劉芳 葛瑞婷

（淄博市氣象局 山東省淄博市 255000）

1 引言

隨著社會的發(fā)展、經(jīng)濟(jì)的進(jìn)步，天氣預(yù)報對人們的生活、出行、農(nóng)業(yè)及經(jīng)濟(jì)等方面所起到的影響越來越大。天氣預(yù)報的重要特點(diǎn)之一就是時效性，人們需要提前知道，并根據(jù)預(yù)報信息來做出合理的安排、計(jì)劃。如果在大風(fēng)、暴雨、低溫、高溫、冰雹及暴雪等惡劣天氣來臨之前，假如相關(guān)部門、單位及群眾提前獲知天氣并做好防御措施，這在一定程度上能夠減少甚至避免一些人員傷亡和經(jīng)濟(jì)損失。正如鄭州“7?20”特大暴雨發(fā)生后，許多專家學(xué)者對此過程做了分析和總結(jié)，針對不同城市特點(diǎn)提出了相應(yīng)的防御對策，來防患于未然。因此，預(yù)測未來天氣是氣象領(lǐng)域一個至關(guān)重要的任務(wù)，天氣預(yù)測就是對某一地點(diǎn)的大氣運(yùn)動狀態(tài)來進(jìn)行預(yù)測。它在氣候監(jiān)測、災(zāi)害性天氣預(yù)測、農(nóng)業(yè)、軍事及交通等方面的應(yīng)用都具有巨大的作用。

從古至今，人們從未停止過對天氣變化趨勢的研究與預(yù)測。觀測方法由最初的人工觀測演變?yōu)樽詣佑^測，這不僅減少了人力成本的投入，更重要的是擺脫了條件惡劣區(qū)域人工不能觀測的困境，而且收集到的數(shù)據(jù)日漸增多。大量的氣象數(shù)據(jù)為更加準(zhǔn)確的預(yù)測天氣要素奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。當(dāng)然隨著氣象大數(shù)據(jù)時代的到來，原始的預(yù)測方法具有局限性。同時，天氣過程是千變?nèi)f化，且十分復(fù)雜的，單憑人工經(jīng)驗(yàn)觀測得到的準(zhǔn)確率已不能滿足現(xiàn)在人們、社會的需求。因此，目前也有許多物理預(yù)測法、基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法、綜合預(yù)測方法被提出和應(yīng)用。物理預(yù)測法是利用氣象理論知識，擬合大氣運(yùn)動函數(shù)，在明確初始值和邊界條件的情況下對函數(shù)做積分計(jì)算，從而實(shí)現(xiàn)對天氣要素的預(yù)測?；诮y(tǒng)計(jì)學(xué)的方法主要利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析方法，統(tǒng)計(jì)某一氣象要素的數(shù)值在一段時間內(nèi)出現(xiàn)的頻率，從而推算出未來一段時間內(nèi)，在相似環(huán)境條件下該氣象要素出現(xiàn)的概率。郭等使用自回歸模型來預(yù)測季節(jié)的降雨量。綜合預(yù)測方法把不同的預(yù)報方法結(jié)合，從而獲得更加準(zhǔn)確的結(jié)果。

時間序列模型也是一種常用的預(yù)測方法之一。時間序列是指按照相同的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)并根據(jù)其發(fā)生的先后時間順序排列而成的一組數(shù)據(jù)，而時間序列分析主要是根據(jù)已有的歷史數(shù)據(jù)來對未來一段時間進(jìn)行預(yù)測。差分整合移動平均自回歸模型(Autoregressive Integrated Moving Average model，ARIMA)是最經(jīng)典的時間序列預(yù)測模型之一，目前已有許多利用ARIMA模型來預(yù)測股票、經(jīng)濟(jì)走勢、天氣中溫度、空氣質(zhì)量指數(shù)等氣象要素的研究。

本文基于對日常的公共氣象服務(wù)內(nèi)容的分析，發(fā)現(xiàn)人們對于冬季（11月-次年2月）日最低溫有強(qiáng)烈的需求，尤其對農(nóng)業(yè)、交通、供熱公司等部門有重要的作用。例如，對于高速公路修建公司，他們需要提前知道當(dāng)年進(jìn)入冬季的時間，需要確定大約在哪個時間溫度低于0℃，因?yàn)樗麄冃枰诘陀?℃的嚴(yán)冷天氣的前期，為一些怕凍的材料、機(jī)器及路面做好保護(hù)，為停工做準(zhǔn)備，以防造成凍災(zāi)，減少或者避免造成經(jīng)濟(jì)損失。因此，本文主要關(guān)注于利用ARIMA模型來預(yù)測未來年份的冬季日最低氣溫。本文收集了山東省某市1990-2021年10、11和12月、1990-2022年1、2月日最低氣溫做訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，來評估ARIMA預(yù)測該市冬季日最低氣溫的性能。本文根據(jù)使用的歷史時間序列數(shù)據(jù)的不同，給出了兩種預(yù)測方法。首先，ARIMA利用預(yù)測月份的上個月的日最低溫數(shù)據(jù)來預(yù)測該月份的數(shù)據(jù)值，如利用1990年10月1-31日真實(shí)的日最低溫來預(yù)測1990年11月1-30日的日最低溫，該方法稱為ARIMA_LM(ARIMA based on Last Month data)。其次，為了預(yù)測距當(dāng)前時間更長久時間的冬季日最低溫度，本文利用1990年-2021(2022)年所有跟預(yù)測月份、日數(shù)都一致的數(shù)據(jù)來預(yù)測未來年份的該月和日的最低溫。假如要預(yù)測2022年11月1日的最低溫時，需要統(tǒng)計(jì)1990年-2021年中每年11月1日的數(shù)據(jù)值來完成預(yù)測，該方法稱為ARIMA_D(ARIMA based on Daily data over the past years)。最后，通過實(shí)驗(yàn)分別評估了ARIMA_LM和ARIMA_D的準(zhǔn)確性，并利用ARIMA_D方法預(yù)測了山東省該市未來一年冬季日最低溫度。

2 基于ARIMA的冬季日最低溫度預(yù)測

2.1 ARIMA模型

ARIMA模型主要由自回歸(AR)模型、移動平均(MA)模型和差分模型組合而成，是一種有效的時間序列預(yù)測模型之一，表示為ARIMA(p,d,q)，其中p、q、d分別為AR、MA、差分模型中的參數(shù)。因此，接下來主要介紹差分法、AR、MA和ARMA模型。

2.1.1 差分法

在實(shí)際生活中，獲取的大部分時間序列數(shù)據(jù)分布是各種各樣的，但是要預(yù)測未來一段時間的數(shù)據(jù)值，就要求這個時間序列數(shù)據(jù)具有一種慣性，即需要該時間序列數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。

定義1 時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性。隨機(jī)生成一個時間序列{Y}(t=1, 2, …)，{Y}中的每一個數(shù)值是從一個概率分布中隨機(jī)獲得的。如果{Y}滿足下列條件：

（1）均值E(Y)=a，a是跟時間t無關(guān)的常數(shù);

（2）方差Var(Y)=S，S是與時間t無關(guān)的常數(shù)；

（3）協(xié)方差Cov(Y, Y)=v，v是只與時期間隔k有關(guān)，與時間t無關(guān)的常數(shù)。

也就是說，平穩(wěn)性時間序列數(shù)據(jù)的均值和方差不隨時間變化而發(fā)生明顯變化。

為了讓一個非平穩(wěn)的時間序列數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出平穩(wěn)性，本文采用差分法：

給定時間序列數(shù)據(jù)Y(t=1, 2, …)，差分后的時間序列F滿足以下條件：

（1）F=Y-0，當(dāng)t=1時；

（2）F=Y-Y，當(dāng)t≥2時。

利用Y中的每個數(shù)據(jù)與其前一項(xiàng)的差值，來得到差分后的時間序列數(shù)據(jù)F的方法，稱為差分法。做一次差分操作稱為一階差分，d次差分稱為d階差分。此外，當(dāng)Y做一階差分獲得的時間序列數(shù)據(jù)F依然不具有平穩(wěn)性，可以對F再做一次差分操作，一次類推，直到得到平穩(wěn)的時間序列。

2.1.2 自回歸(AR)模型

自回歸模型描述的是當(dāng)前值與歷史值之間關(guān)系，利用其自身的歷史數(shù)據(jù)來對未來進(jìn)行預(yù)測，這就要求自身的歷史數(shù)據(jù)滿足平穩(wěn)性的條件。

AR模型表示為：

其中，μ是常數(shù)項(xiàng)，p為階數(shù)，表示當(dāng)前值與前p個歷史值相關(guān)， ε為誤差，γ為自相關(guān)系數(shù)。

2.1.3 移動平均(MA)模型

MA模型主要是自回歸模型中誤差項(xiàng)的累加，是為了有效地消除AR模型的隨機(jī)波動。MA模型表示為：

其中，μ是常數(shù)項(xiàng)，q為階數(shù)， θ為參數(shù)。

2.1.4 自回歸移動平均(ARMA)模型

假設(shè)在任意時刻t的數(shù)值為y，與歷史時間點(diǎn)的自身相關(guān)的同時，還需與歷史時刻影響模型的誤差也存在一定的相關(guān)性，滿足上述特點(diǎn)的模型稱為ARMA(p,q)模型。實(shí)際上，ARMA(p,q)模型是自回歸模型AR(p)和移動平均模型MA(q)的組合，表示為：

因此，ARIMA模型是將非平穩(wěn)時間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時間序列，然后將因變量的前p階數(shù)值、隨機(jī)誤差項(xiàng)的現(xiàn)值和前q階誤差值，進(jìn)行回歸建立的預(yù)測模型。

2.2 選取參數(shù)p，q值

對于AR模型和MA模型中的參數(shù)p，q，通過利用自相關(guān)函數(shù)(Autocorrelation Function，ACF)和偏自相關(guān)函數(shù)(Partial Autocorrelation Function，PACF)求得。ACF是衡量時間序列中間隔k個時間范圍(y與y之間)觀測值間的相關(guān)性，表示為：

也就是說，ACF是y和y之間的協(xié)方差與y方差的比值。

而PACF是剔除了中間k-1個隨機(jī)變量y，y，y......y的擾動，僅保留y對y的相關(guān)性。

本文首先計(jì)算ACF和PACF，對于AR(p)模型中參數(shù)p，滿足偏自相關(guān)函數(shù)的p階落在置信區(qū)間內(nèi)(也稱為p階截尾)，自相關(guān)函數(shù)隨時間t的增加而衰減趨于零，如表1中第二行。MA(q)中參數(shù)q，滿足ACF是q階截尾，PACF也呈現(xiàn)衰減趨于零的趨勢，如表1中的第三行。

表1：參數(shù)p、q取值

2.3 ARIMA_LM方法和ARIMA_D方法

2.3.1 ARIMA_LM方法

本小節(jié)詳細(xì)地描述了ARIMA_LM方法(ARIMA based on Last Month data)的過程，如算法1所示。

算法1：ARIMA_LM方法

Input：Historical dataset HD，forecast days n；

Output：predicted value for n days

（1）ini(HD) ←preprocessing dataset HD

（2）d-difference method for HD

（3） p、q←compute ACF、PACF

（4） Build model ARIMA(p,d,q)

（5） optimize model ARIMA(p,d,q)

（6）return Set

首先，預(yù)處理歷史時間序列數(shù)據(jù)，剔除異常值、空值等（如1）所示；然后，對歷史時間序列數(shù)據(jù)HD進(jìn)行差分處理，使其具有平穩(wěn)性（如2）所示；之后，計(jì)算d階差分后的HD的ACF、PACF，來確定AR(p)、MA(q) 模型中的參數(shù)p、q（如3）所示，最后建立、優(yōu)化ARIMA，并返回預(yù)測的未來n天數(shù)據(jù)值集合Set（如4-6）行所示。

2.3.2 ARIMA_D方法

本小節(jié)給出了ARIMA_D方法(ARIMA based on Daily data over the past years)的過程。

算法2：ARIMA_D方法

Input：Historical dataset HD，forecast days n；

Output：predicted values

（1） ini(HD) ←preprocessing dataset HD

（2）for p∈HD do

（3） p←time index of p

（4） day←segmentDay(p)

（5） Set←Set∪{p}

（6）for Set∈Setdo

（7） d-difference method for Set

（8） p、q←compute ACF、PACF

（9） Build model ARIMA(p,d,q)

（10） optimize model ARIMA(p,d,q)

（11） p←predict by ARIMA

（12） Set←Set∪{p}

（13） return Set

該方法主要適用于已有20、30年甚至更久的歷史時間數(shù)據(jù)，采用幾十年具有相同月份、日數(shù)的數(shù)據(jù)來預(yù)測未來該月份、日數(shù)的數(shù)據(jù)值，如通過1990-2021年每年11月1日的歷史數(shù)據(jù)來預(yù)測2022年11月1日的數(shù)據(jù)值。首先，預(yù)處理歷史時間序列數(shù)據(jù)，剔除異常值、空值等，如（1）所示；然后，針對歷史時間序列數(shù)據(jù)集HD中的每個對象，提取其時間索引中的日數(shù)（如2019年11月01日，日數(shù)為01；2019年11月18日，日數(shù)為18，記為day，并按照day存放到相對應(yīng)的集合Set中。也就是，把日數(shù)相等的數(shù)據(jù)對象放到一個集合，如（2）-（5）所示。之后，依次對每個集合Set進(jìn)行差分處理，使其具有平穩(wěn)性，對平穩(wěn)后的時間序列數(shù)據(jù)計(jì)算ACF、PACF，來確定AR(p)、MA(q) 模型中的參數(shù)p、q。接下來，建立、優(yōu)化ARIMA，并把預(yù)測的未來一年該月份且日數(shù)為day的數(shù)據(jù)值存放到預(yù)測集合Set中，如（6）-（12）所示，最終得到未來一年該月的預(yù)測數(shù)據(jù)值。

3 實(shí)驗(yàn)評估

本文主要采集了山東省某市1990-2021年10、11、12月、1990-2022年1、2月每日最低氣溫作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集。本文采用90%的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，10%的數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù)，來驗(yàn)證所提方法的準(zhǔn)確性。

3.1 預(yù)測有效性評估

本小節(jié)主要利用準(zhǔn)確率和平均絕對誤差(Mean Absolute Error，MAE)來衡量ARIMA_LM和ARIMA_D方法預(yù)測該市冬季日最低溫的準(zhǔn)確性。

3.1.1 正確性評估

本小節(jié)評估了所提方法預(yù)測該市冬季日最低溫的準(zhǔn)確率，準(zhǔn)確率=((R∩D))?D，其中R表示所提方法預(yù)測的時間序列集合，D表示當(dāng)前預(yù)測時間段中真實(shí)的數(shù)據(jù)值集合。首先，本文分別給出了ARIMA_LM方法預(yù)測2019、2020、2021年11、12月，2020、2021、2022年1、2月前5天（1-5日）、10天（1-10日）、15天（1-15日）、20天（1-20日）及1個月的準(zhǔn)確率，見圖1。

圖1：ARIMA_LM預(yù)測準(zhǔn)確率

從圖1中可以看出，預(yù)測2019、2020、2021年11月前5天（1-5日）的準(zhǔn)確率分別為80%、60%、80%（如圖1(a)）；2019、2020、2021年12月1-5日準(zhǔn)確率分別為80%、60%、60%（如圖1(b)）；2020、2021和2022年1、2月1-5日最高準(zhǔn)確率可達(dá)80%，該準(zhǔn)確率是接近甚至高于該市預(yù)報冬季日最低溫的真實(shí)準(zhǔn)確率。預(yù)測2019、2020、2021年11月 前10（1-10日）、15（1-15日）、20（1-20日）天及整月（1-30日）中最高準(zhǔn)確率分別為60%、60%、50%、37%；同樣，12月分別為70%、60%、55%、39%。2020-2022年1、2月前10天平均準(zhǔn)確率為60%，而15、20天及整月的平均準(zhǔn)確率分別為57%、55%、46%。

通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看到，預(yù)測未來的天數(shù)越多準(zhǔn)確率越低，這說明如果預(yù)測的數(shù)據(jù)不是周期性、規(guī)律性的，預(yù)測長期的結(jié)果會受到前面預(yù)測有偏差，甚至錯誤結(jié)果的影響。因此，ARIMA預(yù)測短期數(shù)據(jù)比長期數(shù)據(jù)更加有效。

其次，圖2展示了ARIMA_D方法預(yù)測2019-2021年11、12月及2020-2022年1、2月的準(zhǔn)確率，圖2中橫坐標(biāo)表示預(yù)測的月份。從圖2中可以看到，準(zhǔn)確率最高達(dá)60%，結(jié)合ARIMA_LM方法預(yù)測結(jié)果分析，可以獲得預(yù)測某天的最低溫度，與其臨近該日的一段時間的最低溫度相關(guān)性較大。

圖2：ARIMA_D預(yù)測準(zhǔn)確率

3.1.2 平均絕對誤差評估

平均絕對誤差(Mean Absolute Error, MAE)表示為：

其中，y是真實(shí)值，為預(yù)測值，n為預(yù)測天數(shù)。MAE值越小，說明預(yù)測值越接近真實(shí)值。

表2展示了ARIMA_LM方法預(yù)測一個月份不同天數(shù)的平均絕對誤差值。第一列表示預(yù)測的年份、月份，第一行表示預(yù)測一個月的前5天、10天、15天、20天及整月的天數(shù)。第二行表示預(yù)測2019、2020和2021年11月前5天（1-5日）、10天（1-10日）、15天（1-15日）、20天（1-20日）及整月的平均絕對誤差和的均值。同理，第三行是預(yù)測2019-2021年12月前5天、10天、15天、20天及整月的平均絕對誤差值和的均值，第四行、五行分別表示預(yù)測2020-2022年01月、2020-2022年02月前5天、10天、15天、20天及整月的平均絕對誤差值和的均值。

從表2可知，預(yù)測11、12、1、2月前5天的平均絕對誤差值（第二列所示），相比預(yù)測11、12、1、2月前10、15、20天及整月的平均絕對誤差值是最小的。隨著預(yù)測天數(shù)的增多，其誤差值也基本呈現(xiàn)增大趨勢，最后一列是預(yù)測2019-2021年11月平均絕對誤差均值和的均值、2019-2021年12月平均絕對誤差和的均值，及2020-2022年1月和2月的平均絕對誤差和的均值。這些值都大于預(yù)測相應(yīng)月份中前5、10、15、20天中誤差值最大的，這說明預(yù)測的天數(shù)越多，預(yù)測值與真實(shí)值偏差越大，準(zhǔn)確率越低。

表2：ARIMA_LM預(yù)測不同天數(shù)誤差值的均值

表3是ARIMA_D方法預(yù)測2019-2021年11、12月，2020-2022年1、2月的平均絕對誤差值。第一列表示預(yù)測的年份，第一行是預(yù)測的月份。

表3：ARIMA_D預(yù)測整月的平均絕對誤差值

對比表3 與表2的最后一列發(fā)現(xiàn)，表2中2019、2020和2021年 11月的平均絕對誤差和的均值比表3中2019、2020和2021年 11月的平均絕對誤差值都大。同樣，表2中預(yù)測2019-2021年12月、2020-2022年1、2月的平均絕對誤差和的均值大于表3中預(yù)測相同月份的誤差值。這再次驗(yàn)證了ARIMA_LD前面天數(shù)預(yù)測得到偏差較大甚至錯誤的數(shù)據(jù)值，會導(dǎo)致后面預(yù)測值的誤差越來越大。同時，也說明ARIMA_LD方法預(yù)測短期內(nèi)的數(shù)據(jù)值更加有效，預(yù)測未來較長時間段的數(shù)據(jù)值，ARIMA_D方法比ARIMA_LD方法誤差更小，效果更好。

3.2 預(yù)測最低溫

據(jù)3.1.1和3.1.2節(jié)分析，本小節(jié)給出了利用ARIMA_D方法來預(yù)測未來一年冬季（即2022年11、12月，2023年1、2日）日最低溫，見圖3。橫坐標(biāo)表示每月中的日數(shù)，縱坐標(biāo)表示預(yù)測的溫度值。從圖3可知，從11月23日左右開始進(jìn)入零下氣溫模式，而12月大部分時間維持在零下，且基本上都低于-2.5℃。2023年1月平均溫度最低，2月溫度開始緩慢回升，從19日開始最低溫有大于0℃的情況。

圖3：ARIMA_D方法預(yù)測未來一年冬季日最低溫結(jié)果

該預(yù)測結(jié)果可以提前幾個月或更久的時間獲知，能夠粗略的預(yù)知未來年份最低溫低于0℃的天氣出現(xiàn)的時間，為提前準(zhǔn)備防凍災(zāi)工作奠定基礎(chǔ)。此外，在臨近冬季的時候，可以采用ARIMA_LM方法來預(yù)測短期溫度，獲得更加準(zhǔn)確的預(yù)測結(jié)果。

4 總結(jié)

本文主要利用時間序列模型ARIMA來預(yù)測冬季日最低溫度，根據(jù)提前獲得時間的長短不同，給出了不同的預(yù)測方法。第一種方法是ARIMA_LM，該方法主要用來預(yù)測近期未來時間段內(nèi)的數(shù)據(jù)值。第二種為了提前幾個月甚至更久的時間，預(yù)知未來年份冬季日最低溫，提出了ARIMA_D方法。在真實(shí)數(shù)據(jù)集上實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，ARIMA_LM預(yù)測未來較短期的準(zhǔn)確率可高達(dá)80%，而隨著預(yù)測天數(shù)的增加，準(zhǔn)確率逐漸降低。因此，在實(shí)際生活中，首先利用ARIMA_D方法提前幾個月或更長時間，來預(yù)知冬季的日最低溫，粗略的制定防凍災(zāi)措施，然后臨近冬季的前幾天或一個月，利用ARIMA_LM方法獲得更加準(zhǔn)確的預(yù)測結(jié)果，據(jù)預(yù)測結(jié)果合理調(diào)整防凍災(zāi)措施，從而進(jìn)一步減少甚至避免因低溫對農(nóng)業(yè)、交通等各部門、公眾造成的損失。