毛孟杰

(海曙區(qū)集士港鎮(zhèn)中學(xué)，浙江 寧波 315171)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》在學(xué)業(yè)水平考試的命題原則中明確指出：以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的考試命題，要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注通性通法，綜合考查“四基”“四能”與核心素養(yǎng)．……題目設(shè)置要創(chuàng)設(shè)真實情境，提出有意義的問題，實現(xiàn)對核心素養(yǎng)導(dǎo)向的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程學(xué)業(yè)質(zhì)量的全面考查.因此，在一些中考試卷中，常常會出現(xiàn)新的試題類型——“新定義題”．所謂新定義題，是命題者通過設(shè)置新的問題情境，定義新的概念或圖形，讓學(xué)生通過已學(xué)的“四基”探索新的概念或圖形的性質(zhì)，然后運用新獲得的知識發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的一類題型，它突出了對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、推理能力和數(shù)學(xué)模型等核心素養(yǎng)的考查．于是，培養(yǎng)學(xué)生對新定義題的解決能力，已成為亟須解決的課題．筆者認為，運用項目學(xué)習(xí)方法是提高學(xué)生對“新定義題”解決能力較為有效的途徑之一．

數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)是以數(shù)學(xué)核心概念為載體設(shè)計項目主題，以任務(wù)推進和知識發(fā)展為主線，注重情境帶入，關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的學(xué)習(xí)過程[1]．由于項目學(xué)習(xí)注重問題引領(lǐng)，關(guān)注學(xué)生思維脈絡(luò)，聚焦學(xué)生核心素養(yǎng)，因此，它與新定義題的教育功能是比較吻合的．下面，筆者以一道涉及圓與三角形等核心知識的新定義題的解決為例，進行項目學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計．

1 學(xué)情目標與素材選取分析

1.1 學(xué)情目標分析

本設(shè)計是基于學(xué)生學(xué)習(xí)浙教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》九年級上冊之后，學(xué)生已基本具備三角形、四邊形、圓和相似三角形等幾何基礎(chǔ)知識，積累了三角形全等、軸對稱和平移等圖形變換的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，具備一定的抽象能力、邏輯推理和運算能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．但學(xué)生對新情景下的問題解決能力還比較薄弱，缺少對已做過的例題和習(xí)題進行數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的意識，因此在解決“新定義題”時，常會束手無策，一籌莫展．

為了改變學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，筆者選擇了一道課本習(xí)題作為項目學(xué)習(xí)的背景素材，讓學(xué)生經(jīng)歷抽象概括給出定義、歸納推理探究性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型應(yīng)用提升等項目學(xué)習(xí)的全過程，從而提高他們解決“新定義題”的能力；在學(xué)生對新概念給出定義、探索性質(zhì)和嘗試應(yīng)用的探究過程中，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)他們的核心素養(yǎng)．

1.2 素材選取

基于以上分析，筆者選取浙教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》九年級上冊第3.5節(jié)“圓周角”的一道習(xí)題作為項目學(xué)習(xí)的設(shè)計素材．

圖1

2 教學(xué)過程

2.1 呈現(xiàn)問題，概括定義

問題1已知：如圖1，AB是⊙O的一條直徑，半徑OP平行于弦AC．

1)根據(jù)題目的圖形和條件，請觀察并敘述半徑OP的特征；

2)嘗試給半徑OP下定義．

教學(xué)活動1)引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、思考和交流，敘述半徑OP具有以下特征：弦AC與直徑AB有共同的端點；半徑OP與弦AC在直徑AB的同一側(cè)；OP∥AC；整個圖形呈字母“F”形等．

2)在讓學(xué)生嘗試給半徑OP下定義時，教師先引導(dǎo)學(xué)生在各自敘述的基礎(chǔ)上進行精簡和提煉，然后概括出“弦的F形半徑”的概念：一個圓中，有公共端點的弦與直徑構(gòu)成的圖形內(nèi)，在直徑的同一側(cè)且平行于這條弦的半徑稱為這條弦的F形半徑．

設(shè)計意圖教師把課本的一道習(xí)題進行適當改編，保持題目的條件和圖形不變，隱藏了求證的結(jié)論，讓學(xué)生自主觀察、思考和概括研究對象的數(shù)學(xué)特征，然后進行數(shù)學(xué)抽象給出它的定義．這種處理方法，比較符合新課標教學(xué)建議中主張的“強調(diào)情境設(shè)計與問題的提出”的教學(xué)方式．由于問題1的素材取材于課本習(xí)題，但提問的方式和指向與學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)、思維水平和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗不同，因此它容易引發(fā)學(xué)生的認知沖突，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機．在學(xué)生對抽象新概念定義的探究過程中，始終體現(xiàn)了教師對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象意識培養(yǎng)的教學(xué)主張．

2.2 探究性質(zhì)，建立關(guān)聯(lián)

教師通過設(shè)計進階問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生探究新概念的性質(zhì)，與已有的知識發(fā)生實質(zhì)性的關(guān)聯(lián)，從而讓學(xué)生建立起較為完善的知識體系．

問題2已知：如圖2，AB是⊙O的一條直徑，OP是弦AC的F形半徑．

圖2

1)可以得到哪些結(jié)論，請證明之；

2)若添加一些線段，則可以得到哪些結(jié)論，請證明之．

①若聯(lián)結(jié)AP,則AP是∠CAB的角平分線；

②若聯(lián)結(jié)OC,則OP是∠COB的角平分線；

③若點Q是射線OP上的一點，聯(lián)結(jié)CQ,BQ,則CQ=BQ，特殊地，當點Q與點P重合時，等式仍成立，即CP=BP；

④若聯(lián)結(jié)BC,則OP垂直平分BC；

……

接下來教師引導(dǎo)學(xué)生對新定義概念的性質(zhì)進行逆向思考，設(shè)計出問題3，讓學(xué)生自然生成新概念的判定方法．

問題3已知：如圖3，AB是⊙O的一條直徑，點P是⊙O上的一點，點Q在射線OP上．

圖3

2)若CQ=BQ，則OP是弦AC的F形半徑嗎？請予以證明．

3)請你探究：OP是弦AC的F形半徑的條件．

教學(xué)活動1)學(xué)生已經(jīng)具有了解決問題2的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，因此在證明第1)小題時，他們很自然地想到聯(lián)結(jié)OC，實現(xiàn)“從弧相等到圓心角相等，最后到內(nèi)錯角相等”的轉(zhuǎn)化；在證明第2)小題時，也會想到聯(lián)結(jié)OC，通過三角形全等歸結(jié)為第1)小題的證明．

2)第3)小題具有一定的開放性，學(xué)生在探索“OP是弦AC的F形半徑”的條件時，教師可引導(dǎo)學(xué)生從以下兩個角度進行思考：若在原圖中不添加任何輔助線，則需要什么條件；若在原圖基礎(chǔ)上添加輔助線，則又需要什么條件．學(xué)生經(jīng)過教師的指導(dǎo)，探索到“OP是弦AC的F形半徑”需具備以下條件之一：

①若OP⊥BC,則OP是弦AC的F形半徑；

②若OP平分弦BC,則OP是弦AC的F形半徑；

③聯(lián)結(jié)BP，延長BP交AC的延長線于點D,若AB=AD,則OP是弦AC的F形半徑；

……

設(shè)計意圖基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，是需要在數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)上，強調(diào)數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu)．所謂數(shù)學(xué)抽象結(jié)構(gòu)，可以表示為“研究對象+”的形式，其中“+”的內(nèi)容可以是性質(zhì)、關(guān)系和運算[2]．因此教師通過設(shè)計問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生對新定義的概念進行性質(zhì)的探究．問題2的設(shè)置是對結(jié)論進行開放，學(xué)生在探究過程中，發(fā)現(xiàn)新定義的概念性質(zhì)與“垂徑定理”是密切關(guān)聯(lián)的，圖形呈局部軸對稱；問題3的設(shè)置是通過對問題2進行逆向思考，是對條件進行開放、探索新定義概念的判定方法．設(shè)計這樣的問題鏈，有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與來源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價值與意義，建立起較為完整的數(shù)學(xué)知識體系，同時在探究過程中培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀、推理能力和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．

2.3 應(yīng)用模型，解決問題

圖4

預(yù)設(shè)1)條件中同頂點的∠CAD與∠BAD的數(shù)量關(guān)系，如何轉(zhuǎn)化為在同一個三角形的兩個內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系？

2)根據(jù)“兩個內(nèi)角有二倍角關(guān)系且較大角是銳角的三角形能分割成兩個等腰三角形”的解題經(jīng)驗，我們?nèi)绾翁磔o助線構(gòu)造等腰三角形？從而能求出哪些線段的長度？

3)如何作輔助線可以把CD搬到OD的右側(cè)？怎樣添輔助線能得到直角三角形，從而計算出AE的長度？

教學(xué)活動教師通過一系列的預(yù)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)結(jié)線段OE,DB和BE．

因為OP∥AC，所以

于是

DE=OE=OA=5.

根據(jù)F形半徑的性質(zhì)，可得

從而在Rt△BDE中，

在Rt△ABE中，

設(shè)計意圖問題4的設(shè)計，旨在使學(xué)生獲得“怎樣解剖題目中的復(fù)雜圖形，如何直觀辨析出其中的一些基本圖形，從而應(yīng)用已有的知識(包括新定義的概念及性質(zhì))解決幾何問題”的活動經(jīng)驗．教師通過問題4的解決，讓學(xué)生把新定義的概念及性質(zhì)融入已有的知識體系，并且提高了他們的幾何直觀、推理能力、數(shù)學(xué)計算和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在教學(xué)中真正實現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容與發(fā)展核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)．

2.4 反思總結(jié)，分享成果

教師引導(dǎo)學(xué)生進行以下的反思與總結(jié)：

1)解決新定義題的基本流程是什么？對我們以后解題有哪些啟示？

2)新定義題的解決過程與課本中的大概念學(xué)習(xí)過程有哪些相似之處？

設(shè)計意圖在教學(xué)中，教師應(yīng)該留出一定的時間和空間讓學(xué)生進行反思和總結(jié)．以本節(jié)課的教學(xué)為例，學(xué)生總結(jié)出解新定義題的基本流程是“理解定義，探索性質(zhì)，運用模型”；在解題過程中，應(yīng)該讓學(xué)生自覺養(yǎng)成“對典型習(xí)題特征進行分析、抽象并形成數(shù)學(xué)概念，繼而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型”的習(xí)慣；讓學(xué)生意識到新定義題的解決與課本中的大概念學(xué)習(xí)過程是一致的，都是按照“背景—概念—性質(zhì)—應(yīng)用”的主線進行探究．學(xué)生通過不斷反思與總結(jié)，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，優(yōu)化思維品質(zhì)，提高學(xué)生的元認知水平和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

2.5 設(shè)置習(xí)題，評價效果

習(xí)題定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線．

1)如圖5，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別是BD,AD上的點．求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形．

圖5 圖6 圖7

2)如圖6，在5×4的方格紙上，點A，B在格點上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形ABEF，使AB是鄰余線，點E，F(xiàn)在格點上．

3)如圖7，在第1)小題的條件下，取EF的中點M，聯(lián)結(jié)DM并延長交AB于點Q，延長EF交AC與點N.若N為AC的中點,DE=2BE，QB=3，求鄰余線AB的長．

(2019年浙江省寧波市數(shù)學(xué)中考試題第25題)

設(shè)計意圖教師選擇了中考卷的一道新定義題，對學(xué)生解決新定義題的流程和策略進行全方位評價．譬如，通過第1)小題的證明，評價學(xué)生是否理解鄰余四邊形的關(guān)鍵特征是相鄰的兩個內(nèi)角互余；通過第2)小題的作圖，評價學(xué)生是否探索到“它的性質(zhì)是延長其中兩條對邊構(gòu)成直角三角形”；通過第3)小題的計算，評價學(xué)生能否綜合應(yīng)用“鄰余四邊形”的模型、直角三角形和相似三角形性質(zhì)等進行推理和計算．因此，習(xí)題的設(shè)置是遵循教學(xué)中的“教、學(xué)、評”一致性的教學(xué)原則．通過學(xué)生對習(xí)題的解決過程的思考、交流與創(chuàng)意的表達，教師有效地評價項目學(xué)習(xí)成果的質(zhì)量．

3 3點思考

數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)是在真實的情境中學(xué)生自主生成知識，發(fā)展關(guān)鍵能力，最終提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3]．筆者認為，教師要做好數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計，需要做好以下3個方面的工作．

3.1 確定學(xué)習(xí)主題，篩選活動素材

數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)，教師應(yīng)先確定學(xué)習(xí)主題，然后篩選活動素材．比如，本課例設(shè)計的學(xué)習(xí)主題是為了讓學(xué)生掌握“新定義題”解決的流程、策略和解題經(jīng)驗，從而教師選取教材中的一道習(xí)題作為活動的素材．由于情境是教師從學(xué)生熟知的素材改編得到的，因此它在學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)中是真實的、感興趣的，是學(xué)生樂于探究的．筆者認為，教師對教材的例題、習(xí)題進行改編、抽象和拓展，學(xué)生的思維不會僅局限于“如何解決題目”上，長期下去，他們會逐漸養(yǎng)成對習(xí)題的結(jié)構(gòu)、解法和拓展等多方面進行思考的習(xí)慣．

3.2 設(shè)計進階問題，形成學(xué)習(xí)流程

教師把選取好的素材進行適當?shù)母木帲纬伤季S不斷進階的問題鏈．學(xué)生在解決問題鏈的過程中，自主生成解決問題的策略性知識，從而形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本流程．比如，在本課例中，首先教師設(shè)計問題1，讓學(xué)生觀察和思考題目的結(jié)構(gòu)特征，抽象出新的數(shù)學(xué)定義；其次教師設(shè)計問題2和問題3，讓學(xué)生結(jié)合已有的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，把獲得新概念的內(nèi)涵、性質(zhì)與現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識進行關(guān)聯(lián)，使他們形成比較完善的知識體系；最后教師設(shè)計問題4，讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)模型思想解決問題．這種通過問題鏈呈現(xiàn)的“背景—概念—性質(zhì)—應(yīng)用”新定義題解題流程，同樣也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本流程．

3.3 關(guān)注核心素養(yǎng)，優(yōu)化思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)，教師應(yīng)該把優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)和注重學(xué)生核心素養(yǎng)的培育作為終極目的．比如，在本課例中，教師設(shè)計問題1，旨在引導(dǎo)學(xué)生多角度觀察題目的特征，從而提高學(xué)生思維的廣闊性，通過學(xué)生概括“弦的F形半徑”新定義的過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；問題2和問題3的設(shè)計使得學(xué)生新概念性質(zhì)的探究與發(fā)展思維的靈活性同步，這兩個問題探究都需要學(xué)生的幾何直覺和推理能力的核心素養(yǎng)；在學(xué)生綜合運用知識解決問題4的過程中，發(fā)展了思維深刻性，同時也形成了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．

筆者認為，本課例的最大亮點是問題5的設(shè)計，它的設(shè)計能有效地、及時地評價數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)的成效，真正實現(xiàn)了“教、學(xué)、評”一致性的教學(xué)原則．