分數(shù)槽集中繞組定子磁動勢的分解

陳會崇, 宋承林

(青島中加特電氣股份有限公司，山東 青島 266400)

0 引 言

一般交流電機定子繞組的每極每相槽數(shù)q為大于1的整數(shù)，節(jié)距y略小于每極槽數(shù)，稱之為分布短距繞組。而分數(shù)槽集中繞組的每極每相槽數(shù)是分數(shù)且q<1，線圈的兩條邊放置在相鄰的槽內(nèi)即y=1。由此可知分數(shù)槽集中繞組的特點有：極對數(shù)p一定時，定子槽數(shù)Q成倍減少，結構簡單，鐵心模具容易加工；線圈數(shù)量少，且相互沒有交叉重疊，端部長度較短，用銅量及銅耗少，方便采用自動嵌線工藝[1-2]。

近10年來，分數(shù)槽集中繞組在永磁同步電動機、永磁無刷電動機、同步磁阻電機[3]和直線電機[4]中得到了越來越廣泛的應用。如小型的外轉子通風機電機和機器人用伺服電機[5]因定子空間小，槽數(shù)不宜過多；低速大轉矩直驅(qū)電機的額定轉速小于100 r/min，需采用較多的極對數(shù),采用分數(shù)槽集中繞組已成這類電機的主流方案。與分布短距繞組的極對數(shù)較直觀不同，分數(shù)槽集中繞組的極對數(shù)與轉子有關。而作為交流電機電磁轉矩不等于零的一個準則，定、轉子極對數(shù)必須相等[6]。本文意從不同的角度解釋這一現(xiàn)象，并為研究新的分數(shù)槽集中繞組提供一種思路。本文分解磁動勢的方法分為兩種:交流電的繞組理論和函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開。

1 單元電機簡介

當定子槽數(shù)Q與極對數(shù)p的最大公約數(shù)t不為1時，可以把整個繞組分成t個完全相同的單元，每一單元有p/t對極和Q/t個槽。由于各個單元的相應槽號在磁場中所處的位置完全相同，所以只需研究一個單元內(nèi)的定子磁動勢即可。如研究27槽24極的電機，可簡化為研究9槽8極。而在低速大轉矩場合廣泛應用的48槽40極、72槽60極、96槽80極等電機，定、轉子的磁場分布與12槽10極的電機等效，可一并研究。

現(xiàn)以12槽雙層集中繞組為例說明。雙層繞組的線圈數(shù)等于槽數(shù)，每相有12/3=4個線圈。為充分利用集中繞組的特點獲得較高的電動勢，需要2個線圈作為一組相鄰，且電流方向相反；為使每相繞組的磁動勢在空間均勻分布，需要2組線圈空間相差180°；因2組線圈對應的轉子極性不同，故電流方向應相反。綜上所述，12槽雙層集中繞組接成一路串聯(lián)時一相的接線方式如圖1所示。

圖1 12槽雙層集中繞組一相展開圖

為簡化分析，這里假設：

(1) 忽略定、轉子鐵心的的磁壓降，不考慮飽和，磁動勢全部作用在氣隙上，且交鏈定、轉子，沒有漏磁；

(2) 氣隙均勻，不考慮永磁體的作用，d軸和q軸的磁導相等。

2 交流電機的繞組理論

2.1 單個線圈的磁動勢

N匝整距線圈通入交流電流，有效值為I，根據(jù)《電機學》繞組理論可知，ν次空間諧波磁動勢幅值

(1)

因為單元電機的定子槽數(shù)與轉子極對數(shù)的最大公約數(shù)為1，故可忽略轉子極對數(shù)，從結構上認為定子繞組為“2極”，整距線圈的“節(jié)距”，即“極距”τ=Q/2=6。

集中繞組的節(jié)距y=1，單個線圈的基波節(jié)距因數(shù):

(2)

單個線圈ν次諧波的節(jié)距因數(shù)

(3)

2.2 一組線圈的磁動勢

一組線圈有兩個線圈，等效后的每極每相槽數(shù)q=2。圖1中兩線圈距離為1個槽，等效后的“機械角度”為π/6，但因電流方向相反，故“電角度”α=5π/6。

線圈組的基波分布因數(shù)：

(4)

線圈組ν次諧波的分布因數(shù)：

(5)

于是，線圈組的磁動勢：

(6)

式中:Nt為線圈組的串聯(lián)總匝數(shù)，Nt=2N；kwν為線圈組ν次諧波的繞組因數(shù)，等于該次諧波節(jié)距因數(shù)與分布因數(shù)之積，即：

kwv=kpvkdv

(7)

可以根據(jù)式(3)、式(5)和式(7)計算繞圈組的繞組因數(shù)?；ǖ?0次諧波的繞組因數(shù)如表1所示。

表1中出現(xiàn)的負號是指該因數(shù)引起的某次諧波的磁動勢與基波磁動勢方向相反。

通過表1可以得到以下結論：

表1 12槽集中繞組一組線圈的繞組因數(shù)

(1) 次數(shù)相差12的諧波，繞組因數(shù)相等，即kν=kν+12。繞組因數(shù)以12為周期出現(xiàn)，這是因為定子槽數(shù)是12。

(2) 一個周期內(nèi)，半周期處和全周期處的繞組因數(shù)為零，即若m為任意自然數(shù)，k12m-6=k12m=0。另外，其他關于6對稱次諧波的繞組因數(shù)相等，即若n為小于6的自然數(shù)，k6m-n=k6m+n。

(3) 一個周期內(nèi)，半周期處兩側的繞組因數(shù)最大，達0.933，說明該次諧波的利用率較高；其他次數(shù)諧波的繞組因數(shù)最高為0.5，幾乎沒有利用價值。

2.3 一相繞組的磁動勢

12槽集中繞組中的一相繞組包含4個線圈，即2個線圈組。這樣一相繞組產(chǎn)生的磁動勢是一個線圈組的2倍。但需注意，因為2個繞圈組在空間相差電角度為π，故相磁動勢不包括偶次諧波。

根據(jù)交流電機的繞組理論，線圈組產(chǎn)生的磁動勢只與槽內(nèi)電流方向有關，而與其接法無關。所以一相的8個線圈邊可以看作4個整距線圈，如圖2所示。而整距線圈所生的為一系列奇次諧波磁動勢。

圖2 一相集中繞組線圈等效成整距線圈

這樣，一相繞組所生的ν次諧波磁動勢幅值

(8)

式中:Nw為線圈組的串聯(lián)總匝數(shù)，此處Nw=4N。

2.4 三相繞組的合成磁動勢

通入正弦交流電流時一相繞組產(chǎn)生的是一系列奇數(shù)次波的脈振磁動勢。三相繞組軸線空間上均勻分布，互差2π/3電角度；三相電流頻率相同，時間上亦互差2π/3電角度。定義A相繞組的軸線為空間原點，A相電流由負變正時為時間原點，那么時間t處距離A相繞組軸線為α角度處A、B、C三相產(chǎn)生的ν次諧波磁動勢：

(9)

式中:ω為電流變化的角速度。

此時此處的三相合成磁動勢為

fν(α,t)=fAν(α,t)+fBν(α,t)+fCν(α,t)

(10)

將式(9)進行三角函數(shù)的積化和差，代入式(10)，并經(jīng)處理后可得到以下結論：

(1) 3以及3的倍數(shù)次諧波磁動勢為0，即單元電機中不存在3及3的倍數(shù)次諧波；

(2) 當ν=6i+1(i=0，1，2，…)時，fν為

fν=1.5Fwvcos(ωt-να)

(11)

基波及諧波合成磁動勢為正向旋轉,轉速為120πω/ν,幅值為1.5Fwν；

(3) 當ν=6i-1(i=1，2，3，…)時，fν為

fν=1.5Fwvcos(ωt+να)

(12)

諧波合成磁動勢為反向旋轉，轉速為120πω/ν，幅值為1.5Fwν。

考慮到基波和各次諧波的繞組因數(shù)，經(jīng)計算可知5次諧波的磁動勢幅值最大。50次以內(nèi)基波和各次諧波磁動勢幅值與5次諧波磁動勢幅值之比如圖3所示。

圖3 12槽集中繞組各次諧波相對值

3 函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開

3.1 單個線圈通電產(chǎn)生的磁動勢

N匝線圈通入電流i，當電流方向為下進上出時，線圈內(nèi)的磁力線從左向右穿過氣隙，如圖4所示。

圖4 單個線圈產(chǎn)生磁通的磁力線

線圈內(nèi)氣隙面積與線圈外氣隙面積之比為1…11，根據(jù)磁路的磁阻R=L/(μ0S)，線圈內(nèi)氣隙的磁阻與線圈外氣隙的磁阻之比為11…1。由于流入線圈內(nèi)氣隙的磁通等于流出線圈外氣隙的磁通，根據(jù)磁路的歐姆定律F=RΦ，線圈內(nèi)氣隙的磁壓降是線圈外氣隙的11倍。以線圈軸線為原點，沿氣隙方向展開，得到線圈產(chǎn)生磁動勢的分布圖，如圖5所示。

圖5 單個線圈的磁動勢

3.2 用傅里葉級數(shù)分解整距線圈磁動勢

若周期函數(shù)f(x)滿足一定的條件[7]，且周期是2π，在[-π,π]內(nèi)，函數(shù)用傅里葉級數(shù)可表示為

(13)

當函數(shù)f(x)已知時，可以求出：

(14)

(15)

(16)

式中:n=1,2,3，…。

把求得的a0，an，bn代入式(13)即可得到f(x)的傅里葉級數(shù)表達式。

傅里葉級數(shù)在電工學中有較廣泛的應用。把線圈或繞組的磁動勢按傅里葉級數(shù)的形式寫出的物理意義是：空間上的矩形波可以分解為幅值不等、周期從一到無窮大的一系列正弦(或余弦)波。

整距線圈在兩側氣隙生成的磁動勢數(shù)值相等，為總磁動勢的1/2；以線圈軸線為坐標原點，沿轉子外徑展開，得到圓周上不同位置磁動勢的相對值:

(17)

計算a0，an，bn:

(18)

解得,當n=0時，a0=0；當n=1,2,3,…時,an為

(19)

bn=0。

實際上，函數(shù)中的n就是磁動勢分析中的諧波次數(shù)ν。以上結果表明：

(1) 磁動勢在橫坐標軸上方和下方的面積相等，所以級數(shù)的常數(shù)項a0/2=0；

(2) 因為把線圈軸線當作了縱軸，原函數(shù)是偶函數(shù)，故級數(shù)沒有正弦分量，bn=0。后續(xù)將盡可能把函數(shù)設為偶函數(shù)，不再計算bn。

(3) 關注an。當n為偶數(shù)時，an=0，這就是繞組理論中強調(diào)的整距線圈沒有偶數(shù)次諧波；當n=4i+1(i=0,1,2,…)時，an>0，說明x=0時(線圈軸線位置)n次諧波的波峰與函數(shù)值同向；當n=4i-1(i=1,2,3,…)時，an<0，說明x=0時n次諧波的波峰與函數(shù)值同反向。

綜上，整距線圈磁動勢(與總磁動勢的相對值)的傅里葉級數(shù)表達式為

-π≤x<π

(20)

繪制原波形和分解后的前4項諧波圖像如圖6所示。

圖6 整距線圈的磁動勢分解

圖6中，曲線1為分解前矩形波磁動勢；曲線2、3、4、5分別為基波、3次、5次、7次諧波磁動勢；曲線6為曲線2～曲線5的疊加?？梢钥闯觯€6和曲線1接近。

3.3 分解集中繞組線圈磁動勢

按3.1節(jié)所述，寫出圖4表示的磁動勢相對值的表達式：

(21)

根據(jù)上文分析，只計算an即可。解得：

(22)

磁動勢相對值的傅里葉級數(shù)表達式：

-π≤x<π

(23)

式(23)表明：

(1) 集中繞組磁動勢既包含奇數(shù)次諧波，也包含偶數(shù)次諧波；

(2) 奇數(shù)次諧波的幅值與整距線圈比較，多出一個系數(shù)sin(nπ/12)，這就是線圈的節(jié)距因數(shù)kpν(習慣上用ν代替n)。

實際上，本節(jié)的分析適用于所有的短距線圈。繪制原波形和分解后的前4項諧波圖像如圖7所示。

圖7 集中繞組線圈的磁動勢分解

圖7中，曲線1為分解前矩形波磁動勢；曲線2、3、4、5分別為基波、2次、3次、4次諧波磁動勢；曲線6為曲線2～曲線5的疊加。

3.4 一相集中繞組線圈的磁動勢

限于篇幅，這里不再推導一個線圈組的磁動勢。總之與單個線圈比較，前面的系數(shù)是繞組因數(shù)，是線圈短距和線圈組分布的綜合影響。現(xiàn)直接寫出一相繞組一個周期內(nèi)的磁動勢相對值表達式:

(24)

按傅里葉級數(shù)形式寫出:

-π≤x<π

(25)

可以看出:

(1) 當n為奇數(shù)時，sin(nπ/3)和sin(2nπ/3)數(shù)值相等。一相繞組的繞組因數(shù)為[sin(nπ/2)- sin(nπ/3)]/2；

(2) 當n為偶數(shù)時，sin(nπ/3)和sin(2nπ/3)數(shù)值相反，an=0，即磁動勢為0。

矩形波和分解后的前4項諧波圖像如圖8所示，各曲線的說明同圖6。

圖8 一相集中繞組的磁動勢分解

三相合成的磁動勢見2.4節(jié)，不再贅述。

4 分數(shù)槽集中繞組的一般規(guī)律

如前所述，采用12槽集中繞組的電機，5次和7次諧波的磁動勢幅值最大，所以12槽的電機通常是5對極或7對極的?？梢岳?次諧波選用5對極的轉子，也可以利用7次諧波選用7對極的轉子，注意電源相序相同時兩種電機的轉向相反。如選用5次諧波，那么7次諧波就是幅值最大、擾動最強的諧波，反之亦然。所以為使電機的性能最優(yōu)，極對數(shù)通常要接近但不等于定子槽數(shù)的一半。進一步總結，分數(shù)槽集中繞組的特點與槽數(shù)有密切的關系。

4.1 定子槽數(shù)和繞組因數(shù)

為使三相電機每相產(chǎn)生的磁動勢均布，定子槽數(shù)Q必須是3的整數(shù)倍。

分數(shù)槽集中繞組中一個線圈的節(jié)矩因數(shù)為

(26)

由于電角度α=(1-2/Q)/π，代入分布因數(shù)的計算公式可知其與q和Q有關(與整數(shù)槽繞組不同)，其分布因數(shù)為

(27)

實際上，式(26)、式(27)是式(3)、式(5)的推廣。繞組因數(shù)的計算見式(7)。

4.2 定子槽數(shù)是偶數(shù)

為使用幅值最大、繞組因數(shù)最高的諧波，電機的極對數(shù)p與定子槽數(shù)的關系為

p=Q/2±1

(28)

定子可以使用單層繞組，但受限較多，如采用雙層繞組，每相可有空間上對稱、電流方向相反的兩組線圈，前面已經(jīng)分析了產(chǎn)生的磁動勢不含偶數(shù)次諧波。又因為兩組線圈的相位重合，所以它們之間既可以串聯(lián)，也可以并聯(lián)，即并聯(lián)路數(shù)可選1和2。但因為單元電機內(nèi)繞組只能等效成2極，所以最多只能有兩組線圈，并聯(lián)路數(shù)不會大于2。

4.3 定子槽數(shù)是奇數(shù)

為使用幅值最大、繞組因數(shù)最高的諧波，電機的極對數(shù)p與定子槽數(shù)的關系為

p=(Q±1)/2

(29)

但是因為槽數(shù)是奇數(shù)，只能采用雙層繞組，且線圈數(shù)等于槽數(shù)，也是奇數(shù)。這樣在常用的三相電機中，每相線圈數(shù)也是奇數(shù)。所以此時一相繞組的并聯(lián)路數(shù)只能為1路。每相線圈無法等效為整距線圈，故其磁動勢分解后既有奇數(shù)次諧波，也有偶數(shù)次諧波。

5 結 語

雖然分數(shù)槽集中繞組的單元電機中定子槽數(shù)和轉子極對數(shù)可以有若干種組合[8]，當選用的極對數(shù)接近但不等于定子槽數(shù)的一半，且槽數(shù)不太少時(如大于9)，極對數(shù)與槽數(shù)的最小公倍數(shù)足夠大，這樣定子齒諧波較小，改善了氣隙磁場波形，所以大大降低了電機的轉矩波動。這也是分數(shù)槽集中繞組的優(yōu)點之一。

與以基波作用的磁場作為電樞磁場參與能量轉換不同，分數(shù)槽集中繞組產(chǎn)生的磁場較為復雜。所以如果拋開轉子，在不知電機極數(shù)的情況下，稱該定子為“分數(shù)槽”，是有歧義的。因為定子轉子的極對數(shù)必須相等，所以原則上可以說，只要磁動勢分解后包含與轉子極對數(shù)對應的諧波，電機就可以運行，即參與工作的磁動勢諧波次數(shù)就是定子的極對數(shù)。為了最大程度地利用定子磁動勢，需要選擇合適的轉子極對數(shù)與定子槽數(shù)匹配。