具有無窮共存吸引子的簡單憶阻混沌系統(tǒng)的分析與實(shí)現(xiàn)*

秦銘宏 賴強(qiáng) 吳永紅

1)(華東交通大學(xué)天佑學(xué)院,南昌 330013)

2)(華東交通大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院,南昌 330013)

3)(武漢理工大學(xué)理學(xué)院,武漢 430074)

利用憶阻器構(gòu)建特殊混沌系統(tǒng)是非常有趣且充滿意義的,本文提出了一個(gè)存在無窮共存吸引子的四維憶阻混沌系統(tǒng),該系統(tǒng)的形式較為簡單卻能夠表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.本文利用數(shù)值仿真手段對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行深入研究,基于分岔圖展現(xiàn)了參數(shù)影響下系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為演化過程,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在不同的參數(shù)下,能夠產(chǎn)生豐富的混沌吸引子與周期吸引子,在相平面圖中觀測到不同初始值下共存的無窮多形態(tài)各異的周期、混沌吸引子,且系統(tǒng)的狀態(tài)變量的震蕩幅度與初始值密切相關(guān).最后,在電路實(shí)驗(yàn)中觀測到與數(shù)值仿真一致的結(jié)果,說明了系統(tǒng)的存在性與可行性.

1 引言

憶阻器是反映磁通與電荷間關(guān)系的第四種基本電路元件[1],具備低能耗、納米級(jí)尺度、非易失性存儲(chǔ)等眾多優(yōu)秀特點(diǎn),因而引起研究人員的廣泛關(guān)注.多共存吸引子是普遍存在于自然和人造系統(tǒng)中的一種特殊現(xiàn)象,能夠極大地提升系統(tǒng)的柔韌性和魯棒性.憶阻器獨(dú)特的非線性特點(diǎn)使得混沌系統(tǒng)易于形成多共存吸引子,因此,探討運(yùn)用憶阻器構(gòu)建具有多共存吸引子的混沌系統(tǒng)有重要的研究價(jià)值.

目前已經(jīng)有大量的多共存混沌系統(tǒng)被發(fā)現(xiàn),其中一類是在已有的混沌系統(tǒng)中選取特定的參數(shù)使得吸引子破裂為多個(gè)獨(dú)立的共存吸引子.如Li和Sprott[2]通過對(duì)Lorenz 系統(tǒng)進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)了其存在的蝴蝶吸引子在一定參數(shù)下能夠破裂為兩個(gè)彼此獨(dú)立的單渦卷吸引子.Xan等[3]在數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)中觀察到,廣義三維Lü混沌系統(tǒng)的四翼吸引子在特定的參數(shù)下可以分裂成多組對(duì)稱的共存吸引子的現(xiàn)象.構(gòu)建多共存混沌系統(tǒng)的常用方法是采用控制手段增加混沌系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的數(shù)量,從而使混沌系統(tǒng)產(chǎn)生多共存吸引子.文獻(xiàn)[4]報(bào)道了一種基于絕對(duì)值函數(shù)與符號(hào)函數(shù)的偏移控制方法,該方法能夠成倍地增加共存吸引子的數(shù)量,且在適當(dāng)?shù)臈l件下這些共存吸引子可以聚合為偽多渦卷吸引子.文獻(xiàn)[5]報(bào)道了一個(gè)新四維Lü混沌系統(tǒng),該系統(tǒng)具有隱藏吸引子且存在多共存現(xiàn)象等豐富的動(dòng)力學(xué)行為.Yan和Xu[6]結(jié)合Silnikov 定理與多零點(diǎn)分段函數(shù),構(gòu)造了一個(gè)能夠調(diào)節(jié)吸引子個(gè)數(shù)的多共存混沌系統(tǒng).三角函數(shù)能夠有效地增加混沌系統(tǒng)的平衡點(diǎn)數(shù)量,使混沌系統(tǒng)更容易產(chǎn)生多共存吸引子,如利用正弦函數(shù)可以構(gòu)造具有無窮多共存吸引子的特殊混沌系統(tǒng)[7-9].一般來說,以增加平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)的方式來設(shè)計(jì)多共存混沌系統(tǒng)所采用的非線性項(xiàng)主要為多項(xiàng)式乘積項(xiàng)、三角函數(shù)、符號(hào)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及它們的耦合項(xiàng),而憶阻器的成功實(shí)現(xiàn)[10]讓這一獨(dú)特的新型非線性元件走進(jìn)人們的視野.

作為一種特殊的非線性元件,憶阻器在構(gòu)建多共存混沌系統(tǒng)方面的優(yōu)越性一經(jīng)發(fā)現(xiàn)就引來眾多學(xué)者的關(guān)注,各種各樣的憶阻混沌系統(tǒng)相繼被提出與研究.部分學(xué)者從經(jīng)典混沌電路出發(fā),通過引入憶阻器或替換電路中的非線性元件來構(gòu)造具有豐富動(dòng)力學(xué)行為的新型混沌電路.Itoh和Chua[11]運(yùn)用分段線性憶阻器替換Chua 二極管,提出了多個(gè)不同的Chua 振蕩器電路.Muthuswamy和Kokate[12]設(shè)計(jì)出基于憶阻器的四維Chua 混沌電路,并對(duì)高維憶阻混沌電路進(jìn)行了研究.Li和Zeng[13]結(jié)合分段線性磁控憶阻器與Twin-T 振蕩器,創(chuàng)造了一種新型無電感非線性振蕩器電路,并利用電路仿真實(shí)驗(yàn)證明了此振蕩器的存在性.還有一些學(xué)者將憶阻器引入經(jīng)典混沌系統(tǒng)中來構(gòu)建更復(fù)雜、具有多共存的新型混沌系統(tǒng).文獻(xiàn)[14]報(bào)道了兩種具有多分段二次非線性憶導(dǎo)函數(shù)的理想磁控憶阻器,將其對(duì)經(jīng)典的蔡氏混沌進(jìn)行改進(jìn),得到能夠產(chǎn)生2N渦卷和2N+1 渦卷的憶阻多渦卷蔡氏混沌電路,并觀察到共存的多渦卷混沌吸引子.Lai等[15]研究了一個(gè)具有無窮多共存吸引子的四維憶阻混沌系統(tǒng),該系統(tǒng)存在無窮多不穩(wěn)定平衡點(diǎn)與豐富的動(dòng)力學(xué)行為,并結(jié)合單片機(jī)證實(shí)了系統(tǒng)的可行性.Li等[16]使用磁控憶阻器替換新四維Lü系統(tǒng)中的耦合參數(shù),得到一個(gè)五維憶阻超混沌系統(tǒng),該系統(tǒng)表現(xiàn)出依賴于憶阻器的初始狀態(tài)的超級(jí)多穩(wěn)態(tài)特性.此外,在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中引入憶阻器也可以產(chǎn)生具有多共存吸引子的混沌行為.Lai等[17]用憶阻器代替記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)突觸,使簡單循環(huán)連接的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生了多吸引子共存的現(xiàn)象.文獻(xiàn)[18]報(bào)道了基于雙曲正切憶阻器突觸的Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中存在的無窮多共存吸引子與復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為現(xiàn)象,該系統(tǒng)能夠產(chǎn)生無窮多個(gè)雙渦卷吸引子,且單個(gè)混沌吸引子中雙渦卷個(gè)數(shù)與系統(tǒng)參數(shù)密切相關(guān).Lai等[19]對(duì)離散神經(jīng)元系統(tǒng)進(jìn)行了深入的研究,在引入離散憶阻器的神經(jīng)元模型中發(fā)現(xiàn)了超混沌、無限多共存的隱藏吸引子等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,通過電路實(shí)驗(yàn)證明了系統(tǒng)的存在性,并且在圖像加密應(yīng)用中取得了不錯(cuò)的效果.由此可見,利用憶阻器探索多共存等特殊混沌系統(tǒng)具有極大的研究價(jià)值.

盡管使用憶阻器構(gòu)造多共存混沌系統(tǒng)早已成為混沌研究的重要內(nèi)容,但設(shè)計(jì)形式簡單、動(dòng)力學(xué)行為豐富的憶阻混沌系統(tǒng)仍是一項(xiàng)有趣且充滿意義的工作.設(shè)計(jì)這類特殊的混沌系統(tǒng)可以從原系統(tǒng)與非線性項(xiàng)這兩個(gè)方面入手: 原系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型越簡單越有可能構(gòu)造出低復(fù)雜性的新混沌系統(tǒng);憶阻器作為一種獨(dú)特的非線性元件使諸多混沌系統(tǒng)表現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)行為,將其作為非線性項(xiàng)引入原系統(tǒng)中可以拓展系統(tǒng)單一的動(dòng)力學(xué)行為,使之產(chǎn)生多共存現(xiàn)象等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.因此,本文在一個(gè)簡單的三維混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上引入三次型磁控憶阻器,設(shè)計(jì)了一個(gè)具有無窮多共存吸引子的新四維混沌系統(tǒng),在參數(shù)改變時(shí)系統(tǒng)能夠產(chǎn)生豐富的混沌吸引子與周期吸引子,在參數(shù)確定而初始條件變化時(shí)系統(tǒng)能夠產(chǎn)生無窮多形態(tài)不盡相同的混沌吸引子與周期吸引子,且系統(tǒng)狀態(tài)變量的震蕩幅度與初始值密切相關(guān).本文不僅通過數(shù)值仿真等手段研究了系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)行為,還在電路實(shí)驗(yàn)中得到與數(shù)值仿真一致的結(jié)果,由此驗(yàn)證了該憶阻混沌系統(tǒng)的存在性與可行性.

2 基于憶阻器的四維混沌系統(tǒng)模型

文獻(xiàn)[20]中提出了一個(gè)三次光滑非線性磁控憶阻器,其數(shù)學(xué)模型為

其中p,q均為正參數(shù);u,i,φ分別為流經(jīng)憶阻器的端電壓、端電流及磁通;W(φ)為具有電阻量綱的憶導(dǎo)函數(shù).

2016 年,Li和Sprott[21]提出了一個(gè)極簡的三維混沌系統(tǒng):

式中,x,y,z為狀態(tài)變量;a為系統(tǒng)參數(shù).選擇系統(tǒng)變量x作為憶阻器的控制電壓,將整個(gè)憶阻輸出項(xiàng)W(w)x作為負(fù)反饋控制引入到系統(tǒng)(2)的第一個(gè)方程中并將系統(tǒng)擴(kuò)展至四維,可以得到具有豐富動(dòng)力學(xué)行為的新憶阻混沌系統(tǒng),在圖1 中給出了系統(tǒng)(2)的電路原理圖及憶阻輸出反饋控制電路圖,新系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型表述如下:

圖1 原系統(tǒng)(2)電路原理圖及憶阻輸出反饋控制電路圖Fig.1.Circuit schematic of the original system (2)and circuit diagram of the memristor output feedback control term.

其中a,b是系統(tǒng)參數(shù).通過分析z2-ay-W(w)x,兩個(gè)方程可知變量w取任何數(shù)值時(shí)均滿足(3)式,因此系統(tǒng)具有無窮多個(gè)平衡點(diǎn).令系統(tǒng)參數(shù)和初始值分別為a1.6,b0.5,p0.2,q0.1和[ 0.1,0.1,0.2,0.5],可觀察到系統(tǒng)(3)的一個(gè)奇怪吸引子,其相平面的投影如圖2 所示,系統(tǒng)(3)相較于原系統(tǒng)有更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為且吸引子的結(jié)構(gòu)也發(fā)生了一定的變化.通過計(jì)算得到系統(tǒng)的最大Lyapunov 指數(shù)與Lyapunov 維度分別為LE10.0805,DL3.030,顯然系統(tǒng)(3)的吸引子是具有分形維數(shù)的混沌吸引子.

圖2 參 數(shù) a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1和初 值 [ 0.1,0.1,0.2,0.5] 時(shí)系統(tǒng)的相平面圖 (a)x-y平 面;(b)x-z平 面;(c)y-z平面;(d)x-w平 面;(e)y-w平 面;(f)z-w平面Fig.2.Phase portraits of the system with parameters a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1 and initial values [ 0.1,0.1,0.2,0.5] :(a)x-yplane;(b)x-zplane;(c)y-zplane;(d)x-wplane;(e)y-wplane;(f)z-w plane.

本文所提憶阻混沌系統(tǒng)的特點(diǎn)是數(shù)學(xué)模型相對(duì)簡單且存在豐富的無窮共存吸引子現(xiàn)象,通過對(duì)比表1 中改進(jìn)文獻(xiàn)[22]所提出的極簡混沌系統(tǒng)的憶阻系統(tǒng),可知系統(tǒng)(3)不僅總項(xiàng)數(shù)較少且非線性項(xiàng)個(gè)數(shù)最少,系統(tǒng)僅通過兩個(gè)非線性項(xiàng)實(shí)現(xiàn)了非常豐富的動(dòng)力學(xué)行為.由此可見,本文提出的系統(tǒng)不僅在改造極簡混沌后具備豐富的動(dòng)力學(xué)行為且系統(tǒng)的構(gòu)成仍保留較低的復(fù)雜性.

表1 系統(tǒng)(3)與部分同類型系統(tǒng)的對(duì)比Table 1.Comparison of system (3)with some systems of the same type.

3 基本動(dòng)力學(xué)特性

3.1 耗散性

由系統(tǒng)(3)的狀態(tài)方程可以得到:

3.2 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性

其中C為任意實(shí)數(shù),所以w坐標(biāo)軸上的點(diǎn)均為平衡點(diǎn),由此可知系統(tǒng)具有一個(gè)線平衡點(diǎn)集.在平衡點(diǎn)處線性化系統(tǒng)(3),得到系統(tǒng)的Jacobian 矩陣如(6)式所示,為了更簡便地表達(dá)平衡點(diǎn)的特征方程對(duì)特征方程的計(jì)算結(jié)果作如下化簡rb+(p+qw2),fb(p+qw2),化簡后平衡點(diǎn)集A 的特征方程如(7)式所示.

根據(jù)特征方程可知系統(tǒng)存在一個(gè)特征根λ00,受零特征根的影響,系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為非雙曲平衡點(diǎn).系統(tǒng)的三個(gè)非零特征根如(8)式所示,其中9fr-2r3,當(dāng)特征方程存在實(shí)部大于零的特征根時(shí),系統(tǒng)的平衡點(diǎn)集是不穩(wěn)定的,當(dāng)λ1,λ2,λ3的實(shí)部均小于零時(shí),此時(shí)可由中心流形定理[25]判定系統(tǒng)平衡點(diǎn)集的穩(wěn)定性.

4 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為分析

4.1 系統(tǒng)隨參數(shù)變化的動(dòng)力學(xué)行為演化分析

系統(tǒng)參數(shù)對(duì)混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為有十分重要的影響,依次選擇參數(shù)a,p,q作為變量,采用分岔圖、Lyapunov 指數(shù)譜、相平面圖等仿真手段分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,著重展示系統(tǒng)隨參數(shù)a變化的動(dòng)力學(xué)行為演化過程.

選擇a作為變化參數(shù),設(shè)置系統(tǒng)(3)的參數(shù)b0.5,p0.2,q0.1 及初始條件為[0.1,0.1,0.2,0.5],在圖3 中繪制了系統(tǒng)狀態(tài)變量x隨參數(shù)a在區(qū)間 [ 0,10] 變化的分岔圖及Lyapunov 指數(shù)譜.通過分析圖3 中的分岔圖發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)隨著參數(shù)a的增大出現(xiàn)了倍周期分岔、反倍周期分岔等現(xiàn)象和三個(gè)不同的混沌分岔區(qū)域,表明系統(tǒng)在不同的a值下呈現(xiàn)多種多樣的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).當(dāng)參數(shù)a在區(qū)間 [ 0,0.35] 持續(xù)增大時(shí),系統(tǒng)從周期態(tài)經(jīng)過倍周期分岔進(jìn)入混沌態(tài),隨后通過反倍周期分岔的方式進(jìn)入到不同的周期軌道;當(dāng)a∈(0.35,4.60] 時(shí),系統(tǒng)(3)在a1.06附近由周期態(tài)快速過渡到新的混沌態(tài),在經(jīng)歷一個(gè)周期—3 窗口后以反倍周期分岔的方式進(jìn)入周期態(tài);而在區(qū)間 (4.60,10] 內(nèi)系統(tǒng)則通過倍周期分岔的途徑,由周期態(tài)進(jìn)入到另一個(gè)新混沌態(tài).值得注意的是在各個(gè)混沌態(tài)中均存在若干大小不一的周期窗口,為了更直觀地驗(yàn)證參數(shù)a對(duì)系統(tǒng)的影響,選取一些具有代表性的a值如表2 所列,采用相平面圖展示系統(tǒng)隨參數(shù)a的動(dòng)態(tài)演化過程,圖4 為表2 所對(duì)應(yīng)的x-w相平面圖.

圖3 參數(shù) b=0.5,p=0.2,q=0.1和初值 [ 0.1,0.1,0.2,0.5] 時(shí)系統(tǒng)隨參數(shù) a∈[0,10] 的分岔圖(a)與Lyapunov 指數(shù)譜(b)Fig.3.Bifurcation diagram (a)and Lyapunov exponent spectrum (b)for system parameters a∈[0,10] withb=0.5,p=0.2,q=0.1 and initial values of [ 0.1,0.1,0.2,0.5] .

圖4 系統(tǒng)參數(shù)為 b=0.5,p=0.2,q=0.1,初值為 [ 0.1,0.1,0.2,0.5] 時(shí),表2 中不同 a值對(duì)應(yīng)的 x-w相平面圖 (a)a=0.1;(b)a=0.15;(c)a=0.155;(d)a=0.2;(e)a=1.6;(f)a=9.1Fig.4.x-wphase plane diagrams corresponding to different avalues in Table 2 for system parameterb=0.5,p=0.2,q=0.1 and an initial value of [ 0.1,0.1,0.2,0.5] : (a)a=0.1;(b)a=0.15;(c)a=0.155;(d)a=0.2;(e)a=1.6;(f)a=9.1.

表2 系統(tǒng)參數(shù)為 b=0.5,p=0.2,q=0.1,初值為[0.1,0.1,0.2,0.5] 時(shí),不同 a 值下吸引子類型及圖像編號(hào)Table 2.Attractor types and image numbers for different a values with system parameter b=0.5,p=0.2,q=0.1 and initial values [ 0.1,0.1,0.2,0.5] .

令p作為變化參數(shù),選取a1.6,b0.5,q0.1,初始條件為 [ 0.1,0.1,0.2,0.5],繪制出系統(tǒng)狀態(tài)變量x隨參數(shù)p在區(qū)間 (0,0.52] 變化的分岔圖及Lyapunov 指數(shù)譜.隨著p的增大,系統(tǒng)(3)從混沌態(tài)依次經(jīng)過多個(gè)較窄的周期窗口與一個(gè)較寬的周期—3 窗口,最終以反倍周期分岔的方式快速過渡到周期態(tài).同理,當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)為a1.6,b0.5,p0.2 且初始值為 [ 0.1,0.1,0.2,0.5] 時(shí),繪制參數(shù)q在區(qū)間 [ 0.1,0.16] 內(nèi)變化的分岔圖及Lyapunov 指數(shù)譜.通過分析分岔圖與Lyapunov 指數(shù)譜可知,隨著q不斷增大,系統(tǒng)總體上呈現(xiàn)由混沌態(tài)向周期態(tài)過渡的趨勢,隨著參數(shù)q的持續(xù)增加,系統(tǒng)逐漸穩(wěn)定于兩條不同的周期軌道,且在q0.107 附近存在一個(gè)周期—3 窗口.圖5和圖6 展示了系統(tǒng)隨參數(shù)p與q變化的分岔圖及Lyapunov 指數(shù)譜.

圖5 系統(tǒng)參數(shù)為 a=1.6,b=0.5,q=0.1,初值為 [ 0.1,0.1,0.2,0.5] 時(shí),系統(tǒng)參數(shù) p∈(0,0.52] 的分岔圖(a)與Lyapunov 指數(shù)譜(b)Fig.5.Bifurcation diagram (a)with Lyapunov exponent spectrum (b)for system parameters p∈(0,0.52] fora=1.6,b=0.5,q=0.1 and initial values of [ 0.1,0.1,0.2,0.5] .

圖6 系統(tǒng)參數(shù)為 a=1.6,b=0.5,p=0.2,初值為 [ 0.1,0.1,0.2,0.5] 時(shí),系統(tǒng)參數(shù) q∈[0.1,0.16] 的分岔圖(a)與Lyapunov 指數(shù)譜(b)Fig.6.Bifurcation diagram (a)with Lyapunov exponent spectrum (b)for system parameters q∈[0.1,0.16] witha=1.6,b=0.5,p=0.2 and initial values of [ 0.1,0.1,0.2,0.5] .

4.2 系統(tǒng)隨初始值變化的豐富動(dòng)力學(xué)行分析

在給定參數(shù)下系統(tǒng)因初始值的不同而最終形成不同的吸引子,這些吸引子即為共存吸引子[26,27].通過對(duì)系統(tǒng)(3)進(jìn)行多次數(shù)值仿真發(fā)現(xiàn)了大量共存吸引子,一個(gè)具有代表性的例子是系統(tǒng)參數(shù)為a1.6,b0.5,p0.2,q0.1時(shí),設(shè)置初始條件分別為 [ 0.1,0.1,0.2,0.5],[ 0.1,6.6,0.2,0.5]和[0.1,6.9,0.2,0.5]系統(tǒng)可以產(chǎn)生三種不同形態(tài)的混沌吸引子,在圖7(a)中還繪制了此參數(shù)下共存的一些周期吸引子.保持參數(shù)b0.5,p0.2,q0.1 不變,系統(tǒng)(3)在不同的a值下同樣能夠產(chǎn)生多共存吸引子,如a0.2 且初始值為 [ 0.1,0.1,0.2,±0.5] 時(shí)系統(tǒng)共存兩個(gè)結(jié)構(gòu)相似的奇怪吸引子,其最大Lyapunov 指數(shù)分別為0.0447 與0.0412,此參數(shù)下還共存1 個(gè)周期—1,1 個(gè)周期—2,1 個(gè)周期—4 吸引子.當(dāng)a6時(shí),系統(tǒng)共存1 個(gè)周期—1,1 個(gè)周期—2和2 個(gè)混沌吸引子,另取系統(tǒng)參數(shù)a8 時(shí)也發(fā)現(xiàn)存在2 個(gè)周期—1,1 個(gè)周期—2,1 個(gè)混沌吸引子共存的現(xiàn)象.表3 列舉了不同系統(tǒng)參數(shù)下的共存吸引子類型與圖像編號(hào),圖7(a)—(f)為表3 中不同參數(shù)下共存吸引子的x-w平面相圖.

圖7 表3 中的不同系統(tǒng)參數(shù)下的共存吸引子的 x-w相平面圖 (a) a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1;(b) a=0.2,b=0.5,p=0.2,q=0.1;(c)a=6,b=0.5,p=0.2,q=0.1;(d) a=8,b=0.5,p=0.2,q=0.1;(e) a=2,b=0.6,p=0.5,q=0.1;(f)a=0.5,b=0.5,p=0.5,q=0.1Fig.7.x-w phase plane plots of coexisting attractors for different system parameters in Table 3: (a)a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1;(b) a=0.2,b=0.5,p=0.2,q=0.1;(c)a=6,b=0.5,p=0.2,q=0.1;(d) a=8,b=0.5,p=0.2,q=0.1;(e) a=2,b=0.6,p=0.5,q=0.1;(f)a=0.15,b=0.5,p=0.5,q=0.1.

表3 不同系統(tǒng)參數(shù)下系統(tǒng)共存吸引子類型與圖像編號(hào)Table 3.Coexistence of attractor types and image numbers for different system parameters.

進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)參數(shù)確定時(shí)初始值的變化能夠使系統(tǒng)產(chǎn)生無窮多共存吸引子且系統(tǒng)的狀態(tài)變量的震蕩幅度與初始值密切相關(guān),本部分利用x-w相平面圖展示了參數(shù)為a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1 時(shí)這一有趣的現(xiàn)象.保持系統(tǒng)參數(shù)不變,設(shè)置初始值為[0.1,0.1,α,0.5](-3.2 ≤α≤-2.1)時(shí),系統(tǒng)(3)能夠產(chǎn)生無限多共存的周期—1 吸引子,在圖8(a)中展示了部分初始條件[0.1,0.1,α,0.5] (α=— 2.1,— 2.12,— 2.2,— 2.4,—2.6,— 2.8,—3,—3.1,—3.2)下所共存的周期—1 吸引子A1—A9;同理,系統(tǒng)初始條件為[0.1,β,0.2,0.5](β-1,0.1,1,2.2,3,3.8)時(shí)觀察到共存的混沌吸引子B1—B6,如圖8(b)所示.通過圖8(a)可以發(fā)現(xiàn),隨著α的減小吸引子變得更小、更圓滑,在圖8(a)中還展示了吸引子A1,A2的局部放大圖,這說明了在恰當(dāng)?shù)摩寥≈捣秶鷥?nèi)的微小變化都可以產(chǎn)生一個(gè)共存吸引子,這種變化在B 系列共存吸引子中同樣存在,由此可知系統(tǒng)對(duì)初始條件極為敏感,這也證明了系統(tǒng)(3)能夠產(chǎn)生無限多的共存吸引子.

圖8 參數(shù) a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1 時(shí),系統(tǒng)(3)在不同初始條件條件下的A,B 系列多共存引子: (a)共存周期吸引子A1—A9;(b)共存混沌吸引子B1—B6Fig.8.The system (3)with parameters a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1 has multiple coexisting chaotic attractors of series A and B under different initial conditions: (a)Coexisting periodic attractors A1—A9;(b)coexisting chaotic attractors B1—B6.

系統(tǒng)在確定參數(shù)下所產(chǎn)生無限多的共存吸引子與y(0),z(0),w(0)的取值密切相關(guān),并且三者對(duì)于系統(tǒng)吸引子的產(chǎn)生有不完全相同的影響.選取系統(tǒng)的初始狀態(tài)y(0)為控制變量,當(dāng)參數(shù)為a1.6,b0.5,p0.2,q0.1 且初始狀態(tài)為[0.1,y(0),0.2,0.5] 時(shí),狀態(tài)變量x在y(0)∈[-1,8] 的分岔圖與對(duì)應(yīng)的Lyapunov 指數(shù)譜如圖9 所示.分岔圖說明了系統(tǒng)(3)隨著初始條件y(0)的變化時(shí)存在超級(jí)多不同的共存吸引子,觀察Lyapunov 指數(shù)譜可知當(dāng)y(0)在 [-1,-0.57],[-0.26,1.16],[ 1.83,4.65],[ 6.55,7] 區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)的主導(dǎo)的狀態(tài)為混沌態(tài).值得一提的是,經(jīng)過數(shù)值仿真還發(fā)現(xiàn)當(dāng)初始條件中的z(0),w(0)選取恰當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)時(shí),會(huì)造成系統(tǒng)狀態(tài)變量x隨y(0)變化的混沌分岔區(qū)域發(fā)生偏移的有趣現(xiàn)象.這種現(xiàn)象在z(0)或w(0)作為控制變量時(shí)也存在,當(dāng)系統(tǒng)選取不同的系統(tǒng)參數(shù)時(shí)同樣存在.針對(duì)這一現(xiàn)象,在圖10(a)中給出了初始值為 [ 0.1,y(0),1,7] 時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)變量x隨y(0)變化的分岔圖,通過對(duì)比圖9 可知系統(tǒng)的分岔區(qū)域從y(0)∈[-1,8] 變?yōu)?[ 10,20];圖10(b)則展示了系統(tǒng)參數(shù)為a0.2,b0.5,p0.2,q0.1 且w(0)作為控制變量時(shí)系統(tǒng)在[0.1,0.1,0.2,w(0)](藍(lán)色)與 [ 0.1,0.1,2,w(0)] (紫色)兩種初始條件下隨w(0)變化的分岔圖,由圖可知當(dāng)y(0)與z(0)的數(shù)值變化時(shí)w(0)的混沌分岔區(qū)域也存在明顯偏移現(xiàn)象.為了證明系統(tǒng)隨初始值變化時(shí)存在大量不同的共存吸引子,在圖7(a)中展示了參數(shù)為a1.6,b0.5,p0.2,q0.1 且初始條件為[0.1,y(0),0.2,0.5]時(shí)部分共存吸引子,而圖7(b)中則給出了參數(shù)為a0.2,b0.5,p0.2,q0.1 且初始條件為 [ 0.1,0.1,0.2,w(0)] 時(shí)的一些共存吸引子.同一參數(shù)下,選取恰當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)對(duì)初始狀態(tài)量y(0),z(0),w(0)中任意兩者進(jìn)行賦值,則可以得到未被賦值的初始狀態(tài)量的一個(gè)取值區(qū)間,這個(gè)特定的區(qū)間能夠使系統(tǒng)產(chǎn)生多樣的共存吸引子.因此,在確定的參數(shù)下利用系統(tǒng)(3)的這一特點(diǎn)能夠產(chǎn)生無窮多的共存吸引子.

圖9 參數(shù) a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1和初始值 [ 0.1,y(0),0.2,0.5] 時(shí),系統(tǒng)(3)隨初始值 y(0)∈[-1,8] 的分岔圖(a)與Lyapunov 指數(shù)譜(b)Fig.9.Bifurcation diagram (a)of system (3)initial condition y(0)∈[-1,8] for parameter a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1 and initial value [ 0.1,y(0),0.2,0.5] with Lyapunov exponential spectrum (b).

圖10 系統(tǒng)(3)隨初始值變化的分岔圖 (a)參數(shù) a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1 且初值為 [ 0.1,y(0),1,7] 時(shí),系統(tǒng)初始條件y(0)∈[10,20]的分岔圖;(b)參數(shù)為 a=0.2,b=0.5,p=0.2,q=0.1和初值為 [ 0.1,0.1,0.2,w(0)] (藍(lán)色),[ 0.1,0.1,2,w(0)] (紫色)時(shí),系統(tǒng)初始條件 w(0)∈[-2,4] 的分岔圖Fig.10.Bifurcation diagram of system (3)with initial values: (a)Bifurcation diagram of system initial condition y(0)∈[10,20] for parameter a=1.6,b=0.5,p=0.2,q=0.1 with initial value [ 0.1,y(0),1,7];(b)bifurcation diagram of system initial condition w(0)∈[-2,4] for parameter a=0.2,b=0.5,p=0.2,q=0.1 and initial values [ 0.1,0.1,0.2,w(0)] (blue)and[0.1,0.1,2,w(0)](purple).

綜合以上分析可知,系統(tǒng)(3)對(duì)于不同的參數(shù)和初始值表現(xiàn)出不同類型的共存吸引子而參數(shù)與初始值所對(duì)應(yīng)的分岔圖又說明了共存吸引子的產(chǎn)生和變化,無窮多吸引子共存的現(xiàn)象意味著,系統(tǒng)對(duì)參數(shù)和初始值均顯示出敏感性,這也證明了系統(tǒng)確實(shí)存在豐富的動(dòng)力學(xué)行為.

5 電路實(shí)現(xiàn)

電路實(shí)現(xiàn)是混沌系統(tǒng)研究的重要內(nèi)容之一,混沌系統(tǒng)能否實(shí)現(xiàn)硬件電路關(guān)系著其能否在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮作用,因此,本部分結(jié)合系統(tǒng)狀態(tài)方程與電路理論設(shè)計(jì)出系統(tǒng)(3)的等效模擬電路,并通過電路實(shí)驗(yàn)證明了憶阻混沌系統(tǒng)的存在性與可行性.首先對(duì)系統(tǒng)并進(jìn)行時(shí)間尺度變換,令ττ0t,其中τ0100,然后根據(jù)參數(shù)a1.6,b0.5,p0.2,q0.1所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的電路原理圖如圖11 所示,該電路采用線性電阻、電容、運(yùn)算放大器、模擬乘法器等電路元件.其中,運(yùn)算放大器所選擇的工作電壓為±15 V,乘法器的輸出增益為0.1,反相器電路中的電阻為Ri(i9,10,11,12,13,14,15,16)10 k Ω,電容為Ci(i1,2,3,4)100nF.根據(jù)電路原理圖及基爾霍夫定律可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程如(9)式所示.經(jīng)計(jì)算得R10.5 kΩ,R26.25 kΩ,R350 kΩ,R40.25 kΩ,R5R6R810 kΩ,R720 kΩ.根據(jù)所設(shè)計(jì)的電路進(jìn)行電路實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如圖12 所示,在示波器中觀察到的波形圖與圖2所示的相平面圖一致.

圖11 憶阻系統(tǒng)電路原理圖Fig.11.Circuit schematic of the memristive chaotic system.

圖12 電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖 (a)—(d)示波器中 x-y,x-z,y-z,x-w相平面圖Fig.12.Plots of experimental results of the circuit: (a)—(d)the x-y,x-z ,y-zand x-w phase planes in the oscilloscope respectively.

6 結(jié)論

本文通過引入磁控憶阻器在一個(gè)極簡的三維混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)出一個(gè)形式較為簡單卻具有豐富動(dòng)力學(xué)行為的四維憶阻混沌系統(tǒng),系統(tǒng)(3)在不同的初始值下表現(xiàn)出無窮多周期、混沌吸引子共存的現(xiàn)象,且系統(tǒng)的狀態(tài)變量的震蕩幅度與初始值密切相關(guān).通過數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)隨參數(shù)變化能夠產(chǎn)生多樣的混沌吸引子,當(dāng)參數(shù)確定而初始條件變化時(shí),系統(tǒng)則可呈現(xiàn)出無窮多混沌吸引子與周期吸引子共存的現(xiàn)象.此外,以系統(tǒng)狀態(tài)方程與基爾霍夫定律為基礎(chǔ),設(shè)計(jì)出憶阻混沌電路圖并通過電路實(shí)驗(yàn)得到與數(shù)值仿真一致的結(jié)果,進(jìn)而驗(yàn)證了該憶阻混沌系統(tǒng)的存在性與可行性.混沌系統(tǒng)在保密通信、數(shù)字信號(hào)處理、雷達(dá)通信等諸多領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用潛力,而系統(tǒng)(3)存在的豐富的多共存行為使其在這些領(lǐng)域的應(yīng)用中能夠提供更多的可能性.同時(shí)因多共存態(tài)的存在,使得系統(tǒng)能夠表現(xiàn)出較好的柔韌性和魯棒性,具有多種正常運(yùn)行模式而表現(xiàn)出對(duì)工作環(huán)境變化的極強(qiáng)的適應(yīng)性.此外,從彈簧振子、星型齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)、生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等實(shí)際問題中也能夠構(gòu)建出極具研究價(jià)值的多共存混沌系統(tǒng).事實(shí)上,利用憶阻器構(gòu)建多共存混沌系統(tǒng)的研究仍未成熟,此類混沌系統(tǒng)還有很多現(xiàn)象、機(jī)理仍未被學(xué)術(shù)界完全掌握,故由憶阻器構(gòu)建的多共存混沌系統(tǒng)仍有極大的發(fā)展空間與研究價(jià)值.