葉 榮，吳顯云，曾婷婷

（成都師范學(xué)院 物理與工程技術(shù)學(xué)院，四川 成都 611130）

0 引言

靜電場(chǎng)中，均勻帶電球體激發(fā)電場(chǎng)是最簡(jiǎn)單的物理模型之一，求解空間各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度或電場(chǎng)分布是十分重要的問(wèn)題。常用的方法有利用球面坐標(biāo)取電荷微元產(chǎn)生的電場(chǎng)的疊加法[1-2]，由場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的微分關(guān)系計(jì)算、由場(chǎng)的微分方程求解[3]，和利用高斯定理計(jì)算等。其中高斯定理是靜電場(chǎng)問(wèn)題中常用的普遍規(guī)律，對(duì)于求解具有對(duì)稱性的電場(chǎng)極為適用。但已有的文獻(xiàn)中，均勻帶電球體內(nèi)激發(fā)電場(chǎng)的電荷的組成未加以區(qū)分，其內(nèi)外電場(chǎng)強(qiáng)度的連續(xù)性問(wèn)題，也沒(méi)有比較完善和準(zhǔn)確的研究。本文首先從真空中的高斯定理求出的均勻帶電球體的電場(chǎng)分布與球面界面兩側(cè)法向電場(chǎng)的矛盾出發(fā)，理論分析了均勻帶電球體激發(fā)的靜電場(chǎng)的修正表達(dá)，最后明確了均勻帶電球體激發(fā)電場(chǎng)的基本物理模型，并對(duì)模型進(jìn)行了物理解釋。

一個(gè)均勻帶電量為Q 的半徑為a 的球體，已有常見(jiàn)解法中是選用最簡(jiǎn)單的高斯定理求其內(nèi)外電場(chǎng)分布，即分別在均勻帶電球體內(nèi)和球體外，取一個(gè)球面高斯面，如圖1 所示[[4-5]。

圖1 真空中的高斯定理求出的均勻帶電球體的電場(chǎng)

由高斯定理有：

可得到，在r ＞a 的球體外和r ＜a 的球體內(nèi)各點(diǎn)空間，其電場(chǎng)強(qiáng)度E外和E內(nèi)分別為：

電場(chǎng)強(qiáng)度的方向均沿徑向方向。由以上兩式可知，在r ＞a 的球外與r ＜a 的球內(nèi)空間的交界面處，也即球表面處的電場(chǎng)強(qiáng)度，無(wú)論是由球外的電場(chǎng)表達(dá)式(2a)在r 從無(wú)窮遠(yuǎn)趨于r=a，還是由球內(nèi)的電場(chǎng)表達(dá)式(2b)在r 從球心趨于r=a，均可得到相同的結(jié)果：

由于內(nèi)外電場(chǎng)強(qiáng)度的方向均沿徑向方向，則在自然坐標(biāo)系下，交界面兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度只有法向分量，而沒(méi)有切向分量。這表示均勻帶電球體內(nèi)外交界面處的電場(chǎng)強(qiáng)度的法向分量是連續(xù)的。這與電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系，界面兩側(cè)電場(chǎng)的法向分量是不連續(xù)的存在著矛盾[6]。

1 均勻帶電球體激發(fā)電場(chǎng)的優(yōu)化修正

均勻帶電球體所帶電量為Q，即表明電荷是均勻分布在球體內(nèi)呈體分布的，也即該球體所帶凈余電荷的凈余電量為Q。由此可知，該球體不可能是導(dǎo)體，只能是介質(zhì)。因?yàn)楦鶕?jù)靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體的特征，若導(dǎo)體帶有一定電量的電荷，其電荷全部分布在表面上，不可能均勻分布在球體內(nèi)，其內(nèi)部也不可能有電場(chǎng)。既然該均勻帶電球體為電介質(zhì)，且可以假定其為各向同性線性均勻介質(zhì)，則它必定有一個(gè)常數(shù)電容率ε，且通常大于真空中電容率ε0。其次，未帶電荷前，電介質(zhì)整體是呈電中性的，則所帶的凈余電荷Q 只能是外來(lái)的自由電荷Qf，相應(yīng)的自由電荷體密度為：

鑒于球體為電介質(zhì)，在靜電場(chǎng)作用下，介質(zhì)會(huì)被極化，因此介質(zhì)球內(nèi)和介質(zhì)球表面會(huì)分別存在著呈體分布的極化電荷體密度ρp和呈面分布的極化電荷面密度σp。但球體內(nèi)總的體極化電荷電量Qp體與球表面總的面極化電荷電量Qp面相等，且電性相反，即Qp體=-Qp面。由于自由電荷激發(fā)電位移矢量場(chǎng)，采用介質(zhì)中的高斯定理，

根據(jù)各向同性介質(zhì)中介質(zhì)的電磁性質(zhì)方程，即電位移矢量與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系D=εE，可得球外真空中和球內(nèi)介質(zhì)中任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

電場(chǎng)強(qiáng)度的方向仍然沿徑向方向，也即只有法向分量?？梢钥闯觯纱朔绞角蟪龅碾妶?chǎng)強(qiáng)度，在以球面為界面的兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度的法向分量是不連續(xù)的，如圖2 所示。

圖2 介質(zhì)中的高斯定理求出的均勻帶電球體的電場(chǎng)

由麥克斯韋方程組中法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式，可得法向電場(chǎng)的邊值關(guān)系為：

該式表示，交界面上的自由電荷面密度和極化電荷面密度是界面兩側(cè)法向電場(chǎng)不連續(xù)的原因。對(duì)于均勻帶電球體，其自由電荷是呈體分布的，因此自由電荷面密度σf=0。

對(duì)于(8)式左邊，將(7a)和(7b)式代入，可得

對(duì)于(8)式右邊，此時(shí)只有極化電荷面密度σp。由極化電荷面密度跟界面兩側(cè)極化強(qiáng)度的關(guān)系，可表示為：

由于球外空間為真空，則(10)式中球外的極化強(qiáng)度P外=0，也即極化電荷面密度在數(shù)值上就等于介質(zhì)球內(nèi)的極化強(qiáng)度P內(nèi)。進(jìn)一步根據(jù)極化強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系，則可得(8)式右邊

與(9)式相等。這表明，采用介質(zhì)中的高斯定理求得的球內(nèi)外電場(chǎng)強(qiáng)度是正確的，其結(jié)果也符合電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系。

2 均勻帶電球體激發(fā)電場(chǎng)的基本物理模型

從以上的分析可知，由介質(zhì)中的高斯定理可以先得到輔助量電位移矢量，再由電位移矢量可得均勻帶電球體內(nèi)外任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。事實(shí)上，直接由真空中的高斯定理也可以得到不矛盾的結(jié)果，但需要將高斯面內(nèi)的電荷加以區(qū)別，如圖3 所示。

圖3 均勻帶電球體電荷組成及電場(chǎng)分布物理模型

在r ＞a 的球外真空中，高斯定理等式右邊的電荷量應(yīng)為高斯面內(nèi)包圍的全部電荷，即：

其中，Q總=Qf+Qp體+Qp面，式中Q總表示高斯面內(nèi)所包圍的總電荷量，Qf表示均勻帶電球上帶的總自由電荷量，Qp體為球內(nèi)總的體極化電荷量，Qp面則是分布在球面上的總面極化電荷量。由于Qp體=-Qp面，則Q總=Qf，這個(gè)Qf即常被描述成均勻帶電球體所帶電荷量Q。于是，球外的電場(chǎng)強(qiáng)度為：

與(2a)式及(7a)式相同。

在r ＜a 的介質(zhì)球內(nèi)，高斯面內(nèi)所包圍的電荷為部分自由電荷和部分體極化電荷。根據(jù)極化電荷體密度ρp和自由電荷體密度ρf的關(guān)系：

可知，高斯面內(nèi)包圍的極化電荷比自由電荷少，但兩者之比是不變的。直接運(yùn)用高斯定理

將(16)式代入(15)式即可得到球內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

此結(jié)果與(7b)式同，但與(2b)式不同，其差別在(17)式里分母中的電容率為介質(zhì)的電容率ε，而(2b)式里分母中的電容率為真空電容率ε0。

由以上討論可知，介質(zhì)球所帶的自由電荷Qf、球體內(nèi)的極化電荷Qp體和球面極化電荷Qp面都對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度有貢獻(xiàn)，在運(yùn)用由電場(chǎng)強(qiáng)度表示的積分形式高斯定理時(shí)，三種電荷都是激發(fā)電場(chǎng)強(qiáng)度的源。

以一種薄膜材料二氧化鉿（HfO2）為例，其相對(duì)電容率εr=ε/ε0=12.49[7]。假設(shè)該薄膜介質(zhì)球半徑為5cm，所帶自由電荷電量為Qf=Q=1.6×10-6C，通過(guò)數(shù)值計(jì)算的仿真分析，可得不同區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度變化規(guī)律，如圖4 所示。

圖4 均勻帶電球體內(nèi)外場(chǎng)強(qiáng)分布曲線

3 結(jié)語(yǔ)

精確描述均勻帶電球體的電場(chǎng)分布是靜電學(xué)中既基礎(chǔ)又重要的問(wèn)題。本文對(duì)均勻帶電球體內(nèi)外的靜電場(chǎng)表達(dá)式進(jìn)行了嚴(yán)格推導(dǎo)與理論分析，給出了均勻帶電球體激發(fā)電場(chǎng)的基本物理模型。得到當(dāng)r ＞a 時(shí)，Qp體和Qp面都可以等價(jià)成一個(gè)電量相等的在球心的點(diǎn)電荷，但由于電性相反，兩者激發(fā)的電場(chǎng)在球外互相抵消，其結(jié)果是球外的電場(chǎng)只與介質(zhì)球所帶的自由電荷Qf有關(guān)，該Qf即為通常描述的均勻帶電球體所帶的電量Q；當(dāng)r ＜a 時(shí)，Qp面對(duì)球內(nèi)電場(chǎng)沒(méi)有貢獻(xiàn)，或激發(fā)的電場(chǎng)在球內(nèi)為0，同樣，任意r ＜a 的高斯面至球面之間的球殼部分內(nèi)的自由電荷和體極化電荷在r ＜a 的區(qū)域激發(fā)的電場(chǎng)也為0，但任意r ＜a的高斯面內(nèi)的部分自由電荷和部分極化電荷激發(fā)的電場(chǎng)均不為0，此時(shí)運(yùn)用由電場(chǎng)強(qiáng)度表示的積分形式高斯定理時(shí)，則需要把這兩種電荷都考慮進(jìn)來(lái)，才能得到滿足電場(chǎng)強(qiáng)度邊值關(guān)系的球面兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度是不連續(xù)的結(jié)果。該研究進(jìn)一步明晰了均勻帶電球體激發(fā)電場(chǎng)的物理模型，得到了與電場(chǎng)法向分量連續(xù)性理論吻合的修正表達(dá)，可對(duì)大學(xué)物理、電磁學(xué)、電動(dòng)力學(xué)等基礎(chǔ)問(wèn)題提供參考，也可對(duì)相關(guān)電磁軟件的開發(fā)提供借鑒與佐證，后續(xù)將進(jìn)一步對(duì)非均勻、各向異性等帶電體激發(fā)的電場(chǎng)進(jìn)行深入研究。