史諾，劉瓊，張雪寧

(1.西安航空學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，陜西西安 710077;2.西安航空學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院，陜西西安 710077)

0 前言

非圓齒輪是一種特殊的齒輪，可以實(shí)現(xiàn)主、從動(dòng)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)角之間的非線性傳動(dòng)關(guān)系，從而使執(zhí)行機(jī)構(gòu)具有特殊的動(dòng)作或功能，已在輕工機(jī)械、農(nóng)業(yè)機(jī)械、流體機(jī)械等領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)了良好的應(yīng)用效果。目前，常見(jiàn)的非圓齒輪有橢圓齒輪、高階橢圓齒輪、變性橢圓齒輪、巴斯噶蝸線齒輪等。這些非圓齒輪具有典型的幾何形狀，可以使執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)行變速運(yùn)動(dòng)，其基礎(chǔ)理論與技術(shù)手段已較為成熟。在很多實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，需要對(duì)輸出速度進(jìn)行精確控制，典型的非圓齒輪難以滿足傳動(dòng)要求，這就需要根據(jù)目標(biāo)傳動(dòng)比進(jìn)行非圓齒輪的設(shè)計(jì)。

非圓齒輪的設(shè)計(jì)有兩個(gè)難點(diǎn)：一是節(jié)曲線的計(jì)算，非圓齒輪傳動(dòng)可以等效為兩條共軛節(jié)曲線的純滾動(dòng)，節(jié)曲線的形態(tài)直接影響著運(yùn)動(dòng)規(guī)律；二是齒廓的形成，輪齒是運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力傳遞的載體，其齒廓形狀直接關(guān)系著嚙合特性，進(jìn)而決定了傳動(dòng)性能。本文作者根據(jù)微分幾何推算節(jié)曲線，參照解析幾何的坐標(biāo)變換理論形成齒廓，從而得到非圓齒輪的數(shù)字化模型，為非圓齒輪制造及應(yīng)用提供參考。

1 節(jié)曲線的計(jì)算

一般情況下，按照目標(biāo)傳動(dòng)比進(jìn)行節(jié)曲線的設(shè)計(jì)，需要根據(jù)實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合的空間限制給定主、從動(dòng)輪中心距，如圖1所示。其中，非圓齒輪副的中心距為，點(diǎn)為瞬時(shí)嚙合節(jié)點(diǎn)，主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角為，瞬時(shí)角速度為，其節(jié)曲線向徑為；從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角為，瞬時(shí)角速度為，其節(jié)曲線向徑為。

圖1 非圓齒輪副嚙合傳動(dòng)示意

在起始位置，=0、=0，則非圓齒輪的傳動(dòng)比為

(1)

對(duì)于外嚙合形式而言，兩輪的中心距為

=+

(2)

則主動(dòng)輪的節(jié)曲線向徑為

(3)

從動(dòng)輪的節(jié)曲線向徑為

(4)

主動(dòng)輪與從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角關(guān)系為

(5)

則在笛卡爾坐標(biāo)系下，主動(dòng)輪節(jié)曲線方程為

(6)

從動(dòng)輪節(jié)曲線方程為

(7)

根據(jù)主動(dòng)輪節(jié)曲線與從動(dòng)輪節(jié)曲線方程可以求得離散點(diǎn)集，然后通過(guò)三次樣條插值進(jìn)行數(shù)據(jù)密化，最后擬合得到節(jié)曲線的輪廓圖形。

2 齒廓的形成

根據(jù)Willis基本嚙合定理，確定非圓齒輪齒廓的具體形式，需從包絡(luò)條件的構(gòu)造、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系的建立著手進(jìn)行研究。包絡(luò)條件由切削刀具的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系受切削刀具與非圓齒輪相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響，下面從這兩方面展開(kāi)論述，分析非圓齒輪齒廓的形成機(jī)制。

2.1 切削刀具的結(jié)構(gòu)參數(shù)

非圓齒輪可以通過(guò)齒條形刀具或者圓柱形插齒刀具進(jìn)行加工，齒條形刀具只能加工節(jié)曲線為凸形的非圓齒輪，而圓柱形插齒刀具不僅能夠加工凸形節(jié)曲線的非圓齒輪，對(duì)于凹形節(jié)曲線的非圓齒輪，只要節(jié)曲線的最小曲率半徑大于等于插齒刀的節(jié)圓半徑，均可進(jìn)行加工。因此，圓柱形插齒刀具比齒條形刀具的制造適應(yīng)性更廣泛，則以圓柱形插齒刀具為對(duì)象進(jìn)行分析。

節(jié)曲線曲率半徑最小處是加工時(shí)最容易發(fā)生根切的位置，這就對(duì)插齒刀的結(jié)構(gòu)參數(shù)提出了要求，需要計(jì)算輪齒不產(chǎn)生根切時(shí)插齒刀的最大模數(shù)。主動(dòng)輪節(jié)曲線、從動(dòng)輪節(jié)曲線的曲率半徑計(jì)算公式分別如式(8)(9)所示，在轉(zhuǎn)角的取值區(qū)間內(nèi)計(jì)算曲率半徑的極小值，比較主動(dòng)輪與從動(dòng)輪節(jié)曲線曲率半徑極小值，將二者中的較小者代入式(10)，求得不發(fā)生根切時(shí)插齒刀的最大模數(shù)。

(8)

(9)

(10)

式中:為插齒刀的最大模數(shù)，mm；為插齒刀的齒頂高系數(shù)，一般為1；為插齒刀齒數(shù)；為插齒刀節(jié)圓上的齒形角，一般取20°；為節(jié)曲線的最小曲率半徑，mm。

主動(dòng)輪節(jié)曲線、從動(dòng)輪節(jié)曲線的周長(zhǎng)計(jì)算公式如(11)所示。設(shè)定齒數(shù)后，可以通過(guò)周長(zhǎng)得到非圓齒輪的模數(shù)，若滿足式(12)，則創(chuàng)建與被切削非圓齒輪的模數(shù)、齒數(shù)數(shù)值完全相同的圓柱形插齒刀具，以該刀具對(duì)非圓齒輪進(jìn)行范成加工，可以保證在加工時(shí)不發(fā)生根切。

(11)

式中:為主動(dòng)輪節(jié)曲線周長(zhǎng)，mm；為從動(dòng)輪節(jié)曲線周長(zhǎng)，mm；為非圓齒輪的模數(shù)，mm；為主動(dòng)輪齒數(shù)；為從動(dòng)輪齒數(shù)。

≤

(12)

2.2 切削過(guò)程中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系

非圓齒輪的范成加工可以簡(jiǎn)化為插齒刀節(jié)圓在節(jié)曲線上的純滾動(dòng)過(guò)程，如圖2所示。插齒刀中心軌跡是非圓齒輪節(jié)曲線的法向等距線，建立非圓齒輪坐標(biāo)系-，其原點(diǎn)位于非圓齒輪的旋轉(zhuǎn)中心，該坐標(biāo)系是空間中的固定坐標(biāo)系；插齒刀坐標(biāo)系-與插齒刀中心固連，在范成過(guò)程中，該坐標(biāo)系繞自身中心旋轉(zhuǎn)；在插齒刀中心軌跡上建立隨動(dòng)坐標(biāo)系-，當(dāng)插齒刀由接觸點(diǎn)滾動(dòng)至接觸點(diǎn)時(shí)，插齒刀坐標(biāo)系-相對(duì)于隨動(dòng)坐標(biāo)系-轉(zhuǎn)過(guò)了角。非圓齒輪的齒廓是插齒刀齒廓在固定坐標(biāo)系-下的包絡(luò)， 設(shè)由-到-的變換矩陣為、由-到-的變換矩陣為，則插齒刀坐標(biāo)系-到非圓齒輪坐標(biāo)系-的變換矩陣為

圖2 非圓齒輪范成加工原理

=

(13)

坐標(biāo)系-旋轉(zhuǎn)角得到-，則：

(14)

坐標(biāo)系-經(jīng)平移變換可以轉(zhuǎn)化為-，假設(shè)點(diǎn)在-中的坐標(biāo)為(,)，則：

(15)

將插齒刀齒廓在-下的坐標(biāo)(,) 經(jīng)過(guò)變換矩陣轉(zhuǎn)換為-下的坐標(biāo)(,) ，得到插齒刀齒廓的包絡(luò)方程為

(16)

3 計(jì)算實(shí)例

設(shè)定一對(duì)非圓齒輪傳動(dòng)的目標(biāo)傳動(dòng)比為=1+0.5sin，主動(dòng)輪與從動(dòng)輪的中心距為60 mm，根據(jù)式(1)—式(7)計(jì)算得到的主、從動(dòng)輪節(jié)曲線分別如圖3、圖4所示。

圖3 主動(dòng)輪節(jié)曲線 圖4 從動(dòng)輪節(jié)曲線

假設(shè)主從動(dòng)輪的齒數(shù)均為20，計(jì)算得到模數(shù)為2.961 8 mm，根據(jù)式(8)—式(12)進(jìn)行參數(shù)校核，滿足切削條件，故創(chuàng)建齒數(shù)為20、模數(shù)為2.961 8 mm的圓柱形插齒刀進(jìn)行范成計(jì)算。一般情況下，插齒刀齒廓曲線采用漸開(kāi)線的形式。

范成過(guò)程的計(jì)算有2種方法：等極角法和等弧長(zhǎng)法。等極角法是將齒坯轉(zhuǎn)角均分后，以齒坯轉(zhuǎn)角作為驅(qū)動(dòng)參數(shù)來(lái)計(jì)算各運(yùn)動(dòng)參量，根據(jù)式(13)—式(16)求解出沿著中心軌跡方向插齒刀齒廓的對(duì)應(yīng)位置。等弧長(zhǎng)法首先是將節(jié)曲線等分為若干段，利用數(shù)值算法得到各弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的齒坯轉(zhuǎn)角，然后再進(jìn)行后續(xù)計(jì)算。等極角法得到的包絡(luò)線疏密有差異，而等弧長(zhǎng)法得到的包絡(luò)線疏密均勻，從齒形精度的一致性考慮，等弧長(zhǎng)法優(yōu)于等極角法，但是等弧長(zhǎng)法需要求解超越方程，計(jì)算過(guò)程繁瑣，而等極角法簡(jiǎn)潔明確，更易于實(shí)現(xiàn)。主動(dòng)輪等極角范成的計(jì)算流程如圖5所示。

圖5 主動(dòng)輪等極角范成計(jì)算流程

對(duì)于從動(dòng)輪而言，為保證能夠準(zhǔn)確地傳遞運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力，它與主動(dòng)輪的輪齒應(yīng)該是逐一精確嚙合的狀態(tài)，這就使得從動(dòng)輪的輪齒沿著節(jié)曲線的分布不是自由確定的，需要通過(guò)改變插齒刀的初始極角位置，保證范成運(yùn)動(dòng)完成后形成的輪齒能夠正確嚙合。主、從動(dòng)輪范成計(jì)算結(jié)果分別如圖6、圖7所示。

圖6 主動(dòng)輪包絡(luò)模型 圖7 從動(dòng)輪包絡(luò)模型

4 嚙合過(guò)程仿真分析

范成計(jì)算完成后，為得到齒廓數(shù)據(jù)，需要針對(duì)包絡(luò)圖進(jìn)行邊緣線的提取。依據(jù)LITVIN所提出的數(shù)值方法進(jìn)行計(jì)算，得到主動(dòng)輪、從動(dòng)輪的齒廓曲線后，將它們分別導(dǎo)入U(xiǎn)G NX軟件平臺(tái)，賦予一定的齒寬后得到齒輪的三維數(shù)字化模型。將主動(dòng)輪與從動(dòng)輪進(jìn)行虛擬裝配，形成的非圓齒輪副如圖8所示。

圖8 非圓齒輪副三維模型

將裝配模型切換至運(yùn)動(dòng)仿真模塊，進(jìn)行嚙合過(guò)程的仿真計(jì)算。定義主動(dòng)輪、從動(dòng)輪為運(yùn)動(dòng)構(gòu)件，每個(gè)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)副為旋轉(zhuǎn)副，即只保留齒輪繞各自軸線的旋轉(zhuǎn)自由度，約束其余的5個(gè)空間自由度，并且在主動(dòng)輪的旋轉(zhuǎn)副上施加驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速為360°/s。

在主動(dòng)輪實(shí)體與從動(dòng)輪實(shí)體之間定義3D接觸，用于模擬輪齒之間的剛性碰撞產(chǎn)生的接觸力和運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。3D接觸參數(shù)由接觸物體的剛度、剛度指數(shù)、穿透深度、阻尼、摩擦5項(xiàng)構(gòu)成，需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行設(shè)定。主動(dòng)輪與從動(dòng)輪的材質(zhì)為鋼，抵抗變形的能力較強(qiáng)，剛度為10N/mm。剛度指數(shù)會(huì)使接觸力的響應(yīng)呈非線性變化，若其值小于1，會(huì)降低接觸力和運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，反之，若大于1，會(huì)增加接觸力和運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，綜合考慮，定義剛度指數(shù)為1.2。在輪齒的接觸過(guò)程中，允許發(fā)生微小距離的相互滲透，設(shè)置穿透深度為0.01 mm。阻尼是隨著穿透深度逐漸發(fā)揮作用的，一般情況下其值為剛度的0.1%。打開(kāi)庫(kù)侖摩擦選項(xiàng)，考慮到實(shí)際齒輪嚙合過(guò)程中的潤(rùn)滑條件，定義靜摩擦因數(shù)和動(dòng)摩擦因數(shù)分別為0.3、0.1。3D接觸是典型的非線性計(jì)算，計(jì)算負(fù)荷較大，故仿真時(shí)間不宜過(guò)長(zhǎng)，同時(shí)為防止計(jì)算結(jié)果失真，在計(jì)算負(fù)荷允許的范圍內(nèi)，計(jì)算步數(shù)應(yīng)盡量多，則設(shè)置仿真時(shí)間為2 s、計(jì)算步數(shù)為1 000。為檢驗(yàn)在嚙合過(guò)程中輪齒是否存在干涉現(xiàn)象，在機(jī)構(gòu)封裝選項(xiàng)中啟用干涉檢查，設(shè)置好解算方案后，進(jìn)行求解。

主動(dòng)輪與從動(dòng)輪在嚙合仿真的過(guò)程中無(wú)干涉提示，說(shuō)明輪齒是逐一嚙合的，符合基本的傳動(dòng)要求。仿真計(jì)算得到的從動(dòng)輪角速度響應(yīng)如圖9所示。可知：從動(dòng)輪角速度不是平滑的曲線，呈現(xiàn)出了明顯的波動(dòng)性，從剛體動(dòng)力學(xué)的角度來(lái)講，這是嚙合過(guò)程中非圓齒輪輪齒的重合度不斷改變形成的非規(guī)律性振動(dòng)激勵(lì)造成的，與實(shí)際齒輪的運(yùn)行情況是相符合的，且對(duì)比從動(dòng)輪角速度的理論值與仿真值可以發(fā)現(xiàn)，兩者在變化趨勢(shì)上是一致的，說(shuō)明非圓齒輪的三維數(shù)字化模型是正確的。

圖9 從動(dòng)輪角速度曲線

5 結(jié)束語(yǔ)

本文作者提出了以目標(biāo)傳動(dòng)比為根據(jù)進(jìn)行非圓齒輪的設(shè)計(jì)方法，通過(guò)計(jì)算離散點(diǎn)集，采用樣條曲線擬合的方式得到共軛節(jié)曲線，在此基礎(chǔ)上依據(jù)范成加工原理構(gòu)建包絡(luò)圖，提取齒廓曲線后賦予一定的齒寬，獲得了非圓齒輪的三維數(shù)字化模型。將主動(dòng)輪與從動(dòng)輪進(jìn)行虛擬裝配后，根據(jù)運(yùn)動(dòng)仿真的方法進(jìn)行嚙合過(guò)程分析，整個(gè)傳動(dòng)過(guò)程平穩(wěn)無(wú)干涉，從動(dòng)輪的角速度響應(yīng)曲線的理論值與仿真值在趨勢(shì)上保持一致，說(shuō)明該設(shè)計(jì)方法是可行的。該方法具有一定的可推廣性，可以用于創(chuàng)建不同傳動(dòng)比、不同齒廓曲線形式的非圓齒輪，以此為基礎(chǔ)，可以開(kāi)展接觸特性分析、組合機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)、數(shù)控加工制造等工作。