劉紅軍，王菁

（1.沈陽航空航天大學(xué)航空制造工藝數(shù)字化國防重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽 110135；2.沈陽航空航天大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110135）

并聯(lián)機(jī)構(gòu)擁有高剛度、高精度、動態(tài)響應(yīng)快［1-3］等優(yōu)勢，被廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在多條運(yùn)動支鏈，各個支鏈之間存在相互耦合約束力，這成為了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動控制精度研究中重點(diǎn)要解決的問題。

針對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動控制問題，有許多學(xué)者進(jìn)行了研究，其控制方法主要有比例積分微分控制、自適應(yīng)控制等［4］。但傳統(tǒng)的比例積分微分（PID）控制器存在精度不高等問題，因此，基于PID的改進(jìn)控制器得到廣泛應(yīng)用。劉霞等［5］研制了模糊PID控制系統(tǒng)LabView虛擬儀器軟件從而提高了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的精度，減小了運(yùn)動誤差。曹毅等［6］求解了不同間隙值對3-CPaRR機(jī)構(gòu)影響，并設(shè)計了適應(yīng)機(jī)構(gòu)本身的構(gòu)自適應(yīng)滑模運(yùn)動控制器。楊杰等［7］采用非線性比例微分（PD）算法半閉環(huán)反饋控制，有效抑制了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自激振動。尚偉偉［8］根據(jù)機(jī)器人動力學(xué)特性，設(shè)計了增廣非線性PD、計算力矩非線性PD等控制策略，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人高精度軌跡跟蹤控制。范亞南［9］設(shè)計了時變阻抗控制律與滑?？刂破鳎瑢?shí)現(xiàn)了機(jī)器人的接觸外力和軌跡跟蹤誤差同時漸近穩(wěn)定。山顯雷等［10］考慮摩擦力補(bǔ)償問題，基于增廣PD控制理論設(shè)計各個關(guān)節(jié)的同步控制策略，在進(jìn)行結(jié)構(gòu)誤差修正的基礎(chǔ)上，根據(jù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所設(shè)計控制策略的有效性。Nguyen等［11］根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)特性在PID神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練機(jī)制中加入了李雅普諾夫穩(wěn)定性條件，保證了機(jī)械手的魯棒跟蹤性能。

上述控制器的缺點(diǎn)在于沒有考慮到并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈間耦合關(guān)系的動力學(xué)特性。本文基于一種各個驅(qū)動關(guān)節(jié)同步控制的思想，對并聯(lián)機(jī)構(gòu)航空制孔末端執(zhí)行器進(jìn)行動力學(xué)控制。首先考慮關(guān)節(jié)間隙的摩擦力、接觸力［12］，以及支鏈間的耦合力，建立動力學(xué)模型；根據(jù)跟蹤誤差和同步誤差建立耦合誤差，代入到驅(qū)動關(guān)節(jié)同步控制器（AJ-S）中；最終實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該控制器應(yīng)用于改進(jìn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的有效性。

1 改進(jìn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)

傳統(tǒng)3RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)由3個支鏈構(gòu)成，每條支鏈上有3個轉(zhuǎn)動副，考慮傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為末端執(zhí)行器，動平臺在移動的過程中會產(chǎn)生振動。其主要原因是由電機(jī)驅(qū)動及外部載荷造成的桿件產(chǎn)生彈性振動，從而影響孔的加工精度。因此，在驅(qū)動桿與從動桿之間添加具有柔性約束的彈簧裝置，可起到整體的減振效果，同時在動平臺運(yùn)動的情況下，依靠彈簧拉力減小關(guān)節(jié)間的間隙。

改進(jìn)后并聯(lián)機(jī)構(gòu)二維簡圖和立體模型如圖1和圖2所示。在靜平臺上建立全局坐標(biāo)系O-XYZ，動平臺上建立動坐標(biāo)系p-xyz，理論上在同一平面，這里設(shè)定關(guān)節(jié)坐標(biāo)為Ai、Bi、Ci，驅(qū)動桿為Ai Bi，從動桿為BiCi，假設(shè)驅(qū)動桿為剛性桿，從動桿為柔性桿。

圖1 改進(jìn)后并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 Schematic diagram of improved rear parallel mechanism

圖2 改進(jìn)后并聯(lián)立體模型Fig.2 Improved rear parallel stereo model

2 動力學(xué)建模

由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動桿為剛性桿，從動桿為柔性桿，需要考慮桿件內(nèi)部的彈性形變及關(guān)節(jié)間的摩擦力。根據(jù)歐拉伯努利梁方程模型，分析柔性從動桿的彈性變形，基于文獻(xiàn)［13］中的假設(shè)模態(tài)法，求解系統(tǒng)的彈性耦合力為

式中：φij(x)為已知邊界條件對應(yīng)的模型振型函數(shù)；qij(t)為第i個連桿的未知廣義彈性變形量；r為所選的假設(shè)模態(tài)。

假設(shè)從動桿采用兩端鉸支的約束方式為

式中：μ=；r所選的假設(shè)模態(tài)；L為驅(qū)動桿和柔性從動桿的桿長；x為柔性從動桿上任意一點(diǎn)到Bi的距離。

這里設(shè)定改進(jìn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動轉(zhuǎn)角，第1從動轉(zhuǎn)角和動平臺第2從動轉(zhuǎn)角分別為

據(jù)假設(shè)模態(tài)法求解驅(qū)動桿和柔性從動桿T1、動平臺的動能T2及柔性從動桿桿產(chǎn)生的彈性勢能V1：

另外，彈簧的彈性勢能可以表示為

式中：rDi為彈簧安裝位置末端矢量；rAi為彈簧起始點(diǎn)矢量；L0為彈簧原長；ki為彈簧剛度系數(shù)。

將代入拉格朗日方程并整理為矩陣形式：

式中：qi=[qai qbi qci]T；Mi為慣性質(zhì)量矩陣；Ci為向心力與科里奧利力矩陣；τi=[τai τbi τci]T為關(guān)節(jié)的力矩，假設(shè)從動力矩τbi=τci=0；fi=[fai fbi fci]T表示關(guān)節(jié)的摩擦力，假設(shè)fbi=fci=0。根據(jù)文獻(xiàn)［14］中的并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)關(guān)系可得出各個關(guān)節(jié)之間的速度與加速度的關(guān)系：

鑒于并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在支鏈間閉環(huán)耦合約束力，最終整個系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

式中：ATλ為耦合約束力。

3 控制器的設(shè)計

將并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動時的跟蹤誤差定義為

當(dāng)3個驅(qū)動關(guān)節(jié)中任意2個關(guān)節(jié)之間的跟蹤誤差滿足極限相等，定義3個各個關(guān)節(jié)中任意2個可能的驅(qū)動關(guān)節(jié)之間的同步誤差為

同步誤差向量為

在驅(qū)動關(guān)節(jié)間設(shè)置同步控制力矩，定義一個將跟蹤誤差和同步誤差的交叉耦合的耦合誤差，使跟蹤誤差和同步誤差同時收斂為0：

同步誤差之間的偏差向量定義為

耦合誤差向量為

耦合速度誤差為

耦合誤差和耦合速度誤差組合誤差向量為

組合速度誤差向量為

定義參考速度和參考加速度向量為

控制律式為

式中：Kd和Kc為對稱正定矩陣。

改進(jìn)3RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)制孔末端執(zhí)行器驅(qū)動關(guān)節(jié)同步控制系統(tǒng)。

4 試驗(yàn)對比

基于改進(jìn)3RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)制孔末端執(zhí)行器驅(qū)動關(guān)節(jié)同步控制策略進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，并與應(yīng)用增廣PD控制法［15］進(jìn)行對比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)按照規(guī)定的軌跡運(yùn)動公式如下：

其機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)及動力學(xué)參數(shù)見表1。

表1 機(jī)構(gòu)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Main structural parameters of mechanism

在實(shí)驗(yàn)中，驅(qū)動關(guān)節(jié)同步控制器的各個參數(shù)設(shè)定為：Kd=diag(15，15，15)，Kc=diag（25，25，25)，R=diag(10，10，10），p=diag（150，150，150）。使用Matlab軟件對理論模型進(jìn)行仿真，得出曲線如圖3和圖4所示。

圖3 驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角跟蹤誤差Fig.3 Tracking error of driving joint angle

由圖4可知，AJ-S同步控制器下的跟蹤誤差有明顯的減小，驅(qū)動關(guān)節(jié)同步誤差也比增廣PD控制法所得的誤差要小，說明提高了3個驅(qū)動關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角運(yùn)動精度，驗(yàn)證了AJ-S同步控制器的有效性。

圖4 驅(qū)動關(guān)節(jié)同步誤差Fig.4 Driving joint synchronization error

為了直觀比較2個控制器的效果，選取3個驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的跟蹤誤差均方根T-RSME和同步誤差均方根S-RSME作為性能指標(biāo)：

式中：eai(j)、εai(j)分別為第j個驅(qū)動關(guān)節(jié)在第i點(diǎn)的跟蹤誤差和同步誤差。

所得結(jié)果對比如表2所示。

表2 誤差減小百分比Tab.2 Error percentage reduction

對比驅(qū)動關(guān)節(jié)同步控制器與增廣PD控制器，在速度一定的條件下，驅(qū)動關(guān)節(jié)同步控制器的應(yīng)用可顯著提高末端執(zhí)行器的位置精度。

5 結(jié)語

本文應(yīng)用假設(shè)模態(tài)法對從動桿存在彈性變形的并聯(lián)機(jī)構(gòu)航空制孔末端執(zhí)行器進(jìn)行剛?cè)狁詈系膹椥詣恿W(xué)建模，有助于研究實(shí)際情況下的并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)特性。鑒于驅(qū)動關(guān)節(jié)同步控制中各個支鏈的耦合及運(yùn)動協(xié)調(diào)能力對運(yùn)動控制精度的影響，以3RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)航空制孔末端執(zhí)行器為研究對象，同時考慮柔性桿產(chǎn)生的彈性勢能，建立剛?cè)狁詈系膭恿W(xué)模型，開展驅(qū)動關(guān)節(jié)的同步控制研究。并以各個支鏈間的運(yùn)動約束耦合力來定義耦合誤差，設(shè)計了驅(qū)動關(guān)節(jié)同步控制律?；隍?qū)動關(guān)節(jié)同步控制策略，在3RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)航空制孔末端執(zhí)行器的實(shí)物樣機(jī)上開展實(shí)驗(yàn)研究，通過與采用增廣PD控制得到的結(jié)果進(jìn)行對比可知，驅(qū)動關(guān)節(jié)同步控制改善了各個支鏈間運(yùn)動的協(xié)調(diào)能力，提高了動平臺的位姿精度。這種考慮支鏈間運(yùn)動約束耦合力的驅(qū)動關(guān)節(jié)同步控制策略，為今后實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)航空制孔末端執(zhí)行器的高速、高精度控制提供了重要的理論基礎(chǔ)。