徐曼曼

(廣東省揭陽市揭東第二中學,515500)

三角函數(shù)是一類典型的周期函數(shù),教材中把三角函數(shù)和函數(shù)概念與性質(zhì)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)作為一個整體,幫助學生從整體上去把握三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和應用.教學中，可通過前面學習的研究函數(shù)的基本思路和基本方法來指導本章的學習,形成新的認知,提高學生的數(shù)學思維水平.

“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”是整個三角函數(shù)知識的基礎(chǔ),也是三角恒等變形的關(guān)鍵,與第一章中任意角的三角函數(shù)關(guān)系非常密切,在教材中起承上啟下的作用.其教學的難點有以下兩點:一是已知某角的一個三角函數(shù)值,求其余的各三角函數(shù)值時符號的確定;二是掌握同角三角函數(shù)的關(guān)系式,并能靈活運用于解題,培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng).

基于以上分析,本課采用問題鏈教學的方式,創(chuàng)設恰當?shù)慕虒W情境,以學生為主體,啟發(fā)學生思考,引導學生說思路、說依據(jù)、說過程、說體驗,把握教學內(nèi)容的本質(zhì),層層深入分析問題、解決問題.

一、從最近發(fā)展區(qū)中發(fā)現(xiàn)問題,尋找知識的內(nèi)在聯(lián)系

1.回顧舊知 引出問題

(1)三角函數(shù)的定義:設α是一個任意角,α∈R,它的終邊OP與單位圓交于點P(x,y)(圖1)，則sinα=______;cosα=______;tanα=______.

(2)終邊相同的角的同一個三角函數(shù)的值______.

公式一sin(α+k·2π)=______；

cos(α+k·2π)=______；

tan(α+k·2π)=______(其中k∈Z).

設計意圖通過對以上兩個知識點的回顧,啟發(fā)學生注重新舊知識的有機銜接,從最近發(fā)展區(qū)引導學生由三角函數(shù)的定義及公式一嘗試探索終邊相同的角的三個函數(shù)值間的關(guān)系,引出本課課題.

公式一表明終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等,那么,終邊相同的角的三個三角函數(shù)之間是否也有某種關(guān)系呢?

2.設置問題，尋求聯(lián)系

問題1請從三角函數(shù)的定義出發(fā),結(jié)合圖形,嘗試尋找同一個角的三個三角函數(shù)之間的關(guān)系,并說明理由.

設計意圖從學生的最近發(fā)展區(qū)三角函數(shù)的定義出發(fā),尋找知識的內(nèi)在聯(lián)系,提出問題,分析問題,來獲得研究思路.問題1引導學生利用圓的幾何直觀來獲得同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,使學生充分體會形與數(shù)的結(jié)合,提升學生直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系:

問題2判斷正誤,并說明理由．

(1)sin2α+cos2β=1( )；

(2)sin22 021+cos22 021=1( );

問題3對于以上兩個公式,你有什么理解?

二、以問題鏈為導向,落實核心素養(yǎng)

問題4解決本題的思路是什么?你的依據(jù)是?

問題5請重新設計一個與sinα，cosα，tanα相關(guān)的題目并求解.

例2已知tanα=2,求sinα,cosα的值.

設計意圖例題設置由一個角的某個三角函數(shù)值求同角的其余兩個三角函數(shù)值,讓學生學會利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式解決問題.問題4是引導學生通過方程思想、分類討論等數(shù)學思想剖析解決問題,并規(guī)范答題過程.問題5讓學生親歷設計題目的方式,幫助學生突破“利用平方關(guān)系求函數(shù)值時符號的確定”這個難點,讓學生獲得知識內(nèi)化的過程,自然歸納出“知一求二”的基本方法,構(gòu)建新的知識體系.

問題6你能用不同的方法求解嗎?

問題7請重新提出一個問題(條件不變)并求解.

(2)求3sin2α+sinαcosα+1的值；

(3)求sinα+2cos2α的值.

設計意圖由例題到變式,以問題鏈為導向,聚焦學生說思路、說過程、說體驗的過程,層層深入,鼓勵學生探索不同的解題方法,合作交流,體會方程思想、消元思想及弦化切的基本方法.利用問題7分享學生的成果及問題,引導學生進一步探究弦化切的使用條件(關(guān)于sinα，cosα的齊次式),逆向使用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系及平方關(guān)系sin2α+cos2α=1,提高學生轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想,發(fā)

展學生的邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).

三、重視過程評價與思想方法的引導

問題8通過本節(jié)課的學習,你有什么收獲?

設計意圖從知識點和數(shù)學思想方法兩個方面引導學生對本節(jié)課的學習進行總結(jié),強化知識技能與學科核心素養(yǎng),重視過程評價與思想方法的引導,明確本節(jié)課的學習重難點,養(yǎng)成良好的學習習慣,發(fā)展自主學習的能力.

問題9(課外任務單)

設計意圖此題核心在于考查學生運用所學知識解決問題的能力,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力,全面提升學生的核心素養(yǎng).

在以問題鏈為導向的課堂教學中,學生通過觀察、思考、探究等活動,從最近發(fā)展區(qū)尋找知識的內(nèi)在聯(lián)系,通過說思路、說依據(jù)、說過程、說體驗的形式,體會數(shù)學思想與方法,提高數(shù)學思維水平.