*

(1. 中國科學院 力學研究所，北京 100190；2. 中國科學院大學 工程科學學院，北京 100049)

0 引言

為實現“3060”的碳達峰、碳中和目標，風能將在我國能源體系中發(fā)揮重要的作用。在大型風電場中，多數風力機將不可避免地受到上游機組尾跡的干擾。尾跡具有風速低和湍流脈動高的特征，影響下游風力機的來流風況，降低其發(fā)電功率并增加其疲勞載荷。因此，準確的尾跡預報對風力機結構設計和風電場的排布優(yōu)化具有重要價值。

風力機尾跡具有動態(tài)變化的特點。尾跡最顯著的動態(tài)特征是低頻、大尺度的橫向擺動[1-2]，被稱作蜿蜒（meandering）。從時均角度來看，蜿蜒將尾跡的速度虧損分散到一個更大的區(qū)域，增強了尾跡與周圍空氣的動量混合，加速了尾跡速度虧損恢復，最終提高了下游風力機的時均來流風速[3]。另一方面，尾跡蜿蜒使下游機組不斷地在全尾跡、半尾跡和自由流之間切換，增大了其所受的非定常載荷[4]。關于尾跡蜿蜒的產生機制，通常認為有兩種，分別是來流大尺度渦機制和剪切層失穩(wěn)機制[1]。大尺度渦機制認為尾跡蜿蜒源自大氣湍流的大尺度渦對尾跡的輸運（通常需假定大尺度渦的特征長度大于2倍風輪直徑[4]）。這時尾跡像被動標量一樣跟隨來流大尺度渦運動（類似于煙線）。與之相對，剪切層失穩(wěn)機制認為尾跡蜿蜒來自于尾跡本身的失穩(wěn)，即尾跡促進了上游擾動的增長，并最終引起尾跡大尺度的橫向擺動[5-7]。此外，最近的研究工作在對2.5 MW陸上風力機的尾跡蜿蜒進行數值模擬[8]和實地測量[9]研究后，發(fā)現兩種機制在尾跡蜿蜒中同時存在。

值得注意的是，以上關于尾跡蜿蜒的理論多來自對陸上的固定式風力機的研究。對于漂浮式風力機而言，海上復雜的風、浪、流組合載荷將引起浮式平臺和風力機的剛體運動，但該運動對尾跡演化的影響尚不清楚。這一問題在最近十年間引起了流體力學、風能和海洋工程領域學者的廣泛關注。2012年，美國馬薩諸塞大學Sebastian及Lackner使用自由渦方法研究了浮式風力機在俯仰運動下的葉輪載荷，報道了由風力機運動引起的近尾跡渦系失穩(wěn)現象[10]。此后，韓國學者Tran和Kim用URANS（Unsteady Reynolds Averaged Navier-Stokes）方法開展了葉片解析的數值模擬，分析了俯仰和縱蕩運動對葉片載荷的影響，同樣發(fā)現了風力機運動對近尾跡渦系結構的破壞[11]。2014年，挪威科技大學De Vaal等在基于致動盤方法的尾跡模擬中發(fā)現風力機縱蕩運動會引發(fā)遠尾跡的收張式波動[12]。中南大學Chen等（2022）使用葉片解析的IDDES（Improved Delayed Detached Eddy Simulation）方法也發(fā)現了縱蕩運動引起的遠尾跡的收張式波動，并且發(fā)現該波動能加速尾跡恢復[13]。韓國科學技術院Lee等（2019）使用渦格/渦粒法對尾跡進行了數值模擬，發(fā)現簡諧風力機運動會誘發(fā)遠尾跡周期性的形變[14]。佛羅里達州立大學Kopperstad等（2020）在不規(guī)則波浪的激勵下，同樣發(fā)現了浮式風力機尾跡的大尺度低頻波動[15]。值得注意的是，以上工作僅關注了與風向一致的運動形式，而最近的水動力分析發(fā)現，在風浪異向條件下浮式風力機將發(fā)生明顯的側向運動[16]。

近期工作中，本文作者團隊發(fā)現了浮式風力機側向運動能夠誘發(fā)尾跡的蜿蜒，并基于線性穩(wěn)定性理論發(fā)展了浮式風力機尾跡穩(wěn)定性的評估模型，準確地預測了可以誘發(fā)尾跡蜿蜒的風力機側向運動頻段[17]。該工作說明平臺運動是引起風力機尾跡蜿蜒的重要因素，剪切層失穩(wěn)機制在浮式風力機尾跡蜿蜒中起到了重要作用。因而，有望以穩(wěn)定性理論為框架預測浮式風力機尾跡的演化。

本文在文獻[17]的基礎上，拓展了浮式風力機的運動形式，考慮了縱蕩、橫蕩、艏搖三個不同的自由度，以研究不同運動形式對尾跡影響的異同。

1 研究方法

1.1 尾跡的穩(wěn)定性分析

首先介紹用于分析尾跡對不同頻率擾動的增長率的線性穩(wěn)定性理論。

分析中使用的基本流來自于固定風力機的時均尾跡，并作了局部平行和軸對稱兩個假設。基本流的流向、徑向和周向的速度分別設為。設擾動速度和壓強為其中 ??表 示徑向形狀函數，n為擾動模態(tài)的周向波數。n=0表 示軸對稱的擾動，對應縱蕩情況；n=1表示反軸對稱情況，近似對應橫蕩和艏搖下引起的擾動。

對擾動的空間增長進行分析。假設風力機整體的剛體運動的角頻率 ω=2πf為實數。對每一個擾動頻率 ω，求解與之對應的復波數k=kr+iki。若k的虛部ki＜0，表明該擾動將在向下游發(fā)展的過程中增大，是不穩(wěn)定的；反之，若k的虛部ki＞0則表示擾動將在向下游發(fā)展的過程中減小，是穩(wěn)定的。

將擾動表達代入線化的Navier-Stokes方程，可得：

注意，上述方程忽略了黏性項。這一假設在基本流剖面存在拐點時是合理的，這時尾跡失穩(wěn)由無黏的K-H不穩(wěn)定性主導。

方程通過Chebyshev多項式進行離散。徑向計算域的大小設為rmax=15D，共使用了128個Gauss-Lobatto節(jié)點。在遠場邊界上假設擾動衰減為零。其他 邊界條件參照文獻[18]設置。

1.2 大渦模擬方法

本文采用大渦模擬和風力機的致動面模型來模擬不同形式的風力機運動對風力機尾跡的影響，使用的計算流體力學程序為VFS-Wind[19]。VFS-Wind 預測風力機尾跡的能力已經過風洞實驗和實地觀測的系統(tǒng)驗證[20-21]，并已應用于風力機尾跡的機理研究[22]。

流動的控制方程為濾波的不可壓N-S方程：

其中：xi和ui代表直角坐標系下三個方向的坐標和速度分量（i，j= 1，2，3）；p為 壓強；ρ 為流體密度；υ為運動黏度；為空間濾波算符； τij為由濾波產生的亞格子應力，使用動態(tài)Smargorinsky模型進行封閉；fi表示單位質量流體所受的體積力，代表葉片、機艙等部件對流動的作用。

控制方程通過二階中心差分進行空間離散，時間推進采用二階分步方法。離散后的動量方程通過Jacobian-Free Newton-Krylov方法求解。壓力泊松方程通過GMRES算法求解，并利用代數多重網格法進行加速。

1.3 風力機的致動面模型

本文使用致動面方法對風力機葉輪和機艙進行?；痆23]。葉片的致動面模型使用無厚度曲面簡化表達風力機葉片形狀。各徑向位置處的氣動力通過從二維翼型數據庫中查詢升/阻力系數并按下式計算：

其中：FL和FD分別為單位長度翼型上的升阻力；c為翼型弦長；Vrel為葉片與來流的相對速度，在計算時考慮了葉片的轉速以及浮式風力機剛體運動的影響；eL和eD分別為升、阻力的方向矢量；CL和CD為查表獲得的升、阻力系數，對應當前的攻角和雷諾數。單位葉片面積上所受的氣動力F通過下式計算，

并通過磨光基函數[24]散布到葉片周圍的流體網格上。

1.4 研究對象和算例設置

以美國可再生能源實驗室（NREL）5 MW 海上風力機標模為研究對象。葉輪直徑D= 126 m。依正常發(fā)電的設計工況把來流風速設置為U∞= 11.4 m/s，葉尖速比固定為 λ=?R/U∞= 7（其中 ?為葉輪角速度、R為風輪半徑）。由葉輪直徑和來流速度定義的雷諾數 為Re≈ 9.6 × 107。機 艙 用 長 方 體 近 似（2.3 m ×2.3 m × 14.2 m）。文獻[17]中證明了塔柱的影響不大，因此在本工作中未予考慮。

研究了三種典型的風力機運動自由度，包括：縱蕩、橫蕩和艏搖（見圖1）。這三種自由度對應xOy平面內的平動和轉動，最易引起尾跡蜿蜒（發(fā)生在輪轂高度平面上）。在各自由度下，風力機均做強制的簡諧運動。運動控制參數為頻率f和幅值A。其中，縱蕩、橫蕩的幅值為A=0.05D。艏搖角度的幅值滿足sin(γmax) =A/R =0.1。因此，三種運動形式具有相同的葉尖運動幅值。風力機運動的頻率f用無量綱的Strouhal數來表示，定義為St=fD/U∞。在各運動自由度下，均選取St= 0.1，0.3，1.0三個典型頻率，分別代表低、中、高頻率的擾動。以OC3 Hywind Spar單柱式浮式基礎為例，以上頻率分別近似對應系統(tǒng)（包含風力機和系泊裝置）的縱蕩、橫搖、艏搖的固有頻率[25-26]。大渦模擬中未考慮各自由度的組合。表1總結了本文考慮的風力機運動的形式及控制參數。

表1 浮式風力機強制運動參數Table 1 Parameters of wind turbine motions

圖1 本文選取的三個浮式風力機運動自由度Fig. 1 Sketch of platform motions

大渦模擬的計算域為長方體，在流向（x）、橫向（y）和垂向（z）三個方向的長度分別為Lx，Ly，Lz=14D，7D，7D。風力機距入口邊界3.5D。坐標系原點與風力機輪轂中心重合。入口邊界施加均勻來流的速度條件。出口邊界（x= 10.5D）施加速度導數的諾伊曼條件（ ?ui/?x= 0）。側向四個邊界上均施加滑移條件。計算域用笛卡爾網格進行離散。流向網格大小為Δx= Δz/20。在y和x方向上，在尾跡區(qū)域內（y×z∈[?1.5D，1.5D] × [?1.5D，1.5D]），網 格 間 距 為Δy= Δz=D/40，在此區(qū)域外網格的尺寸逐漸增長。網格總數為Nx×Ny×Nz= 281 × 141 × 141 ≈ 5.6×106。根據之前的網格無關性驗證，該網格分辨率滿足預測尾跡速度和湍流強度的要求[3]。

2 穩(wěn)定性分析結果

圖2給出了尾跡的線性穩(wěn)定性分析結果。分析使用的基本流是固定式風力機的時均尾跡，通過大渦模擬方法獲得。圖2（a）展示了機艙輪轂平面上時均流向速度虧損分布。由圖可見，在x＜ 1D范圍內可以觀察到y(tǒng)= 0附近的機艙尾跡。尾跡核心區(qū)域和自由流之間存在剪切層，剪切層厚度在下游逐漸增加。在x＞ 7D之后的區(qū)域，尾跡兩側的剪切層在中心匯合，這時尾跡的速度虧損廓線（紅色曲線）與鈍體尾跡的高斯剖面相似。

圖2（b）、圖2（c）分別給出了擾動的周向波數取n= 0和n= 1兩種情況下，各流向位置的擾動局部增長率。從圖中可以看出，近尾跡（x ＜3D）的失穩(wěn)頻率范圍很廣，只要擾動的無量綱頻率在 0 ＜St＜ 0.9范圍內，幾乎都是不穩(wěn)定的，這與近尾跡較窄的剪切層厚度有關。用紅色虛線標出的最不穩(wěn)定的擾動頻率約對應St≈0.5。兩種波數下（n= 0，n= 1），失穩(wěn)頻段均沿流向逐漸降低。在x= 9D處，軸對稱擾動（n= 0）的最不穩(wěn)定頻率幾乎降至St= 0（如圖2（b））；非軸對稱擾動（n= 1）的最敏感頻率則降至約St= 0.1（如圖2（c））。這與尾跡剪切層的厚度增加有關[6]。這種失穩(wěn)頻段沿流向的變化，說明不同下游位置處的最優(yōu)擾動頻率各異。因此，高頻擾動雖然在近尾跡中增長較快，但在下游很快就停止增長。與之相反，頻率較低的擾動雖然在近尾跡增長較慢，但可以持續(xù)保持增長。周向波數（n）的影響主要體現在遠尾跡。從圖2（b）中可以看出，軸對稱擾動（n= 0）只在x＜ 6D范圍內有較明顯的增長；而圖2（c）中非軸對稱的擾動（n =1）的增長則可保持到約x= 8D。

圖2 基于固定式風力機時均尾跡的線性穩(wěn)定性分析結果Fig. 2 Linear stability analyses based on the time-averaged wake of a fixed wind turbine

為了考慮擾動從風力機所在位置起（x= 0）一直發(fā)展到下游的過程，用局部增長率（ ?ki）沿流向x的積分構造擾動的累積放大系數累積放大系數近似地代表了擾動在流向上的累積增長。圖2（d）、圖2（e）比較了不同頻率的初始擾動在各流向位置處x的累積放大系數。對于兩種周向波數，累積放大系數均在向下游發(fā)展的過程中逐漸增長，且均在7D＜x＜ 10D范圍內達到最大。在遠尾跡，周向波數n對累積放大系數有較大的影響。軸對稱擾動（n =0）的累積放大系數最大值約為Nmax≈13，非軸對稱擾動（n =1）的累積放大系數最大值可達Nmax≈18，說明非軸對稱擾動更容易在遠尾跡產生劇烈的波動。圖2（d,e）中用紅色虛線繪出了不同位置處的累積放大系數對應的峰值頻率，該頻率隨著流向距離x的增長而降低。在7D＜x＜ 10D的遠尾跡，軸對稱擾動（n= 0）對應的最優(yōu)擾動頻率約在0.3 ≤St≤ 0.5區(qū)間，非軸對稱擾動（n= 1）對應的最優(yōu)擾動頻率約在0.2 ≤St≤ 0.4區(qū)間。在St≤ 0.1的低頻段以及St≥ 1.0的高頻段，兩種周向波數的累積擾動放大系數均不高，說明這些擾動在尾跡中增長較慢。

以上的線性穩(wěn)定性分析可以快速地給出尾跡的不穩(wěn)定特性。但要注意，以上分析依賴于如下假設，即：（1）基本流是平行且軸對稱的；（2）擾動是無限小的；（3）忽略黏性效應。這些假設不能完全代表實際情況，例如：實際的基本流通常更加復雜且基本流會因擾動而改變；擾動是有限幅值的，擾動幅值較高后會引發(fā)非線性效應；黏性效應將減弱擾動的增長，降低擾動放大率。因此，下一節(jié)將利用高可信度的大渦模擬方法對本節(jié)的分析進行檢驗。

3 大渦模擬結果

圖3中比較了固定和三種運動形式下的風力機尾跡。風力機運動的無量綱頻率為St= 0.3。圖中用瞬時速度的等值面繪出了瞬時尾跡的三維結構，其中綠色為U=0.8U∞的 等值面，藍色為U=0.5U∞的等值面。從圖3（a）中可見，固定式風力機的尾跡幾乎呈平直狀向下游發(fā)展，未有明顯的大尺度波動。但在風力機發(fā)生運動時，尾跡均發(fā)生了較為明顯的大尺度波動。從圖3（b）中可見，縱蕩運動使U=0.8U∞的等值面發(fā)生了有節(jié)律的收張，擴張段內部可見明顯的U＜0.5U∞的低速區(qū)，說明了風力機縱蕩增大了尾跡的流向速度的脈動強度，與文獻[12-13]相符。這時風力機尾跡的中心線仍基本保持平直，輪廓大致保持軸對稱的形狀。圖3（c）給出了橫蕩狀態(tài)下的尾跡速度輪廓，展示了尾跡在xOy平面內的明顯蜿蜒現象，尾跡蜿蜒的幅值在下游逐漸增大，在遠尾跡與風力機葉輪直徑相當。這種尾跡蜿蜒的現象同樣發(fā)生在風力機艏搖運動下（圖3d），但艏搖運動引起的尾跡蜿蜒幅值小于橫蕩運動。另外，尾跡中未見大范圍的低速U＜0.5U∞區(qū)域，表明橫蕩、艏搖對尾跡的主要影響并非是流向速度的波動，而是橫向的蜿蜒。

圖3 不同運動形式下風力機力尾跡速度的等值面（運動無量綱頻率為St = 0.3）Fig. 3 Isosurfaces of the wake velocity for different turbine motions (St = 0.3)

從圖3中可知，三種運動均未引起尾跡的垂向起伏。因此，后文將在輪轂高度的水平面內開展分析。

圖4給出了輪轂高度平面上風力機縱蕩下尾跡的瞬時速度虧損云圖，對St= 0.1，0.3，1.0三個運動頻率的影響進行了比較。從圖4中可見，尾跡中心線均基本沿y= 0保持平直，但不同運動頻率下，尾跡的波動狀態(tài)區(qū)別較大。三種運動頻率下的尾跡基本沿y= 0保持對稱，支持了穩(wěn)定性分析中使用的軸對稱擾動假設（n =0）。在不同的風力機運動頻率下，尾跡的演化特征具有較大差異：（1）當風力機運動頻率為St= 0.1時，其尾跡與固定式風力機的尾跡非常接近—尾跡邊緣在x＜ 3D段保持平直，并在遠尾跡產生了小尺度的速度波動。（2）當風力機運動頻率為St= 0.3時，近尾跡（x＜ 3D）仍與固定式風力機尾跡相差不多，但遠尾跡出現了明顯的、大尺度的交替收張：在尾跡舒張段，尾跡核心區(qū)域內可見與尾跡寬度相當的低速流動結構；尾跡的收縮段的流速則相對較快；二者交替出現，增加了流向速度脈動的強度。（3）當風力機運動頻率為St= 1.0時，風力機運動在近尾跡即引起了尾跡邊緣的小尺度波動，但這種波動沒有在下游持續(xù)地增長，最終未能形成貫穿尾跡核心區(qū)域的大尺度結構。這時尾跡總體輪廓與固定式風力機的尾跡相似。綜上，在三個頻率當中，St= 0.3的風力機運動對尾跡波動的貢獻最顯著，與線性穩(wěn)定性分析的結果相符合（如圖2（d））。

圖4 縱蕩運動下的尾跡瞬時尾跡速度虧損云圖Fig. 4 Instantaneous wake velocity fields for cases with surge motion

圖5 給出了在輪轂高度平面上風力機橫蕩運動下的尾跡瞬時速度場。圖5也表明St= 0.3的風力機運動將引起較明顯的尾跡蜿蜒，而St= 0.1和St= 1.0兩種情況下尾跡的波動較小。當風力機在St= 0.1頻率下做簡諧運動時，尾跡的擺動幅值較小，輪廓總體與固定式風力機的尾跡相似。在頻率為St= 0.3的情況下，風力機運動使尾跡出現了明顯的蜿蜒，且蜿蜒幅值持續(xù)增長，最后可超過風輪直徑。在這種劇烈的蜿蜒下，尾跡核心區(qū)域的速度虧損恢復加快，且勢必顯著增強尾跡的速度脈動。St= 1.0的高頻風力機運動同樣沒有引起尾跡的整體蜿蜒，僅在尾跡邊緣處出現了小尺度的波動。隨著向下游的發(fā)展，這些波動的幅值并無明顯增長。這些現象同樣與線性穩(wěn)定性理論的結果（如圖2（e））相符，即在0.2 ≤St≤ 0.4區(qū)間內的擾動較易引起尾跡的失穩(wěn)，而在St≤ 0.1的低頻段以及St≥ 1.0的高頻段的風力機運動較難對尾跡產生明顯影響。

圖5 橫蕩運動下的尾跡瞬時尾跡速度虧損云圖Fig. 5 Instantaneous wake velocity fields for cases with Sway motion

圖6 給出了風力機艏搖運動下的尾跡瞬時流向速度場。在艏搖狀態(tài)下，風力機尾跡時空演化特征與橫蕩狀態(tài)（圖5）非常相似，在St= 0.3的頻率下出現了較為明顯的尾跡蜿蜒，而頻率為St= 0.1和St= 1.0的風力機艏搖運動未能引起明顯的尾跡波動。

圖6 艏搖運動下的尾跡瞬時尾跡速度虧損云圖Fig. 6 Instantaneous wake velocity fields for cases with yaw motion

以上結果表明三種擾動均在St= 0.3的頻率下引發(fā)了較為明顯的尾跡波動，而St= 0.1及St= 1.0的運動頻率均不易引發(fā)尾跡波動。這一規(guī)律均與線性穩(wěn)定性理論的預測相符，說明三種形式的運動對尾跡影響的機制均為剪切層失穩(wěn)，線性穩(wěn)定性分析可以作為估計敏感頻率的快速計算工具。但是，三種運動方式引發(fā)的尾跡演化特征存在差異?？v蕩運動對尾跡的影響主要表現為尾跡輪廓的舒張和流向速度的交替波動，尾跡中心線幾乎不發(fā)生擺動。與之相反，橫蕩、艏搖對尾跡影響的主要表現為橫向的蜿蜒，具有相似的機理。但是，二者引起的尾跡蜿蜒劇烈程度明顯不同—在艏搖運動下，尾跡蜿蜒的起始位置距風力機更遠，且蜿蜒的幅值更低。雖然本工作在運動幅值的設置上保證了兩種運動具有相同的葉尖最大位移，但這種位移相等的條件未能保證二者在尾跡動力學上的等價。

圖7比較了不同風力機運動條件下尾跡的時均速度虧損。由圖可見，在x =6D位置處，無量綱頻率為St= 0.3的橫蕩運動比其他運動形式更能促進時均尾跡的恢復。在x =9D位置，St= 0.3的橫蕩、艏搖運動均使尾跡恢復速度顯著加快，且橫蕩運動的作用更明顯。以上現象說明合適的風力機運動具有促進尾跡恢復、增加下游風力機發(fā)電輸出的潛力。

圖7 風力機運動對尾跡時均速度虧損廓線的影響比較Fig. 7 Comparisons of velocity deficits of wind turbines subjected to different motions

4 結論與展望

本文研究了浮式風力機尾跡在縱蕩、橫蕩、艏搖三種運動形式下的演化規(guī)律。利用線性穩(wěn)定性理論，預測了尾跡在軸對稱和非軸對稱兩種理想擾動下的敏感頻率。然后，利用大渦模擬研究了不同形式、不同頻率的浮式風力機剛體運動對尾跡產生的影響，檢驗了線性穩(wěn)定性理論預報浮式風力機尾跡失穩(wěn)演化的能力，并比較了不同運動形式、頻率下的尾跡動態(tài)特征。最后，從風力機尾跡演化的角度討論了浮式風力機設計中應重點考慮的剛體運動形式和頻率范圍。研究得出以下結論：

1）風力機運動的不同形式將使尾跡產生兩種不同于固定式風力機尾跡的演化模式。第一種為收張模式，在風力機縱蕩運動下產生，表現為遠尾跡輪廓有節(jié)律地收縮和舒張，并伴隨高、低速交替的流動結構。第二種為尾跡蜿蜒，在風力機橫蕩、艏搖兩種運動下產生，表現為尾跡的橫向甩動。

2）在不同的運動形式下，能夠引起尾跡顯著動態(tài)響應的頻段相近。線性穩(wěn)定性分析結果顯示，軸對稱擾動（縱蕩）的失穩(wěn)敏感頻率范圍約為0.3 ≤St≤ 0.5；非軸對稱擾動（橫蕩和艏搖）的失穩(wěn)敏感頻段范圍約為0.2 ≤St≤ 0.4。大渦模擬結果表明，當St= 0.3時，三種運動形式均在遠尾跡產生了較為劇烈的波動；而St= 0.1和St= 1.0的低頻和高頻情況下，尾跡均與固定式風力機尾跡較為相似。

3）劇烈的尾跡蜿蜒一方面將引起下游風力機載荷的振蕩，另一方面又能促進尾跡恢復，提升下游機組功率。因此，在浮式風力機的設計中，應慎重評估無量綱頻率在St= 0.3附近的風力機運動的潛在影響。

下一步的工作展望：

1）橫蕩、艏搖兩種運動形式對尾跡蜿蜒的影響機理的差異仍待進一步研究。本工作中在設定運動幅值時，設置了相等的葉尖最大位移，但兩種運動引起的尾跡蜿蜒存在差異。因此，兩種運動形式之間的關聯與差異性有待開展深入研究。

2）本文僅考慮了三個典型自由度下簡諧運動的影響。在線性穩(wěn)定性的理論框架下，擾動演化滿足線性疊加原理，因此本文的理論分析可以應用到非規(guī)則運動及多自由度運動的情況下。但實際情況下，有限幅值的擾動將引起非線性效應，因而浮式風力機在復雜運動下的尾跡演化仍需使用高可信度仿真進行考察，有待在下一步工作中深入研究。

3）本文僅考慮了一種風輪轉速。改變風輪轉速將改變風力機工況，進而改變風力機尾跡的速度虧損特征。文獻中的研究結果表明[8]，在一定的風輪轉速范圍內，固定式風力機的尾跡蜿蜒的特征相近。對于改變風輪轉速將如何影響浮式風力機運動引發(fā)的尾跡蜿蜒，仍有待進一步研究。

4）下一步工作中還可以考慮平臺尾跡[27]、水波[28]與尾跡間的相互作用。