張 杰，李 娟，王書旺，崔榮華，李生權(quán)(揚州大學(xué)電氣與能源動力工程學(xué)院，江蘇 揚州 225127)

1 引言

作為DC-DC變換器的基本拓撲結(jié)構(gòu)，Buck變換器廣泛應(yīng)用于工程實際，如電動汽車和航空航天工程。由于電力電子轉(zhuǎn)換器的開關(guān)操作以及混沌和分叉等現(xiàn)象的存在，Buck變換器也是一個時變非線性系統(tǒng)，同時由于存在的建模誤差和輸出端負載突變等干擾也會對Buck變換器的高效和精確控制性能提出嚴峻挑戰(zhàn)[1,2]。因此，Buck變換器的建模和分析是設(shè)計變換器以滿足實際需求的重要步驟，即模型的精度對最終設(shè)計的性能有至關(guān)重要的影響。到目前為止，許多學(xué)者針對Buck變換器，提出了一些較好的建模方法，并對其動態(tài)行為進行準(zhǔn)確分析[3]。20世紀(jì)70年代，Middlebrook和Cuk提出了狀態(tài)空間平均法，對開關(guān)變換器的建模具有重大意義[4]。隨著開關(guān)變換器向高頻化和高效率發(fā)展，離散時間法、等效小參量法等高精度的建模方法也被提出[5]，提高了開關(guān)變換器的擴展性。

分數(shù)階微積分起源于非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)和積分的推廣，近幾年在建模和控制領(lǐng)域受到越來越多的關(guān)注。文獻[6]對永磁同步電機分數(shù)階建模，較整數(shù)階模型更精確描述了對象的本質(zhì)。文獻[7]基于伯德思想的分數(shù)階控制策略可以保證對慢變干擾和高頻噪聲有足夠的抑制能力，而不降低動態(tài)響應(yīng)速度。其次，學(xué)者們在對實際電感和實際電容數(shù)學(xué)模型的研究中發(fā)現(xiàn)，利用分數(shù)階微積分建模，能更逼近實際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型[8]。

此外，相比傳統(tǒng)整數(shù)階控制器，分數(shù)階控制器增加了更多的調(diào)參自由，因此針對系統(tǒng)對象可以提供更多的控制選擇和更大的靈活性[9-12]。到目前為止，分數(shù)階控制器有很多種。文獻[9]中在傳統(tǒng)PID控制器的基礎(chǔ)上，提出了最優(yōu)分數(shù)階PID控制器的設(shè)計方法，能夠同時滿足頻域和時域兩方面的要求，達到最優(yōu)跟蹤性能。文獻[10]提出了一種將整數(shù)階自抗擾控制(Integer Order Active Disturbance Rejection Control，IOADRC)用于分數(shù)階系統(tǒng)的整數(shù)階控制方案，將分數(shù)階動力學(xué)視為干擾并主動抑制它，利用自抗擾控制實現(xiàn)期望響應(yīng)。文獻[11]提出利用降階擴張狀態(tài)觀測器抵消負載和輸入端電壓變化對控制系統(tǒng)的影響，有效改善控制對象的動態(tài)性能。文獻[12]針對Boost變換器分數(shù)階模型，搭建分數(shù)階PID控制器構(gòu)成全分數(shù)階化的系統(tǒng)，在快速性以及穩(wěn)定性方面具有較好的性能。

本文選取狀態(tài)空間平均法，對Buck變換器進行分數(shù)階建模，并與整數(shù)階模型作比較；在此基礎(chǔ)上，針對所提的Buck變換器分數(shù)階模型，基于串聯(lián)分數(shù)階積分器等效的思想，提出一種分數(shù)階自抗擾(Fractional Order Active Disturbance Rejection Control，F(xiàn)OADRC)設(shè)計方案，并且從理論上證明了所提控制方案的穩(wěn)定性。最后，給出仿真和實驗驗證結(jié)果。

2 Buck變換器的分數(shù)階數(shù)學(xué)建模與分析

2.1 Buck變換器的分數(shù)階數(shù)學(xué)建模

實際實驗中，針對元器件電感和電容的分數(shù)階特性，在建立Buck變換器的數(shù)學(xué)模型時，采用分數(shù)階方法，可以更好地描述系統(tǒng)的動態(tài)行為。分數(shù)階微積分算子的定義如下：

(1)

式中，γ為分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和積分的階次；δ和a為運算的上、下限，則可知分數(shù)階器件電壓電流關(guān)系式如下式所示[13]：

(2)

式中，L為電感；iL、VL分別為電感電流和電感電壓；C為電容；iC為電容電流；vs為輸出端兩端的電壓；α、β分別為電感階次和電容階次，并且滿足條件0<α，β<1。一個典型的基于脈寬調(diào)制的Buck變換器的工作方式如圖1所示，其中T為功率開關(guān)管，VD為續(xù)流二極管，Vin為輸入電壓，R為負載電阻。由于電感的電流和電容的電壓不會突然變化，因此Buck變換器的動態(tài)數(shù)學(xué)模型可以推導(dǎo)如下：

圖1 Buck變換器的平均模型電路Fig.1 Average model circuit of Buck converter

當(dāng)開關(guān)管開通時，電路圖如圖1(b)所示，數(shù)學(xué)模型如下：

(3)

當(dāng)開關(guān)管關(guān)斷時，電路圖如圖1(c)所示，數(shù)學(xué)模型如下：

(4)

由式(3)和式(4)可得系統(tǒng)的平均模型為：

(5)

式中，μ為占空比，μ∈[0,1]。

2.2 模型對比分析

為了驗證所提方法的可行性，基于文獻[14]所提的改進型Oustaloup濾波器，分別搭建Buck變換器的分數(shù)階和整數(shù)階數(shù)學(xué)模型，在Matlab/Simulink軟件中進行仿真分析。在分數(shù)階微積分算法中，擬合頻率段為(1×10-6,1×106)，濾波器階數(shù)為5階；電路中元器件的參數(shù)設(shè)置：電容C為4.7×10-6F，電感L為0.01 H，電阻R為250 Ω，輸入電壓Vin為10 V，占空比μ為0.5。其中，根據(jù)文獻[8]的鏈?zhǔn)浇品?，對不同階次進行比較，最終選取分數(shù)階數(shù)學(xué)模型電感電容的階次為α=β=0.8，整數(shù)階數(shù)學(xué)模型電感電容的階次為α=β=1。

圖2 兩種數(shù)學(xué)模型和實際空載電路的響應(yīng)曲線Fig.2 Response curves of two mathematical models and actual no-load circuits

其中，實際空載電路與分數(shù)階數(shù)學(xué)模型輸出電壓的絕對誤差積分為IAEf=2.7×10-4，與整數(shù)階數(shù)學(xué)模型輸出電壓的絕對誤差積分為IAEi=4.3×10-4，IAEf

3 控制器設(shè)計

3.1 整數(shù)階自抗擾控制器的設(shè)計

根據(jù)文獻[15]選取傳統(tǒng)的整數(shù)階自抗擾控制器，令x1=vs，x2=Dαx1代入式(5)，將模型擴張為：

(6)

式中，R0、Vin0分別為R和Vin的標(biāo)稱值；d為新的狀態(tài)x3，即為總干擾。假設(shè)d為有界干擾，則狀態(tài)方程可被表示為：

(7)

(8)

(9)

u0i=kip(vr-y)-kidξ2

(10)

式中，vr為系統(tǒng)輸出參考值；kip和kid為增益系數(shù)。

3.2 分數(shù)階自抗擾控制器的設(shè)計

針對上述分數(shù)階模型，提出帶有分數(shù)階擴張狀態(tài)觀測器(Fractional Order Extended State Observer，F(xiàn)OESO)的FOADRC[17]，其結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 分數(shù)階自抗擾控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Block diagram of fractional order active disturbance rejection control system

在分數(shù)階思想上，由式(7)得D2αy=D2αx1=buf+d，其中總體控制量uf=u。針對上述變換器模型，設(shè)計對應(yīng)的FOESO為：

(11)

式中，z1、z2、z3分別為x1、x2、x3的估計值，結(jié)構(gòu)如圖3所示，整體結(jié)構(gòu)的控制器設(shè)計為：

(12)

將uf代入FOESO中，產(chǎn)生串聯(lián)分數(shù)階積分器形式D2αy≈u0f，u0f為等效控制率，由此可見系統(tǒng)的相位大于-180°，是穩(wěn)定的系統(tǒng)，因此采用對噪聲不敏感的比例控制器Cf(s)=kfp可以穩(wěn)定，kfp為增益系數(shù)，即控制率為：

u0f=kfp(vr-y)

(13)

3.3 穩(wěn)定性分析

利用分數(shù)階擴張狀態(tài)觀測器將對象進行校正后，本節(jié)對閉環(huán)系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析。

引理[18]：根據(jù)系統(tǒng)階次為α的分數(shù)階傳遞函數(shù)G(s)，令λ=sα，則可以轉(zhuǎn)換為關(guān)于λ的整數(shù)階傳遞函數(shù)G(λ)，那么G(s)穩(wěn)定的條件是當(dāng)且僅當(dāng)λ的所有極點pi均滿足：

(14)

式中，arg(z)為復(fù)變量z的幅角。

經(jīng)過推導(dǎo)，分數(shù)階自抗擾控制系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為如圖4所示的二自由度控制結(jié)構(gòu)，其中，w為外部干擾，Gp(s)為被控對象。由圖4可知，Gp(s)、等效內(nèi)環(huán)控制器Gc(s)、等效前置濾波器H(s)的表達式分別為：

圖4 控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.4 Control structure block diagram

(15)

(16)

(17)

式中，a1、a2為系統(tǒng)模型參數(shù)，于是系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

(18)

令λ=sα，得到：

(19)

于是式(19)的特征方程為：

(20)

根據(jù)引理，選擇合適的控制器參數(shù)使得式(20)滿足|arg(pi)|>απ/2，那么閉環(huán)系統(tǒng)就是有界輸入有界輸出穩(wěn)定的，穩(wěn)定區(qū)域如圖5所示。

圖5 穩(wěn)定區(qū)域示意圖Fig.5 Stable region diagram

4 系統(tǒng)驗證

在本節(jié)中，通過數(shù)值仿真和實驗，將FOADRC與IOADRC的閉環(huán)控制性能進行比較，來驗證所提控制方法的優(yōu)越性。由于不同的應(yīng)用場景對Buck變換器輸出電壓有不同的性能指標(biāo)要求，為提高可參考性，綜合考慮開關(guān)頻率、輸出電壓紋波等因素，本次將選取兩類參數(shù)不同的DC-DC Buck變換器，系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置見表1。

表1 Buck變換器的電路參數(shù)Tab.1 Buck converter circuit parameters

4.1 數(shù)值仿真

首先，根據(jù)式(6)，得出Buck變換器分數(shù)階模型，在Matlab/Simulink環(huán)境中進行仿真，將分數(shù)階自抗擾控制與整數(shù)階自抗擾控制進行對比。在使系統(tǒng)具有相似動態(tài)響應(yīng)速度的參數(shù)設(shè)定前提下，來比較兩種控制方法的抗干擾性。FOADRC控制器中的參數(shù)選擇為kfp=105，ω0=600，α=0.8，IOADRC控制器中的參數(shù)選擇為kip=450，kid=20，ω0=1 000。

在仿真中，首先以第一類變換器為對象，得到負載實驗下的輸出響應(yīng)曲線如圖6所示。在3.5 s時，負載電阻從250 Ω變?yōu)?00 Ω，IOADRC的輸出電壓變?yōu)?.65 V，變化幅度為7%，而FOADRC的輸出電壓變?yōu)?.75 V，變化幅度為5%；在6 s負載電阻變?yōu)?50 Ω，IOADRC的輸出電壓變?yōu)?.4 V，變化幅度8%，而FOADRC的輸出電壓變?yōu)?.26 V，變化幅度為5.2%?？梢钥闯觯?dāng)發(fā)生干擾時，分數(shù)階自抗擾控制與整數(shù)階自抗擾控制都具有好的收斂速度，但是FOADRC能夠使系統(tǒng)的輸出電壓波動更小，抗干擾能力較好。

圖6 第一類中FOADRC和IOADRC在負載變化時的響應(yīng)曲線Fig.6 Response curves of FOADRC and IOADRC in the first category under load changing

考慮到在實際工業(yè)中存在傳感器引起的測量噪聲，因此在仿真中加入隨機噪聲模擬實際情況，兩種控制器對噪聲抑制能力的比較結(jié)果如圖7所示。可以看出，F(xiàn)OADRC與IOADRC相比，由于不含微分項，對噪聲干擾不敏感從而擁有更好的魯棒性。

圖7 第一類中FOADRC和IOADRC在噪聲影響下的響應(yīng)曲線Fig.7 Response curves of FOADRC and IOADRC in the first category under noise influence

選取第二類變換器為對象，模擬實際噪聲對其的干擾，同時在3.5 s將負載電阻由15 Ω變?yōu)?0 Ω，在6 s時將負載恢復(fù)到15 Ω，F(xiàn)OADRC和IOADRC噪聲抑制能力的比較結(jié)果如圖8所示，可以發(fā)現(xiàn)對于不同參數(shù)的Buck變換器，F(xiàn)OADRC都能保證輸出電壓相對穩(wěn)定，遇到擾動變化不激烈。

圖8 第二類中FOADRC和IOADRC在噪聲影響下的響應(yīng)曲線Fig.8 Response curves of FOADRC and IOADRC in the second category under noise influence

4.2 實驗結(jié)果

為了驗證所提出的FOADRC對高頻噪聲的抑制能力，將其與IOADRC進行比較。實驗裝置如圖9所示。NI PCIe-6343采集實時電壓信號輸入到Simulink里desktop real-time環(huán)境下Analog Input模塊里，產(chǎn)生控制量之后由Analog Output模塊經(jīng)NI PCIe-6343采集卡產(chǎn)生實際的電壓控制信號，實現(xiàn)Buck變換器的直流降壓，其中PWM信號是通過比較控制輸入與鋸齒波波形產(chǎn)生的。

首先以第一類變換器為對象，在實際噪聲干擾下，F(xiàn)OADRC(式(12)、式(13))與IOADRC(式(9)、式(10))的閉環(huán)響應(yīng)曲線如圖10所示。顯然，在FOADRC作用下，系統(tǒng)的輸出電壓沒有劇烈的波動，控制量也更加平穩(wěn)，說明對高頻噪聲有良好的抑制能力；為了進一步驗證FOADRC的抗干擾能力，將負載電阻在4.3 s從250 Ω變?yōu)?00 Ω，在7.8 s又變?yōu)?50 Ω，可以發(fā)現(xiàn)FOADRC相較于IOADRC輸出電壓的變化幅度分別減小了7.8%和6.4%，具有較好的魯棒性。

圖10 實際第一類電路中FOADRC和IOADRC的響應(yīng)曲線Fig.10 Response curves of FOADRC and IOADRC in actual first type circuit

將第二類變換器作為對象，在實際噪聲下，在4.9 s將負載電阻由15 Ω變?yōu)?0 Ω，在8.9 s時將負載恢復(fù)到15 Ω，F(xiàn)OADRC與IOADRC的閉環(huán)響應(yīng)曲線如圖11所示。對比之下，F(xiàn)OADRC相較于IOADRC可以使用波動更小的控制量實現(xiàn)穩(wěn)態(tài)輸出。

圖11 實際第二類電路中FOADRC和IOADRC的響應(yīng)曲線Fig.11 Response curves of FOADRC and IOADRC in actual second type circuit

5 結(jié)論

本文基于分數(shù)階微分建模和控制理論，構(gòu)建了Buck變換器分數(shù)階模型，并設(shè)計分數(shù)階自抗擾控制策略。首先Buck電路的分數(shù)階模型相較于整數(shù)階模型更加契合實際電路的工作狀態(tài)；其次通過仿真與實驗結(jié)果，發(fā)現(xiàn)分數(shù)階自抗擾控制器利用波動較小的控制量獲得比整數(shù)階自抗擾控制器更好的電壓跟蹤性能與噪聲抑制能力。