尹鵬智, 戴恩澤

(中南大學自動化學院，長沙 410000)

0 研究背景及難點

在海雜波領域的60多年研究進程中，科研工作者取得了較大的研究進展與成果。現(xiàn)代雷達信號處理中的目標回波信號可近似為線性調頻信號(Chirp)，而待分數(shù)階傅里葉變換 (FRFT)[1]處理后，在特定變換階次下(即最優(yōu)階次)目標信號會在分數(shù)域形成明顯的沖擊，目標回波的能量聚集使得信雜比得到改善。反觀純海雜波在分數(shù)域內能量無法形成有效的聚集，因此有學者提出利用FRFT改善雷達回波的信雜比后再進行分形檢測[2-3]。 文獻[2-4]在海雜波FRFT域的分形特征分析上取得了一定成果，且文獻 [5-7]利用FRFT域的多重分形特征進行目標檢測取得理論層面突破。但FRFT算法思路應用于實際工程仍有較大的困難，難點在于FRFT變換時需要先選取最優(yōu)階次，需要較大的計算量[1]，且傳統(tǒng)的多重分形去趨勢波動分析(MFDFA)算法[8]性能不夠穩(wěn)定。本文選取FRFT算法優(yōu)化了最優(yōu)階次的尋優(yōu)過程，且改進了傳統(tǒng)MFDFA算法，提出了基于FRFT域分形的海面小目標快速檢測算法。海雜波中,尤其是低信雜比下的微弱目標檢測作為一個研究難點，在民用與軍用領域都具有重要意義。海面小目標的雷達反射截面(RCS)較小，雷達目標回波常被強海雜波淹沒[9-10]，該算法具有廣闊的應用前景。

1 變換域分形檢測基本算法

1.1 基于FRFT的檢測原理

FRFT[1]常用于信號處理， Chirp信號的檢測與參數(shù)估計是其中一種典型應用。早在1993年已經有學者驗證了FRFT與Wigner-Vile分布(WVD)的內在聯(lián)系，Chirp信號在WVD分布的時頻面上能量聚集為一條直線，F(xiàn)RFT利用時頻面的坐標軸旋轉，使得線性調頻信號在時頻面上的能量直線聚集，最終在FRFT變換后實現(xiàn)能量聚集，雷達回波經過FRFT變換后實現(xiàn)了能量聚集，提高了回波信號的信雜比，有利于后續(xù)的目標檢測。

信號x(t)的FRFT變換的具體定義為

(1)

式中：u為變換域頻率；α為變換旋轉角度，α=pπ/2，p為變換階次；核函數(shù)Kα(u,t)表達式為

(2)

(3)

1.2 最優(yōu)階次快速估計算法

在一定時間內，Chirp信號的頻率具有明顯線性規(guī)律，信號帶寬與信號持續(xù)時長具有線性比例關系。為了提高FRFT算法中最大的問題——如何快速確定最優(yōu)階次，快速傅里葉變換(FFT)被引入最優(yōu)階次快速估計算法。通過FFT計算信號帶寬，進而初步計算出精確調頻斜率的搜索范圍。

對待分析信號x(t)進行FFT變換，分析其頻譜的沖擊束對應的頻率最小值fmin與最大值fmax，即可得到帶寬

B=fmin-fmax

(4)

根據(jù)該段的開始和結束時間計算出Δt，即可粗略計算調頻斜率與最佳旋轉角度分別為

k=B/Δt

(5)

α=arccot(-k)

(6)

該方法粗略計算得到的k值往往小于準確值，也就可以得知旋轉角度的估計值大于準確值。這種估計算法計算效率極高，可以為后續(xù)搜索大大縮小范圍，后續(xù)可以選取較小的步長逐步縮小α，即可得到最優(yōu)旋轉角度值，進而確定信號x(t)的最優(yōu)變換角度。根據(jù)此角度進行FRFT變換即可得到最優(yōu)變換的波形。

為說明該算法具體步驟，設置接收信號x(t)為

x(t)=exp[j(32πt2+16πt)]+n(t)

(7)

式中：調頻斜率與初始頻率均為32 Hz/s；信號n(t)為高斯白噪聲；x(t)的信號信噪比為5 dB。取x(t)的時間區(qū)間是[-1,1](單位，s)，信號帶寬設置為64 Hz，采樣率為256 Hz。信號實、虛部波形與頻譜結果見圖1。

圖1 Chirp信號的波形與頻譜分析Fig.1 Waveform and spectrum analysis of Chirp signal

根據(jù)快速估計算法可得k≈38 Hz/s，初步估計的旋轉角度是α≈106.53°，設定搜索區(qū)間為(90°，110°)，取步長0.001進行精細搜索。仿真搜索結果可得最優(yōu)旋轉角為104.04°，即最優(yōu)階次p=1.156。

快速算法估計調頻斜率為32.009 Hz/s，估計誤差僅為0.03%，因此可以說明該算法擁有較高的準確性。同時，從計算量角度來看，經典的分解法[1]確定FRFT空間峰值點坐標算法中，其計算量逼近O(NlbN)，最優(yōu)旋轉角度的搜索次數(shù)是m，總計算量是O(mNlbN)；而本文算法的角度搜索次數(shù)n明顯小于m，總計算量是O(nNlbN)。仿真結果說明，本文算法在保證準確性的同時，大大減小了計算量，提高了算法效率。

1.3 多重分形去趨勢波動分析(MFDFA)算法

MFDFA算法[8]是在去趨勢波動分析算法基礎上發(fā)展而來的，MFDFA算法的步驟如下所述。

1) 原始信號x(k)，k=1，2，…,N,計算信號包絡

(8)

3) 利用最小二乘法擬合每一個信號子區(qū)間yi(j)(i=1,2,…,2Ns)的趨勢項yi, fit(j)(j=1,2,…,s)(一階、二階或更高階)，并且消除子區(qū)間的趨勢項，得到序列

Zi(j)=yi(j)-yi, fit(j)。

(9)

4) 分別再求解去趨勢信號子區(qū)間均方差

(10)

5) 計算各尺度q對應的波動函數(shù)

(11)

6)Fq(s)與s之間關系是Fq(s)∝sH(q)，求解廣義Hurst指數(shù)H(q)

(12)

式中，廣義Hurst指數(shù)H(q)是雙對數(shù)坐標的線性區(qū)間的斜率值。

廣義Hurst指數(shù)只是對時間序列的多重分形特性描述，而MFDFA算法中也可將H(q)轉化為質量指數(shù)τ(q)、奇異函數(shù)指數(shù)γ以及多重分形譜f(γ)，換算式為

(13)

1.4 優(yōu)化多重分形去趨勢波動分析(IMFDFA)算法

MFDFA算法有效描述了時間序列的多重分形特性，但是存在如下兩個局限。

1) 算法過程中需要進行去趨勢，傳統(tǒng)MFDFA算法使用最小二乘法擬合，多項式階數(shù)選取會影響算法的結果，階數(shù)的不確定性會導致信號欠擬合以及過擬合。

2) 算法分割區(qū)間的方式是等間隔分割，不連續(xù)的數(shù)據(jù)可能在相鄰信號區(qū)間的分割點處出現(xiàn)偽波動誤差，從而影響了波動函數(shù)的準確性。

本文從以下兩個方面對算法進行改進。

2) 已經有眾多學者在傳統(tǒng)MFDFA算法基礎上進行改進，但是改進的思路仍局限于使用最小二乘法擬合去趨勢項，因而，本文利用經驗模式分解(EMD)算法[11]代替?zhèn)鹘y(tǒng)的最小二乘擬合，提取信號子區(qū)間的局部趨勢項yi,emd(i=1,2,…,2Ns) ，用yi,emd代替式(7)中的yi, fit，避免了最小二乘擬合過程中多項式階次選取不確定導致的誤差。

為驗證最小二乘法(以三階為例)與EMD算法擬合信號趨勢的實際效果，對同一段原始信號包絡(1024點)進行擬合分析，如圖2所示。

圖2 最小二乘法與EMD算法擬合效果對比Fig.2 Comparison of fitting effects between least squares and EMD algorithms

由圖2可看出，最小二乘法與EMD算法均可提取出信號的趨勢項，但EMD算法提取趨勢項在細節(jié)部分比最小二乘法提取的趨勢項更好(采樣點數(shù)400～600點處的信號局部特征)，對于去趨勢后的信號波形，采用EMD算法得到的波動函數(shù)已經去除了明顯的波形趨勢，然而最小二乘法得到的波動函數(shù)因提取的趨勢項在局部擬合效果不佳，導致去趨勢項信號中仍有較明顯的波形趨勢，因而得出結論，利用EMD算法能更好地提取信號的趨勢項，最終信號去趨勢的效果最好。

2 變換域海雜波分形特征提取及仿真

本文的仿真數(shù)據(jù)采用1993年公布的IPIX雷達實測數(shù)據(jù)，其每個數(shù)據(jù)集均包含14個距離單元，其中，1個主目標單元，2～3個次目標單元，其余是純海雜波單元，目標單元的信雜比在0～6 dB之間。FRFT可以使得回波信號中的目標信號能量聚集形成強沖擊峰，以此來提高信號的信雜比。根據(jù)快速估計算法確定最優(yōu)階次，在最優(yōu)階次下進行FRFT變換，其頻譜見圖3。

圖3 目標回波的FRFT變換(最優(yōu)階次)Fig.3 FRFT transform of target echo (optimal order)

對主目標單元最優(yōu)階次下FRFT變換后，利用IMFDFA算法與MFDFA算法對其進行多重分形分析，如圖4所示。

圖4 主目標單元FRFT域分形分析(HH)Fig.4 Fractal analysis in FRFT domain of main target unit (HH)

由圖4(b)可看出，在HH極化條件下，IMFDFA算法處理過后的波動函數(shù)與s的雙對數(shù)曲線要更平滑一些，因為各尺度q(q∈ [-50,50])對應的廣義Hurst指數(shù)即各波動函數(shù)無標度區(qū)間([6,11])的斜率，而傳統(tǒng)MFDFA算法因為波動函數(shù)不平滑，在計算廣義Hurst指數(shù)以及奇異函數(shù)指數(shù)曲線時，就可能出現(xiàn)如圖4中所示的波形突變情況，影響對海雜波的FRFT域分形分析，且由圖4中數(shù)據(jù)可得，IMFDFA算法的廣義Hurst指數(shù)以及奇異函數(shù)指數(shù)曲線各尺度q值對應的值均略大于MFDFA分析的結果?？梢缘贸鼋Y論：IMFDFA算法相比于MFDFA算法，波動函數(shù)與s的雙對數(shù)曲線平滑了，有利于指數(shù)求解，多重分形分析效果更好，性能更穩(wěn)定。

圖5所示為主目標單元FRFT域分形分析(VV)。

圖5 主目標單元FRFT域分形分析(VV)Fig.5 Fractal analysis in FRFT domain of main target unit (VV)

對比圖4與圖5結果可以得出相似的結論，即在VV極化條件下，IMFDFA算法的性能優(yōu)于MFDFA算法，且對比兩圖可得出，HH極化條件下的廣義Hurst指數(shù)以及奇異函數(shù)指數(shù)均大于VV極化條件下的指數(shù)值。

為分析雙極化條件(HH，VV)下采用IMFDFA算法時的海雜波FRFT域分形特性，計算#310號數(shù)據(jù)集中各距離單元在HH以及VV極化條件下的廣義Hurst指數(shù)以及奇異函數(shù)指數(shù)，得到結果如圖6所示。

圖6 HH，VV極化條件下的多重分形特性分析Fig.6 Analysis of multifractal characteristics under HH and VV

各極化條件下主目標與次目標單元的廣義Hurst指數(shù)以及奇異函數(shù)指數(shù)均明顯大于純海雜波單元的值，因此可設計檢測門限，選出主目標單元與純海雜波單元差值最大的尺度定為最佳尺度，在最佳尺度下超過門限的即判定為包含目標信息，低于門限即判定為不含目標信息。

為證明FRFT域內IMFDFA算法相比MFDFA算法在目標檢測性能上的優(yōu)勢，計算HH，VV極化條件下，IPIX雷達#310號數(shù)據(jù)集(低信雜比)中各距離單元的廣義Hurst指數(shù)H(q)以及奇異函數(shù)指數(shù)γ的曲線，結果見圖7。

圖7 IMFDFA與MFDFA算法結果分析Fig.7 Analysis of IMFDFA and MFDFA algorithm results

最佳尺度下進行多重分形，IMFDFA算法的主、次目標單元的Hurst指數(shù)與奇異函數(shù)指數(shù)均明顯大于純海雜波單元，且相比于MFDFA算法結果，IMFDFA算法形成的峰值更陡峭，更有利于檢測器的設計。

3 結束語

本文就海雜波中小目標檢測難點問題，針對現(xiàn)有的FRFT域分形檢測算法進行改進，提出了基于變換域分形的海面小目標快速檢測算法，利用FRFT與最優(yōu)階次快速估計算法實現(xiàn)了海雜波最優(yōu)階次下的快速變換，并且針對傳統(tǒng)MFDFA算法的不足，提出了IMFDFA算法，改善了MFDFA算法的多重分析能力，提高了算法的穩(wěn)定性，最后分析了FRFT域下多重分形特征，利用主目標單元與純海雜波單元的廣義Hurst指數(shù)以及奇異函數(shù)指數(shù)間的明顯差異，可設定檢測門限，檢測雷達回波中是否包含目標信息，使新算法提高了實際應用的可能性。