賁晨陽(yáng)， 何雪明， 劉振超

(1.江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 江蘇 無(wú)錫 214122；2.江南大學(xué) 江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 江蘇 無(wú)錫 214122)

轉(zhuǎn)子形狀主要由轉(zhuǎn)子型線決定，羅茨泵轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計(jì)，直接關(guān)系到羅茨泵性能的高低。

國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家學(xué)者對(duì)羅茨泵轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)進(jìn)行了具有價(jià)值的分析研究。王建等[1]建立基于流量脈動(dòng)系數(shù)的齒輪泵中齒廓的主動(dòng)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。鄒旻等[2]分析了2轉(zhuǎn)子間差動(dòng)角對(duì)雙嚙合弦線轉(zhuǎn)子泵流量脈動(dòng)率的影響，提出了一種具有2對(duì)轉(zhuǎn)子的雙嚙合弦線轉(zhuǎn)子泵。楊舒然[3]基于齒廓嚙合原理,建立了圓弧與其包絡(luò)線、偏心漸開(kāi)線與其包絡(luò)線的嚙合模型,提出了3種新型羅茨泵轉(zhuǎn)子。黃龍龍等[4]對(duì)擺線泵進(jìn)行CFD和FSI仿真，并將仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。李玉龍等[5-6]基于漸開(kāi)線齒廓的構(gòu)造方法,提出了具有漸開(kāi)線齒廓的轉(zhuǎn)子型線，并為實(shí)現(xiàn)羅茨轉(zhuǎn)子便捷高效的輪廓構(gòu)造，提出了一種雙對(duì)稱(chēng)圖解法。Kang等[7]開(kāi)發(fā)了一種新的轉(zhuǎn)子型線，該轉(zhuǎn)子型線由圓弧和擺線組成；通過(guò)體積計(jì)算和流場(chǎng)分析，分析不同型線對(duì)轉(zhuǎn)子性能的影響。Hsieh等[8]利用共軛齒輪原理對(duì)羅茨泵擺線轉(zhuǎn)子型線進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。Wu等[9]等建立多級(jí)羅茨真空泵IVEC型轉(zhuǎn)子型線，提出了面積利用率和嚙合間隙面積2個(gè)幾何性能指標(biāo)，用于評(píng)估轉(zhuǎn)子型線的優(yōu)劣。

傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)子型線包括圓弧型、擺線型以及它們之間的發(fā)展和組合線型。然而以容積效率作為性能參數(shù)來(lái)評(píng)判羅茨泵轉(zhuǎn)子型線的性能，傳統(tǒng)轉(zhuǎn)子型線性能普遍偏低。故課題組提出了一種橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線，并詳細(xì)推導(dǎo)了轉(zhuǎn)子型線由葉峰曲線到葉谷線的設(shè)計(jì)算法，并分析了橢圓率對(duì)轉(zhuǎn)子型線的影響。該型線的容積效率明顯高于傳統(tǒng)羅茨泵轉(zhuǎn)子型線。

1 橢圓旋輪線轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)

羅茨泵的2個(gè)轉(zhuǎn)子形狀是完全一樣的，轉(zhuǎn)子每個(gè)葉峰和葉谷[10]也是完全一樣，且每個(gè)葉上的轉(zhuǎn)子形狀又是對(duì)稱(chēng)的。所以設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)子型線時(shí)，只需要設(shè)計(jì)1個(gè)葉或者半個(gè)葉上的齒廓，進(jìn)而可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱(chēng)變換，將轉(zhuǎn)子型線完整設(shè)計(jì)出來(lái)。

羅茨泵轉(zhuǎn)子型線的節(jié)圓將單葉上型線分成了2個(gè)部分，分別為葉峰曲線和葉谷曲線。葉谷曲線在節(jié)圓內(nèi)，葉峰曲線在節(jié)圓外。根據(jù)羅茨泵轉(zhuǎn)子的工作原理，羅茨泵的左側(cè)轉(zhuǎn)子的葉峰曲線和右側(cè)轉(zhuǎn)子的葉谷曲線為共軛關(guān)系，所以只需設(shè)計(jì)左側(cè)轉(zhuǎn)子的一條葉峰曲線，通過(guò)包絡(luò)法求解右側(cè)轉(zhuǎn)子的葉谷曲線，進(jìn)而通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到左側(cè)轉(zhuǎn)子的葉谷曲線，完成整個(gè)轉(zhuǎn)子的型線設(shè)計(jì)。

一條光滑曲線在另一條光滑曲線上做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，光滑曲線上的一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡定義為廣義旋輪線。當(dāng)光滑曲線為圓時(shí)，圓做純滾動(dòng)形成的軌跡即為旋輪線，又稱(chēng)擺線[11]。當(dāng)滾動(dòng)圓換成滾動(dòng)橢圓時(shí)，滾動(dòng)橢圓上的一點(diǎn)軌跡也為一種旋輪線，可以將它定義為橢圓旋輪線。

建立羅茨泵轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系如圖1所示，其中包含了2對(duì)坐標(biāo)系，分別是固結(jié)在羅茨泵泵體的左側(cè)轉(zhuǎn)子的靜坐標(biāo)系O1X1Y1和固結(jié)在右側(cè)轉(zhuǎn)子的靜坐標(biāo)系O2X2Y2；固結(jié)在羅茨泵泵體的左側(cè)轉(zhuǎn)子的動(dòng)坐標(biāo)系O1x1y1和固結(jié)在右側(cè)轉(zhuǎn)子的動(dòng)坐標(biāo)系O2x2y2；靜坐標(biāo)系不隨著轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生任何位置變化，動(dòng)坐標(biāo)系隨著轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)發(fā)生相應(yīng)角度的轉(zhuǎn)動(dòng)；R為羅茨泵轉(zhuǎn)子的節(jié)圓半徑；φ為羅茨泵轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角；ω為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的角速度。

圖1 羅茨泵轉(zhuǎn)子坐標(biāo)關(guān)系Figure 1 Rotor coordinate relation of Roots pump

如圖2所示，當(dāng)滾動(dòng)橢圓在純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)中圍繞節(jié)圓的圓周逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，滾動(dòng)橢圓上的點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)軌跡，即為橢圓旋輪線。定義橢圓的參數(shù)方程為：

圖2 橢圓旋輪線軌跡Figure 2 Trajectory of elliptical rotary wheel line

(1)

式中:ψ為橢圓參數(shù)角，a為橢圓長(zhǎng)軸，b為橢圓短軸。

如圖3所示，點(diǎn)A為橢圓開(kāi)始滾動(dòng)前圓與橢圓的接觸點(diǎn);當(dāng)橢圓滾動(dòng)一個(gè)角度θ時(shí)，點(diǎn)B′為橢圓和圓的接觸點(diǎn)，可以看出橢圓上的曲線AB的長(zhǎng)度等于橢圓在節(jié)圓上滾動(dòng)經(jīng)過(guò)的曲線AB′的長(zhǎng)度。對(duì)橢圓弧長(zhǎng)計(jì)算需要進(jìn)行橢圓積分，則2條曲線的長(zhǎng)度之間的關(guān)系可表示為:

圖3 橢圓旋輪線的幾何關(guān)系Figure 3 Geometric relationship of elliptical rotary wheel line

(2)

式中：L為橢圓滾動(dòng)1周的長(zhǎng)度，rp為節(jié)圓的半徑，θ為滾動(dòng)橢圓在圓上滾動(dòng)角。

(3)

得到了橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線的葉峰曲線，可求解葉谷曲線：

(4)

則葉谷曲線的表達(dá)式為：

(5)

由三角函數(shù)中的輔助角公式[12]求解φ與參數(shù)θ的關(guān)系,需要分別求x1和y1對(duì)參數(shù)θ的導(dǎo)數(shù)。

(6)

其中：

求解出φ與θ的關(guān)系后，將φ代入式(5)中右側(cè)轉(zhuǎn)子的葉谷曲線，將葉谷曲線和葉峰曲線進(jìn)行連接得到了1葉轉(zhuǎn)子的四分之一型線，如圖4所示。曲線CD為橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線。

圖4 橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線Figure 4 Rotor profile of elliptical rotary wheel line type

2 橢圓率對(duì)轉(zhuǎn)子型線的影響

2.1 橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線根切條件

橢圓旋輪線是由橢圓在節(jié)圓上滾動(dòng)形成的軌跡，其形狀主要受橢圓短軸和橢圓長(zhǎng)軸的比值影響，即橢圓率λ=b/a。不同的橢圓率會(huì)形成不同的橢圓旋輪線，當(dāng)λ=1時(shí)，橢圓旋輪線即為擺線，構(gòu)成的轉(zhuǎn)子型線為常用的擺線型轉(zhuǎn)子型線；當(dāng)λ≠1時(shí)，轉(zhuǎn)子型線為橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線。

橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線會(huì)產(chǎn)生如同齒輪設(shè)計(jì)過(guò)程中根切現(xiàn)象。出現(xiàn)根切的轉(zhuǎn)子會(huì)使得轉(zhuǎn)子的抗彎曲能力下降，重合度減少，影響轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)的平穩(wěn)性。

根據(jù)齒輪嚙合原理[13]，得到羅茨泵轉(zhuǎn)子的嚙合條件：

vr2=vr1+v12=0。

(7)

令：

(8)

則橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線的根切條件為：

(9)

其中：

可將式(9)化簡(jiǎn)為：

(10)

2.2 橢圓率對(duì)轉(zhuǎn)子型線的影響

針對(duì)不同橢圓率的轉(zhuǎn)子型線情況， 設(shè)定轉(zhuǎn)子的節(jié)圓半徑rp為60 mm、轉(zhuǎn)子葉數(shù)Z為2。將式(2)代入式(5),計(jì)算得到不同橢圓率λ對(duì)應(yīng)的a,b和rp，其參數(shù)如表1所示。

表1 不同橢圓率下轉(zhuǎn)子型線參數(shù)

根據(jù)以上參數(shù)，繪制完整的轉(zhuǎn)子型線，其中不同橢圓率下轉(zhuǎn)子型線如圖5所示。從圖中可以看出，橢圓率越小，整個(gè)轉(zhuǎn)子型線的凹凸性越明顯。

圖5 不同橢圓率下的轉(zhuǎn)子型線Figure 5 Rotor profile under different ellipticity

3 橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線性能分析

轉(zhuǎn)子在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，1個(gè)轉(zhuǎn)子每轉(zhuǎn)動(dòng)1/Z周，1個(gè)腔室的氣體就從羅茨泵進(jìn)口輸送到了羅茨泵出口，當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)1周時(shí)，即完成1個(gè)周期的氣體輸送工作。該運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程反映了羅茨泵的性能，通常該性能以容積效率[14]來(lái)量化。所謂容積效率是指羅茨泵在抽氣過(guò)程中所輸送的實(shí)際氣體體積除以泵整個(gè)腔室的體積。同時(shí)因?yàn)榱_茨泵的整個(gè)轉(zhuǎn)子在軸的方向上形狀完全一致，所以理論上羅茨泵的容積效率只與轉(zhuǎn)子的端面形狀相關(guān)，與其他因素關(guān)系不大。為了計(jì)算羅茨泵的容積效率更加方便，可以將容積效率的三維問(wèn)題換算成二維問(wèn)題。圖6即為1個(gè)2葉羅茨泵的腔室橫截面。陰影部分即為轉(zhuǎn)子的腔室部分，根據(jù)圖形可以得到轉(zhuǎn)子的容積效率公式為：

圖6 2葉轉(zhuǎn)子的腔室橫截面Figure 6 Cross section of chamber of 2-blade rotor

(11)

式中S為單個(gè)轉(zhuǎn)子的面積。

根據(jù)轉(zhuǎn)子型線的方程，可以得到轉(zhuǎn)子型線的所有直角坐標(biāo)，并將直角坐標(biāo)換算成極坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)函數(shù)為ρ=g(β)，ρ為極徑，β為極徑對(duì)應(yīng)的角度，所以轉(zhuǎn)子的面積公式為:

(12)

容積效率作為羅茨泵性能的重要參考之一，因此，為了驗(yàn)證新型轉(zhuǎn)子型線的性能優(yōu)劣，就橢圓旋輪線轉(zhuǎn)子型線的不同參數(shù)對(duì)容積效率的影響進(jìn)行了分析。根據(jù)橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線的數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)子型線的形狀主要受橢圓率λ和轉(zhuǎn)子葉數(shù)Z這2個(gè)參數(shù)的影響。為了準(zhǔn)確地分析不同參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子型線容積效率的影響規(guī)律，采用唯一變量原則，即控制唯一變量而排除其他因素的干擾從而驗(yàn)證唯一變量的作用。

為了分析不同橢圓率對(duì)容積效率的影響規(guī)律，需限定轉(zhuǎn)子型線的齒頂圓半徑一定，即保證各個(gè)轉(zhuǎn)子的大小一樣；同時(shí)保證轉(zhuǎn)子葉數(shù)相同，即保證各個(gè)轉(zhuǎn)子形狀一樣。取齒頂圓半徑為60 mm，轉(zhuǎn)子葉數(shù)為2葉，不同橢圓率下橢圓旋輪線型線容積效率如表2所示。

根據(jù)表2所示數(shù)據(jù)，當(dāng)橢圓率不斷變小，轉(zhuǎn)子的面積也越來(lái)越小，轉(zhuǎn)子的容積效率越來(lái)越大。當(dāng)橢圓率為0.4時(shí)，轉(zhuǎn)子的容積效率最大，為0.665 6。

表2 不同橢圓率下羅茨泵的容積效率

傳統(tǒng)擺線轉(zhuǎn)子受擺線形成原理的限制，節(jié)圓半徑和齒頂圓半徑比值固定，轉(zhuǎn)子齒頂圓半徑和節(jié)圓半徑的比值即徑距比固定，2葉擺線轉(zhuǎn)子型線徑距比固定為1.5，取齒頂圓半徑為60 mm，計(jì)算得到2葉擺線型轉(zhuǎn)子的容積效率如表3所示?？芍獢[線型轉(zhuǎn)子型線的容積效率小于橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線。

表3 擺線型轉(zhuǎn)子參數(shù)

根據(jù)表2和表3所示數(shù)據(jù)分析，橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子容積效率均大于擺線型轉(zhuǎn)子，當(dāng)橢圓率為0.4時(shí)其容積效率相比擺線轉(zhuǎn)子最大容積效率0.540 9提高了約23.09%。

對(duì)圓弧型轉(zhuǎn)子設(shè)計(jì)時(shí)，圓弧型轉(zhuǎn)子型線徑距比不固定，2葉圓弧型轉(zhuǎn)子型線徑距比的取值范圍為1.236 8～1.669 8。同樣對(duì)圓弧型轉(zhuǎn)子容積效率分析時(shí)，參照唯一變量原則，取齒頂圓半徑為60 mm，取不同徑距比分別為1.300 0，1.400 0，1.500 0和1.600 0，圓弧型轉(zhuǎn)子相對(duì)應(yīng)參數(shù)如表4所示。

表4 圓弧型轉(zhuǎn)子參數(shù)

根據(jù)表2、表3和表4所示的數(shù)據(jù)分析，當(dāng)圓弧型轉(zhuǎn)子的徑距比變大到1.5時(shí)，圓弧型轉(zhuǎn)子容積效率與擺線型轉(zhuǎn)子容積效率基本一樣，當(dāng)徑距比繼續(xù)變大時(shí)，圓弧型轉(zhuǎn)子容積效率超過(guò)擺線型轉(zhuǎn)子。橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子的橢圓率在0.6以下時(shí)，橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子的容積效率比圓弧型轉(zhuǎn)子大，當(dāng)橢圓率為0.4時(shí)，其容積效率相比圓弧轉(zhuǎn)子最大容積效率61.59%，提高了約8.07%。當(dāng)橢圓旋輪線型轉(zhuǎn)子型線橢圓率在0.6以下時(shí)，轉(zhuǎn)子的容積效率最高，比傳統(tǒng)羅茨泵轉(zhuǎn)子型線更有優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

課題組提出了一種新型的橢圓旋輪線轉(zhuǎn)子型線，推導(dǎo)其數(shù)學(xué)模型。對(duì)于齒頂圓半徑為60 mm，轉(zhuǎn)子葉數(shù)為2葉的羅茨泵轉(zhuǎn)子，在不發(fā)生根切的情況下，橢圓率與轉(zhuǎn)子的容積利用率大小成反比。當(dāng)橢圓率為0.4時(shí)，橢圓旋輪線型線容積效率最大，達(dá)到66.56%，相比于傳統(tǒng)擺線型和圓弧型轉(zhuǎn)子，容積效率分別提高了23.09%和8.07%，說(shuō)明橢圓旋輪線型線在性能方面比傳統(tǒng)擺線型與圓弧形轉(zhuǎn)子型線更有優(yōu)勢(shì)?，F(xiàn)有的改善是直接對(duì)轉(zhuǎn)子型線的改善，后續(xù)可以運(yùn)用NURBS曲線直接表達(dá)旋轉(zhuǎn)的橢圓，通過(guò)曲線局部可調(diào)性進(jìn)一步優(yōu)化轉(zhuǎn)子型線。