連續(xù)變量量子計(jì)算和量子糾錯(cuò)研究進(jìn)展*

王美紅 郝樹宏 秦忠忠 蘇曉龍?

1)(山西大學(xué)光電研究所,量子光學(xué)與光量子器件國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

2)(安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院,馬鞍山 243000)

量子計(jì)算機(jī)在解決某些復(fù)雜問題方面具有經(jīng)典計(jì)算機(jī)無(wú)法比擬的優(yōu)勢(shì).實(shí)現(xiàn)大規(guī)模量子計(jì)算需建立具有通用性、可擴(kuò)展性和容錯(cuò)性的硬件平臺(tái).連續(xù)變量光學(xué)系統(tǒng)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì),是實(shí)現(xiàn)大規(guī)模量子計(jì)算的一種可行途徑,近年來(lái)受到了廣泛關(guān)注.基于測(cè)量的連續(xù)變量量子計(jì)算通過對(duì)大規(guī)模高斯簇態(tài)(cluster 態(tài))的測(cè)量和測(cè)量結(jié)果的前饋來(lái)實(shí)現(xiàn)計(jì)算,為實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算提供了一條可行的途徑.量子糾錯(cuò)是量子計(jì)算和量子通信中保護(hù)量子信息的重要環(huán)節(jié).本文簡(jiǎn)要介紹了基于cluster 態(tài)的單向量子計(jì)算、基于光學(xué)薛定諤貓態(tài)的量子計(jì)算和連續(xù)變量量子糾錯(cuò)的基本原理和研究進(jìn)展,并討論了連續(xù)變量量子計(jì)算面臨的問題和挑戰(zhàn).

1 引言

量子計(jì)算機(jī)有望解決經(jīng)典計(jì)算機(jī)無(wú)法完成的計(jì)算任務(wù),在解決某些復(fù)雜問題方面(如大數(shù)分解[1]、量子模擬[2]等)相比經(jīng)典計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)指數(shù)級(jí)別的加速.相比于經(jīng)典計(jì)算機(jī),量子計(jì)算機(jī)主要有并行性[3,4]和隨機(jī)性[5]兩大特點(diǎn).鑒于量子計(jì)算的巨大潛在價(jià)值,世界各國(guó)積極整合研究力量和資源,開展了相關(guān)研究;同時(shí),大型高科技公司如谷歌、微軟、IBM等也紛紛介入量子計(jì)算研究.

研究表明,量子計(jì)算機(jī)的研制需要七個(gè)階段[6]:1)對(duì)單個(gè)量子比特的運(yùn)算;2)多量子比特的算法;3)用于糾錯(cuò)和控制的量子非破壞(quantum nondemolition,QND)測(cè)量;4)存儲(chǔ)時(shí)間比量子比特退相干時(shí)間更長(zhǎng)的邏輯存儲(chǔ)器;5)對(duì)單個(gè)邏輯量子比特的運(yùn)算;6)多個(gè)邏輯量子比特的算法;7)容錯(cuò)量子計(jì)算.完成這七個(gè)研究階段,將實(shí)現(xiàn)具有通用性、可擴(kuò)展性和容錯(cuò)性的大規(guī)模量子計(jì)算機(jī).

目前,超導(dǎo)系統(tǒng)[7-10]、離子阱系統(tǒng)[11,12]、半導(dǎo)體量子點(diǎn)[13,14]和集成光學(xué)芯片[15,16]等不同系統(tǒng)在量子計(jì)算方面取得了極大的研究進(jìn)展.例如,在超導(dǎo)系統(tǒng)中,2019 年,谷歌公開報(bào)道利用可編程超導(dǎo)量子比特的處理器制備了包含53 個(gè)量子比特量子計(jì)算原型機(jī)“懸鈴木(Sycamore)”,其處理“量子隨機(jī)線路取樣”問題比經(jīng)典超算快2 個(gè)數(shù)量級(jí)[17].2019 年初,中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉教授研究組[18]將一維陣列中的12 個(gè)超導(dǎo)量子比特應(yīng)用到量子行走研究,為多體現(xiàn)象的模擬以及通用量子計(jì)算的研究奠定了基礎(chǔ).2021 年,該研究組先后成功構(gòu)建了包含62 個(gè)量子比特和66 個(gè)量子比特的可編程超導(dǎo)量子計(jì)算原型機(jī)“祖沖之號(hào)”[9]和“祖沖之二號(hào)”[19],并分別演示了二維可編程量子行走和“量子隨機(jī)線路取樣”任務(wù)的快速求解.在光學(xué)系統(tǒng)中,中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉教授研究組[20]于2020 年構(gòu)建了“九章”量子計(jì)算原型機(jī),實(shí)現(xiàn)了“高斯玻色取樣”任務(wù)的快速求解.根據(jù)現(xiàn)有理論,該量子計(jì)算系統(tǒng)處理高斯玻色采樣的速度比目前最快的超級(jí)計(jì)算機(jī)快一百萬(wàn)億倍.隨后,該研究組構(gòu)建了113 個(gè)光子144 模式的“九章二號(hào)”量子計(jì)算原型機(jī)[21].

然而,目前實(shí)際量子算法的執(zhí)行仍然具有挑戰(zhàn)性.實(shí)現(xiàn)大規(guī)模量子計(jì)算機(jī)需要實(shí)現(xiàn)通用、可擴(kuò)展和容錯(cuò)的量子計(jì)算.由于光學(xué)系統(tǒng)不需要低溫或真空環(huán)境,且具有與環(huán)境的相互作用較弱等優(yōu)勢(shì),因此具有良好的可擴(kuò)展性和容錯(cuò)性.量子信息科學(xué)根據(jù)所采用的量子系統(tǒng)本征態(tài)具有分離譜或是連續(xù)譜結(jié)構(gòu)而劃分為離散變量(describe variables,DV)與連續(xù)變量(continuous variables,CV)兩類.離散變量編碼在有限維希爾伯特空間,連續(xù)變量編碼在無(wú)限維希爾伯特空間.基于DV和CV 系統(tǒng)的光量子信息處理各有優(yōu)缺點(diǎn),正在并行發(fā)展[22,23].離散變量系統(tǒng)使用光子的偏振和原子的自旋等編碼信息,可以獲得最大糾纏度,但糾纏的產(chǎn)生通常是概率性的.而連續(xù)變量系統(tǒng)通常使用光場(chǎng)的正交振幅和正交位相編碼,其糾纏的產(chǎn)生是確定性的,但無(wú)法獲得完美的糾纏[24,25].

鑒于連續(xù)變量在無(wú)限維空間編碼信息的獨(dú)特優(yōu)勢(shì),近年來(lái)基于連續(xù)變量的量子計(jì)算引起了越來(lái)越多關(guān)注,如高斯玻色采樣及其相關(guān)算法[26-29]、基于連續(xù)變量的量子機(jī)器學(xué)習(xí)[30-32]、和其他連續(xù)變量量子算法和模擬[33,34].本文簡(jiǎn)要介紹基于光場(chǎng)的連續(xù)變量量子計(jì)算和量子糾錯(cuò)的基本原理和研究進(jìn)展.

2 連續(xù)變量量子邏輯門

2.1 連續(xù)變量

基于光場(chǎng)的連續(xù)變量量子信息處理通常將信息編碼到光場(chǎng)的正交分量,通過對(duì)其進(jìn)行操控和測(cè)量實(shí)現(xiàn)量子信息處理.光場(chǎng)的正交振幅和正交位相分量可以通過平衡零拍探測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)量,其示意圖如圖1 所示.在平衡零拍測(cè)量中,待測(cè)信號(hào)光場(chǎng)和本地振蕩光場(chǎng)在一個(gè)50∶50 分束器上耦合,然后將耦合后的兩束光進(jìn)入光電管進(jìn)行測(cè)量.輸出光場(chǎng)表示為

圖1 平衡零拍探測(cè)系統(tǒng)示意圖[36]Fig.1.Schematic of balance homodyne detection[36] .

其中第一項(xiàng)和第二項(xiàng)為光電流的直流部分.當(dāng)本地光的能量足夠大時(shí),方程(5)的第三、四項(xiàng)可以忽略,輸出光電流的起伏為

因此,通過改變相對(duì)位相?,可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)光場(chǎng)不同正交分量的測(cè)量.當(dāng)?0和?π/2,光電流差分別表示為和即分別對(duì)應(yīng)待測(cè)光場(chǎng)的正交振幅和正交位相分量.如果我們所測(cè)量的信號(hào)光為壓縮光,為了測(cè)定壓縮度,則需要確定與之相應(yīng)的散粒噪聲極限(shot noise limit,SNL).為此,實(shí)驗(yàn)中可以擋住信號(hào)光場(chǎng)(相當(dāng)于輸入真空?qǐng)?,則此時(shí)平衡零拍探測(cè)系統(tǒng)輸出的光電流為真空?qǐng)龅脑肼?即SNL.

2.2 量子邏輯門

量子邏輯門是實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算的核心.離散變量量子計(jì)算以|0〉和|1〉作為計(jì)算基矢實(shí)現(xiàn)量子信息處理,其基本信息單元是量子比特(qubits);而連續(xù)變量量子計(jì)算將無(wú)限維希爾伯特空間的{|s〉x}s∈R作為計(jì)算基矢,其基本信息單元是量子模式(qumodes).表1 總結(jié)了離散變量和連續(xù)變量量子邏輯門的比較.連續(xù)變量量子邏輯門根據(jù)其哈密頓量的不同分為高斯量子邏輯門和非高斯量子邏輯門.哈密頓量為2 階及其以下的為高斯量子邏輯門,反之則為非高斯量子邏輯門.高斯量子邏輯門將輸入的高斯態(tài)變換為另一個(gè)高斯態(tài).在高斯量子邏輯門的基礎(chǔ)上至少增加一個(gè)非高斯操作即可實(shí)現(xiàn)通用量子計(jì)算.下面是幾種典型的連續(xù)變量量子邏輯門.

圖2 平移算符對(duì)量子態(tài)的作用效果[39]Fig.2.Effect of displacement operation on quantum state[39].

表1 離散變量和連續(xù)變量量子邏輯門的比較[37]Table 1.Comparison between quantum logical gates with describe variables and continuous variables[37].

當(dāng)θπ 時(shí),輸入態(tài)變換為

單模和雙模高斯門可以組合成任意多模高斯門.經(jīng)過高斯邏輯門操作,輸入態(tài)的正交分量呈現(xiàn)線性變換.然而高斯量子邏輯門僅能實(shí)現(xiàn)高斯運(yùn)算,無(wú)法完成任意的幺正量子邏輯門操作.

8)非高斯量子邏輯門在任意高斯操作的基礎(chǔ)上,至少增加一個(gè)非高斯操作即可實(shí)現(xiàn)通用量子計(jì)算,因此非高斯邏輯門是連續(xù)變量量子計(jì)算的一個(gè)關(guān)鍵組成部分[40,41].典型的非高斯邏輯門通常表示為,其中n≥3,t表示非線性相互作用.經(jīng)過非高斯邏輯門操作后,輸出態(tài)正交分量變換為

3 基于cluster 態(tài)的連續(xù)變量量子計(jì)算

3.1 基于測(cè)量的連續(xù)變量量子計(jì)算

量子計(jì)算有兩種模型: 一種是量子線路模型,另一種是基于測(cè)量的量子計(jì)算模型,也被稱為單向量子計(jì)算[42].單向量子計(jì)算基于大規(guī)模簇態(tài)(cluster態(tài))執(zhí)行測(cè)量,通過測(cè)量結(jié)果的前饋來(lái)實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算.在光學(xué)系統(tǒng)中,量子比特的測(cè)量通常比基于量子線路模型的量子門更容易,并在特定cluster 態(tài)下僅使用單個(gè)量子比特測(cè)量可實(shí)現(xiàn)通用量子計(jì)算[43].因此,單向量子計(jì)算已經(jīng)成為實(shí)現(xiàn)大規(guī)模光量子計(jì)算的一種重要模型.

Cluster 態(tài)是一種具有相鄰相互作用的多體糾纏態(tài)[38,44],是單向量子計(jì)算[43,45,46]和量子網(wǎng)絡(luò)[47-49]的基本量子資源.連續(xù)變量cluster 態(tài)的糾纏結(jié)構(gòu)示意圖如圖3 所示,圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)qumode,節(jié)點(diǎn)間的連接代表相鄰節(jié)點(diǎn)相互作用.

圖3 多組份cluster 態(tài)示意圖 (a)四組份線性cluster態(tài)[45];(b)二維cluster態(tài)[45];(c)三維cluster態(tài)[45]Fig.3.Schematic of multipartite cluster entangled states:(a)Linear four-mode cluster state[45];(b)two-dimensional cluster state[45];(c)three-dimensional cluster state[45].

連續(xù)變量cluster 態(tài)的量子關(guān)聯(lián)形式為[38,44]

式中,a∈G表示cluster 態(tài)所代表的圖G(graphG)的節(jié)點(diǎn)[50],而模式b∈Na是與模式相連的鄰點(diǎn),表示額外噪聲.具有方程(16)形式的多體糾纏態(tài)被稱為連續(xù)變量cluster 態(tài),方程(16)被稱為nullifier.在理想壓縮情況下,N模連續(xù)變量cluster態(tài)是各個(gè)模式正交分量線性疊加算符的零本征值態(tài),即0 .由于一次測(cè)量?jī)H破壞與其相鄰節(jié)點(diǎn)間的相互作用,而其余模式間的糾纏仍然存在,因此cluster 態(tài)具有良好的糾纏保持特性.

利用光場(chǎng)不同自由度的復(fù)用技術(shù)可實(shí)現(xiàn)不同尺度cluster 態(tài)的實(shí)驗(yàn)制備.目前發(fā)展的復(fù)用技術(shù)主要包括空間、時(shí)間和頻率復(fù)用技術(shù).將實(shí)驗(yàn)獲得的壓縮態(tài)光場(chǎng)經(jīng)過特定的分束器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)耦合,可以實(shí)現(xiàn)空間復(fù)用cluster 態(tài)的制備[51-54].山西大學(xué)在國(guó)際上首次實(shí)驗(yàn)制備了空間分離的連續(xù)變量四組份Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)態(tài)和cluster態(tài)[51],進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)制備了空間分離的連續(xù)變量八組份cluster 態(tài)光場(chǎng)[54],擴(kuò)展了連續(xù)變量cluster 態(tài)的尺度.空間復(fù)用可以方便的將本地操作作用到每個(gè)模式上,然而隨著糾纏模式數(shù)目的增加,分束器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)將會(huì)越來(lái)越復(fù)雜.

光頻梳技術(shù)被應(yīng)用于制備頻率復(fù)用連續(xù)變量cluster態(tài)[55].該方法通過光學(xué)參量放大器的共振頻率模式實(shí)現(xiàn)頻率復(fù)用.2014 年,Chen等[56]實(shí)現(xiàn)了最多60 個(gè)頻率模式的cluster 態(tài).Roslund等[57]和Cai等[58]分別制備了10 個(gè)和13 個(gè)獨(dú)立頻率模式的cluster 態(tài).由于受到位相匹配帶寬的影響,該方法產(chǎn)生的最大頻率梳數(shù)目受到限制,且糾纏模式不易分離.

制備大尺度糾纏態(tài)的另一種方法是時(shí)間復(fù)用.2011 年,Menicucci[59]提出了利用時(shí)間復(fù)用制備任意尺度連續(xù)變量cluster 態(tài)的方法.2013 年,Yokoyama等[60]實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了10000 個(gè)模式cluster 態(tài)的制備.隨后擴(kuò)展到100 萬(wàn)個(gè)光學(xué)模式的糾纏態(tài)[61].2019 年,日本Furusawa 研究組[62]和丹麥Anderson 研究組[63]分別在實(shí)驗(yàn)上成功制備了二維cluster 態(tài).三維cluster 態(tài)是實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)量子計(jì)算的一種重要量子資源[64,65].2020 年,Fukui等[66]提出了一種三維cluster態(tài)的產(chǎn)生方案,并展示該糾纏態(tài)對(duì)基于拓?fù)浔Ｗo(hù)測(cè)量的量子計(jì)算中有限壓縮度產(chǎn)生的模擬誤差具有魯棒性.

3.2 基于測(cè)量的連續(xù)變量量子計(jì)算研究進(jìn)展

光量子計(jì)算的主要挑戰(zhàn)是實(shí)現(xiàn)可以對(duì)量子態(tài)進(jìn)行任意幺正變換的通用量子邏輯門.在實(shí)驗(yàn)中,高斯量子邏輯門的實(shí)現(xiàn)較為簡(jiǎn)單,如平移操作可以通過將輸入態(tài)和有調(diào)制信號(hào)的輔助態(tài)在分束器上耦合實(shí)現(xiàn),旋轉(zhuǎn)操作和分束器操作可以僅通過使用線性光學(xué)元件實(shí)現(xiàn).而非高斯量子邏輯門的實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜.

日本Furusawa 教授研究組實(shí)現(xiàn)了基于測(cè)量的壓縮門[67]、QND門[68]、單向二次位相門[69]和可控位相門操作[70],并提出了利用四組份cluster態(tài)實(shí)現(xiàn)任意壓縮操作的方案[71].我們基于連續(xù)變量四組份cluster 態(tài),通過平衡零拍探測(cè)和電子學(xué)前饋系統(tǒng),實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了連續(xù)變量可控X 量子邏輯操作[72].2014 年,我們實(shí)驗(yàn)演示了基于兩組份糾纏光場(chǎng)的單模壓縮操作和傅里葉變換,實(shí)現(xiàn)了基本的量子邏輯門單元,簡(jiǎn)化了實(shí)驗(yàn)方案、節(jié)省了量子資源[73].僅僅一個(gè)量子邏輯門無(wú)法實(shí)現(xiàn)真正的量子算法.一般,需要連續(xù)執(zhí)行一系列量子邏輯門操作,才能實(shí)現(xiàn)量子算法.我們以連續(xù)變量六組份cluster 態(tài)光場(chǎng)為資源,實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了一個(gè)包含單模壓縮門和可控位相門的連續(xù)變量量子邏輯門序列,展現(xiàn)了連續(xù)變量量子計(jì)算的可行性[74].

近年來(lái),基于時(shí)間復(fù)用cluster 態(tài)的連續(xù)變量量子計(jì)算取得了重要進(jìn)展.2021 年,Asavanant等[75]使用時(shí)間復(fù)用cluster 態(tài)實(shí)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)和shear 等量子邏輯操作.同年,Larsen等[76]基于二維cluster態(tài)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了一組量子邏輯門.

3.3 連續(xù)變量量子計(jì)算的通用性

1999 年,Lloyd和Braunstein[40]提出了用連續(xù)變量構(gòu)建通用量子計(jì)算機(jī)的充要條件.2006 年,Menicucci等[43]提出在實(shí)現(xiàn)任意的多模高斯操作(Clifford 群的操作)的基礎(chǔ)上,至少增加一個(gè)非高斯操作(非Clifford 操作)就可以實(shí)現(xiàn)通用量子計(jì)算.立方位相門是一種典型的非高斯門.2001 年,Gottesman等[77]提出了基于雙模壓縮真空和光子數(shù)分辨探測(cè)器實(shí)現(xiàn)立方位相門的方案,如圖4(a)所示.首先,輸入態(tài)|ψ 〉和三階位相輔助態(tài)|γ 〉執(zhí)行可控X操作后對(duì)量子態(tài)|γ 〉的正交振幅分量進(jìn)行測(cè)量.然后,將測(cè)量的反饋到輸入態(tài)的正交位相分量上最后,通過前饋shear 操作(-2mγ)和平移操作Z(-m2γ)消除 2和m2γ項(xiàng).因此輸出態(tài)表示為

非高斯輔助態(tài)對(duì)立方位相門的實(shí)現(xiàn)非常重要.2016 年,Miyata等[78]提出通過自適應(yīng)非高斯測(cè)量實(shí)現(xiàn)量子立方門,該方法需要制備立方位相態(tài)(cubic phase state).2018 年,Sabapathy和Weedbrook[79]提出通過使用壓縮態(tài)、分束器耦合BS、平移操作Z和依賴于單光子計(jì)數(shù)結(jié)果的壓縮操作,可實(shí)現(xiàn)三階立方位相門輔助態(tài)|γ 〉的制備,其制備線路圖如圖4(b)所示.然而,該方案對(duì)壓縮度提出較高的要求.而Fock 態(tài)的疊加可以被看作是立方位相態(tài).目前,弱立方位相態(tài)|0〉+c|1＆3〉已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)制備[80].

3.4 連續(xù)變量量子計(jì)算的可擴(kuò)展性

構(gòu)建量子計(jì)算機(jī)需要擴(kuò)展量子計(jì)算機(jī)的規(guī)模,大規(guī)模量子計(jì)算機(jī)的實(shí)現(xiàn)需要有效增加量子比特?cái)?shù).增加量子比特?cái)?shù)目的一種方法是基于時(shí)間復(fù)用連續(xù)變量cluster 態(tài)實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算.目前,采用該方法已經(jīng)能夠產(chǎn)生糾纏模式大于10000 的連續(xù)變量cluster態(tài)[60-63],并且正在開展量子邏輯門研究[75,76].

增加量子比特?cái)?shù)目的另一種方法是采用集成光學(xué)芯片實(shí)現(xiàn)大規(guī)模量子計(jì)算.目前實(shí)現(xiàn)的連續(xù)變量集成光學(xué)芯片主要基于氧化硅、氮化硅和鈮酸鋰(lithium niobate,LiNbO3)三種材料.在氧化硅集成光學(xué)芯片方面,Furusawa 研究組[81]實(shí)現(xiàn)了芯片上連續(xù)變量?jī)山M份糾纏態(tài)的制備.最近,美國(guó)弗吉尼亞大學(xué)實(shí)現(xiàn)了壓縮態(tài)光場(chǎng)和20 對(duì)雙模壓縮態(tài)光場(chǎng)的制備[82].在氮化硅集成光學(xué)芯片方面,已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了最高—1.70 dB 壓縮態(tài)光場(chǎng)的制備[83-85].2021 年,加拿大Zhang等[86]將微環(huán)腔和線路集成在一起,實(shí)現(xiàn)了片上的高斯玻色采樣、分子振動(dòng)光譜和圖形相似性的計(jì)算[15].在鈮酸鋰集成光學(xué)芯片方面,已經(jīng)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了壓縮態(tài)光場(chǎng)[87,88]和雙模糾纏態(tài)的產(chǎn)生和表征[89].2020 年,Yi等[90]和Chen等[91]基于LiNbO3的集成光學(xué)芯片實(shí)現(xiàn)了量子態(tài)的產(chǎn)生和操控.

4 基于光學(xué)貓態(tài)的量子計(jì)算

4.1 基本原理

在量子計(jì)算中,量子態(tài)的疊加原理使得量子計(jì)算機(jī)在處理某些復(fù)雜問題時(shí)能夠具有經(jīng)典計(jì)算機(jī)無(wú)法替代的優(yōu)勢(shì).薛定諤貓態(tài)不僅可以用于探索經(jīng)典和量子物理的邊界[92-94],還可以用于量子計(jì)算、量子隱形傳態(tài)和精密測(cè)量[95-98].光學(xué)薛定諤貓態(tài)是兩個(gè)幅度相同、位相相反相干態(tài)的疊加,被定義為其中N±?0 對(duì)應(yīng)于偶貓態(tài),僅包含偶數(shù)項(xiàng)光子.?π 對(duì)應(yīng)于奇貓態(tài)僅含有奇數(shù)項(xiàng)光子.兩個(gè)相干態(tài)的重疊度為|〈α|-α〉|2光學(xué)薛定諤貓態(tài)是一種非高斯態(tài),可以通過對(duì)一個(gè)高斯態(tài)作用非高斯操作實(shí)現(xiàn).實(shí)驗(yàn)上可以通過從壓縮真空態(tài)中減去光子產(chǎn)生,減去奇數(shù)個(gè)光子制備奇貓態(tài),或者減去偶數(shù)個(gè)光子制備偶貓態(tài)[99].國(guó)際上已經(jīng)有多個(gè)研究組基于此方案成功的產(chǎn)生了尺度較小的光學(xué)薛定諤貓態(tài)[100-103].

光學(xué)薛定諤貓態(tài)是相干疊加態(tài),可以做為量子比特應(yīng)用于量子計(jì)算中.當(dāng)以相干態(tài)為基矢來(lái)編碼qubit 時(shí),光學(xué)薛定諤貓態(tài)中的|-α〉被編碼為|0〉L,|α〉被編碼為|1〉L.基于光學(xué)貓態(tài)的量子計(jì)算要求兩個(gè)相干態(tài)幾乎正交,即重疊部分幾乎為零.當(dāng)|α|2 時(shí),兩個(gè)相干態(tài)的重疊部分≈10-7,也就是說(shuō)|〈α|-α〉|2≈0 .所以產(chǎn)生α≥2 的光學(xué)薛定諤貓態(tài)在連續(xù)變量量子信息處理中有重要意義[95].下面我們介紹基于光學(xué)貓態(tài)的幾種典型量子邏輯門.

1)Bit-flip門也稱為X門.Bit-flip 門表示為它的作用效果為X(μ|-α〉+v|α〉)μ|α〉+ν|-α〉.該邏輯門可以通過將輸入態(tài)相對(duì)于本地振蕩延遲半個(gè)周期來(lái)翻轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)[95].

2)Phase-flip門也稱為Z門.Phase-flip 門的作用效果為對(duì)輸入比特進(jìn)行位相反轉(zhuǎn)操作Z(μ|-α〉+v|α〉)μ|-α〉-v|α〉.實(shí)現(xiàn)phaseflip 門的方案如下[95].將輸入態(tài)μ|-α〉+v|α〉和Bell 糾纏貓態(tài) (|-α,-α〉+|α,α〉)/一個(gè)模式耦合后進(jìn)行Bell 態(tài)測(cè)量,并將測(cè)量結(jié)果反饋至Bell糾纏貓態(tài)的另一個(gè)模式,得到四種輸出結(jié)果: 1)μ|-α 〉+ν|α 〉; 2)μ|-α 〉-v|α 〉;3)μ|α 〉+ν|-α 〉;4)μ|α〉-v|-α 〉.通過使用bit-flip 操作可將3)和4)的錯(cuò)誤反轉(zhuǎn)糾正為3)μ|-α 〉+ν|α 〉,4)μ|-α〉-v|α 〉.因此,在糾正錯(cuò)誤后,得到兩種輸出結(jié)果:1)和3)情況下輸入結(jié)果不變,2)和4)情況下輸入比特發(fā)生位相反轉(zhuǎn)操作.

3)Hadamard門相干態(tài)|±α〉經(jīng)過Hadamard門操作后轉(zhuǎn)換為.實(shí)現(xiàn)Hadamard 門的方案如圖5 所示[104].經(jīng)過平移操作的輸入態(tài)和輔助態(tài)分別經(jīng)過低反射率分束器 B Su后,反射部分在分束器BSΓ實(shí)現(xiàn)不可區(qū)分的減光子操作當(dāng)輸入態(tài)的透射部分在單光子探測(cè)器有響應(yīng)時(shí),即可實(shí)現(xiàn)Hadamard 門變換.

圖5 基于光學(xué)貓態(tài)的Hadamard 門方案示意圖[104]Fig.5.Schematic of Hadamard gate based on optical cat state[104].

4)Phase rotation gate門實(shí)現(xiàn)位相旋轉(zhuǎn)門(phase rotation gate)的方案如圖6 所示[95].首先將輸入態(tài)沿著相空間的虛軸(正交位相方向)做微小平移其輸入態(tài)變換為

圖6 基于光學(xué)貓態(tài)的位相旋轉(zhuǎn)門方案示意圖[95]Fig.6.Schematic of phase rotation gate based on optical cat state[95].

然后將平移后的量子態(tài)和Bell 貓態(tài)的一個(gè)模式進(jìn)行聯(lián)合測(cè)量,并將測(cè)量結(jié)果經(jīng)過X門操作和Z操作糾正后,得到的輸出態(tài)為

其效果為圍繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ.

5)可控位相門可控位相門是一種重要的兩比特量子邏輯門.基于光學(xué)貓態(tài)實(shí)現(xiàn)可控位相門的原理圖如圖7 所示[95].首先將輸入的兩個(gè)量子態(tài):

圖7 基于光學(xué)貓態(tài)的可控位相門方案示意圖[95]Fig.7.Schematic of controlled phase gate based on optical cat state[95].

在分束器上耦合,然后分束器的兩個(gè)輸出態(tài)分別和糾纏貓態(tài)的一個(gè)模式進(jìn)行Bell 測(cè)量,并將測(cè)量的結(jié)果經(jīng)過X操作和Z操作進(jìn)行錯(cuò)誤糾正后得到最終的輸出態(tài)

輸出態(tài)的正負(fù)號(hào)由Bell 測(cè)量的輸出結(jié)果決定.如果選擇?2θα2π/2,該方案即可實(shí)現(xiàn)等價(jià)于可控X量子邏輯門.

4.2 研究進(jìn)展

2003 年,Ralph等[95]理論上提出了利用相干疊加態(tài)實(shí)現(xiàn)單模和雙模量子邏輯門的方案.隨后,研究表明相干疊加態(tài)可以實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)量子計(jì)算[97],并進(jìn)一步提出了單模位相門、雙模位相門、雙模受控位相門以及單模Hadamard 邏輯門的實(shí)驗(yàn)方案[104].2011 年,丹麥Andersen 研究組[105]利用相干疊加態(tài)作為量子比特,實(shí)現(xiàn)了Hadamard 量子邏輯門.2012 年,法國(guó)Grangier 研究組[106]利用減光子操作將一個(gè)奇貓態(tài)轉(zhuǎn)化為偶貓態(tài),實(shí)現(xiàn)了π相移的量子邏輯門.

目前,實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)的基于光學(xué)貓態(tài)的量子邏輯門局限于單模邏輯門,雙模量子邏輯門的實(shí)現(xiàn)仍然具有挑戰(zhàn)性.要想實(shí)現(xiàn)雙模邏輯門,首先需要制備糾纏貓態(tài)(Bell-cat).實(shí)驗(yàn)上制備光學(xué)Bell 貓態(tài)的方法有兩種: 1)將兩個(gè)壓縮真空態(tài)在減光子部分建立糾纏,對(duì)其中一束光進(jìn)行光子計(jì)數(shù).Grangier研究組[107]和Lvovsky 研究組[108]通過該方法分別制備了Bell 貓態(tài).2)直接將薛定諤貓態(tài)與真空態(tài)在50:50 分束器上耦合,產(chǎn)生Bell 貓態(tài).此方案中Bell 貓態(tài)的產(chǎn)率僅取決于薛定諤貓態(tài)本身的產(chǎn)率,但對(duì)應(yīng)Bell 貓態(tài)的尺度將會(huì)降低倍.

5 連續(xù)變量量子糾錯(cuò)

量子態(tài)受到環(huán)境中損耗和噪聲等因素的影響會(huì)導(dǎo)致退相干效應(yīng),從而使得最終輸出態(tài)和輸入態(tài)之前存在誤差.這些誤差會(huì)破壞相干性,降低量子計(jì)算的計(jì)算能力.因此,量子糾錯(cuò)是實(shí)現(xiàn)高保真度量子信息處理的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié).

5.1 玻色子碼

在連續(xù)變量量子糾錯(cuò)中,玻色子碼(Bosonic code)是常用的一種糾錯(cuò)碼.玻色子碼將離散的量子信息編碼到玻色子模式[37],它能夠糾正由于環(huán)境損耗引入的誤差,從而保護(hù)量子信息.連續(xù)變量量子糾錯(cuò)碼有多種玻色子碼,包括九波包編碼[109,110]、五波包編碼[111,112]、Gottesman Kitaev Preskil(GKP)碼[77]、糾纏輔助編碼[113]和量子擦除(quantum erasure)方案[114]等.

研究表明高斯誤差是不能通過純高斯操作來(lái)實(shí)現(xiàn)量子糾錯(cuò)[115].然而,對(duì)于非高斯類型的誤差,可以利用分束器網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)對(duì)輸入模式進(jìn)行編碼,通過耦合適當(dāng)?shù)妮o助模式來(lái)實(shí)現(xiàn)糾錯(cuò)[112].在連續(xù)變量量子糾錯(cuò)中,多種不同結(jié)構(gòu)的糾正單一非高斯誤差的九波包編碼連續(xù)變量量子糾錯(cuò)[116]、量子擦除糾錯(cuò)方案[114]、關(guān)聯(lián)信道糾錯(cuò)方案[117]和五波包編碼量子糾錯(cuò)[118]已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn).研究表明對(duì)于高斯噪聲引入的誤差可以通過光子計(jì)數(shù)進(jìn)行非高斯操作來(lái)實(shí)現(xiàn)量子糾錯(cuò)[119].

5.1.1 五波包編碼量子糾錯(cuò)

與九波包編碼量子糾錯(cuò)相比,五波包編碼量子糾錯(cuò)能夠節(jié)省量子資源,高效的實(shí)現(xiàn)量子糾錯(cuò).1998 年 Braunstein[111]提出了利用五波包結(jié)構(gòu)高效地實(shí)現(xiàn)量子糾錯(cuò)編碼的方案.2010 年,Walker和Braunstein[112]通過使用新的數(shù)學(xué)算法演示了一種可用于五波包量子糾錯(cuò)編碼的線性光學(xué)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).2015 年,Hao 等實(shí)現(xiàn)了糾正單一隨機(jī)誤差的五波包編碼連續(xù)變量量子糾錯(cuò)[118].在該編碼方案中,采用五模連續(xù)變量的糾纏態(tài)光場(chǎng)進(jìn)行編碼.值得注意的是,輸入態(tài)的信息僅僅被編碼在五個(gè)傳輸信道的其中三個(gè)信道,剩余的兩個(gè)信道引入的誤差不會(huì)影響輸出態(tài)的結(jié)果,即輸出量子態(tài)對(duì)這兩個(gè)信道上的誤差有免疫功能.其實(shí)驗(yàn)裝置圖如圖8 所示,采用了真空態(tài)和壓縮態(tài)光場(chǎng)作為輸入信號(hào),驗(yàn)證了任意的單一誤差的量子糾錯(cuò)過程,而且輸出態(tài)的保真度高于相應(yīng)的經(jīng)典極限.

圖8 基于五波包部分編碼方式的連續(xù)變量量子糾錯(cuò)方案[118]Fig.8.Scheme of CV quantum error correction with five-wave-packet code [118].

5.1.2 GKP碼

2001 年,Gottesman等[77]提出一種GKP 碼的編碼方式,可用于實(shí)現(xiàn)通用和容錯(cuò)連續(xù)變量量子計(jì)算.隨后,研究表明GKP 魔術(shù)態(tài)結(jié)合高斯操作和高斯測(cè)量可以實(shí)現(xiàn)通用量子計(jì)算[37].因此GKP編碼提供了一種實(shí)現(xiàn)通用量子計(jì)算的有效途徑.當(dāng)正交振幅和正交位相分量發(fā)生小于糾錯(cuò)閾值的平移誤差時(shí),采用GKP 碼作為糾錯(cuò)量子線路的輔助態(tài),結(jié)合可控X門可分別實(shí)現(xiàn)對(duì)正交振幅和正交位相分量的量子糾錯(cuò)[120].此外,相比于基于貓態(tài)的量子計(jì)算,GKP 編碼具有良好的容錯(cuò)性和對(duì)抗噪聲能力[121].

通過將連續(xù)變量無(wú)限維希爾伯特空間轉(zhuǎn)換為有限維的編碼空間,產(chǎn)生GKP 量子比特.具體而言,GKP 碼將量子比特編碼到諧振子的正交振幅和正交位相分量,如圖9 所示.理想情況下(無(wú)限壓縮),GKP 碼的邏輯和邏輯分別表示為

圖9 GKP 量子比特的編碼方式[77]Fig.9.The codeword for the GKP qubit[77].

目前,超導(dǎo)系統(tǒng)[122]和離子阱系統(tǒng)[123]已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了GKP 量子比特的制備.在光學(xué)系統(tǒng)中,幾種GKP 碼的制備方案已經(jīng)被提出,例如迭代方法[124]和基于可分辨光子數(shù)探測(cè)器的高斯玻色采樣[125,126]等.在迭代方案中,兩個(gè)壓縮貓態(tài)在一個(gè)分束器上耦合,并對(duì)一個(gè)輸出端口的正交位相分量進(jìn)行平衡零拍測(cè)量.當(dāng)測(cè)量結(jié)果接近0 時(shí),另一個(gè)端口為近似的GKP 量子比特.重復(fù)以上迭代過程可以不斷增加GKP 量子比特中的高斯峰的數(shù)目[124].在基于可分辨光子數(shù)探測(cè)器的高斯玻色采樣方案中,首先對(duì)輸入的真空態(tài)分別進(jìn)行平移和壓縮操作,然后通過分束器網(wǎng)絡(luò)干涉,最后對(duì)輸出態(tài)進(jìn)行可分辨光子數(shù)測(cè)量[126].迄今為止,光學(xué)系統(tǒng)GKP 量子比特的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)仍是一個(gè)挑戰(zhàn)性問題.

5.2 拓?fù)浯a

拓?fù)浼m錯(cuò)可以有效地修正量子計(jì)算中的誤差,使得量子計(jì)算可以在高誤差閾值和高容錯(cuò)率前提下被執(zhí)行.研究表明,在量子糾錯(cuò)和容錯(cuò)量子計(jì)算中,對(duì)三維cluster 態(tài)進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟倏鼐湍軐?shí)現(xiàn)量子算法[64,65,127].基于cluster 態(tài)的拓?fù)湫再|(zhì),可以實(shí)現(xiàn)拓?fù)淞孔佑?jì)算和拓?fù)湔`差修正[127-129].2020 年,Fukui等[66]提出了對(duì)有限壓縮度產(chǎn)生的模擬誤差具有魯棒性的三維cluster 態(tài)產(chǎn)生方案.

近年來(lái),一些與連續(xù)變量拓?fù)淞孔佑?jì)算有關(guān)的基本概念已經(jīng)被提出,例如任意子統(tǒng)計(jì)[130]、圖形演化[50]、拓?fù)浯a[131]及其在量子通信中的應(yīng)用[132]、基于任意子的連續(xù)變量量子計(jì)算[133]和容錯(cuò)量子計(jì)算[97,134].2021 年,Hao等[135]提出了基于八組份高斯cluster 態(tài)的連續(xù)變量拓?fù)浼m錯(cuò)方案,方案如圖10所示.首先,該方案提出了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)連續(xù)變量八組份糾纏態(tài)的產(chǎn)生方案,然后設(shè)計(jì)了連續(xù)變量拓?fù)浼m錯(cuò)方案.當(dāng)單個(gè)平移誤差發(fā)生在任意一個(gè)模式和某兩個(gè)模式時(shí),雙模的拓?fù)淞孔雨P(guān)聯(lián)可以糾正誤差.更有趣的是,與離散變量的拓?fù)浼m錯(cuò)方案不同,當(dāng)特定組合的三個(gè)模式發(fā)生相同的誤差時(shí),該方案仍可以有效地識(shí)別和糾正這些誤差.

圖10 基于cluster 態(tài)的連續(xù)變量拓?fù)湔`差修正方案 (a)八組份拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)連續(xù)變量cluster 糾纏態(tài)的圖態(tài)表示[135];(b)產(chǎn)生八組份連續(xù)變量cluster 糾纏態(tài)的分束器網(wǎng)絡(luò)[135]Fig.10.Scheme of topological error correction with CV a Gaussian cluster state: (a)The graph structure of the topological eightpartite CV cluster state;(b)the beam-splitter network for the preparation of the cluster state[135].

6 總結(jié)討論

綜上所述,連續(xù)變量量子計(jì)算以其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)為實(shí)現(xiàn)可擴(kuò)展、通用和容錯(cuò)的量子計(jì)算機(jī)提供了一條可行途徑.經(jīng)過多年的發(fā)展,已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了大尺度cluster 態(tài)的實(shí)驗(yàn)制備和一系列高斯量子邏輯門,展現(xiàn)了連續(xù)變量量子計(jì)算的可行性.然而,面向可實(shí)用的大規(guī)模量子計(jì)算,仍然有一系列挑戰(zhàn)性問題需要解決.在量子計(jì)算的通用性方面,非高斯量子邏輯門是通用量子計(jì)算的重要組成部分.目前光學(xué)系統(tǒng)中制備非高斯量子邏輯門的理論方案已經(jīng)被提出,但非高斯量子邏輯門的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)仍然是連續(xù)變量量子計(jì)算的挑戰(zhàn)之一.在量子計(jì)算的可擴(kuò)展性方面,糾纏模式大于10000 的連續(xù)變量cluster 態(tài)已經(jīng)被制備,為實(shí)現(xiàn)大規(guī)模量子計(jì)算提供了量子資源.然而,隨著光學(xué)模式數(shù)和操作步驟的增加,需要的光學(xué)元件數(shù)目和占用的空間增加,因此急需發(fā)展連續(xù)變量集成光學(xué)芯片.目前已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了基于集成光學(xué)芯片壓縮態(tài)和糾纏態(tài)的制備和操控,但基于集成光學(xué)芯片的量子邏輯門是實(shí)現(xiàn)可擴(kuò)展量子計(jì)算的一個(gè)挑戰(zhàn).在量子計(jì)算的容錯(cuò)性方面,玻色子碼和拓?fù)浯a是最常用的量子糾錯(cuò)碼.GKP 碼是一種較有優(yōu)勢(shì)的玻色子碼,但光學(xué)系統(tǒng)GKP 碼的制備和容錯(cuò)量子計(jì)算仍然具有挑戰(zhàn)性.

本文簡(jiǎn)要介紹了近年來(lái)基于cluster 態(tài)的連續(xù)變量量子計(jì)算、基于光學(xué)薛定諤貓態(tài)的量子計(jì)算和連續(xù)變量量子糾錯(cuò)的基本原理和研究進(jìn)展,并分析了實(shí)現(xiàn)大規(guī)模容錯(cuò)連續(xù)變量量子計(jì)算所面臨的挑戰(zhàn).時(shí)間復(fù)用技術(shù)提供了連續(xù)變量量子計(jì)算所需的大尺度量子資源,為解決可擴(kuò)展性問題提供了一條有效途徑.集成光學(xué)芯片可以解決自由空間尺寸限制的問題,為連續(xù)變量量子計(jì)算的可擴(kuò)展性提供了另一條可行途徑,是發(fā)展實(shí)用化量子計(jì)算的必然趨勢(shì).GKP 碼為實(shí)現(xiàn)通用性和容錯(cuò)性量子計(jì)算提供了可行的解決方案.雖然仍有一系列挑戰(zhàn)性問題亟待解決,連續(xù)變量量子計(jì)算已經(jīng)展現(xiàn)了獨(dú)特的優(yōu)勢(shì),例如“九章”量子計(jì)算原型機(jī)展示了解決高斯玻色采樣難題的優(yōu)勢(shì),具有廣闊的發(fā)展前景.