基于熱力耦合變形的機(jī)床主軸公差建模方法研究

梁健偉,黃美發(fā),2,唐哲敏,茍國秋

(1.桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，廣西桂林 541004；2.廣西制造系統(tǒng)與先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西桂林 541004)

0 前言

公差模型反映的是理想零件與實(shí)際零件的幾何差異，機(jī)床主軸作為機(jī)床系統(tǒng)最重要的零件，根據(jù)公差模型進(jìn)行公差設(shè)計(jì)是其生產(chǎn)制造過程中必不可少的步驟。傳統(tǒng)的公差建模通常把零件視為剛性體，忽視零件因?qū)嶋H工況引起的微小變形對其功能要求的影響。實(shí)際上，機(jī)床主軸在工作過程中，不僅會受到軸承轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦引起的溫升變形，還會受到加工過程中由切削力引起的微小變形，最終導(dǎo)致機(jī)床主軸的工作性能無法滿足要求。

目前，基于零件剛性體的定義，楊將新等提出了基于裝配定位約束的公差規(guī)范設(shè)計(jì)，但分析的定位類型和定位信息有限。在此基礎(chǔ)上，QIN等提出了基于本體案例推理的計(jì)算機(jī)輔助公差規(guī)范設(shè)計(jì)方法，但這類研究均未考慮零件變形對公差設(shè)計(jì)的影響。為了使公差設(shè)計(jì)更符合工程實(shí)際，張為民等在利用Jacobian-Torsor(雅可比旋量)進(jìn)行實(shí)際工況的建模時(shí)，考慮了靜力載荷的影響。BENICHOU、JEANG等研究了熱載荷引起的零件變形對公差分析的影響，分析了不同溫度場對零件局部變形與公差設(shè)計(jì)的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，JAYAPRAKASH等提出了考慮熱沖擊影響的機(jī)械產(chǎn)品的最佳公差設(shè)計(jì)方法。為了進(jìn)一步研究，ZENG和RAO研究了機(jī)械產(chǎn)品實(shí)際工況的裝配偏差模型，應(yīng)用ANSYS分析了零件因溫升引起的局部變形，通過Jacobian-Torsor建立了考慮變形的裝配偏差模型。

綜上所述，目前的研究大多只考慮了零件受熱變形的影響，忽視了機(jī)械負(fù)載的影響，或只考慮了靜力載荷的影響而忽略了工作溫度的影響。然而，機(jī)床主軸在工作過程中，同時(shí)受到溫度變化和機(jī)械負(fù)載的影響是典型工況。因此，研究一種基于熱力耦合變形的機(jī)床主軸公差建模方法。首先，根據(jù)主軸的實(shí)際工況，運(yùn)用小位移旋量理論表達(dá)特征的幾何變動(dòng)，并建立主軸原始幾何誤差的Jacobian-Torsor公差模型；其次，根據(jù)幾何變動(dòng)修正Jacobian-Torsor公差模型，增加典型配合特征的公差變動(dòng)表示模型；然后，利用ANSYS計(jì)算主軸在切削力與摩擦熱耦合作用下的變形量；最后，將結(jié)果引入修正的Jacobian-Torsor模型中，得到熱力耦合變形下的機(jī)床主軸公差模型。

1 主軸工況與變動(dòng)表達(dá)

1.1 機(jī)床主軸的工況分析

根據(jù)ISO230—2標(biāo)準(zhǔn)，超精密機(jī)床與普通機(jī)床的主要區(qū)別是機(jī)械產(chǎn)品的加工精度不同。生產(chǎn)者對機(jī)床加工精度的影響因素不重視，難以保證精密機(jī)床的加工精度，導(dǎo)致機(jī)械產(chǎn)品的功能要求無法得到滿足。

本文作者主要針對型號為VMC850E的立式加工中心的主軸進(jìn)行研究，如圖1所示。

圖1 VMC850E機(jī)床主軸

在主軸工作過程中，主軸前后軸承的摩擦熱會導(dǎo)致主軸溫升產(chǎn)生熱變形。主軸系統(tǒng)的主要熱源為軸承轉(zhuǎn)動(dòng)的摩擦熱，同時(shí)，各零件裝配之間的接觸區(qū)域會產(chǎn)生熱傳導(dǎo)，導(dǎo)致與空氣接觸的零件表面產(chǎn)生熱對流。主軸在切削力、重力等作用下產(chǎn)生的局部微小變形即為力變形。刀具在加工時(shí)會產(chǎn)生主切削力和背向力及進(jìn)給力，計(jì)算合力得到刀具承受的切削力為，最終通過力的傳導(dǎo)，使主軸受到切削力的作用。刀具受力分析如圖2所示。

圖2 刀具受力分析

主軸的溫升和機(jī)械負(fù)載對機(jī)床的加工精度影響最大，占機(jī)床加工誤差的70%或以上，這些誤差將直接影響機(jī)械產(chǎn)品的功能要求與質(zhì)量。

1.2 特征變動(dòng)的數(shù)學(xué)表示

如第1.1節(jié)所述，在實(shí)際工作過程中，由于工作環(huán)境的影響，最終會引起機(jī)床主軸產(chǎn)生變形，如何描述這些由環(huán)境因素引起的幾何變動(dòng)，是熱力耦合變形下機(jī)床主軸公差建模的關(guān)鍵。

機(jī)床主軸的總體誤差經(jīng)過與之裝配零件的幾何誤差傳遞與累積之后逐漸增大，最終影響功能要求與裝配要求。零部件的特征表面由點(diǎn)、線、面三要素組成，零件的變形可以認(rèn)為是要素的位置、形狀和尺寸在三維空間中6個(gè)自由度的幾何變動(dòng)造成的。用矩陣描述特征的變動(dòng)，如式(1)所示：

(1)

式中:、、分別表示理想特征的坐標(biāo)系沿著空間坐標(biāo)系的、、軸的平移量；、、分別表示理想特征的坐標(biāo)系繞著空間坐標(biāo)系的、、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)量?？紤]主軸實(shí)際工況的影響時(shí)，主軸系統(tǒng)發(fā)生微小變形如圖3所示，幾何特征的小位移變動(dòng)用Δ表示。

圖3 刀具局部變形

一般來說，機(jī)床主軸在尺寸、位置和形狀上的變動(dòng)是由實(shí)際工況中的摩擦熱和切削力引起的，對于切削力引起的幾何變動(dòng)而言，變動(dòng)的大小和方向是確定的，可用相應(yīng)的旋量來表示由負(fù)載引起的偏差。由摩擦熱引起特征的幾何變動(dòng)沿圓周成比例收縮或膨脹，可用空間六自由度非獨(dú)立的旋量表示該幾何偏差。

2 主軸的幾何變動(dòng)數(shù)學(xué)模型

2.1 基于加工誤差的Jacobian-Torsor公差建模

公差建模的本質(zhì)就是將公差域的邊界完整、準(zhǔn)確地表述，其中包括公差的累積與公差的表示。利用Jacobian-Torsor理論建立的公差模型，是將小位移旋量與雅可比矩陣充分結(jié)合的幾何模型。Jacobian-Torsor能將零件層的功能要素FE(Functional Elements)與裝配層的功能要求FR(Functional Requirement)通過數(shù)學(xué)方法相互關(guān)聯(lián)。因此，將Jacobian-Torsor理論應(yīng)用于公差領(lǐng)域，如式(2)所示：

=

(2)

以雅可比矩陣表示與之間的幾何關(guān)系：

=·…FE,-1·FE,

式中：代表裝配體中傳遞公差的配合特征個(gè)數(shù)；矩陣的表達(dá)式如式(3)所示：

(3)

(4)

(5)

式中：表示理想特征FE的旋量矩陣。文獻(xiàn)[10]建立了單一恒定類特征的公差旋量矩陣，以及特征變動(dòng)域的約束，在此基礎(chǔ)上，增加一些典型配合特征的公差旋量矩陣，如表1所示。

表1 單一恒定類特征的公差旋量矩陣T

2.2 考慮實(shí)際工況的修正公差模型

主軸在實(shí)際加工過程中不斷受到切削力和摩擦熱的耦合作用，引起主軸產(chǎn)生微小變形，導(dǎo)致理想狀態(tài)下的公差模型無法反映主軸的真實(shí)情況。

為得到機(jī)床主軸在實(shí)際工況下相對真實(shí)的加工誤差，將實(shí)際工況引起的變形引入雅可比旋量公差建模。基于雅可比旋量的公差模型修正主要分為兩部分:將特征的理想坐標(biāo)系修正為′；對影響整個(gè)機(jī)械產(chǎn)品的裝配功能要求進(jìn)行修正?？紤]主軸變形后，F(xiàn)E的形狀、位置和尺寸也隨之變化，如圖4所示，具體變動(dòng)量在第3節(jié)中采用ANSYS進(jìn)行計(jì)算。

圖4 特征變動(dòng)后FE的變化

與雅可比矩陣相關(guān)的量也會產(chǎn)生相應(yīng)的變化，如式(6)所示：

(6)

式中：、和分別表示幾何特征繞著理想坐標(biāo)系的、、軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)換矩陣。根據(jù)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)，可求得、和如式(7)所示，其中Δ、Δ、Δ分別表示幾何特征繞著、、軸的微小轉(zhuǎn)動(dòng)角度。

(7)

投影矩陣的逆矩陣修正如式(8)所示：

(8)

(9)

(10)

將式(6)和式(9)代入式(3)即可獲得修正的雅可比旋量矩陣，最后將與式(10)所示的FE,′相乘，即可獲得熱力耦合變形下的雅可比旋量公差模型。

3 實(shí)例驗(yàn)證

3.1 原始幾何誤差的主軸公差模型

以Jacobian-Torsor理論為基礎(chǔ)，建立主軸原始幾何誤差的公差模型。圖5所示為VMC850E加工中心的主軸初始公差規(guī)范。主軸是精密零件，對形位公差精度要求較高，現(xiàn)初步采用IT5的軸和IT6的孔。根據(jù)主軸與軸承的裝配要求及其工作時(shí)的回轉(zhuǎn)精度要求，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)GB/T 1184—1996，初步確定了主軸的圓柱度誤差和同軸度誤差，其他次要公差文中不作研究。

圖5 主軸系統(tǒng)初始公差規(guī)范

圖6中包含主軸、前軸承和后軸承3個(gè)零件，三者之間除了要保證主軸與軸承的裝配間隙，還要保證主軸的回轉(zhuǎn)精度。圖6中確定了主軸與軸承之間的接觸面，即主軸與軸承的和相關(guān)的，給出了各特征FE的坐標(biāo)系；構(gòu)造了裝配連接圖，便于建立圍繞FR的尺寸鏈；設(shè)(,)和(,)為接觸對，(,)為內(nèi)部對，內(nèi)部對與同軸度誤差有關(guān)，接觸對與尺寸公差和圓柱度誤差有關(guān)。是介于(，)之間的功能要求，即保證前軸承與后軸承公共軸線的徑向旋轉(zhuǎn)誤差。

圖6 功能表面和功能要求及fFE,i虛擬坐標(biāo)系

令參考坐標(biāo)系原點(diǎn)、、、均位于公差或接觸不確定性區(qū)域的中心，于是有(0,0,0)、(0,0,30)、(0,0,147)、(0,0,105)。根據(jù)Jacobian-Torsor理論，計(jì)算雅可比矩陣FE，如式(11)所示：

(11)

將式(11)中的FE，和FE,代入式(2)得到式(12)：

(12)

根據(jù)運(yùn)動(dòng)對所對應(yīng)的特征，從表1中選取對應(yīng)的小位移旋量矩陣，代入式(5)得到與功能要素微小變動(dòng)相關(guān)的小位移旋量FE,，如表2所示。

表2 旋量相關(guān)信息

將相關(guān)矩陣代入式(12)，計(jì)算得到理想狀況下的裝配誤差如式(13)所示：

(13)

由式(13)可知，D2沿徑向方向的配合間隙變動(dòng)范圍為[-0.092,0.092]mm，沿向的間隙變動(dòng)范圍為[-0.122,0.122]mm，沿著徑向的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍為[-0.001 8,0.001 8]mm。在未考慮熱力耦合變形的影響時(shí)，主軸沿軸線方向的變動(dòng)為0。

3.2 熱力耦合變形的計(jì)算

根據(jù)ANSYS精確計(jì)算主軸在切削力與摩擦熱耦合作用下的變形量，以獲得機(jī)床主軸實(shí)際工況下的公差模型。采用文獻(xiàn)[8]中的主軸模型(圖1)及對應(yīng)的溫度變化，得主軸轉(zhuǎn)速為6 000 r/min，連續(xù)工作4 h內(nèi)的溫度變化如表3所示。

表3 主軸系統(tǒng)溫度變化

此外，計(jì)算了6 000 r/min時(shí)主軸承受的切削力，根據(jù)主軸轉(zhuǎn)速計(jì)算切削速度，再根據(jù)文獻(xiàn)[11]的切削力計(jì)算模型，得主軸轉(zhuǎn)速為6 000 r/min時(shí)，切削力隨時(shí)間變化如表4所示。

表4 主軸承受的切削力

在ANSYS分析環(huán)境中，選用直接耦合的方式；在建模過程中，采用布爾運(yùn)算的GULE(粘貼)命令，確保主軸的每個(gè)面和體都有各自的邊界且相互獨(dú)立。主軸系統(tǒng)的材料屬性根據(jù)表5進(jìn)行定義，主軸和軸承采用的材料為40Cr，主軸端蓋、軸套、法蘭、防松螺母等采用45鋼。設(shè)置初始參考溫度為25 ℃，將主軸沿軸線方向的位移設(shè)為0。

表5 材料物理屬性

根據(jù)文獻(xiàn)[9]所述及文中仿真結(jié)果可知，熱變形誤差在機(jī)床主軸總誤差中占比最大，即溫度越高引起的主軸變形量越大。為了方便表示，圖6中用D1—D5定義了主軸的各個(gè)軸段。據(jù)表3可知，主軸工作到第150 min時(shí)，主軸承受的溫度最高，此時(shí)，主軸前軸承溫度為46.2 ℃、后軸承溫度為44.5 ℃，主軸承受的對應(yīng)切削力為1 305.87 N。分析得到主軸的總變形量及主軸徑向和軸向的總變形量，如圖7所示，其他時(shí)間節(jié)點(diǎn)的主軸變形結(jié)果如圖8所示。

圖8 主軸變形量隨工作時(shí)間變化

由圖7(a)可知：主軸的溫升變形主要集中在軸承裝配的摩擦區(qū)域及軸肩等應(yīng)力集中處，主軸的最大變形為0.137 mm，未產(chǎn)生摩擦溫升區(qū)域的變形量可忽略不計(jì)。由圖7(b)可知：整個(gè)主軸沿徑向軸的總變形量為0.081 6 mm，由圖7(c)可知：主軸沿軸方向的總變形量為0.012 8 mm，主軸前端面沿軸線方向的位移限制為0，因此軸方向最大應(yīng)變發(fā)生在前后軸段。

圖7 主軸變形云圖

由圖8可知：主軸系統(tǒng)在0～60 min工作時(shí)間內(nèi)，主軸摩擦溫升區(qū)域的徑向變形量逐漸增大；在60 min后，主軸徑向變形量在0.006 mm～0.008 mm之間，趨于穩(wěn)定。在主軸工作第150 min時(shí)，主軸的總變形以及徑向方向的變形為最大值。在主軸的回轉(zhuǎn)過程中，相較于軸向變形而言徑向變形量更大，對于回轉(zhuǎn)體而言，特征沿著徑向的變動(dòng)幾乎是一致的，故建模時(shí)只考慮主軸沿著徑向軸的變形量即可。

目前對主軸加工誤差的研究大多只考慮主軸的熱誤差，現(xiàn)以第150 min時(shí)的主軸工況為例，只考慮摩擦溫升而忽略切削力的影響時(shí)，主軸的總變形量為0.126 mm，與考慮熱力耦合影響的總變形量相比減少了0.011 mm。實(shí)際上，考慮主軸的切削力與摩擦熱耦合變形更符合實(shí)際工況。

3.3 熱力耦合變形的修正公差模型

根據(jù)第3.1節(jié)得到主軸原始幾何誤差的公差模型，引入第3.2節(jié)中主軸連續(xù)工作第150 min時(shí)的主軸熱力耦合變形量，得到修正的主軸Jacobian-Torsor公差模型。由于軸承和主軸是回轉(zhuǎn)體，主軸與軸承的轉(zhuǎn)動(dòng)與變形均具有一致性，且主軸的徑向最大變形發(fā)生在摩擦區(qū)域D2和D4處。由圖8可知:局部坐標(biāo)系、的徑向變形量Δ=0.007 91 mm，軸向變形量Δ=0.001 31 mm；局部坐標(biāo)、的徑向變形量Δ=0.006 82 mm,方向的變形量Δ=0.002 14 mm。由于前軸承與D2的配合和后軸承與D4的配合具有一致性，只針對前軸承與D2的配合進(jìn)行研究。

為保證實(shí)際工況下主軸與軸承安裝的徑向誤差，將上述主軸變形量引入理想公差模型中，對FE1和FE3進(jìn)行修正，修正結(jié)果如式(14)所示：

(14)

(15)

在考慮熱力耦合變形的影響后，前軸承與D2沿著方向的配合間隙變動(dòng)范圍為[-0.062 4,0.062 4]mm，沿著方向的變動(dòng)范圍為[-0.112 9,0.112 9]mm，沿著徑向的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍為[-0.001,0.001]。考慮主軸的熱力耦合變形時(shí)，主軸沿著軸線方向發(fā)生膨脹，變動(dòng)范圍為[-0.003 5,0.003 5]mm。

4 結(jié)論

以Jacobian-Torsor理論為基礎(chǔ)，研究了一種基于熱力耦合變形的機(jī)床主軸公差建模方法，建立了機(jī)床主軸的原始幾何誤差Jacobian-Torsor模型，增加了典型配合特征的公差變動(dòng)表示模型，得到了基于熱力耦合工況下的主軸公差模型。

采用ANSYS計(jì)算熱力耦合變形量，驗(yàn)證了主軸原始幾何誤差模型和考慮熱力耦合變形的主軸公差模型，結(jié)果表明：考慮實(shí)際工況的主軸公差模型更符合工程實(shí)際。