從一道中考題看幾何模型大顯神威

文/ 東莞市南城中學 羅愛華

許多中考幾何題一眼看去圖形復雜，但仔細分析便會發(fā)現，里面其實是隱藏著“一線三等角”“一點四線兩等角”等常見的幾何模型。本文精選了一道中考試題，引導學生從圖形特征入手，按照“缺什么作什么”的輔助線原則，巧妙構建出上述兩種幾何模型，最終實現了一圖兩模型、一題五解法。

一、精選試題

幾經周折，筆者終于找到了符合上述要求的題目，即武漢市2014年中考試卷的第16 題。

如圖1，在四邊形ABCD 中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD 的長為 .

圖1

此題分值雖不高，但難度頗大，如果對幾何模型缺乏深入的研究，是很難找到頭緒的。

二、模型特征及其解法分析

（一）一線三等角

1.模型特征

“一線三等角”是指圖中三個相等的角的頂點恰好在同一條直線上。

2.解法展示

首先要弄清下面的三個問題：

（1）為什么會想到用“一線三等角”？

因為題目給出了∠ACB=∠ADC=45°，它們的頂點C、D 恰好在直線DC 上。

（2）如何構造“一線三等角”？

本著“缺什么作什么”的輔助線原則，要構造“一線三等角”，必須在直線DC 上再找一個點，使其成為45°的角的頂點。直接的作法是：延長DC 到點E，使∠CEB=45°，但由于點E 尚未確定，無法作出∠CEB=45°。那就采用間接的辦法，作∠CBE=∠ACD 交DC 的延長線于E，這就相當于∠CEB=45°，如圖2。

圖2

（3）構造“一線三等角”有什么用？

證明兩個三角形相似，如果這兩個三角形有一組對應邊相等，則這兩個三角形全等。

說到“一線三等角”，絕對不能忽略∠CAB 這個直角，因為“一線三等角”是經常跟直角打交道的，經過頂點A 的直線除了構成直角的AC 和AB 外，只剩下DA 了，也就是說，要想構造“一線三等角”，另外兩個直角的頂點必須在直線DA上，輔助線作法：作CF⊥DA 于F，BE⊥DA 交DA 的延長線于E，如圖3。

圖3

（二）一點四線兩等角

1.模型特征

“一點四線兩等角”具有以下的特征：由某一點發(fā)出四條線段，這四條線段恰好是分別相等的兩組線段，而且這四條線段所構成的諸多夾角中有兩個角相等（不屬于對頂角）。

2.解法展示

說句實話，筆者也不是剛開始就想到用“一點四線兩等角”進行求解的，后來發(fā)揮了已知條件∠ABC=∠ACB=45°的作用，得到AC=AB 之后才恍然大悟。

（1）為什么選點A 作為“一點四線兩等角”的一點？

圖1上的A、B、C、D 四個點均發(fā)出了三條線段，之所以選點A，是因為只有以點A 為端點的線段出現了相等的情形（AC=AB）。

（2）為什么針對AD 來添加輔助線？

圖1中以點A 為頂點的三個角中，∠CAB=90°最為特別，而AD并沒有參與。

（3）怎樣作輔助線？

對照“一點四線兩等角”的特征，缺什么就作什么。少了一個90°的角，那就作∠DAE=90°；少了一組相等的邊，那就再要求AE=AD，然后連接DE，如圖4。

圖4

【解法4】整個解答過程與解法3 大同小異，只有兩處不同：①輔助線AE 的作法一樣，但位置不同，如圖5；②用“SAS”證明兩個三角形全等時，證明夾角相等所用的方法不同，解法3 用的是90°與公共角∠CAE 的差，而解法4 用的則是90°與公共角∠DAC 的和。

圖5

【解法5】作AE⊥DC 于E 之后，再作∠EAF=∠CAB=90°，且AF=AE，延長DC 交直線BF 于G，如圖6。

圖6

當然，此題還有其它的解法，比如根據∠CAB=90°構造ΔCAB 的外接圓，但鑒于本文只探究與上述兩種幾何模型相關的解法，故其它的解法不作展示。