常見二次曲線中斜率和或積為定值的性質(zhì)探究

湖南省長沙市第一中學(xué)(410005) 李 鑫

一、試題呈現(xiàn)

(1)求C的方程;

(2)點M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足. 證明: 存在定點Q,使得|DQ|為定值.

題1 第一問是過雙曲線上一點A作兩條弦AP和AQ,直線AP和AQ的斜率之和為0,則直線PQ的斜率為定值.題2 的第二問是從橢圓的上頂點P2作兩條弦P2A和P2B,直線P2A和P2B的斜率之和為定值-1, 則直線AB過定點. 題3 的第二問是從橢圓上一定點A作兩條互相垂直的直線AM,AN,其本質(zhì)為AM,AN斜率之積為-1,解題的關(guān)鍵在于求出直線MN過定點. 這三道高考題分別為雙曲線或橢圓上一定點作兩條斜率和或積為定值的直線斜率為定值或直線過定點問題,現(xiàn)將這一問題進行一般化推廣,得到常見二次曲線中的斜率和或積為定值的5 條性質(zhì).

二、推廣探究

對試題一般化,得到如下性質(zhì):

二次曲線Γ:Ax2+By2+Cx+Dy+E=0 上一定點P(x0,y0),過P作直線PA,PB分別交曲線Γ 于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,設(shè)直線PA,PB的斜率分別為k1,k2.

三、性質(zhì)證明及應(yīng)用

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四、結(jié)束語

圓錐曲線中的定點、定值問題是歷年高考考察的熱點與難點, 要求學(xué)生具備較強的推理論證能力和運算求解能力.本文將圓錐曲線中斜率和或積為定值的性質(zhì)進行一般化推廣時含有多個參數(shù),若選擇將直線的方程代入二次曲線的方程,則計算過程十分復(fù)雜,很難處理. 因此在性質(zhì)的探究過程中選用了齊次化聯(lián)立,將直線的斜率作為一元二次方程的實根,利用韋達定理來建立根與系數(shù)的關(guān)系,從而得到直線過定點或斜率為定值. 齊次化聯(lián)立在解決圓錐曲線中的斜率和或積為定值類問題時往往能夠化繁為簡、簡化運算. 學(xué)生在解題過程中一定要認(rèn)真分析、勇于嘗試,多積累一些常用的解題方法和技巧,注重思維深度和廣度的培養(yǎng),不斷提升自身解題能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).