徐海斌

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院,浙江 湖州 313000)

0 引 言

道威棱鏡具有通過內(nèi)部全反射實(shí)現(xiàn)保持光線傳輸方向一致的光學(xué)特性.當(dāng)?shù)劳忡R繞其斜面中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圖像會(huì)同方向地以兩倍的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)[1].道威棱鏡因具有這種光學(xué)特性而被廣泛應(yīng)用于光學(xué)檢測(cè)[2-3]、激光加工[4]、信號(hào)傳輸[5-6]、周視掃描[7-10]等領(lǐng)域.在當(dāng)前的光學(xué)教學(xué)及工程應(yīng)用中，道威棱鏡的底角通常設(shè)定為45°，而已有文獻(xiàn)未對(duì)非45°底角道威棱鏡的可行性進(jìn)行研究.

近年來，鑒于虛擬仿真技術(shù)在工程光學(xué)教學(xué)上的廣泛應(yīng)用[11-12]，本文采用幾何光學(xué)原理和虛擬仿真技術(shù)，對(duì)任意底角道威棱鏡的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析.研究結(jié)果表明，任意底角道威棱鏡也能實(shí)現(xiàn)現(xiàn)有道威棱鏡的光學(xué)功能.該研究結(jié)果對(duì)工程光學(xué)教學(xué)和工程應(yīng)用均具有一定的參考價(jià)值.

1 任意對(duì)稱底角道威棱鏡的結(jié)構(gòu)特征

將道威棱鏡置于折射率為n0的透明介質(zhì)中，棱鏡主截面及結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖1所示.光線從其AB面中心位置沿中心軸入射，在BC面中心位置發(fā)生全反射，從CD面中心位置沿中心軸射出，入射光線和出射光線保持在一條中心軸線上.設(shè)棱鏡的寬和高均為H，折射率為n.經(jīng)幾何光學(xué)分析可知，光線在AB面發(fā)生的折射滿足：

(1)

在△FBE中，根據(jù)正弦定律得：

(2)

即：

(3)

觀察幾何圖形可知：

(4)

聯(lián)立式(1)～(4)，道威棱鏡的半長(zhǎng)度L為：

(5)

式(5)給出了道威棱鏡的結(jié)構(gòu)特征，當(dāng)棱鏡的折射率為n、寬和高均為H、對(duì)稱底角為α?xí)r，道威棱鏡的長(zhǎng)度為2L.

為減少光信號(hào)傳輸能量的損耗，當(dāng)光線入射到BC面時(shí)，需要入射角β滿足全反射條件，即：

(6)

根據(jù)幾何關(guān)系可知：

β=α+i2.

(7)

聯(lián)立式(1)(4)(6)(7)，道威棱鏡底角需滿足的條件為：

(8)

圖1 道威棱鏡主截面結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the principal section structure of Dove prism

2 任意對(duì)稱底角道威棱鏡的光線偏轉(zhuǎn)特征

實(shí)際上，當(dāng)光線經(jīng)過道威棱鏡時(shí)，入射光線通常不能非常精確地沿中軸線傳輸，如圖2所示.考慮在道威棱鏡的主截面內(nèi)，當(dāng)光線射到AB面中心位置時(shí)，光線方向與中心軸線的夾角為θ，出射光線與光軸的夾角為θ′.

圖2 非中心軸入射光線傳輸示意圖Fig.2 Schematic diagram of the non central axis incident light transmission

光線在AB和CD折射面分別滿足折射定律：

(9)

(10)

在△FBE中，由∠AFE=∠B+∠FEB,可得θ2=β-α.當(dāng)光線在BC面發(fā)生全反射時(shí)，反射角等于入射角，因此在道威棱鏡的右側(cè)，同理可得θ3=β-α.由此可得，θ2=θ3.聯(lián)合式(9)和式(10)可知，θ1=θ4.在AB和CD入射面上進(jìn)行幾何分析可知，θ1+θ+α=π/2，θ4+θ′+α=π/2.入射光線、出射光線與中心軸線的夾角相等，即θ=θ′.

通過對(duì)任意對(duì)稱底角道威棱鏡的非中心軸入射光線分析可知，出射光線與中心軸的偏轉(zhuǎn)角同入射光線與中心軸的偏轉(zhuǎn)角相等，與道威棱鏡底角大小的選擇無關(guān).

3 不同對(duì)稱底角結(jié)構(gòu)道威棱鏡對(duì)圖像的旋轉(zhuǎn)特性

現(xiàn)有的光學(xué)周視瞄準(zhǔn)儀的道威棱鏡均采用45°底角結(jié)構(gòu)，當(dāng)沿中軸線以角速度ω旋轉(zhuǎn)道威棱鏡時(shí)，信號(hào)圖像在保持大小不變的情況下，以角速度2ω沿相同方向旋轉(zhuǎn).為觀察任意對(duì)稱底角結(jié)構(gòu)道威棱鏡對(duì)信號(hào)圖像的旋轉(zhuǎn)特性,本文利用TracePro光學(xué)設(shè)計(jì)軟件，分別對(duì)30°、45°、60°底角的道威棱鏡旋轉(zhuǎn)特性進(jìn)行虛擬仿真.

3.1 道威棱鏡信號(hào)傳輸光路結(jié)構(gòu)

為便于觀察經(jīng)過道威棱鏡后的信號(hào)圖像旋轉(zhuǎn)特性，沿著信號(hào)圖像傳輸方向觀察，并采用如圖3所示的信號(hào)光源結(jié)構(gòu)，其中帶孔的有向線段為x軸，另一個(gè)有向線段為y軸，信號(hào)傳輸方向?yàn)閦軸，信號(hào)光源滿足右手螺旋結(jié)構(gòu).由圖3可知，x和y方向的有向線段長(zhǎng)度均約為10 mm，中心位置在坐標(biāo)原點(diǎn)處.隨著道威棱鏡的旋轉(zhuǎn)，為觀察信號(hào)圖像的變換特征，需要在道威棱鏡后設(shè)置觀察屏.信號(hào)傳輸?shù)墓饴方Y(jié)構(gòu)如圖4所示.

圖3 信號(hào)光源結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of the signal light source

圖4 道威棱鏡信號(hào)傳輸光路結(jié)構(gòu)Fig.4 Signal transmission optical path of the Dove prism

3.2 不同對(duì)稱底角結(jié)構(gòu)的道威棱鏡對(duì)信號(hào)圖像的旋轉(zhuǎn)特性

為比較不同底角結(jié)構(gòu)的道威棱鏡與現(xiàn)有45°底角結(jié)構(gòu)的道威棱鏡在信號(hào)圖像傳輸功能上的異同，以30°、45°、60°底角為例，虛擬仿真道威棱鏡圖4的光路結(jié)構(gòu)，并沿著中心軸分別旋轉(zhuǎn)0°、30°、45°、90°、180°，觀察圖3的信號(hào)圖像經(jīng)道威棱鏡后所得到的圖像.

當(dāng)?shù)劳忡R采用圖4所示的光路結(jié)構(gòu)時(shí)，在觀察屏上獲得的圖像如圖5所示.信號(hào)圖像經(jīng)道威棱鏡分析可知，z軸沿著光線傳輸方向，垂直于主截面的x軸方向不變，當(dāng)信號(hào)圖像經(jīng)過一次反射后，信號(hào)圖像成鏡像，即右手螺旋坐標(biāo)轉(zhuǎn)變成左手螺旋坐標(biāo).由此可知，y軸坐標(biāo)如圖5所示.通過比較圖5的(a)(b)(c)可知，信號(hào)圖像經(jīng)過不同對(duì)稱底角的道威棱鏡后，產(chǎn)生的圖像并沒有發(fā)生明顯變化.

圖5 道威棱鏡繞中心軸旋轉(zhuǎn)0°獲得的圖像Fig.5 The image obtained by rotating the Dove prism 0° around the central axis

由工程光學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)?shù)劳忡R繞中心軸以某一角度旋轉(zhuǎn)時(shí)，信號(hào)圖像繞中心軸以同向兩倍的角度旋轉(zhuǎn).對(duì)不同對(duì)稱底角結(jié)構(gòu)的道威棱鏡，以30°、45°、90°、180°旋轉(zhuǎn)角為例，分別觀察到的信號(hào)圖像如圖6～9所示.

圖6 道威棱鏡繞中心軸旋轉(zhuǎn)30°獲得的圖像Fig.6 The image obtained by rotating the Dove prism rotates 30° around the central axis

圖7 道威棱鏡繞中心軸旋轉(zhuǎn)45°獲得的圖像Fig.7 The image obtained by rotating the Dove prism rotates 45° around the central axis

圖8 道威棱鏡繞中心軸旋轉(zhuǎn)90°獲得的圖像Fig.8 The image obtained by rotating the Dove prism rotates 90° around the central axis

圖9 道威棱鏡繞中心軸旋轉(zhuǎn)180°獲得的圖像Fig.9 The image obtained by rotating the Dove prism rotates 180° around the central axis

圖6顯示，當(dāng)?shù)劳忡R沿著光線傳輸方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，信號(hào)圖像以順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)60°.圖7顯示，當(dāng)?shù)劳忡R沿著光線傳輸方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，信號(hào)圖像以順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)90°.圖8顯示，當(dāng)?shù)劳忡R沿著光線傳輸方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，信號(hào)圖像以順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)180°.圖9顯示，當(dāng)?shù)劳忡R沿著光線傳輸方向順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)180°時(shí)，信號(hào)圖像以順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)360°.

通過對(duì)圖6～9所獲得的信號(hào)圖像分析可知：不同對(duì)稱底角結(jié)構(gòu)的道威棱鏡對(duì)信號(hào)圖像的旋轉(zhuǎn)特性完全一致；采用不同對(duì)稱底角結(jié)構(gòu)的道威棱鏡，在實(shí)現(xiàn)信號(hào)傳遞上并沒有明顯差別.

4 結(jié) 論

本文通過對(duì)道威棱鏡幾何結(jié)構(gòu)的分析，給出了對(duì)稱底角道威棱鏡底角所需要滿足的條件，得到了道威棱鏡長(zhǎng)度與底角關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式.利用TracePro光學(xué)設(shè)計(jì)軟件，對(duì)不同對(duì)稱底角道威棱鏡的旋轉(zhuǎn)特性進(jìn)行虛擬仿真，結(jié)果顯示，采用任意對(duì)稱底角道威棱鏡結(jié)構(gòu)均能實(shí)現(xiàn)信號(hào)圖像的有效傳輸和旋轉(zhuǎn).該研究結(jié)果對(duì)工程光學(xué)關(guān)于道威棱鏡的教學(xué)和虛擬仿真演示進(jìn)行了有益補(bǔ)充和拓展，也為道威棱鏡的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了思路.