長導(dǎo)軌直線度分段測(cè)量拼接方法研究

李 婷， 繆東晶， 李連福， 李建雙， 鐘 文，3

(1.湖南省計(jì)量檢測(cè)研究院，湖南 長沙 410007； 2.中國計(jì)量科學(xué)研究院，北京 100029；3.中國計(jì)量大學(xué)，浙江 杭州 310018)

1 引 言

直線度是幾何量測(cè)量領(lǐng)域中最基本的形位誤差之一，長導(dǎo)軌的直線度是影響設(shè)備精度的最主要因素之一[1,2]，長導(dǎo)軌的直線度測(cè)量方法有很多種[3～7]，激光干涉儀由于測(cè)量精度高等優(yōu)點(diǎn)在長導(dǎo)軌直線度測(cè)量中應(yīng)用最為廣泛。激光干涉儀測(cè)量直線度誤差時(shí)，限于直線度測(cè)量組件分光鏡的測(cè)量范圍，一般直線度組件分為10 m短測(cè)量范圍和30 m長測(cè)量范圍2種規(guī)格，對(duì)于較長導(dǎo)軌的直線度進(jìn)行分多段測(cè)量。激光干涉儀本身的數(shù)據(jù)漂移[8～10]導(dǎo)致單點(diǎn)重復(fù)性差，由于激光干涉儀擺放位置不同，導(dǎo)致獲取的直線度曲線坐標(biāo)系發(fā)生旋轉(zhuǎn)偏斜等情況。

目前針對(duì)激光干涉儀分段測(cè)量長導(dǎo)軌直線度誤差，通常采用的拼接方式為單點(diǎn)拼接方式和斜率一致平移拼接等方式[11]。事實(shí)上，在使用激光干涉儀測(cè)量直線度誤差時(shí)，由于激光干涉儀受分辨率、折射率梯度的影響及直線度反射器的地形等[8～12]影響，在測(cè)量過程中不可避免發(fā)生數(shù)據(jù)漂動(dòng)，單點(diǎn)測(cè)量重復(fù)性較差，用這些拼接方式可能帶來較大拼接誤差。減小直線度測(cè)量拼接誤差的研究主要集中在如何提高局部測(cè)量精度、選取采樣點(diǎn)等方面，如利用短平晶重構(gòu)拼接[13]、應(yīng)用大跨距和小步距法測(cè)量拼接[14]、選取采樣點(diǎn)數(shù)與節(jié)距[15]、減少漂移[16]、較好利用直線斜率進(jìn)行拼接[17]。賈立德等[18]使用短基準(zhǔn)測(cè)量550 mm導(dǎo)軌直線度中應(yīng)用坐標(biāo)變換拼接方式測(cè)量較短導(dǎo)軌的直線度誤差，研究了重疊測(cè)量區(qū)域二次采樣點(diǎn)匹配誤差對(duì)于測(cè)量誤差的影響，但是坐標(biāo)變換拼接方法對(duì)于需要改變激光干涉儀位置的長導(dǎo)軌和超長導(dǎo)軌是否適用，目前尚未見相關(guān)研究和驗(yàn)證報(bào)道。

本文針對(duì)中國計(jì)量科學(xué)研究院室內(nèi)80 m長導(dǎo)軌(簡(jiǎn)稱長導(dǎo)軌)，采用2臺(tái)Agilent E1733A激光干涉儀同步進(jìn)行直線度測(cè)量實(shí)驗(yàn)，一臺(tái)干涉儀確定測(cè)量點(diǎn)位置，另一臺(tái)測(cè)量該點(diǎn)直線度誤差值，把直線度誤差和位置視為該測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)值，應(yīng)用坐標(biāo)變換原理進(jìn)行拼接實(shí)驗(yàn)，來研究坐標(biāo)變換拼接方法能否有效應(yīng)用于長導(dǎo)軌的直線度拼接測(cè)量。

2 坐標(biāo)變換拼接原理

激光干涉儀測(cè)量長度為L的導(dǎo)軌直線度時(shí)，受測(cè)量范圍的限制，需要分為L1和L2兩段進(jìn)行測(cè)量(見圖1)，2次直線度測(cè)量重疊部分為L12部分(其中L12>0，也稱轉(zhuǎn)換區(qū)間或測(cè)量重疊區(qū)域)，在2次測(cè)量中采用相同的測(cè)量節(jié)距，且在測(cè)量重疊區(qū)域L12內(nèi)，L2測(cè)量點(diǎn)位置與L1測(cè)量點(diǎn)位置一致。

圖1 分段進(jìn)行直線度測(cè)量的示意圖

對(duì)導(dǎo)軌在L1范圍內(nèi)進(jìn)行的測(cè)量稱為第1段直線度測(cè)量，每個(gè)測(cè)量點(diǎn)的直線度坐標(biāo)為(X1i,Y1i,Z1i)其中X1i為第i個(gè)測(cè)量點(diǎn)的位置；Y1i為該點(diǎn)水平方向直線度；Z1i為該點(diǎn)垂直方向直線度。在L2范圍內(nèi)對(duì)導(dǎo)軌進(jìn)行第2段直線度測(cè)量，測(cè)得第i點(diǎn)的直線度坐標(biāo)為(X2i,Y2i,Z2i)。

激光干涉儀測(cè)量直線度的方式?jīng)Q定了在測(cè)量垂直方向直線度時(shí)Y=0；測(cè)量水平方向直線度時(shí)Z=0。第1段直線度垂直方向測(cè)量時(shí)坐標(biāo)數(shù)據(jù)集也可寫為(X1i,0,Z1i)。

在L12段，測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)一致，其位置關(guān)系表示如下：

(1)

式中：X1m為第1段測(cè)量的第m個(gè)測(cè)量點(diǎn)位置；X2(1+n)為第2段測(cè)量的第1+n個(gè)測(cè)量點(diǎn)位置；X1(m+n)為第1段測(cè)量的第m+n個(gè)測(cè)量點(diǎn)位置。

坐標(biāo)變換點(diǎn)>3時(shí)，可以通過公共坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)計(jì)算出轉(zhuǎn)換矩陣。假設(shè)測(cè)量重疊區(qū)域內(nèi)測(cè)得的第1段直線度坐標(biāo)矩陣為A，第2段的直線度坐標(biāo)矩陣為B，通過2個(gè)坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換坐標(biāo)集A和B可計(jì)算出坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣R和坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣T：

A=RB+T

(2)

把第2段測(cè)量區(qū)域內(nèi)L2范圍內(nèi)直線度測(cè)量坐標(biāo)集(X2，Y2，Z2)轉(zhuǎn)換至第1段直線度測(cè)量坐標(biāo)系中，可用式(2)得到的R和T計(jì)算：

(3)

3 拼接區(qū)域選取實(shí)驗(yàn)及分析

使用激光干涉儀測(cè)量導(dǎo)軌直線度時(shí)，單點(diǎn)測(cè)量點(diǎn)的重復(fù)性較差，雖然匹配誤差較小，但仍會(huì)影響坐標(biāo)變換的精度。

轉(zhuǎn)換區(qū)間公共點(diǎn)數(shù)越多拼接誤差越小，但考慮工作量因素，實(shí)際測(cè)量中，重疊測(cè)量區(qū)域測(cè)量點(diǎn)數(shù)不可能無限增加，如何選取較小范圍作為重疊測(cè)量區(qū)域來確保坐標(biāo)變換拼接精度是坐標(biāo)變換拼接方法的關(guān)鍵。

本文對(duì)長導(dǎo)軌的特性進(jìn)行了分析研究，長導(dǎo)軌由1根5 m、20根4 m子導(dǎo)軌拼合組成，單根子導(dǎo)軌直線度<20 μm，相鄰子導(dǎo)軌間由于存在一定夾角的安裝誤差?；陂L導(dǎo)軌固有屬性，將對(duì)單根子導(dǎo)軌上測(cè)得的直線度數(shù)據(jù)可能具有斜率一致的特性及相鄰子導(dǎo)軌直線度擬合直線具有夾角固定的特性進(jìn)行分析。

3.1 擬合子導(dǎo)軌特性分析

如圖2所示，數(shù)據(jù)1和數(shù)據(jù)2均為激光干涉儀在0～20 m范圍內(nèi)測(cè)得直線度及各子導(dǎo)軌直線度的擬合直線曲線，對(duì)應(yīng)單根子導(dǎo)軌位置的直線度測(cè)量數(shù)據(jù)擬合為直線，從圖2中可看出：同一子導(dǎo)軌上在不同測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得的直線度數(shù)據(jù)擬合直線具有較為一致的斜率值;2根子導(dǎo)軌之間具有固定夾角。表1和表2中給出了部分子導(dǎo)軌擬合直線的斜率和夾角值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際導(dǎo)軌物理特性相吻合。

圖2 激光干涉儀在0～20 m范圍內(nèi)測(cè)得直線度及軌直線度的擬合直線

表1 單根子導(dǎo)軌上擬合的直線斜率值

表2 第4～7根子導(dǎo)軌擬合直線夾角

針對(duì)上述長導(dǎo)軌特性，分別依照單根子導(dǎo)軌斜率一致和相鄰子導(dǎo)軌夾角穩(wěn)定特性來選取不同拼接區(qū)域，以分析區(qū)域選取對(duì)于長導(dǎo)軌直線度坐標(biāo)變換拼接精度的影響。

3.2 坐標(biāo)變換拼接仿真實(shí)驗(yàn)

3.2.1 通過斜率進(jìn)行直線度坐標(biāo)變換拼接

選取了斜率一致的單根子導(dǎo)軌作為重疊測(cè)量區(qū)域，進(jìn)行坐標(biāo)變換拼接的方式，稱為斜率一致區(qū)域拼接方式。

圖3中第1段直線度曲線作為理想直線度曲線，最小二乘法評(píng)定得到直線度值為163.1 μm。把該曲線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)平移后加入±10 μm的隨機(jī)誤差后得到第2段直線度曲線。選取重疊區(qū)域：導(dǎo)軌 12～16 m位置(位于第4根子導(dǎo)軌上)，進(jìn)行第1段0～16 m和第2段12～30 m的直線度數(shù)據(jù)的坐標(biāo)變換拼接，得到圖3中斜率一致區(qū)域拼接曲線，該曲線與理想曲線偏離較遠(yuǎn)。通過加入不同隨機(jī)誤差的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明斜率一致區(qū)域拼接得到的直線度在154.1～222.5 μm范圍內(nèi)分布，與理想值163.1 μm相差較大，拼接誤差較大。

圖3 在30 m范圍內(nèi)進(jìn)行斜率一致區(qū)域拼接的仿真結(jié)果

3.2.2 通過夾角進(jìn)行坐標(biāo)變換拼接

選取含固定夾角的相鄰子導(dǎo)軌作為重疊測(cè)量區(qū)域來進(jìn)行坐標(biāo)變換拼的方式，后文中稱為夾角一致區(qū)域拼接方式。

選取3.2.1中的數(shù)據(jù)來進(jìn)行夾角一致區(qū)域拼接方式的仿真實(shí)驗(yàn)，選取重疊區(qū)域：導(dǎo)軌14～18 m位置(位于第4根、第5根子導(dǎo)軌上)，進(jìn)行坐標(biāo)變換拼接，得到圖4中夾角一致區(qū)域拼接方式的拼接曲線，該曲線與理想測(cè)量直線度曲線幾乎重合，圖中拼接直線度為159.6 μm，偏離理想直線度值 3.5 μm。多次仿真實(shí)驗(yàn)也表明，該拼接方式得到的直線度值偏離理想直線度值小于±4 μm。

圖4 在30 m范圍內(nèi)進(jìn)行夾角一致區(qū)域拼接的仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證實(shí)際與仿真結(jié)果是否一致，本文在 30 m 長導(dǎo)軌上進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

3.3 坐標(biāo)變換拼接驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

3.3.1 斜率一致區(qū)域拼接方式驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

使用的Agilent E1733A激光干涉儀直線度測(cè)量組件，最大測(cè)量范圍為30 m，在驗(yàn)證時(shí)，僅選取了 30 m 長導(dǎo)軌來進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

激光干涉儀以200 mm的間距分別測(cè)量了L1長度為0～20 m的導(dǎo)軌、L2長度為16～28 m的導(dǎo)軌和L長度為0～28 m的導(dǎo)軌直接測(cè)量直線度數(shù)據(jù)來進(jìn)行斜率一致區(qū)域拼接方式進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

圖5中給出了測(cè)量重疊區(qū)域L12為16～20 m位置的斜率一致區(qū)域拼接曲線，該曲線偏離直接測(cè)量直線度曲線較遠(yuǎn)，最小二乘評(píng)定得到的拼接直線度為328.1 μm，與直接測(cè)量得的直線度164.3 μm相比相差較大。

圖5 在30 m范圍內(nèi)進(jìn)行斜率一致區(qū)域拼接結(jié)果

實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)除了曲線偏離現(xiàn)象，還發(fā)現(xiàn)拼接曲線與直接測(cè)量曲線有時(shí)出現(xiàn)峰谷反向的現(xiàn)象見圖6。分析原因，由于單根子導(dǎo)軌直線度較好，不同分段測(cè)量中測(cè)得的直線度值擬合直線可能斜率一致，但單點(diǎn)直線度數(shù)據(jù)受激光干涉儀漂動(dòng)性影響重復(fù)性較差，對(duì)應(yīng)測(cè)點(diǎn)的直線度坐標(biāo)相對(duì)自導(dǎo)軌擬合直線恰好出現(xiàn)峰谷位置反置現(xiàn)象見圖7，當(dāng)選取該段數(shù)據(jù)計(jì)算轉(zhuǎn)換矩陣時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度接近180°，坐標(biāo)變換拼接后必然出現(xiàn)峰谷反置的現(xiàn)象。

圖6 斜率一致區(qū)域拼接方式導(dǎo)致的峰谷反向現(xiàn)象

圖7 單根子導(dǎo)軌上2次分段測(cè)量的直線度結(jié)果

驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，斜率一致區(qū)域拼接方式無法確保拼接精度。

3.2.2 夾角一致區(qū)域拼接方式驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

以200 mm的間距使用激光干涉儀分別測(cè)量了L1長度為0～20 m導(dǎo)軌、L2長度為12～30 m導(dǎo)軌和L長度為0～30 m導(dǎo)軌，得到幾組直線度測(cè)量數(shù)據(jù)。測(cè)量重疊區(qū)域L12長度為14～18 m位置(含第 3～4根子導(dǎo)軌夾角位置的導(dǎo)軌面)，得到30 m導(dǎo)軌應(yīng)用該方式拼接的直線度值162.6 μm，與直接測(cè)量30 m導(dǎo)軌得到的直線度163.4 μm相差0.8 μm，該拼接方式帶入拼接誤差較小。圖8中夾角一致區(qū)域拼接曲線與直接測(cè)量直線度曲線走勢(shì)一致，二者幾乎相重疊。

圖8 在30 m范圍內(nèi)進(jìn)行夾角一致區(qū)域拼接的驗(yàn)證結(jié)果

表3中給出了2種拼接方式測(cè)得的30 m導(dǎo)軌直線度。

表3 直線度拼接結(jié)果及偏差

從表3可知，斜率一致區(qū)域拼接方式獲取的直線度值與直接測(cè)量得到的直線度值最大相差 165 μm；夾角一致區(qū)域拼接方式得到的直線度值與直接測(cè)量得到的直線度值最大相差10 μm。數(shù)據(jù)表明：前者帶入的拼接誤差較大；后者帶入的誤差則較小。圖9中兩種拼接曲線與實(shí)際直線度曲線的直觀地體現(xiàn)較為直觀的體現(xiàn)出了這一點(diǎn)。

圖9 斜率一直區(qū)域拼接與夾角一致拼接方式比較圖

分析造成這一現(xiàn)象的可能原因：夾角一致區(qū)域拼接方式中選取的測(cè)量重疊區(qū)域?yàn)榫哂蟹€(wěn)定夾角的相鄰子導(dǎo)軌位置，子導(dǎo)軌上測(cè)得的直線度數(shù)據(jù)擬合直線夾角相對(duì)直線度數(shù)據(jù)漂動(dòng)為一宏觀固定特性，單點(diǎn)數(shù)據(jù)漂動(dòng)對(duì)夾角特性影響較小，在進(jìn)行坐標(biāo)變換時(shí)夾角穩(wěn)定使得數(shù)據(jù)漂動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)換矩陣的影響較小，有效地保證了坐標(biāo)變換拼接的精度，拼接誤差較小。反之，選取不含夾角的區(qū)域時(shí)，數(shù)據(jù)漂動(dòng)對(duì)坐標(biāo)變換矩陣影響較大，拼接誤差較大。

4 坐標(biāo)變換法實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果表明夾角一致區(qū)域拼接方式是一種可靠的坐標(biāo)變換拼接方式，應(yīng)用該拼接方式在 72 m 長導(dǎo)軌上分3段進(jìn)行直線度測(cè)量，得到圖10中直線度拼接曲線，應(yīng)用最小二乘法評(píng)定得到72 m導(dǎo)軌的拼接直線度為0.482 mm。

圖10 長導(dǎo)軌72 m范圍內(nèi)的直線度坐標(biāo)變換拼接結(jié)果

由于導(dǎo)軌長度遠(yuǎn)超激光干涉儀直線度測(cè)量量程，為了驗(yàn)證72 m范圍內(nèi)的拼接結(jié)果是否可靠，采用了跨距600 mm，0.01 mm/m分度電子水平儀對(duì)導(dǎo)軌面進(jìn)行垂直方向的直線度測(cè)量。利用最小二乘法評(píng)定后得到電子水平儀測(cè)得直線度值為0.472 mm。比較兩種方式測(cè)得的直線度結(jié)果，兩者相差10 μm，數(shù)據(jù)較吻合，說明夾角一致拼接方式應(yīng)用在長導(dǎo)軌直線度測(cè)量時(shí)較為可靠。

5 結(jié) 論

本文應(yīng)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法來進(jìn)行拼接，拼接過程中發(fā)現(xiàn)僅憑重疊區(qū)域的匹配誤差和斜率一致無法較好減小拼接誤差，在分析了長導(dǎo)軌結(jié)構(gòu)特性與直線度分段測(cè)量特點(diǎn)后，提出了一種將拼接公共點(diǎn)分布在相鄰2節(jié)子導(dǎo)軌上，用相鄰兩節(jié)子導(dǎo)軌夾角測(cè)量數(shù)據(jù)穩(wěn)定的特點(diǎn)，來實(shí)現(xiàn)長導(dǎo)軌直線度高精度拼接的方法。

通過在長導(dǎo)軌30 m范圍內(nèi)的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，對(duì)比了將拼接公共點(diǎn)分布在斜率一致的單根子導(dǎo)軌和分布在含夾角一致的相鄰子導(dǎo)軌上的直線度測(cè)量結(jié)果，當(dāng)直接測(cè)量30 m導(dǎo)軌直線度為163.4 μm時(shí)，單根子導(dǎo)軌上斜率一致區(qū)域拼接方式測(cè)得的直線度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換拼接結(jié)果為140～328.1 μm，夾角一致區(qū)域拼接方式測(cè)得的直線度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換拼接結(jié)果為 153～161.4 μm，夾角一致區(qū)域拼接方式在30 m內(nèi)的直線度拼接誤差小于10 μm。

將夾角一致區(qū)域拼接方式方法應(yīng)用在72 m導(dǎo)軌的直線度測(cè)量上，與水平儀直接測(cè)得的直線度比較，兩種測(cè)量方式得到的導(dǎo)軌直線度僅相差10 μm，結(jié)果表明所提出的拼接方法有利于實(shí)現(xiàn)長導(dǎo)軌直線度的高精度測(cè)量。