EGM2008 模型GNSS 高程轉(zhuǎn)換在山區(qū)地形圖測(cè)量的研究

劉政綱,梁迎春*

（1. 湖北省國土測(cè)繪院，湖北 武漢 430010）

隨著測(cè)量技術(shù)的發(fā)展，GNSS 測(cè)量得到的點(diǎn)位具有厘米級(jí)甚至毫米級(jí)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，但GNSS 技術(shù)測(cè)量得到的是大地高，而我國高程系統(tǒng)采用的是正常高，GNSS 高程不能直接應(yīng)用于工程項(xiàng)目。正常高測(cè)量方法主要是水準(zhǔn)測(cè)量和三角高程測(cè)量，測(cè)量程序繁雜，成本高、效率低，在地形復(fù)雜和大面積區(qū)域的測(cè)區(qū)費(fèi)時(shí)費(fèi)力，正常高測(cè)量成為影響項(xiàng)目進(jìn)度的關(guān)鍵[1-2]。將GNSS 技術(shù)測(cè)得的大地高轉(zhuǎn)換為工程項(xiàng)目使用的正常高，長(zhǎng)期以來都是測(cè)量技術(shù)人員探索研究的熱點(diǎn)。

1 EGM2008重力場(chǎng)模型

EGM2008重力場(chǎng)模型是2008年4月，由美國國家地理空間情報(bào)局（NGA）研制并推出的新一代地球重力場(chǎng)模型，模型的階次至2 159 次（另外球諧系數(shù)的階數(shù)已經(jīng)擴(kuò)展至2 190次），相當(dāng)于模型的空間分辨率約為5′ （約9 km）。該模型采用了GRACE衛(wèi)星跟蹤數(shù)據(jù)、衛(wèi)星測(cè)高數(shù)據(jù)和地面重力數(shù)據(jù)等，地面數(shù)據(jù)覆蓋率達(dá)83.8%，部分重力數(shù)據(jù)空白區(qū)主要集中在南極，用衛(wèi)星重力數(shù)據(jù)補(bǔ)充，是目前世界上擁有最高分辨率和精度的重力場(chǎng)模型[3]。

高程異常值求取通常采用GNSS 高程擬合，需要一定數(shù)量，分布均勻，且能覆蓋整個(gè)擬合區(qū)域的GNSS水準(zhǔn)點(diǎn)（同時(shí)具有大地高和正常高），通過模型擬合的方法求解高程異常值。此方法雖然對(duì)傳統(tǒng)高程測(cè)量方式進(jìn)行了改善，但需要在GNSS 點(diǎn)中聯(lián)測(cè)較多的水準(zhǔn)點(diǎn)，這些水準(zhǔn)點(diǎn)還需均勻分布，有效覆蓋整個(gè)擬合區(qū)域，工作量較大，并且在水準(zhǔn)點(diǎn)較少時(shí)不能進(jìn)行高程擬合。EGM2008 模型可以根據(jù)GNSS 測(cè)得準(zhǔn)確的經(jīng)緯度坐標(biāo)（B、L），直接計(jì)算出該點(diǎn)的高程異常ζ，使得高程異常求取變得非常方便。EGM2008 模型高程異常在國內(nèi)的總體精度為20 cm，華東華中地區(qū)為12 cm，華北地區(qū)為9 cm，西部地區(qū)為24 cm[3]。EGM2008模型在地形平緩的平原地區(qū)求解的高程異常精度優(yōu)于地形起伏大的山區(qū)[4]。EGM2008 模型高程異常計(jì)算公式如下：

式中，ζ為高程異常值；GM 為地心引力常數(shù)；r為向徑；γˉ為重力異常值；a為參考橢球長(zhǎng)半徑；b為點(diǎn)的緯度；L為點(diǎn)的經(jīng)度；Cˉnm、Sˉnm為完全格式化擾動(dòng)位系數(shù)；Pˉnmcosb為完全規(guī)格化的Legendre 函數(shù)；n為EGM2008最高展開階數(shù)。

2 GNSS高程轉(zhuǎn)換的原理與方法

GNSS 測(cè)量數(shù)據(jù)高程系統(tǒng)為大地高，我國高程系統(tǒng)采用的是正常高系統(tǒng)，正常高計(jì)算公式如下：

式中，h為正常高；H為大地高；ζ為高程異常。

似大地水準(zhǔn)面指從地面點(diǎn)沿正常重力線量取正常高所得端點(diǎn)構(gòu)成的封閉曲面。似大地水準(zhǔn)面嚴(yán)格說不是水準(zhǔn)面，但接近于水準(zhǔn)面，只是用于計(jì)算的輔助面。各國似大地水準(zhǔn)面都是在局部區(qū)域與大地水準(zhǔn)面最為接近的面，EGM2008模型采用的似大地水準(zhǔn)面與我國所采用的似大地水準(zhǔn)面之間存在一個(gè)差值，即國家高程基準(zhǔn)與EGM2008模型定義的全球高程基準(zhǔn)之間的差值，考慮到這一差值，正常高計(jì)算公式如下：

式中，ζ為EGM2008模型計(jì)算的高程異常值；Δζ為模型差即EGM2008似大地水準(zhǔn)面與我國采用的似大地水準(zhǔn)面之間的差值。

由式（3）變化可得：

式中，Δζ可以通過擬合模型計(jì)算求得，擬合常用的模型有常數(shù)模型、平面模型、曲面模型。其中常數(shù)模型需要1 個(gè)以上的公共高程點(diǎn)，平面模型需要3 個(gè)以上的公共高程點(diǎn)，曲面模型需要6 個(gè)以上的公共高程點(diǎn)。

常數(shù)模型公式如下：

式中，Hi、hi、ζi分別為i點(diǎn)的大地高、正常高、EGM2008模型計(jì)算的高程異常值；n為公共高程點(diǎn)個(gè)數(shù)。

平面模型公式如下：

曲面模型公式如下：

式中，a0、a1、a2、a3、a4、a5為未知數(shù)；B為緯度；L為經(jīng)度。

3 工程實(shí)例及精度分析

3.1 工程概況

某高速公路項(xiàng)目全長(zhǎng)68 km，項(xiàng)目區(qū)平均高程1 500 m左右，相對(duì)高差600多米，需要完成1∶2 000比例尺像控點(diǎn)測(cè)量和地形圖測(cè)量工作。通過資料收集，收集到4 個(gè)高等級(jí)水準(zhǔn)點(diǎn)，分別為YZ01、YZ02、YZ03、YZ04。項(xiàng)目區(qū)每隔5 km 布設(shè)1 對(duì)GNSS 四等點(diǎn)，30個(gè)點(diǎn)均聯(lián)測(cè)四等水準(zhǔn)，具有正常高。在像控點(diǎn)測(cè)量過程中，對(duì)4個(gè)高等級(jí)水準(zhǔn)點(diǎn)和30個(gè)四等水準(zhǔn)點(diǎn)按照像控點(diǎn)的精度進(jìn)行測(cè)量，獲得經(jīng)緯度坐標(biāo)和大地高，利用EGM2008模型計(jì)算出各點(diǎn)的高程異常。通過公共點(diǎn)采用常數(shù)模型、平面模型、曲面模型3 種模型擬合計(jì)算出Δζ，求得各點(diǎn)擬合正常高。檢核點(diǎn)的擬合正常高與水準(zhǔn)正常高差值，分別進(jìn)行精度分析，選取最佳的擬合模型，探索用少量水準(zhǔn)點(diǎn)，作為擬合像控點(diǎn)正常高的方法。為了保證各種方案擬合結(jié)果精度分析可比性，下文16 種方案采用的GNSS 數(shù)據(jù)和水準(zhǔn)數(shù)據(jù)均為同一套數(shù)據(jù)，方案結(jié)果不受GNSS 的測(cè)量精度、水準(zhǔn)測(cè)量精度的影響。

3.2 常數(shù)模型與精度分析

根據(jù)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，常數(shù)模型擬合制定8 種方案，利用EGM2008 模型計(jì)算出像控點(diǎn)和34 個(gè)已知GNSS 水準(zhǔn)點(diǎn)的高程異常，再通過常數(shù)模型擬合計(jì)算出Δζ，求取所有點(diǎn)的擬合正常高。公共點(diǎn)以外其余GNSS 水準(zhǔn)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)，對(duì)擬合正常高與水準(zhǔn)正常高差值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，檢核點(diǎn)精度統(tǒng)計(jì)表見表1。

表1 檢核點(diǎn)精度統(tǒng)計(jì)表/m

方案1：1個(gè)公共點(diǎn)YZ01，位于項(xiàng)目起點(diǎn)；

方案2：1個(gè)公共點(diǎn)YZ04，位于項(xiàng)目終點(diǎn)；

方案3：1個(gè)公共點(diǎn)YZ03，位于項(xiàng)目?jī)?nèi)部；

方案4：2個(gè)公共點(diǎn)（YZ01、YZ04）；

方案5：2個(gè)公共點(diǎn)（YZ02、YZ03）；

方案6：2個(gè)公共點(diǎn)（YZ03、YZ04）；

方案7：3個(gè)公共點(diǎn)（YZ01、YZ03、YZ04）；

方案8：4個(gè)公共點(diǎn)（YZ01、YZ02、YZ03、YZ04）。

通過表1可知，方案1～8的高程中誤差均小于0.2 m，滿足《公路勘測(cè)規(guī)范細(xì)則》規(guī)定的像控點(diǎn)高程測(cè)量，其高程中誤差不應(yīng)超過基本等高距1/10 的要求（1∶2 000 航測(cè)地形圖為0.2 m），基于EGM2008 模型采用常數(shù)模型擬合方法可實(shí)現(xiàn)GNSS 大地高轉(zhuǎn)化為正常高，滿足項(xiàng)目像控點(diǎn)高程測(cè)量精度的要求。GNSS高程轉(zhuǎn)換的精度與距離已知公共高程點(diǎn)無顯著關(guān)系，且轉(zhuǎn)換精度與已知公共高程點(diǎn)個(gè)數(shù)無顯著關(guān)系。

3.3 平面模型與精度分析

根據(jù)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，平面模型擬合制定如下5種方案，通過平面模型擬合計(jì)算出Δζ，求取所有點(diǎn)的擬合正常高，檢核點(diǎn)精度統(tǒng)計(jì)表見表2。

表2 檢核點(diǎn)精度統(tǒng)計(jì)表/m

方案9：3個(gè)公共點(diǎn)（YZ01、YZ03、YZ04）；

方案10：4個(gè)公共點(diǎn)（YZ01、YZ02、YZ03、YZ04）；

方案11：6個(gè)公共點(diǎn)（YZ01、D06、YZ02、YZ03、D28、YZ04）；

方案12：7 個(gè)公共點(diǎn)（YZ01、D06、YZ02、D18、YZ03、D28、YZ04）；

方案13：10 個(gè)公共點(diǎn)（YZ01、D03、D06、D09、YZ02、D18、YZ03、D28、D30、YZ04）。

通過表2 可知，方案9～13 的高程中誤差均小于0.2 m，滿足項(xiàng)目像控點(diǎn)高程測(cè)量精度的要求?；贓GM2008 模型采用平面模型擬合方法，GNSS 高程轉(zhuǎn)換的精度隨已知公共高程點(diǎn)個(gè)數(shù)增加精度有所提升。

3.4 曲面模型與精度分析

根據(jù)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，曲面模型擬合制定3 種方案，通過曲面模型擬合計(jì)算出Δζ，求取所有點(diǎn)的擬合正常高，檢核點(diǎn)精度統(tǒng)計(jì)表見表3。

表3 檢核點(diǎn)精度統(tǒng)計(jì)表/m

方案14：6個(gè)公共點(diǎn)（YZ01、D06、YZ02、YZ03、D28、YZ04）；

方案15：7 個(gè)公共點(diǎn)（YZ01、D06、YZ02、D18、YZ03、D28、YZ04）；

方案16：10 個(gè)公共點(diǎn)（YZ01、D03、D06、D09、YZ02、D18、YZ03、D28、D30、YZ04）。

通過表3 可知，方案14 的高程中誤差大于0.2 m，不能滿足項(xiàng)目像控點(diǎn)高程測(cè)量精度的要求。方案15、16 的高程中誤差均小于0.2 m，滿足項(xiàng)目像控點(diǎn)高程測(cè)量精度的要求。曲面模型擬合需要多余公共點(diǎn)，否則擬合精度較差，且GNSS 高程轉(zhuǎn)換的精度隨已知公共高程點(diǎn)個(gè)數(shù)增加精度無顯著變化。

3.5 相同公共點(diǎn)不同模型精度對(duì)比

當(dāng)公共點(diǎn)相同時(shí)，分別采用常數(shù)模型和平面模型擬合，對(duì)檢核點(diǎn)擬合正常高與水準(zhǔn)正常高差值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。采用3 個(gè)公共點(diǎn)擬合后檢核點(diǎn)誤差分布如圖1 所示，采用4 個(gè)公共點(diǎn)擬合后檢核點(diǎn)誤差分布如圖2所示。

圖1 3個(gè)公共點(diǎn)擬合后檢核點(diǎn)誤差分布圖

圖2 4個(gè)公共點(diǎn)擬合后檢核點(diǎn)誤差分布圖

通過圖1、2 可知，當(dāng)公共點(diǎn)只有3～4 個(gè)時(shí)，常數(shù)模型、平面模型擬合精度都可以滿足項(xiàng)目像控點(diǎn)高程測(cè)量精度要求，常數(shù)模型精度略高于平面模型。

當(dāng)公共點(diǎn)相同時(shí)，分別采用平面模型和曲面模型擬合，對(duì)檢核點(diǎn)擬合正常高與水準(zhǔn)正常高差值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。采用7 個(gè)公共點(diǎn)擬合后檢核點(diǎn)誤差分布如圖3 所示，采用10 個(gè)公共點(diǎn)擬合后檢核點(diǎn)誤差分布如圖4所示。

圖3 7個(gè)公共點(diǎn)擬合后檢核點(diǎn)誤差分布圖

圖4 10個(gè)公共點(diǎn)擬合后檢核點(diǎn)誤差分布圖

通過圖3、4 可知，當(dāng)只有7～10 個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，平面模型、曲面模型擬合精度都可以滿足項(xiàng)目像控點(diǎn)高程測(cè)量精度要求，平面模型精度略高于曲面模型。

項(xiàng)目本著既滿足像控點(diǎn)正常高精度要求，又不使用GNSS 四等點(diǎn)的原則，采用YZ01、YZ02、YZ03、YZ04 作為公共點(diǎn)，通過常數(shù)模型擬合方法獲得像控點(diǎn)正常高。

3.6 1∶2 000地形圖高程精度檢測(cè)

為了檢核基于EGM 2008模型GNSS高程轉(zhuǎn)換的像控點(diǎn)所成1∶2 000地形圖高程精度，在聯(lián)測(cè)了四等水準(zhǔn)的控制點(diǎn)上架設(shè)基站，使用GPS-RTK和全站儀測(cè)量方法對(duì)1∶2 000地形圖明顯高程點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，實(shí)測(cè)高程點(diǎn)1 848 個(gè)，實(shí)測(cè)高程點(diǎn)與地形圖上點(diǎn)的高程精度統(tǒng)計(jì)見表4。

表4 高程精度統(tǒng)計(jì)表/m

通過表4可知，高程中誤差為0.731 m，小于《公路勘測(cè)規(guī)范細(xì)則》規(guī)定的不應(yīng)大于2 m 的要求，地形圖高程精度滿足要求。

4 結(jié) 語

本項(xiàng)目基于EGM2008 模型，通過采用常數(shù)模型、平面模型、曲面模型進(jìn)行高程擬合求得正常高數(shù)據(jù)，與水準(zhǔn)測(cè)量正常高數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，根據(jù)項(xiàng)目實(shí)踐結(jié)果總結(jié)出一些經(jīng)驗(yàn)：

1）在長(zhǎng)度70 km的測(cè)區(qū)內(nèi)，僅有1個(gè)已知水準(zhǔn)點(diǎn)的情況下，基于EGM2008模型進(jìn)行高程擬合可以獲得較高精度的正常高數(shù)據(jù)。

2）基于EGM2008 模型進(jìn)行高程擬合求得的正常高數(shù)據(jù)精度均勻，與距離已知公共水準(zhǔn)點(diǎn)無顯著關(guān)系。

3）當(dāng)水準(zhǔn)點(diǎn)不多于4 個(gè)時(shí)，基于EGM2008 模型采用常數(shù)模型進(jìn)行高程擬合，獲得高程數(shù)據(jù)精度最高。

4）當(dāng)水準(zhǔn)點(diǎn)不少于6 個(gè)時(shí)，基于EGM2008 模型進(jìn)行高程擬合，平面模型精度高于曲面模型。

本文研究利用少量水準(zhǔn)點(diǎn)基于EGM2008 模型實(shí)現(xiàn)大地高到正常高的轉(zhuǎn)換，為山區(qū)像控點(diǎn)測(cè)量和地形圖測(cè)量提供了可靠的高程數(shù)據(jù)，通過項(xiàng)目實(shí)踐總結(jié)了一套GNSS 高程轉(zhuǎn)換作業(yè)流程，并在同類型的高速公路項(xiàng)目中推廣應(yīng)用，以期為已知水準(zhǔn)點(diǎn)少，高程測(cè)量困難的工程項(xiàng)目進(jìn)行高程轉(zhuǎn)換提供參考。