曹勝芳，王文科，胡紅萍

(中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引 言

圖像復(fù)原是圖像處理領(lǐng)域中一項(xiàng)非常重要的處理技術(shù)，其主要目的是去除圖像中的噪聲和模糊等退化現(xiàn)象，以提高圖像視覺質(zhì)量[1]. 圖像復(fù)原技術(shù)廣泛應(yīng)用于眾多的科學(xué)領(lǐng)域和技術(shù)領(lǐng)域，如醫(yī)學(xué)影像、 天文觀測、 遙感遙測、 軍事科學(xué)等.

圖像復(fù)原過程實(shí)際上是一個(gè)根據(jù)某些退化模型對清晰圖像進(jìn)行估計(jì)的過程，它可以表示為如下線性模型：

y=Hx+n，

(1)

式中：y為觀測圖像，即模糊或者含噪聲的圖像；H是線性退化算子；x是原始圖像；n為噪聲.

目前，已有的圖像復(fù)原方法包括空間域?yàn)V波、 變換域?yàn)V波、 偏微分方程、 變分法等[2]. 空間域?yàn)V波方法中的非局部均值去噪方法應(yīng)用較為廣泛，但是，其在邊緣處理上容易出現(xiàn)過平滑現(xiàn)象. 小波變換對圖像進(jìn)行去噪能夠保留圖像的頻率信息，同時(shí)，保留了圖像的空間信息，但是，其只能捕捉有限的方向信息，不包含各階的各向異性的因素. 變分法能夠很好地保留圖像邊緣，但是，會出現(xiàn)嚴(yán)重的階梯效應(yīng).

壓縮感知(Compressed Sensing, CS)是一種探尋欠定線性系統(tǒng)稀疏解的技術(shù)，近年來，也用于復(fù)原稀疏或可壓縮的信號[3]. 圖像復(fù)原與壓縮感知理論之間存在著緊密的聯(lián)系，兩者都直接面對數(shù)學(xué)中的求逆問題，部分解決方法是互通的[4].

CS理論分為信號稀疏表示、 觀測矩陣和復(fù)原算法三部分[5]. 信號稀疏表示是指將信號投影到正交變換基時(shí)，絕大部分變換系數(shù)的值很小或者為零，所得到的變換向量是稀疏或者近似稀疏的，即信號在某種變換下可以稀疏表示[6]，常見的變換基有離散余弦變換基、 快速傅里葉變換基、 離散小波變換基、 Curvelet變換基、 Gabor基以及冗余字典等. 觀測矩陣是在不丟失原始信號信息的前提下，將信號通過域的轉(zhuǎn)換對原始信號進(jìn)行降維，常見的觀測矩陣有高斯/伯努利型隨機(jī)矩陣、 傅里葉測量矩陣等. 復(fù)原算法是最重要的一步，信號的復(fù)原過程即欠定方程組的求解問題，該算法包括組合算法、 凸優(yōu)化算法和貪婪匹配算法[7].

本文主要利用壓縮感知理論對圖像進(jìn)行復(fù)原，將一維信號的復(fù)原過程擴(kuò)展到二維圖像，并選用離散小波變換矩陣對原始圖像信號進(jìn)行稀疏表示. 本文在壓縮感知和圖像分割(Image Segmentation, IS)的基礎(chǔ)上，結(jié)合濾波(Filter, F)，提出一種基于F，IS和CS的圖像復(fù)原的方法，記為F-IS-CS. 在該方法中，選用高斯矩陣作為測量矩陣，對原始圖像進(jìn)行壓縮，而復(fù)原算法采用正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法. 通過三種不同的圖像復(fù)原的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的F-IS-CS方法在壓縮比為0.5時(shí)，對含有泊松噪聲的圖像進(jìn)行均值濾波，再進(jìn)行分割、 壓縮、 重構(gòu)和合并后，得到的圖像復(fù)原效果最佳，并且與F-CS方法相比，F(xiàn)-IS-CS具有較高的峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR).

1 正交匹配追蹤算法

壓縮感知理論是一種利用信號的稀疏性或可壓縮性進(jìn)行信號獲取或信號處理的理論，如果給定的信號在某種正交基(Orthogonal Basis)的表示下是稀疏(Sparse)或者近似稀疏的，那么通過測量矩陣(Measurement Matrix)進(jìn)行投影，可以得到比原始信號長度小的觀測結(jié)果，其中包含了原始信號的大部分信息[8]. 當(dāng)信號在空域或者某變換域具有稀疏性或者可壓縮性時(shí)，由少量觀測結(jié)果就可以高概率實(shí)現(xiàn)信號的近似復(fù)原，且具有較高的峰值信噪比.

信號在經(jīng)過壓縮之后的復(fù)原過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)解欠定線性方程組y=AS的問題. 復(fù)原算法是其中最重要的一步，該算法分為組合算法、 凸優(yōu)化算法和貪婪匹配追蹤算法三類. 貪婪匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit)算法由于復(fù)原速度快、 計(jì)算量小等特點(diǎn)被廣泛研究[9]. 正交匹配追蹤算法[10-12]是通過貪婪思想每次迭代選擇一個(gè)局部最優(yōu)解來逼近原始信號，相比匹配追蹤算法，OMP算法的迭代速度更快. OMP算法的具體步驟為：

步驟1： 初始化： 殘差r_n=y，復(fù)原信號x=0，索引集Pos_theta=0，更新過程中被選中的原子集合At=0，計(jì)數(shù)器ii=1；

步驟2： 計(jì)算殘差和感知矩陣A每一列的投影系數(shù)(內(nèi)積值)P；

步驟3： 找出其中最大的元素以及對應(yīng)的位置Pos；

步驟4： 更新索引集Pos_theta以及原子集合At；

步驟5： 利用最小二乘法求得近似解theta；

步驟6： 更新殘差r_n；

步驟7： 判斷迭代是否滿足停止條件，滿足則停止， 輸出theta，否則轉(zhuǎn)步驟2.

OMP算法的流程圖如圖 1 所示.

圖 1 OMP算法流程圖

2 F-IS-CS圖像復(fù)原算法

本文先對含有噪聲的圖像進(jìn)行濾波，再對濾波后的圖像進(jìn)行分割，對分割后的子圖分別進(jìn)行壓縮感知重構(gòu)，最后再對重構(gòu)后的子圖進(jìn)行合并，得到復(fù)原后的圖像. 這樣就建立了基于F，IS和CS的圖像復(fù)原算法，記為F-IS-CS.

2.1 濾波(F)

F是采用多種濾波方法對噪聲圖像進(jìn)行預(yù)處理，包括維納濾波、 均值濾波、 二維中值濾波、 二維排序?yàn)V波四種方法，分別對四種濾波下的復(fù)原圖像進(jìn)行比較，通過客觀的評價(jià)指標(biāo)，選擇最優(yōu)的濾波方法.

2.2 圖像分割過程(IS)

IS是圖像分割過程，由于圖像矩陣維度較大，對每一列壓縮再復(fù)原的過程會產(chǎn)生較大誤差，且采用OMP算法進(jìn)行重構(gòu)時(shí)，優(yōu)先選擇與殘差最匹配的原子，當(dāng)原子維數(shù)過大時(shí)，也會導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)確，因此，對圖像的灰度矩陣進(jìn)行分割. 首先進(jìn)行2×2分割將濾波后的圖像img2分成A,B,C,D四個(gè)子圖，然后對每一個(gè)子圖，采用CS方法進(jìn)行重構(gòu)，得到恢復(fù)后的A′,B′,C′,D′四個(gè)子圖，再將復(fù)原后的四個(gè)子圖進(jìn)行合并，得到最終的復(fù)原圖像img′.

2.3 壓縮感知(CS)

CS是圖像壓縮感知過程，由于壓縮感知過程中是對一維信號進(jìn)行欠采樣，而圖像是二維信號，對圖像進(jìn)行壓縮感知時(shí)，采用循環(huán)結(jié)構(gòu)，分別對圖像灰度矩陣的每一列進(jìn)行壓縮，采用正交匹配追蹤算法對圖像進(jìn)行重構(gòu)，得到最終的復(fù)原圖像.

壓縮感知要求信號是稀疏的，或者在一組基底下是可稀疏的，即信號x可以被表示為

(2)

如果信號在某基底下是可稀疏的，我們使用一個(gè)測量矩陣Φ∈RM×N，其中，M?N，M稱為測量次數(shù)，CR=M/N稱為采樣比或者壓縮比，使用測量矩陣對信號x進(jìn)行測量[14]，得到觀測結(jié)果y，即

y=Φx,

(3)

y=ΦψS=AS,

(4)

式中：A=Φψ可以看作是對信號S的測量矩陣；S是稀疏的.

F-IS-CS圖像復(fù)原算法的具體步驟為：

步驟1： 首先對原始圖像img加入某種噪聲，得到含噪圖像img1；

步驟2： 對含噪圖像進(jìn)行濾波，得到圖像img2；

步驟3： 對圖像img2進(jìn)行等量分割，得到四個(gè)子圖A,B,C,D；

步驟4： 選用高斯測量矩陣對每一個(gè)子圖進(jìn)行壓縮，得到壓縮后的圖像分別是A1,B1,C1,D1；

步驟5： OMP算法對子圖的每一列進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)后的子圖記為A′,B′,C′,D′；

步驟6： 重構(gòu)后的子圖進(jìn)行合并，得到最后的復(fù)原圖像img′.

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本文采用配置為AMD A6-6420B APU with Radeon(tm) HD Graphics，4.00 GHz，4.00 GB內(nèi)存的計(jì)算機(jī)在Matlab R2014a環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn). 其他條件相同時(shí)，在壓縮比分別為0.3，0.4，0.5的情況下對圖像進(jìn)行復(fù)原，將復(fù)原結(jié)果進(jìn)行對比，當(dāng)壓縮比CR=0.5時(shí)，復(fù)原效果最佳. 考慮到算法的時(shí)間復(fù)雜度，將0.5設(shè)為最大的壓縮比. 選擇不同的迭代次數(shù)進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)，最終固定最大迭代次數(shù)t=100，給三類不同的原始圖像添加泊松噪聲、 高斯噪聲和椒鹽噪聲，采用本文提出的F-IS-CS方法分別對加噪圖像進(jìn)行復(fù)原，并對復(fù)原結(jié)果進(jìn)行對比. 圖像復(fù)原通過峰值信噪比(PSNR)進(jìn)行評價(jià)，PSNR的計(jì)算公式為

PSNR=

(5)

式中： MAX是指圖像像素點(diǎn)的最大數(shù)值；M×N是圖像大?。籪(i,j)，f1(i,j)分別表示原始圖像和復(fù)原圖像的像素值.

3.1 F-CS圖像復(fù)原結(jié)果

F-CS方法是對含有噪聲的圖像先進(jìn)行濾波，再對濾波后的圖像進(jìn)行壓縮感知重構(gòu)，最后得到復(fù)原圖像. 本文中三類圖像在不同噪聲和濾波下，圖像復(fù)原的PSNR見表 1～表 3. 噪聲分別為泊松噪聲、 高斯噪聲和椒鹽噪聲. 濾波分別為維納濾波、 均值濾波、 二維排序?yàn)V波和二維中值濾波.

表 1 Lena圖像在F-CS算法不同噪聲和不同濾波下的PSNR

表 2 Barbara圖像在F-CS算法不同噪聲和濾波下的PSNR

表 3 Cameraman圖像在F-CS算法不同噪聲和濾波下的PSNR

由表 1～表 3可知，采用F-CS方法進(jìn)行復(fù)原，Lena圖像在椒鹽噪聲二維中值濾波下壓縮感知復(fù)原效果最佳，PSNR值為31.785 2. Barbara圖像在泊松噪聲維納濾波下壓縮感知復(fù)原效果最佳，PSNR值為25.844 6. Cameraman圖像在泊松噪聲維納濾波下壓縮感知復(fù)原效果最佳，PSNR值為26.719.

以Lena圖像為例，在泊松噪聲和四種不同濾波下的復(fù)原圖像如圖 2～圖 5 所示. 對于Lena圖像來說，采用F-CS方法進(jìn)行復(fù)原，在添加泊松噪聲的情況下，使用自適應(yīng)維納濾波復(fù)原效果最佳； 在添加高斯噪聲的情況下，使用均值濾波效果最佳； 在添加椒鹽噪聲的情況下，使用二維中值濾波效果最佳.

圖 2 Lena圖像泊松噪聲維納濾波壓縮復(fù)原

圖 3 Lena圖像泊松噪聲均值濾波壓縮復(fù)原

圖 4 Lena圖像泊松噪聲二維排序?yàn)V波壓縮復(fù)原

圖 5 Lena圖像泊松噪聲二維中值濾波壓縮復(fù)原

3.2 F-IS-CS圖像復(fù)原結(jié)果

F-IS-CS方法是圖像在經(jīng)過加噪聲和濾波之后，為了提高精度，先將圖像進(jìn)行分割，再進(jìn)行壓縮復(fù)原過程. 三類圖像在采用F-IS-CS方法進(jìn)行復(fù)原之后的PSNR值如表 4～表 6 所示.

表 4 Lena圖像在F-IS-CS方法不同噪聲和濾波下的PSNR

表 5 Barbara圖像在F-IS-CS方法不同噪聲和濾波下的PSNR

表 6 Cameraman圖像在F-IS-CS方法不同噪聲和濾波下的PSNR

由表 4～表 6 可以看出，采用F-IS-CS方法進(jìn)行復(fù)原，Lena圖像在泊松噪聲二維中值濾波下復(fù)原效果最佳，PSNR值達(dá)到了32.219 8. Barbara圖像在泊松噪聲維納濾波下壓縮感知復(fù)原效果最佳，PSNR值為26.376 4. Cameraman圖像在泊松噪聲維納濾波下壓縮感知復(fù)原效果最佳，PSNR值為27.115 8. 同樣以Lena圖像為例，分割后的圖像如圖 6 所示. 在其他參數(shù)不變的條件下，F(xiàn)-IS-CS方法的圖像復(fù)原結(jié)果分別如圖 7～圖 10 所示.

對于Lena圖像來說，采用F-IS-CS方法進(jìn)行復(fù)原，在添加泊松噪聲的情況下，使用二維中值濾波復(fù)原效果最佳； 在添加高斯噪聲的情況下，使用均值濾波效果最佳； 在添加椒鹽噪聲的情況下，使用二維中值濾波效果最佳.

圖 6 Lena圖像分割

圖 7 Lena圖像泊松噪聲維納分割濾波壓縮復(fù)原

圖 8 Lena圖像泊松噪聲均值分割濾波壓縮復(fù)原

圖 9 Lena圖像泊松噪聲二維排序?yàn)V波分割壓縮復(fù)原

圖 10 Lena圖像泊松噪聲二維中值濾波分割壓縮復(fù)原

3.3 F-CS算法與F-IS-CS方法的比較

對F-CS算法與F-IS-CS方法復(fù)原圖像的PSNR值進(jìn)行對比，分別對比表 1 和表 4、 表 2 和表 5、 表 3 和表 6，即固定迭代次數(shù)和壓縮比時(shí)，對同一圖像，在相同的噪聲和濾波作用下，比較其復(fù)原圖像的PSNR值.

表 1 和表 4 是關(guān)于Lena圖像在不同噪聲和不同濾波下通過兩種算法得到的復(fù)原圖像的PSNR值. F-CS算法中，含有泊松噪聲的圖像經(jīng)過維納濾波和均值濾波后進(jìn)行壓縮重構(gòu)得到的復(fù)原圖像的PSNR值比其他噪聲高，含有椒鹽噪聲的圖像在經(jīng)過二維排序?yàn)V波和二維中值濾波后再進(jìn)行壓縮重構(gòu)得到的復(fù)原圖像的PSNR值略高，但與含有泊松噪聲的圖像經(jīng)這兩種濾波后再壓縮重構(gòu)得到的復(fù)原圖像的PSNR值相差不大，因此，對于Lena圖像來說，F(xiàn)-CS算法對含有泊松噪聲的圖像復(fù)原效果更好. F-IS-CS方法中，含有泊松噪聲的圖像經(jīng)過維納濾波、 均值濾波和二維中值濾波后進(jìn)行分割、 壓縮、 重構(gòu)、 合并得到的復(fù)原圖像的PSNR值相對于其他噪聲高，含有椒鹽噪聲的圖像在經(jīng)過二維排序?yàn)V波后再進(jìn)行分割、 壓縮、 重構(gòu)、 合并得到的復(fù)原圖像的PSNR值略高，但與含有泊松噪聲的圖像經(jīng)二維排序?yàn)V波再分割、 壓縮、 重構(gòu)、 合并得到的復(fù)原圖像的PSNR值相差不大，因此，對于Lena圖像來說，F(xiàn)-IS-CS方法對含有泊松噪聲的圖像復(fù)原效果更好. 對比表 1 和表 4 可知，在兩種算法下含有泊松噪聲的圖像比含有其他噪聲的圖像的復(fù)原圖像的PSNR值都要高，改進(jìn)后的F-IS-CS方法下得到的復(fù)原圖像的PSNR值比F-CS算法的更高，圖像的復(fù)原效果更好.

對于Cameraman圖像和Barbara圖像來說，分別對比表 2和表 5、 表 3和表 6 可知，F(xiàn)-IS-CS方法復(fù)原圖像的PSNR值相比F-CS算法也有不同程度的提高，且都對含有泊松噪聲的圖像復(fù)原效果好.

3.4 與其他方法的對比

分別利用本文方法、 基于梯度的小波閾值方法、 基于硬閾值的小波變換方法以及基于軟閾值的小波變換方法對Lena、 Cameraman和Barbara 3幅圖像進(jìn)行復(fù)原，得到如圖 11～圖 13 的結(jié)果. 由圖可以看出，基于梯度的小波閾值方法對噪聲圖像復(fù)原的效果圖過于平滑，小波變換復(fù)原的結(jié)果會有偽影. 通過對不同方法復(fù)原后的圖像進(jìn)行客觀評價(jià)，得到的PSNR值如表 7 所示.

圖 11 不同方法下的Lena圖像復(fù)原

圖 12 不同方法下的Cameraman圖像復(fù)原

圖 13 不同方法下的Barbara圖像復(fù)原

表 7 不同方法的PSNR對比

由表 7 可以看出，對Lena圖像和Barbara圖像，本文方法復(fù)原的圖像的PSNR值較高，而對Cameraman圖像，本文方法復(fù)原的圖像的PSNR值較低，對于3幅圖像的PSNR均值，本文方法比較具有優(yōu)勢，因此，本文方法能夠以較高的質(zhì)量復(fù)原圖像.

3.5 真實(shí)圖像的復(fù)原

上述退化圖像是基于Matlab中的噪聲函數(shù)人為添加的，為了使本文方法更具說服力，實(shí)驗(yàn)中選取了2幅本身含有噪聲的圖像，采用F-IS-CS方法對其進(jìn)行復(fù)原，得到圖 14 和圖 15.

圖 14 Dark圖均值濾波分割壓縮復(fù)原

圖 15 Moon圖均值濾波分割壓縮復(fù)原

由圖 14 和圖 15 可知，本文提出的方法可以很好地去除圖像的噪聲，由于圖像本身含有噪聲，無法用PSNR對其進(jìn)行評價(jià)，但從主觀上來看，圖像的復(fù)原效果較好.

4 結(jié) 論

本文在壓縮感知、 濾波和圖像分割的基礎(chǔ)上提出了圖像復(fù)原的F-IS-CS方法. 在3種不同的圖像中人為添加3種不同類型的噪聲. 通過實(shí)驗(yàn)比較，在泊松噪聲和椒鹽噪聲下，采用4種不同的濾波方法，F(xiàn)-IS-CS方法均優(yōu)于F-CS方法，特別是在泊松噪聲和維納濾波下. 因此，對比實(shí)驗(yàn)中F-IS-CS方法采用維納濾波和泊松噪聲. 將F-IS-CS方法與基于梯度的小波閾值方法、 基于硬閾值的小波變換方法和基于軟閾值的小波變換方法在相同條件下對這3種退化圖像進(jìn)行復(fù)原. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的F-IS-CS方法對Lena圖像復(fù)原具有最高的PSNR(32.064 7)和對Barbara圖像的復(fù)原具有最高的PSNR(27.115 8)，且3種圖像的PSNR均值最高(28.570 7)，有效地去除了圖像噪聲，獲得了高質(zhì)量的復(fù)原圖像. 最后，利用F-IS-CS方法對真實(shí)的噪聲圖像進(jìn)行去噪，得到較為清晰的復(fù)原圖像，說明本文提出的F-IS-CS方法具有一定的實(shí)用性.