基于等效系統(tǒng)假定的變厚度板彎曲廣義積分變換解

付光明，庹宇航，李明亮，彭玉丹，孫寶江，張 健

(1.中國石油大學(xué)(華東) 石油工程學(xué)院，青島 266580;2.中國石油大學(xué)(華東)，山東省油氣儲運安全重點實驗室，青島 266580；3.中國石油技術(shù)開發(fā)有限公司，北京 100009)

1 引 言

在實際工程中，除了等厚度板之外，變厚度板已經(jīng)逐漸受到工程設(shè)計人員的重視。在航空航天器、新型船艦及建筑等設(shè)計中，變厚度板已經(jīng)成為一種重要的結(jié)構(gòu)元件。變厚度板相比于等厚度板有助于減輕結(jié)構(gòu)元件的重量，提高材料的利用率。因此，變厚度板力學(xué)性質(zhì)的研究有著重要的意義，變厚度板力學(xué)響應(yīng)問題也引起了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。

目前，有限元法、有限差分法[1,2]、積分變換法[3,4]和等幾何法[5]等算法廣泛應(yīng)用于求解各向同性板和正交各向同性板彎曲問題。李銳等[6]通過辛-疊加方法求解了地基上矩形中厚板的彎曲問題。Heydari等[7]利用變分法優(yōu)化了厚度呈線性和二次變化的Pasternak雙參數(shù)彈性地基上圓形功能梯度板的穩(wěn)定性方程，并利用譜里茲法求解該穩(wěn)定性方程，進一步討論了線性、二次厚度變化系數(shù)和材料泊松比等對該圓形功能梯度板屈曲的影響。Zenkour[8,9]采用小參數(shù)法討論了機械外力和濕熱載荷作用下Levy型變厚度薄板的彎曲問題。Zhang等[10]利用二維廣義有限積分變換方法求解了正交各向異性矩形薄板的彎曲解析解。Li等[11]利用有限積分變換法求解了完全夾緊的正交各向異性矩形薄板在任意載荷下的精確彎曲解。Tian等[12]提出了雙有限積分變換法來求解彈性地基上各邊自由的中厚矩形板的彎曲解析解。

廣義積分變換(GITT)是近年發(fā)展起來的一種混合數(shù)值分析方法[13]，目前該計算方法已廣泛應(yīng)用于求解流動與傳熱問題[14-16]、固體力學(xué)問題[17-20]以及結(jié)構(gòu)振動等問題[21-23]。變厚度板相比于等厚度板其彎曲剛度存在明顯的非線性行為，利用廣義積分變換方法求解該問題具有明顯的優(yōu)勢，目前未見相關(guān)的文獻報道。本文建立了求解基于等效系統(tǒng)假定的變厚度板彎曲的廣義積分變換算法。通過求解滿足給定邊界條件的輔助方程的特征函數(shù)和特征值，利用積分變換方法，將變厚度薄板彎曲問題控制方程變換成常微分方程組并進行求解。將本文計算結(jié)果與已發(fā)表的結(jié)果和有限元數(shù)值模擬結(jié)果對比，發(fā)現(xiàn)本文建立的基于廣義積分變換(GITT)的計算結(jié)果滿足精度要求。利用該算法分析了不同邊界條件和載荷分布條件下變厚度薄板的彎曲問題，分析了不同長寬比、邊界約束與載荷條件對變厚度板撓度和彎矩的影響規(guī)律。

2 變厚度薄板彎曲控制方程

考慮長為a，寬為b的各向同性變厚度矩形薄板，如圖1所示?；谛∽冃渭僭O(shè)，橫向載荷作用下的變厚度板彎曲控制方程為

(1)

當考慮板厚度t僅沿y方向發(fā)生變化，即t=t(y)，則方程(1)可簡化為

(2)

式中D=Et3/12(1-ν2)為板的彎曲剛度，ν為泊松比，w為撓度，t為厚度，E為彈性模量。

若變厚度板的厚度t在y方向上滿足

t=t0[1+kfN(y)]

(3)

圖1 變厚度板

變厚度板彎矩方程為

(4a)

(4b)

為了簡化變厚度彎曲控制方程(2)數(shù)值求解的復(fù)雜性，F(xiàn)ertis等[24-26]提出了基于小參數(shù)假定的變厚度板等效系統(tǒng)。根據(jù)該假定，厚度沿y方向呈線性和二次分布的彎曲控制方程可簡化為

(5a)

(5b)

式中w0為厚度為t0的等厚度板在載荷q作用下的撓度，滿足控制方程

4w0=q/D0

(5c)

如圖2所示，考慮三種載荷分布形式，即均布載荷UN，q(x,y)=q0，沿x方向線性分布載荷TX，q(x,y)=q0(2x+a)/2a和沿y方向線性分布載荷TY，q(x,y)=q0(2y+b)/2b。同時，考慮六種邊界條件，如圖3所示，C為固支邊界，S為簡支邊界條件。

圖2 載荷加載

引入無量綱量，

(6)

方程(5)可表示為無量綱形式，

(7a)

(7b)

(7c)

圖3 變厚度板邊界條件

同理，彎矩方程的無量綱形式為

(8a)

(8b)

式中 當N=1和2時，分別為厚度沿y方向呈線性和二次變化時板內(nèi)任意點的彎矩。

簡支邊界條件S和固支邊界條件C滿足

(9)

3 廣義積分變換解的建立

(1) 兩端固定邊界條件CC

(11)

(12a)

(12b)

(2) 一端簡支一端固支邊界條件SC

(13)

(i=1,2,3，…) (14a)

(i=1,2,3，…) (14b)

(3) 兩端簡支邊界條件SS

(15)

(16a)

μi=iπ/2

(i=1,2,3，…) (16b)

特征向量Yi滿足正交特性,

(17)

建立歸一化表達式為

(i=1,2,3,…) (18)

建立方程(7a,7b)的積分變換與逆變換如下,

(19a)

同理，方程(7c)的積分變換與逆變換的表達式為

(19b)

將原方程(7)乘以特征函數(shù)并在[-1,1]區(qū)間積分，利用逆變換公式化簡方程，原偏微分方程(7)可轉(zhuǎn)化為常微分方程組形式為

(20a)

(20b)

(20c)

式中

同理，積分變化后的彎矩方程可表示為

(21a)

(21b)

式中 當N=1和2時,分別為沿y方向呈線性和二次變化的變厚度板內(nèi)任意點彎矩。

考慮ξ方向不同邊界條件如下。

兩端固定邊界條件CC，

(22a)

一端簡支一端固支邊界條件SC，

(22b)

兩端簡支邊界條件SS，

(22c)

表1 變厚度板撓度彎矩和計算結(jié)果及其與文獻[8]數(shù)據(jù)的對比

4 算例與結(jié)果分析

表1為等厚度板(N=0)、厚度沿y軸線性(N=1)和二次(N=2)變化的變厚度板中心點處的撓度和彎矩計算結(jié)果。該算例中，邊界條件為y方向?qū)吂讨方向?qū)吅喼?CSCS)邊界條件，載荷邊界條件為均布載荷(UN)和沿x方向線性分布載荷TX，泊松比為0.3，變厚度系數(shù)k=0.2。通過與文獻[8]的結(jié)果對比，利用GITT方法求得的變厚度板中心處的撓度和彎矩與文獻的結(jié)果吻合較好。

同時，利用GITT方法計算了不同長寬比、載荷分布(UN、TX和TY載荷)以及邊界條件下的變厚度板彎曲問題。圖4～圖6分別表示在不同邊界條件(CCCC，CSCC，CSCS，CSSS，CSSC，SSSS)和載荷分布條件(UN，TX及TY)下變厚度板彎曲撓度的GITT計算結(jié)果(ANA.N)和有限元數(shù)值模擬結(jié)果(FEM.N)的比較，其中，N=1和N=2分別表示變厚度板的厚度沿y軸線性和二次分布。假定泊松比為0.3，變厚度系數(shù)k=0.2?？梢钥闯?，基于GITT的計算結(jié)果(ANA.N)與有限元數(shù)值模擬結(jié)果(FEM.N)吻合較好。

圖4 UN載荷作用下變厚度板撓度與有限元數(shù)值模擬結(jié)果對比

圖5 TY載荷作用下變厚度板撓度與有限元數(shù)值模擬結(jié)果對比

圖6 TX載荷和多種邊界下變厚度板撓度與有限元模擬結(jié)果對比

5 結(jié) 論

本文基于廣義積分變換原理，建立了求解變厚度板彎曲問題的廣義積分變換法GITT算法。通過與已發(fā)表的文獻數(shù)據(jù)和有限元數(shù)值模擬計算結(jié)果比較，證明建立的GITT方法具有較高的計算精度。利用建立的廣義積分變換法算法分析了線性和二次變化的變厚度板在均布載荷UN、載荷沿x方向和y方向線性分布條件下的撓度和彎矩值，同時討論了不同邊界約束條件和長寬比等幾何特征對中心點處撓度的影響規(guī)律，計算結(jié)果可為實際工程計算提供參考。

本文以厚度沿y方向變化為例建立了求解的變厚度板彎曲問題的GITT模型，該方法同樣適用于求解厚度沿x和y兩方向變化以及任意載荷作用下的變厚度板彎曲問題。