基于Grubbs準(zhǔn)則和直線(xiàn)線(xiàn)性度擬合的線(xiàn)紋提取算法

沈良辰， 郭鋼祥， 孔 明， 郭 斌

(1. 中國(guó)計(jì)量大學(xué)計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院，浙江 杭州 310018; 2. 浙江省計(jì)量科學(xué)研究院 長(zhǎng)度與精密測(cè)量研究所，浙江 杭州 310018)

0 引 言

鋼卷尺作為常用的測(cè)量工具，其檢定精度是檢定過(guò)程中的重要參數(shù)。目前主流的自動(dòng)檢定過(guò)程普遍基于機(jī)器視覺(jué)的技術(shù)：趙保亞提出基于邊緣檢測(cè)的鋼卷尺圖像二值化方法[1]，該方法提出基于同態(tài)濾波和改進(jìn)的Sobel算子進(jìn)行線(xiàn)紋邊緣檢測(cè)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)線(xiàn)紋刻線(xiàn)的提取[1]；景加慧提出邊緣檢測(cè)特征值提取算法結(jié)合分段最小二乘擬合，實(shí)現(xiàn)刻線(xiàn)的提取[2]；茍建松提出了圖像閾值分割

并結(jié)合垂直投影定位算法來(lái)提取線(xiàn)紋刻線(xiàn)[3]；Menaka在現(xiàn)場(chǎng)可編程門(mén)陣列（FPGA）板上基于Sobel濾波器設(shè)計(jì)了一種邊緣檢測(cè)算法[4]，實(shí)現(xiàn)了刻線(xiàn)特征提取和模式識(shí)別。上述方法使用了圖像處理里的邊緣檢測(cè)、閾值分割以及最小二乘擬合等理論，對(duì)線(xiàn)紋圖像處理并提取刻線(xiàn)、比對(duì)刻線(xiàn)，過(guò)程高度自動(dòng)化，因此大大降低了勞動(dòng)力，提高了效率，同時(shí)用機(jī)器視覺(jué)取代了人眼，也極大地提高了檢測(cè)精度。

但是目前自動(dòng)檢定方法存在的問(wèn)題是：圖像處理過(guò)程中會(huì)損失大量線(xiàn)紋邊緣處的信息，而且由于線(xiàn)紋邊緣并非均勻分布，可能存在缺口、凸起等凹凸不平的情況，導(dǎo)致得到的線(xiàn)紋邊緣特征點(diǎn)位置信息不準(zhǔn)確，甚至有較大偏差[5]，這就帶來(lái)了含有粗大誤差的特征點(diǎn)，也叫作奇異點(diǎn)，影響后續(xù)線(xiàn)紋邊緣線(xiàn)擬合的精度。同時(shí)采用的直線(xiàn)擬合方法也較為落后，擬合的線(xiàn)紋中心線(xiàn)線(xiàn)性度不高，而直線(xiàn)線(xiàn)性度不高則會(huì)直接影響后續(xù)線(xiàn)紋比對(duì)的精度，從而極大地降低檢定精度。

因此，提取到更加精確且直線(xiàn)度高的線(xiàn)紋進(jìn)行比對(duì)，成為影響檢定精度的重要因素。本文在吸收自動(dòng)檢定方法優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，提出了基于Grubbs準(zhǔn)則和直線(xiàn)線(xiàn)性度擬合的線(xiàn)紋提取算法。首先，線(xiàn)紋刻線(xiàn)提取過(guò)程改變提取線(xiàn)紋刻線(xiàn)邊緣特征點(diǎn)這一做法，而是采用根據(jù)線(xiàn)紋截面灰度值特征分布的特點(diǎn)來(lái)定位線(xiàn)紋中心特征點(diǎn)，極大程度上降低了因?yàn)樘崛】叹€(xiàn)邊緣而造成有效信息的損失的情況；得到較為準(zhǔn)確的線(xiàn)紋中心特征點(diǎn)后，采用基于Grubbs準(zhǔn)則和直線(xiàn)線(xiàn)性度的擬合算法，去除了因邊緣誤差而引入粗大誤差的奇異點(diǎn)的同時(shí)還能擬合出線(xiàn)性度高的直線(xiàn)。

本文提出了一種線(xiàn)紋檢定的新方法，且經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證這種方法與現(xiàn)有的自動(dòng)檢定方法相比，檢定精度更高，有著較大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

1 線(xiàn)紋中心特征點(diǎn)的定位

線(xiàn)紋中心點(diǎn)的定位是擬合算法的重要前提。本章從線(xiàn)紋截面灰度值特征分布的特點(diǎn)出發(fā)，得到線(xiàn)紋灰度直方圖，并對(duì)其平滑，尋找平滑后圖像灰度值銳減和銳增的兩個(gè)階躍點(diǎn)，進(jìn)而精確定位線(xiàn)紋中心點(diǎn)。

1.1 線(xiàn)紋截面灰度值特征分布

在理想條件下，線(xiàn)紋截面（即圖1中紅線(xiàn)沿著白色箭頭方向）單列像素行的灰度直方圖函數(shù)接近矩形窗函數(shù)[6]。

圖1 提取單列像素列像素灰度值

矩形窗函數(shù)的數(shù)學(xué)定義式為：

即在某個(gè)特定區(qū)間內(nèi)函數(shù)值為1，其余區(qū)間函數(shù)值為0，M-1為矩形窗的長(zhǎng)度。

理想情況下線(xiàn)紋截面灰度值特征分布也與之類(lèi)似。黑色線(xiàn)紋區(qū)域的灰度值為0，而非線(xiàn)紋區(qū)域的灰度值為[0,255]區(qū)間內(nèi)的任一數(shù)值，其具體數(shù)值與不同鋼卷尺的背景底色有關(guān)。因此，定義理想情況下線(xiàn)紋截面單列像素行的灰度值直方圖函數(shù)為：

由于實(shí)際鋼卷尺制造印刷水平不一、鋼卷尺線(xiàn)紋磨損情況不同等因素導(dǎo)致線(xiàn)紋區(qū)域并非為灰度值為0的純黑，其灰度直方圖函數(shù)曲線(xiàn)也并非像矩形窗函數(shù)那樣非0即1，而是存在一定的數(shù)值波動(dòng)，但是總體曲線(xiàn)形狀仍與窗函數(shù)類(lèi)似，即在非線(xiàn)紋區(qū)域灰度值較高，接近線(xiàn)紋邊緣區(qū)域灰度值急劇下降或上升，線(xiàn)紋區(qū)域內(nèi)灰度值較低，與非線(xiàn)紋區(qū)域灰度值存在明顯的高度差。

為了得到線(xiàn)紋截面灰度值特征分布進(jìn)行分析，提取待測(cè)線(xiàn)紋任一像素列的各個(gè)像素點(diǎn)的灰度值，即圖1中紅色像素線(xiàn)區(qū)域（紅色像素線(xiàn)寬度為一個(gè)像素），形成單列像素行像素灰度直方圖，如圖2所示。

圖2 單列像素行像素灰度直方圖

從圖像中可看出，曲線(xiàn)滿(mǎn)足上文描述的“窗函數(shù)”的性質(zhì)。

1.2 單條線(xiàn)紋中心點(diǎn)的定位

由于提取到的單列像素灰度值形成的灰度直方圖毛刺較多，也存在著高頻噪音，不利于后續(xù)確定中心點(diǎn)，因此需要進(jìn)行平滑處理。針對(duì)圖像的特點(diǎn)，采用Savitsky-Golay平滑算法。

Savitsky-Golay平滑算法的原理是通過(guò)多項(xiàng)式對(duì)移動(dòng)窗口內(nèi) N =2r+1的數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式最小二乘擬合，算出窗口內(nèi)中心點(diǎn)關(guān)于其周?chē)c(diǎn)的加權(quán)平均和[7-8]，從而完成平滑處理。Savitsky-Golay平滑后原圖像及其局部放大圖像如圖3(a)、(b)所示。

圖3 Savitsky-Golay平滑后圖像

Savitsky-Golay平滑后的曲線(xiàn)，需要找到灰度值銳減和銳增的兩個(gè)階躍點(diǎn)，這兩點(diǎn)即位于線(xiàn)紋的上下邊緣。IndMin函數(shù)可以自動(dòng)遍歷曲線(xiàn)并獲取曲線(xiàn)上所有極小值點(diǎn)，因此通過(guò)調(diào)用IndMin函數(shù)獲取曲線(xiàn)上所有極小值點(diǎn)，即可得到所求的階躍值點(diǎn)及其橫坐標(biāo)值。IndMin函數(shù)獲取曲線(xiàn)極小值點(diǎn)示意圖如圖4所示，橫坐標(biāo)值40附近的極小值點(diǎn)與75附近的極小值點(diǎn)為所求的兩個(gè)階躍值點(diǎn)。因?yàn)橄袼鼗叶戎翟诰€(xiàn)紋內(nèi)部是均勻分布的，因此對(duì)這兩點(diǎn)橫坐標(biāo)進(jìn)行1∶1加權(quán)取中值便可定位線(xiàn)紋中心點(diǎn)。

圖4 IndMin函數(shù)獲取曲線(xiàn)極小值點(diǎn)示意圖

可定位一個(gè)位于中心線(xiàn)上的特征點(diǎn)。將上述單像素列水平平移一個(gè)像素的距離，便可得到一個(gè)新的像素列，對(duì)此新像素列繼續(xù)定位中心特征點(diǎn)。以此方法水平移動(dòng)像素列，使之遍歷整條線(xiàn)紋，便可得到大量中心特征點(diǎn)。為了方便實(shí)驗(yàn)，本文將單條刻線(xiàn)水平等間距分成20等分，即只取20個(gè)離散點(diǎn)當(dāng)做擬合直線(xiàn)原始點(diǎn)（實(shí)際上，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)取20個(gè)點(diǎn)擬合出來(lái)的直線(xiàn)精度已很高），如圖5所示。

圖5 單根刻線(xiàn)上按灰度值取出的20個(gè)離散點(diǎn)

2 基于Grubbs準(zhǔn)則和直線(xiàn)線(xiàn)性度的擬合算法

對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合一般運(yùn)用最小二乘法。但如上文所述，由于線(xiàn)紋邊緣并非均勻分布，可能存在缺口、凸起等凹凸不平的情況，這就帶來(lái)了含有粗大誤差的特征點(diǎn)，也叫作奇異點(diǎn)，影響后續(xù)線(xiàn)紋邊緣線(xiàn)擬合的精度；而且最小二乘法對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)中的“極佳直線(xiàn)”沒(méi)有辨別的能力。其中，極佳直線(xiàn)是所有擬合直線(xiàn)中效果最好的一條，即要滿(mǎn)足直線(xiàn)的線(xiàn)性度高且參與擬合該直線(xiàn)的點(diǎn)數(shù)目最多的要求。所以，運(yùn)用最小二乘法無(wú)法排除奇異值點(diǎn)的干擾，并擬合最優(yōu)直線(xiàn)[9]。這樣的擬合結(jié)果顯然無(wú)法滿(mǎn)足高精度線(xiàn)紋中心線(xiàn)的要求。針對(duì)最小二乘法存在的不足之處，提出了一種基于Grubbs準(zhǔn)則和直線(xiàn)線(xiàn)性度的擬合算法，去除了含有粗大誤差的奇異點(diǎn)的同時(shí)還能擬合出線(xiàn)性度高的直線(xiàn)。

2.1 Grubbs準(zhǔn)則

2.2 擬合算法原理

首先定義一系列變量：

圖6 點(diǎn)與擬合直線(xiàn)示意圖

3）剔除距擬合直線(xiàn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)數(shù)目J。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)定最優(yōu)直線(xiàn)線(xiàn)性度以及L和J的值。假定為需要擬合的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)集，，，，，，，Q(max)，為在程序運(yùn)行中用來(lái)存儲(chǔ)的相應(yīng)點(diǎn)集。

基于Grubbs準(zhǔn)則和直線(xiàn)線(xiàn)性度的改進(jìn)擬合算法具體實(shí)施程序流程圖7所示。

圖7 基于Grubbs準(zhǔn)則和直線(xiàn)線(xiàn)性度的改進(jìn)擬合算法程序流程圖

基于Grubbs準(zhǔn)則和直線(xiàn)線(xiàn)性度的改進(jìn)擬合算法的原理是：先以為準(zhǔn)則，結(jié)合L和 J的值，多次利用最小二乘法并結(jié)合Grubbs準(zhǔn)則，將線(xiàn)紋中心線(xiàn)上的數(shù)據(jù)點(diǎn)粗分成若干個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)集，每一個(gè)點(diǎn)集中的點(diǎn)與相應(yīng)擬合直線(xiàn)的距離都在L范圍內(nèi)，即這些點(diǎn)屬于相應(yīng)直線(xiàn)，距離在L范圍外的點(diǎn)視為奇異點(diǎn)不參與擬合計(jì)算過(guò)程；然后尋找到上述若干點(diǎn)集中含有離散數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量最多的點(diǎn)集，此點(diǎn)集即為包含線(xiàn)紋中心線(xiàn)的點(diǎn)集; 接著再次以為準(zhǔn)則，將含有離散數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量最多的點(diǎn)集利用最小二乘法循環(huán)擬合，直到擬合的直線(xiàn)線(xiàn)性度不小于為止，即得到所求的線(xiàn)紋中心線(xiàn)。

2.3 線(xiàn)紋提取

當(dāng)一條中心線(xiàn)確立后，可以按照同樣的方法確立其余線(xiàn)紋的中心線(xiàn)，但是產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題：理論情況下，鋼卷尺上各條線(xiàn)紋都是互相平行的，也就是說(shuō)，不同線(xiàn)紋的中心線(xiàn)也是相互平行的。然而，按照上述算法，不同線(xiàn)紋擬合出的中心線(xiàn)的直線(xiàn)方程各不相同，進(jìn)而斜率也不相同，這樣擬合出來(lái)的中心線(xiàn)也不符合實(shí)際，而且這也給計(jì)算兩條中心線(xiàn)紋之間的距離帶來(lái)了困難。

為了解決這一問(wèn)題，引入定斜率直線(xiàn)擬合的方法。因?yàn)楦鳁l線(xiàn)紋圖像是平行的，因此按照上述算法擬合出來(lái)的各條線(xiàn)紋中心線(xiàn)的斜率雖然不一樣，但是兩者之差極其微小，可以忽略不計(jì)。另一方面，根據(jù)數(shù)學(xué)中的近似相等原理[11]，當(dāng)兩條直線(xiàn)斜率相同且這個(gè)斜率數(shù)值非常接近于零時(shí)，這兩條直線(xiàn)之間的距離即為兩條直線(xiàn)方程截距之差的絕對(duì)值[12]。如圖8所示，當(dāng)趨向于0時(shí)，設(shè)為兩條直線(xiàn)方程式中的截距差，為兩條直線(xiàn)的垂直距離，則。

圖8 水平距離與截距差關(guān)系示意圖

根據(jù)上述原理，線(xiàn)紋提取過(guò)程的步驟為：首先選定一根樣貌較為完整、形態(tài)較為良好的的刻線(xiàn)作為標(biāo)準(zhǔn)刻線(xiàn)，定位線(xiàn)紋中心特征點(diǎn)，然后使用2.2中的算法進(jìn)行直線(xiàn)擬合并得到直線(xiàn)方程，設(shè)為y=kx+b；然后以該方程的斜率為標(biāo)準(zhǔn)量，按照2.2中的算法去擬合其余的直線(xiàn)，即其余直線(xiàn)可表示為 y =kx+m1、 y =kx+m2···其中、為待求參數(shù)；得到各線(xiàn)紋中心線(xiàn)與此標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)紋中心線(xiàn)的截距差，即兩條直線(xiàn)間的距離再將此距離（像素值）轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)度值，與高精度測(cè)量設(shè)備如影像測(cè)量?jī)x測(cè)得的各線(xiàn)紋間距數(shù)值做對(duì)比，即可得到示值誤差；最后進(jìn)行誤差評(píng)定，驗(yàn)證算法的效果。

3 實(shí)驗(yàn)及誤差評(píng)定

本實(shí)驗(yàn)采用1 000萬(wàn)像素的工業(yè)相機(jī)拍攝局部線(xiàn)紋區(qū)域，拍攝的得到的原始線(xiàn)紋圖像為分辨率3 840×2 748的灰度圖，用作比對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)備為SEREIN公司型號(hào)為SVM 3 020 DCC Classic的影像測(cè)量?jī)x，實(shí)物如圖9所示，其準(zhǔn)確度0.05 μm。

圖9 SEREIN影像測(cè)量?jī)x實(shí)物圖

按照上述方法，以鋼卷尺1 m附近的一根刻線(xiàn)為標(biāo)準(zhǔn)，分別對(duì)距離其1 mm、2 mm、3 mm、5 mm、10 mm的刻線(xiàn)進(jìn)行中心線(xiàn)的提取，計(jì)算這些中心線(xiàn)距離標(biāo)準(zhǔn)中心線(xiàn)的實(shí)際距離，并與影像測(cè)量?jī)x對(duì)其測(cè)量的結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，得到示值誤差值。同理，使用對(duì)比算法進(jìn)行重復(fù)實(shí)驗(yàn)，即使用引言中景加慧提出的邊緣檢測(cè)圖像處理的自動(dòng)鋼卷尺檢定方法對(duì)上述五條刻線(xiàn)進(jìn)行刻線(xiàn)提取并與影像測(cè)量?jī)x測(cè)得的標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行比對(duì)，得到示值誤差值，并對(duì)兩種方法的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行分析。

首先選定一根樣貌較為完整、形態(tài)較為良好的的刻線(xiàn)作為標(biāo)準(zhǔn)刻線(xiàn)，按照上述實(shí)驗(yàn)方法，可得到最終擬合出的直線(xiàn)方程為：

圖10 標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)紋中心線(xiàn)擬合結(jié)果圖

以此標(biāo)準(zhǔn)直線(xiàn)方程，對(duì)距其1 mm、2 mm、3 mm、5 mm、10 mm的刻線(xiàn)進(jìn)行中心線(xiàn)擬合，設(shè)直線(xiàn)方程為：

其中 n =1,2,3,5,10。 |mn-667.507|即為各中心線(xiàn)與標(biāo)準(zhǔn)中心線(xiàn)之間的像素距離，最后根據(jù)換算關(guān)系（1像素等于5.58 μm）將像素值轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度值即可得到最終距離。使用邊緣檢測(cè)算法的檢定結(jié)果如圖11所示，使用本文算法的檢定結(jié)果如圖12所示，影像測(cè)量?jī)x檢定結(jié)果如圖13所示。

圖11 邊緣檢測(cè)算法檢定結(jié)果

圖13 影像測(cè)量?jī)x檢定結(jié)果圖

兩種線(xiàn)紋檢定結(jié)果與影像測(cè)量?jī)x檢定結(jié)果的對(duì)比及示值誤差值如表1所示。對(duì)測(cè)量結(jié)果分析可得，采用本文算法對(duì)鋼卷尺進(jìn)行檢定的示值誤差已遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于JJG 4—2015 《鋼卷尺檢定規(guī)程》中所規(guī)定的Ⅰ 級(jí)鋼卷尺±0.1 mm的標(biāo)準(zhǔn)[13]，與基于邊緣檢測(cè)算法的檢定方法相比，示值誤差也大大降低。

表1 本文算法結(jié)果與影像測(cè)量?jī)x測(cè)量結(jié)果對(duì)比表

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了基于Grubbs準(zhǔn)則和直線(xiàn)線(xiàn)性度的擬合算法進(jìn)行線(xiàn)紋檢定，采用根據(jù)線(xiàn)紋截面灰度值特征分布的特點(diǎn)來(lái)定位線(xiàn)紋中心特征點(diǎn)，極大程度上降低了因?yàn)樘崛】叹€(xiàn)邊緣而造成有效信息的損失的情況；得到較為準(zhǔn)確的線(xiàn)紋中心特征點(diǎn)后，采用基于Grubbs準(zhǔn)則和直線(xiàn)線(xiàn)性度的擬合算法，去除了含有粗大誤差的奇異點(diǎn)的同時(shí)還能擬合出線(xiàn)性度高的直線(xiàn)。具有較為實(shí)際的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價(jià)值。