張 瓊，杜永峰，朱前坤

(1.蘭州理工大學 防震減災研究所，蘭州 730050；2.蘭州理工大學 甘肅省減震隔震國際合作研究基地，蘭州 730050)

1 引 言

梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用的振動問題具有廣泛的工程背景，如車輛在橋梁上行駛、行人在人行橋上行走以及棧道類運輸系統(tǒng)等均可歸結(jié)為此類問題[1-5]。由于荷載作用位置變化等相關(guān)因素的影響，移動荷載一般具有隨機性，梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用的振動一般也為隨機振動[6-8]。

利用傳統(tǒng)隨機振動方法處理梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用時的隨機振動通常需要大量的計算工作，效率較低。針對這一問題，林家浩等[9]提出了高效精確的虛擬激勵法，該方法在處理非平衡隨機振動問題時最大的特點是將其轉(zhuǎn)化為確定性時間歷程分析，計算效率提高2～4個數(shù)量級。利用虛擬激勵法處理非平衡隨機振動的關(guān)鍵是計算結(jié)構(gòu)在確定性荷載作用下的虛擬響應，現(xiàn)有做法一般是建立有限元模型后再利用振型疊加法計算[7,8]。呂峰等[6]綜合利用虛擬激勵法和精細積分法提出了一種基于有限元的精確高效算法來研究橋梁的隨機動力特性。趙巖等[7]基于虛擬激勵法和傅里葉分析，提出了一種求解移動隨機載荷作用結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機振動的有效頻域法。Caprani[10]基于虛擬激勵法研究了行人通過人行橋時的隨機振動情況。以上研究在計算結(jié)構(gòu)確定性荷載作用下的虛擬響應時利用了振型疊加的思想，均需事先假定振型，而對于半剛性邊界的梁式結(jié)構(gòu)，估算精確的振型較為困難；在振型疊加過程中通常只考慮有限低階振型的貢獻，舍棄了高階振型的影響；對于移動荷載的處理，以上做法要么通過有限元形函數(shù)向量將移動載荷向有限元節(jié)點施加，要么采用精細積分的遞推格式，也較為繁瑣。

可用分布參數(shù)體系的Euler-Bernoulli模型描述梁式結(jié)構(gòu)，其受移動荷載作用的控制方程是含Dirac函數(shù)的偏微分方程[3,11]。Eftekhari[12,13]提出綜合利用微分求積法和積分求積法結(jié)合的方法研究結(jié)構(gòu)受移動荷載作用的受迫振動問題，該方法利用積分求積法離散Dirac函數(shù)，利用微分求積法離散偏微分方程，不必事先假定振型且能考慮高階振型的影響，數(shù)值計算結(jié)果顯示出較高的精度與效率。文獻[4,14]將該方法推廣到人行荷載作用下人行橋振動響應的求解，并與傳統(tǒng)的振型疊加計算結(jié)果對比，證明該方法的高效性，而后又將該方法擴展到半剛性邊界下的人行橋受行人荷載作用的振動響應問題[5]。

基于上述研究，本文提出將微分求積-虛擬激勵方法DQ -PEM用于梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用的非平衡隨機振動問題。利用DQ -IQ法將梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用下含Dirac函數(shù)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為不含Dirac函數(shù)的常微分方程，用DQ法直接將其與時間無關(guān)的微分項轉(zhuǎn)化為代數(shù)項，用IQ法將表示荷載位置變化的Dirac函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)項。將表示荷載位置變化的Dirac函數(shù)視為移動荷載的非平穩(wěn)化函數(shù)，再結(jié)合虛擬激勵法的思想，可得梁式結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)隨機響應。結(jié)合具體算例分析了半剛性梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用的隨機振動問題，討論了不同速度和不同邊界條件等因素對梁式結(jié)構(gòu)隨機振動的影響。

2 梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用的振動方程

2.1 受移動荷載作用梁的振動基本方程

梁式結(jié)構(gòu)受勻速移動荷載作用的振動控制方程為[3,4]

δ(x-vt)F(t)

(1)

式中u(x,t)為梁的位移，v為荷載移動速度，δ(x-vt)為Dirac函數(shù)。

引入如下無量綱量,

(2)

則式(1)變換為

λδ(X-XF(t))

(3)

2.2 邊界條件

則梁式結(jié)構(gòu)半剛性邊界，在X=0處為

(4)

在X=1處為

(5)

2.3 基本方程的離散化

令XF=vt=Xp(1≤p≤n),利用DQ -IQ混合法以及Dirac函數(shù)的性質(zhì)[4,12,13]，式(3)轉(zhuǎn)化為

(6)

微分求積1階權(quán)系數(shù)可顯式計算[15]為

(7)

高階權(quán)系數(shù)則由遞推公式計算為

(8)

四階微分方程每個端點有兩個邊界條件，X節(jié)點選取采用如下形式[15]，

(9)

式中 Δ為相鄰兩邊節(jié)點的距離，Δ可在10-2和10-4之間取值。

積分求積權(quán)系數(shù)Ri為[12]

(10)

式中 ΔXi=Xi + 1-Xi。

式(6)寫成矩陣形式[14]為

(11)

[M]=α[I]， [C]=β[I], [K]=[A](4)

(12)

式中 [A](4)為微分求積4階加權(quán)系數(shù)矩陣[A]，I為n×n的單位矩陣。

根據(jù)荷載在網(wǎng)格點上的靜力平衡，可得到荷載模型[12,14]

(13)

式中XR=Xp-XF(t)，XL=XF(t)-Xp - 1。

2.4 邊界條件的離散化

邊界條件式(4，5)的DQ格式為[4]

u(0,t)=0，

(14a,14b)

u(1,t)=0，

(14c,14d)

式(14a,14c)代入式(14b,14d)后聯(lián)立求解二元一次方程組得

(15a)

(15b)

(16a)

(16b)

(16c)

(16d)

2.5 振動控制方程的離散化及求解

把式(14a,14c,15)代入式(11)得

(i=3,4,…,n-2)(17)

式(17)為二階常系數(shù)微分方程，利用Newmark或精細積分算法即可得到數(shù)值解。

由式(17)退化可得到梁式結(jié)構(gòu)梁頻率特征方程為

s{u}=Ω2{u}

(18)

式中Ω為梁式結(jié)構(gòu)的圓頻率，{u}={u3,u4,…，un - 2}。

3 梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用非平穩(wěn)隨機振動的DQ -PEM法

虛擬激勵法是在橋梁抗震分析中發(fā)展出來的隨機振動系列算法，該方法在處理非平衡隨機振動問題時最大的特點是將其轉(zhuǎn)化為確定性時間歷程分析。盡管式(1)中荷載F(t)是一個平穩(wěn)過程，但由于作用位置不斷變化，加之梁式結(jié)構(gòu)為有限長度，因此對梁式結(jié)構(gòu)而言，外激勵為非平穩(wěn)隨機過程。式(1)右邊的荷載項亦可視為由Dirac函數(shù)與荷載F(t)組成的外激勵均勻調(diào)制模型：

x(t)=δ(x-vt)F(t)

(19)

F(t)為平穩(wěn)隨機過程，假設荷載F(t)的自譜密度為SX X(ω)，構(gòu)造虛擬的移動確定性外部激勵 ，可寫為

(20)

替換式(1)右邊的荷載項，則虛擬響應為

(21)

I(ω,t)為給定的確定性激勵δ(x-vt)exp(iωt)下結(jié)構(gòu)的響應，可由DQ -IQ混合法求得。

由結(jié)構(gòu)的虛擬響應，進一步可得到結(jié)構(gòu)響應的演變譜密度為

SX X(ω)I*(ω,t)IT(ω,t)

(22)

4 非平穩(wěn)隨機振動的DQ -PEM法計算步驟

梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用非平穩(wěn)隨機振動的DQ -PEM法的計算步驟如下。

(2) 已知結(jié)構(gòu)的輸入功率譜SX X(ω)，將整個外荷載的頻率域ω劃分成N段，間隔為Δω，離散后每段外荷載頻率為ωn=nΔω。

(3) 利用DQ -IQ混合法求解每個ωn對應的確定性荷載確定性激勵δ(x-vt)exp(iωnt)作用下結(jié)構(gòu)的響應I(ωn,t)。

(4) 按式(22)求得每個ωn對應的響應的演變功率譜密度SU U(ωn,t)。

5 工程算例

圖2為運用傳統(tǒng)的振型疊加法和DQ -PEM法下的加速度響應，藍線是振型疊加法算出的加速度響應，紅線是DQ -PEM法算出的加速度響應。可以看出，曲線幾乎一致，驗證了DQ -PEM法的準確性。

圖2 加速度響應

5.1 梁式結(jié)構(gòu)自振頻率

5.2 速度對隨機振動響應統(tǒng)計量的影響

圖3為不同移動速度下，簡支梁式結(jié)構(gòu)跨中的位移演變功率譜。為了方便對比數(shù)值結(jié)果，采用荷載瞬時位置(x=Vel·t)表示x軸坐標?？梢钥闯觯菏浇Y(jié)構(gòu)的位移響應功率譜的峰值均在其自振頻率4.77 Hz附近，與荷載移動速度無關(guān)，其峰值由共振現(xiàn)象造成。荷載移動速度為25 km/h，50 km/h 和100 km/h時，對應的位移響應演變功率譜峰值分別為2.87×10-7，2.04×10-7和1.11×10-7m2/Hz，其中50 km/h和100 km/h對應的位移響應演變功率譜峰值為25 km/h時的0.71倍和0.39倍?？梢?，隨著移動荷載速度的增大，荷載作用時間變短，響應演變功率譜的峰值隨之減小，但其頻帶會相應變寬。這一現(xiàn)象與文獻[6，7]一致。圖4為荷載以不同速度通過簡支梁式結(jié)構(gòu)時，其跨中位移響應的時變方差。荷載移動速度為25 km/h，50 km/h和100 km/h對應的位移響應時變方差最大值分別為3.10×10-6m2，2.80×10-6m2和2.24×10-6m2，其中50 km/h和 100 km/h 對應的位移時變方差最大值為25 km/h時的0.90倍和0.72倍?？梢钥闯?，梁式結(jié)構(gòu)跨中處的時變方差最大值隨著荷載速度的增大而減小，最大值出現(xiàn)時間隨著荷載速度的增大而后移。

圖3 不同速度下梁式結(jié)構(gòu)跨中的位移響應演變功率譜

圖4 不同速度下梁式結(jié)構(gòu)跨中的時變方差

5.3 邊界條件對隨機振動的影響

圖5 不同邊界下梁式結(jié)構(gòu)跨中的位移響應演變功率譜

圖6 不同邊界下梁式結(jié)構(gòu)跨中的時變方差

6 結(jié) 論

基于微分求積法和虛擬激勵法，提出了一種求解移動隨機載荷作用下半剛性梁式結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機振動的高效方法。利用 DQ -IQ混合法將含Dirac函數(shù)的梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用的偏微分振動控制方程轉(zhuǎn)化為不含Dirac函數(shù)的常微分方程。同時,將表示荷載位置變化的Dirac函數(shù)視為移動荷載的非平穩(wěn)化函數(shù)，再結(jié)合虛擬激勵法的思想，得到梁式結(jié)構(gòu)在確定性荷載作用下的虛擬響應，進而得到其非平穩(wěn)隨機響應。計算結(jié)果驗證了該方法的準確性與有效性；算例結(jié)果表明，當移動荷載為隨機移動荷載時，響應演變功率譜的峰值出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)自振頻率附近，且梁式結(jié)構(gòu)自振頻率越大，其響應的演變功率譜和時變方差的峰值越小，可通過調(diào)整半剛性系數(shù)，控制梁式結(jié)構(gòu)的響應。