等截面梁純彎曲振動(dòng)時(shí)忽略非線性因素的條件

唐 果，高永毅，舒 慧，龔 帥

（1.湖南軟件職業(yè)技術(shù)大學(xué) 人文素質(zhì)教學(xué)部，湖南 湘潭 411201；2.湖南科技大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201；3.中國(guó)電信股份有限公司懷化分公司，湖南 懷化 418000；4.岳陽(yáng)宇翔科技有限公司，湖南 岳陽(yáng) 414012）

梁的振動(dòng)問(wèn)題是學(xué)者們廣泛關(guān)注的問(wèn)題，其線性振動(dòng)理論，目前已比較成熟[1]。但是，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，工程機(jī)械系統(tǒng)和精密儀器的精度、復(fù)雜程度及防振要求越來(lái)越高；同時(shí)高強(qiáng)度新型材料不斷使用等原因使得梁的非線性振動(dòng)問(wèn)題越來(lái)越受到廣大科技工作者的重視。許多學(xué)者對(duì)梁的非線性振動(dòng)問(wèn)題做了大量的研究工作，張登博等[2]對(duì)非齊次邊界條件下軸向運(yùn)動(dòng)梁的非線性振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究。Evensen[3]對(duì)不同邊界條件下簡(jiǎn)支梁的幾何非線性振動(dòng)進(jìn)行了求解。Chen 等[4]研究了軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁的高維非線性動(dòng)。Pillai 等[5]利用諧振子假設(shè)得到了時(shí)域解、伽遼金解和諧波平衡解。Sahoo 等[6]分析了軸向運(yùn)動(dòng)梁的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性、分叉及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。本文作者等[7-9]對(duì)考慮撓度微分方程中高階項(xiàng)所引起的幾何非線性和材料阻尼引起的阻尼非線性的梁進(jìn)行了分析，并對(duì)等截面梁純彎曲振動(dòng)時(shí)產(chǎn)生混沌的參數(shù)條件進(jìn)行了研究。本文將對(duì)等截面梁純彎曲振動(dòng)時(shí)幾何非線性忽略條件進(jìn)行研究。

1 非線性因素忽略的條件

高永毅等[7]對(duì)如圖1 所示的理想彈性體，勻質(zhì)等截面，作用有均布載荷q=q0cosωt，微幅振動(dòng)的梁，依據(jù)梁撓度y（x，t）用基礎(chǔ)振型函數(shù)φ（x）近似表示，即y（x，t）=φ（x）a（t）的方法和拉格郎日方程得出了非線性運(yùn)動(dòng)方程：

圖1 建立的坐標(biāo)，X 軸沿梁的軸線。其中：“·”表示對(duì)時(shí)間t 的導(dǎo)數(shù)式中：是梁的單位長(zhǎng)度質(zhì)量）（“，”表示對(duì)x 的導(dǎo)數(shù)，E 是彈性模量，I 是截面慣量矩）是粘滯阻尼系數(shù)）。

圖1 梁的撓度分析圖

高永毅等[7]和許本文等[10]在式（1）和其穩(wěn)態(tài)近似解a（t）=Bcos（ωt+φ）的基礎(chǔ)上，依據(jù)諧波平衡法導(dǎo)出的頻率響應(yīng)方程為

由（3）式得隱形函數(shù)：

利用隱形函數(shù)（4）式，將B 對(duì)ω 求導(dǎo)得：

令式（5）的分子部分為零，則幅值B 對(duì)頻率ω 的導(dǎo)數(shù)為零，求出的頻率ω 所對(duì)應(yīng)的幅值Bm為極大值，其頻率ω0為等截面梁的固有頻率。因此得：

由上式得：

由式（1）和式（2）可知只有h 或b 十分小的情況下，梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素才能忽略。由此，通過(guò)式（7）可得梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素忽略的條件為

將式（2）代入式（8）中得：

當(dāng)式（9）成立時(shí)，h 或b 為小值，此時(shí)才能忽略梁純彎曲振動(dòng)時(shí)的非線性因素的影響。所以式（9）是梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素忽略的條件。將式（9）中的不等號(hào)用等號(hào)代替，得梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素忽略的分界線方程。利用MATLAB 軟件，在以頻率ω 為橫坐標(biāo)，以幅值B 極大值為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)平面上，對(duì)分界線方程畫(huà)曲線，得梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素忽略的參數(shù)分界線。

由于不同類型等截面梁的基礎(chǔ)振型函數(shù)φ（x）不同，由式（9）可知不同類型和不同材料做成的等截面梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素忽略的條件是不同的。下面以簡(jiǎn)支和懸臂梁為例，利用式（9）研究不同類型等截面梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素忽略條件。

2 簡(jiǎn)支梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素忽略條件

2.1 主振動(dòng)的非線性因素忽略條件

韓強(qiáng)等[11]給出了各階主振動(dòng)對(duì)應(yīng)的振型函數(shù)φ（x）為

由于是勻質(zhì)等截面梁則ρ、EI 為常數(shù)。將振型函數(shù)φi（x）代入式（9）中得各階主振動(dòng)非線性因素忽略的條件：

將非線性因素忽略條件（12）式中的不等號(hào)用等號(hào)代替得非線性因素忽略的分界線方程。

取唐果等[9]中給出的參數(shù)：ρ=15.3×103kg/m，I=0.8 m4，l=100 m，E=2.15×1011N/m2，η=0.02。在以Bm為縱坐標(biāo)，ω 為橫坐標(biāo)的坐標(biāo)平面內(nèi)，利用MATLAB 軟件和式（11）對(duì)分界線方程畫(huà)曲線，得出勻質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁純彎曲振動(dòng)時(shí)，不同階主振動(dòng)非線性因素忽略的參數(shù)分界線如圖2 所示。

圖2 中的3 條曲線分別是i 取2、8、14 和βi取2×0.01×π，8×0.01×π，14×0.01×π 所對(duì)應(yīng)的不同3 階主振動(dòng)的非線性因素忽略的參數(shù)分界線。每條曲線左邊是非線性因素可以忽略的區(qū)域；右邊是考慮非線性因素的區(qū)域。

圖2 勻質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁純彎曲振動(dòng)時(shí)，不同3 階主振動(dòng)對(duì)應(yīng)的非線性因素忽略的參數(shù)分界線

由圖2 知，固有頻率在分界線與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)之間取值的時(shí)候不要考慮非線性因素；并且非線性因素忽略的分界線隨主振動(dòng)的階數(shù)增大向右移動(dòng)，說(shuō)明不要考慮非線性因素的區(qū)域增大；等間距的增大主振動(dòng)的階數(shù)，其區(qū)域的增大是越來(lái)越大。

2.2 一般初始條件下的非線性因素忽略條件

因?yàn)槠渥杂烧駝?dòng)為各階主振動(dòng)的疊加[10]，所以當(dāng)振型參數(shù)βi及勻質(zhì)等截面梁參數(shù)ρ、EI、η、l 不滿足式（12）時(shí)，所對(duì)應(yīng)的主振動(dòng)都要考慮非線性因素。由于不要考慮非線性因素的區(qū)域隨主振動(dòng)階數(shù)的增大而增大，因此第1 階主振動(dòng)不要考慮非線性因素的區(qū)域最小，所以在一般初始條件下勻質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁純彎曲振動(dòng)時(shí)，非線性因素忽略的條件是式（12）給出的第1階，即i 取1 和βi取1×0.01×π 對(duì)應(yīng)的不等式，即：

將非線性因素忽略條件式（13）中不等號(hào)用等號(hào)代替得一般初始條件下勻質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁純彎曲振動(dòng)時(shí)，非線性因素忽略的分界線方程。

在以Bm為縱坐標(biāo)，ω 為橫坐標(biāo)的坐標(biāo)平面內(nèi)，利用MATLAB 軟件對(duì)分界線方程畫(huà)曲線，得出一般初始條件下勻質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁純彎曲振動(dòng)時(shí)，非線性因素忽略的參數(shù)分界線如圖3 所示。分界線的左邊是非線性因素可以忽略的區(qū)域；右邊是必須考慮非線性因素的區(qū)域。

由圖3 可知，在一般初始條件下，勻質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁的固有頻率在分界線與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)到原點(diǎn)之間取值進(jìn)行純彎曲振動(dòng)時(shí)不要考慮非線性因素；在大于分界線與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)取值進(jìn)行純彎曲振動(dòng)時(shí)，如果各個(gè)參數(shù)滿足式（13）則可以不考慮非線性因素的影響，否則就不能忽略非線性因素。

圖3 一般初始條件下勻質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁純彎曲振動(dòng)時(shí)，非線性因素忽略的參數(shù)分界線

3 懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素忽略條件

3.1 主振動(dòng)的非線性因素忽略條件

韓強(qiáng)等[11]給出了懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí)，各階主振動(dòng)的振型函數(shù)φ（x）為

其中：β1l＝1.875 1，β2l＝4.694 1，β3l＝7.854 8，

將振型函數(shù)φi（x）代入式（9）中得懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí)各階主振動(dòng)非線性因素忽略的條件。

取2.1 節(jié)中唐果等[9]所給的參數(shù)，利用MATLAB軟件和式（15）計(jì)算第1、9、18 階振型函數(shù)φ（x）對(duì)應(yīng)的積分得：

將式（16）和式（17）代入式（9）中得懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí)第1 階主振動(dòng)非線性因素忽略的條件：

將第1、9、18 階主振動(dòng)非線性因素忽略的條件式（18）、式（19）和式（20）中的不等號(hào)用等號(hào)代替得第1、9、18階主振動(dòng)非線性因素忽略的分界線方程。在以Bm為縱坐標(biāo)，ω 為橫坐標(biāo)的坐標(biāo)平面內(nèi)，利用MATLAB 軟件對(duì)分界線方程畫(huà)曲線，得勻質(zhì)等截面懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí)，第1、9、18 階主振動(dòng)非線性因素忽略的參數(shù)分界線如圖4 所示。圖4 中的3 條曲線分別是i 取1、9、18 和βi取0.018 751，π×0.01×17/2，π×0.01×35/2 所對(duì)應(yīng)的不同3 階主振動(dòng)非線性因素忽略的參數(shù)分界線。每條曲線左邊是非線性因素可以忽略的區(qū)域；右邊是考慮非線性因素的區(qū)域。由圖4 可知懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí)，主振動(dòng)非線性因素忽略的參數(shù)分界線變化規(guī)律和簡(jiǎn)支梁相似。

圖4 勻質(zhì)等截面懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí)，不同3 階主振動(dòng)對(duì)應(yīng)的非線性因素忽略的參數(shù)分界線

3.2 一般初始條件下的非線性因素忽略條件

由于不要考慮非線性因素的區(qū)域隨主振動(dòng)階數(shù)的增大而增大，因此第1 階主振動(dòng)不要考慮非線性因素的區(qū)域最小，所以在一般初始條件下勻質(zhì)等截面懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí)，非線性因素忽略的條件是式（18）。將非線性因素忽略條件式（18）中的不等號(hào)用等號(hào)代替得一般初始條件下，非線性因素忽略的分界線方程。利用MATLAB 軟件對(duì)分界線方程畫(huà)曲線，得出一般初始條件下勻質(zhì)等截面懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí)，非線性因素忽略的參數(shù)分界線如圖5 所示。分界線的左邊是非線性因素可以忽略的區(qū)域；右邊是必須考慮非線性因素的區(qū)域。由圖5 可知一般初始條件下，勻質(zhì)等截面懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí)，非線性因素忽略的參數(shù)分界線變化規(guī)律和簡(jiǎn)支梁的類似。

圖5 一般初始條件下勻質(zhì)等截面懸臂梁純彎曲振動(dòng)時(shí)，非線性因素忽略的參數(shù)分界線

4 結(jié)論

由以上討論可以得出以下幾點(diǎn)結(jié)論。

（1）由于不同材料制造的勻質(zhì)等截面梁的固有頻率是不同的，所以在制造均質(zhì)等截面梁時(shí)可以根據(jù)非線性因素忽略條件和工程需要選擇材料。

（2）不同類型和不同材料制造的均質(zhì)等截面梁純彎曲振動(dòng)時(shí)非線性因素忽略的條件是不同的。

（3）不同類型勻質(zhì)等截面梁純彎曲振動(dòng)時(shí)，各階主振動(dòng)都有一個(gè)固有頻率點(diǎn)，各階固有頻率取小于這個(gè)點(diǎn)的值時(shí)，不要考慮非線性因素；取大于這個(gè)點(diǎn)的值時(shí)，要根據(jù)式（9）分析是否考慮非線性因素。

（4）同一類型勻質(zhì)等截面梁純彎曲振動(dòng)時(shí)，主振動(dòng)不考慮非線性因素的區(qū)域隨主振動(dòng)階數(shù)增大而增大；增大的速度隨主振動(dòng)階數(shù)增大而增大；說(shuō)明高階主振動(dòng)更容易避開(kāi)非線性因素的影響。

（5）不同類型勻質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁，在一般初始條件下純彎曲振動(dòng)時(shí)，非線性因素忽略的條件為第1 階主振動(dòng)忽略的條件。說(shuō)明一般初始條件下純彎曲振動(dòng)比各階主振動(dòng)更難避開(kāi)非線性因素的影響。