劉 洋, 李春紅, 解大鵬

(1.合肥師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 安徽 合肥 230601； 2.淮陰師范學院 學報編輯部, 江蘇 淮安 223001)

0 引言

本文研究如下帶有積分邊值條件的分數(shù)階微分方程組邊值問題

(1)

分數(shù)階微分方程廣泛地應用于流體力學、非牛頓力學等領域,有著重要的理論及實際意義.近年來,帶有積分邊值條件的分數(shù)階微分方程組正解的存在性問題的研究,得到了豐富的結果[1-8].

令g1(t)=g2(t)=t,γ1=δ2=b=1,δ1=γ2=a=0,問題(1)可轉化為如下問題

(2)

文[1-4]應用不動點定理得到了問題(2)正解的存在性.

令g1(t)=g2(t)=t,δ1=γ2=b=1,γ1=δ2=a=0,問題(1)可轉化為如下問題

(3)

文[5-8]應用不動點定理得到了問題(2)正解的存在性.

受文[1-8]啟發(fā),本文將討論問題(1)的正解的存在性,首先找到問題(1)對應的Green函數(shù),并驗證Green函數(shù)的性質,進而給出問題(1)的等價積分方程,最后,利用不動點定理得到了問題(1)正解的存在性.

1 預備知識和引理

引理1 設y∈C[a,b], 則邊值問題

(4)

證明分數(shù)階微分方程(4)的解等價于

由邊值條件得,C2=C3=…Cn=0,且

所以

引理2 引理1中的函數(shù)G1(t,s)具有如下性質:

證明顯然G1(t,s)≥0,(t,s)∈[a,b]×[a,b],當t≥s時,

當t≤s時,

類同引理1及引理2,可得如下引理.

引理3 (i) 設y∈C[a,b], 則邊值問題

(5)

等價于積分方程

其中

(ii) 函數(shù)G2(t,s)具有下述性質:

2 主要結果

且K=K1×K2?E×E,下面定義算子Ti:Ki→E(i=1,2),

且定義算子T:E×E→E×E為

T(u,v)=(T1(u,v),T2(u,v)).

那么邊值問題(1)有一個解當且僅當T有一個不動點.令

引理4 算子T:K→K是全連續(xù)的.

證明顯然T:K→K是連續(xù)的.由引理2和引理3可得

上式說明T1(K)?K,同理可知T2(K)?K,所以T(K)?K.再由Arzela-Ascoli定理易得算子T:K→K是全連續(xù)的.

定理1 假設常數(shù)R>r>0滿足如下條件，

則邊值問題(1)至少存在一個正解.

證明令Ω1={(u,v)∈E×E:‖u‖≤r,‖v‖≤r}, 對于(u,v)∈?Ω1, 由引理2和引理,及(H1)知,

故, 當(u,v)∈?Ω1時,

‖T(u,v)‖*=‖T1(u,v)‖+‖T2(u,v)‖≥2r≥

‖u‖+‖v‖=‖(u,v)‖*,(u,v)∈K∩?Ω1.

另一方面,令Ω2={(u,v)∈E×E:‖u‖≤R,‖v‖≤R},其中

R≥max{2g1(R(γ1+δ1)(θ1(b)-θ1(a))),2g2(R(γ2+δ2)(θ2(b)-θ2(a))),r}.

對于(u,v)∈?Ω2, 由引理2、引理3及(H2)知,

于是,當(u,v)∈?Ω2時,‖Tu‖≤‖u‖.

‖T(u,v)‖*=‖T1(u,v)‖+‖T2(u,v)‖≤2R≤‖u‖+‖v‖=‖(u,v)‖*,(u,v)∈K∩?Ω2.

綜上,由不動點定理[9]知,邊值問題(1)至少存在一個正解.(證畢)