汪 健, 任念兵

(1.華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)，上海 201203；2.上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校，上海 200083)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:教師要以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，……引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握課程，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.落實(shí)整體把握教學(xué)內(nèi)容要求的一個(gè)有效途徑是進(jìn)行“單元—課時(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)，由單元設(shè)計(jì)為課時(shí)設(shè)計(jì)指引方向，通過(guò)課時(shí)設(shè)計(jì)來(lái)落實(shí)、支撐單元設(shè)計(jì)的理念．如同章建躍博士指出的：“單元—課時(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)能夠充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性，切實(shí)防止碎片化教學(xué)，通過(guò)有效的“四基”“四能”教學(xué)，使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)真正落實(shí)于數(shù)學(xué)課堂[1]．

事實(shí)上，國(guó)際教育界對(duì)單元整體教學(xué)的研究由來(lái)已久，其中比較具有代表性的一種觀點(diǎn)是以“大概念”為“錨點(diǎn)”，將素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)到具體教學(xué)中．所謂“大概念”，可以被界定為反映專(zhuān)家思維方式的概念、觀念或論題．用“大概念”來(lái)組織知識(shí)，可以幫助學(xué)生在知識(shí)之間建立有意義的聯(lián)系，從而提升理解的品質(zhì)，促成高通路遷移[2]．

本文將在“大概念”的視角下，以高三復(fù)習(xí)中與絕對(duì)值和模相關(guān)的問(wèn)題為例，探索復(fù)習(xí)課的“單元—課時(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)．為便于討論，我們把求含絕對(duì)值(或向量、復(fù)數(shù)模)的表達(dá)式的最值、取值范圍或其中所含參數(shù)應(yīng)滿足的條件等問(wèn)題，統(tǒng)稱(chēng)為“絕對(duì)值問(wèn)題”．

1 內(nèi)容和內(nèi)容解析

絕對(duì)值是學(xué)生在初中數(shù)學(xué)課程中接觸的一個(gè)重要概念，它在代數(shù)上與幾何上都具有重要的意義．教材中往往將這兩重意義同時(shí)呈現(xiàn)，以幫助學(xué)生理解絕對(duì)值的內(nèi)涵．

首先，絕對(duì)值運(yùn)算的分段定義方式提供了分段函數(shù)的雛形，絕對(duì)值函數(shù)也是不少教材用于引入分段函數(shù)(或稱(chēng)函數(shù)的分段表示法)的首選．而“運(yùn)算”不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)，也是貫穿于高中數(shù)學(xué)的一條邏輯“暗線”[3]．在教學(xué)中可以嘗試將運(yùn)算從函數(shù)中剝離出來(lái)，使運(yùn)算不再作為函數(shù)的依附，而是運(yùn)算先行，再引入函數(shù)觀點(diǎn)．

其次，借助絕對(duì)值所代表的“距離”這一幾何意義，可將其從數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離推廣為一般有向線段的長(zhǎng)度:在有向線段的終點(diǎn)處添上箭頭，演化為向量的模；又借著復(fù)數(shù)的幾何意義引申為復(fù)數(shù)的模，一以貫之地沿用了記號(hào)“|a|”的同時(shí)，逐步遷移并發(fā)展了絕對(duì)值的概念．而串聯(lián)起這一系列“距離”的，則是平方運(yùn)算，這為通過(guò)二次函數(shù)研究絕對(duì)值和模的性質(zhì)提供了途徑．

最后，絕對(duì)值問(wèn)題涉及的思想方法也具有較高的育人價(jià)值．作為分段函數(shù)的絕對(duì)值函數(shù)所體現(xiàn)的分類(lèi)思想是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要思想．絕對(duì)值的定義很好地體現(xiàn)了從“現(xiàn)象分類(lèi)”到“本質(zhì)分類(lèi)”的演進(jìn)過(guò)程，能夠培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維[4]，提升邏輯推理素養(yǎng)．而作為數(shù)軸上的“距離”，絕對(duì)值更是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的研究對(duì)象——數(shù)量關(guān)系與空間形式之間的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，是學(xué)生發(fā)展“四基”、提高“四能”的重要載體．

綜上所述，我們將本單元的教學(xué)重點(diǎn)定為：提煉絕對(duì)值問(wèn)題中的分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想方法，理解其中所蘊(yùn)涵的函數(shù)思想．

2 目標(biāo)和目標(biāo)解析

2.1 單元目標(biāo)

1)了解作為距離概念之基礎(chǔ)的絕對(duì)值運(yùn)算和取模運(yùn)算，把握原始的絕對(duì)值定義作為數(shù)軸上有向線段的長(zhǎng)度這一內(nèi)涵，體會(huì)絕對(duì)值的分段定義與數(shù)軸上有向線段的定向分類(lèi)的聯(lián)系；

2)掌握處理絕對(duì)值問(wèn)題的兩種基本方法——“去絕對(duì)值—分類(lèi)討論”“構(gòu)建距離—數(shù)形結(jié)合”，初步體會(huì)兩種思想在解決絕對(duì)值問(wèn)題過(guò)程中的作用；

3)掌握在兩向量(或復(fù)數(shù))差的模與平面上兩點(diǎn)間的距離之間的轉(zhuǎn)換手段，將距離表達(dá)式平方以便轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來(lái)處理；

4)理解含絕對(duì)值的表達(dá)式與分段函數(shù)研究過(guò)程的共通性，能將絕對(duì)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離問(wèn)題，并建立其與二次函數(shù)的聯(lián)系，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng)．

2.2 目標(biāo)解析

1)學(xué)生知道實(shí)數(shù)的絕對(duì)值、復(fù)數(shù)的模、有向線段的長(zhǎng)度、向量的模等各個(gè)概念之間的聯(lián)系和發(fā)展過(guò)程，能體會(huì)上述諸概念之間的共性；

2)學(xué)生會(huì)從幾何視角解釋相應(yīng)的代數(shù)表達(dá)式，也會(huì)用代數(shù)式表示幾何上的距離并做適當(dāng)?shù)淖冃危?/p>

3)學(xué)生能將含絕對(duì)值的變形轉(zhuǎn)化與分類(lèi)討論過(guò)程應(yīng)用于函數(shù)問(wèn)題、向量(復(fù)數(shù))模的和差、遞推數(shù)列等情境；

4)學(xué)生能將類(lèi)似距離的概念和絕對(duì)值問(wèn)題的聯(lián)系化歸為已有距離概念與絕對(duì)值問(wèn)題的聯(lián)系，并用于解決相應(yīng)問(wèn)題．

3 教學(xué)問(wèn)題診斷分析

絕對(duì)值問(wèn)題是落實(shí)各種數(shù)學(xué)思想方法的有效載體，也是高三復(fù)習(xí)課關(guān)注的熱點(diǎn)之一．盡管這不是一類(lèi)陌生的問(wèn)題，但學(xué)生在解決絕對(duì)值問(wèn)題時(shí)仍然會(huì)遇到許多困難．

首先，如何選擇解決方案．學(xué)生面對(duì)絕對(duì)值問(wèn)題時(shí)，往往在解題路徑的選擇上犯難，或者手段比較單一，試圖尋找“萬(wàn)能公式”，不能針對(duì)具體問(wèn)題具體分析；或者在選擇時(shí)比較盲目，只能得出“一題一法”，而得不到通性通法．解決這個(gè)問(wèn)題，需要教師引領(lǐng)學(xué)生歸納出絕對(duì)值問(wèn)題的常用解題路徑，并結(jié)合具體實(shí)例分析每種路徑的適用場(chǎng)景，進(jìn)而幫助學(xué)生發(fā)展在綜合場(chǎng)景下選擇路徑，甚至自行組合現(xiàn)有解決方案的能力．

其次，如何選擇分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)．分類(lèi)討論是絕對(duì)值問(wèn)題的一種有效的解決方案．在絕對(duì)值問(wèn)題的分類(lèi)討論解法中，選擇分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是一個(gè)貌似淺顯實(shí)則困難的環(huán)節(jié)．眾所周知，分類(lèi)討論的關(guān)鍵在于不重不漏．絕對(duì)值問(wèn)題的分類(lèi)討論中，主要涉及的是絕對(duì)值內(nèi)表達(dá)式的符號(hào)問(wèn)題，而后者又往往與不等式(組)相關(guān)聯(lián)，造成學(xué)生在討論過(guò)程中分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不清；或者在同一個(gè)范圍內(nèi)反復(fù)計(jì)算，徒增無(wú)謂的運(yùn)算量，淹沒(méi)了主線思想；或者在討論時(shí)遺漏約束條件，導(dǎo)致縮小或擴(kuò)大解的范圍．這個(gè)困擾的消除需要長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)和積累．

第三，如何建立幾何模型．絕對(duì)值問(wèn)題往往以常規(guī)幾何問(wèn)題或代數(shù)問(wèn)題的面目出現(xiàn)，這就造成學(xué)生無(wú)法輕易識(shí)別其中一些問(wèn)題背后隱藏的距離概念，從而難以在問(wèn)題中的“數(shù)”與“形”之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化．同時(shí)，囿于學(xué)生的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)和直觀想象能力，將常規(guī)的幾何模型轉(zhuǎn)化并應(yīng)用于新定義的距離(如直角距離)，也是學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決絕對(duì)值問(wèn)題的一大難關(guān)．為化解這個(gè)困難，可以嘗試引導(dǎo)學(xué)生探究新定義距離下的幾何學(xué)(如考查歐氏距離下經(jīng)典軌跡問(wèn)題在“直角距離”[5]下的對(duì)應(yīng)圖形)，從而幫助學(xué)生建立幾何直觀．

第四，如何運(yùn)用函數(shù)思想．將含絕對(duì)值的表達(dá)式平方變形，是對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)的一種常見(jiàn)手段．在絕對(duì)值問(wèn)題中，由于代數(shù)表達(dá)式的復(fù)雜性，將表達(dá)式平方并非不二之選．如果問(wèn)題中涉及多個(gè)絕對(duì)值表達(dá)式，那么平方之后對(duì)簡(jiǎn)化問(wèn)題的幫助往往不大．但是通過(guò)平方的手段將絕對(duì)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的思想仍然有其價(jià)值．這屬于一般觀念的層次，需要教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)．

4 課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

根據(jù)以上關(guān)于絕對(duì)值問(wèn)題的分析，可對(duì)以絕對(duì)值問(wèn)題為數(shù)學(xué)主題的單元進(jìn)行課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)．按照復(fù)習(xí)課的特點(diǎn)，可將課時(shí)分為下列教學(xué)環(huán)節(jié)：

知識(shí)點(diǎn)擊——復(fù)習(xí)與課時(shí)內(nèi)容相關(guān)的基本概念、基本方法等；

讀題審題——展示例題，師生共同讀題審題，分析問(wèn)題要素；

策略設(shè)計(jì)——按照審題的結(jié)論設(shè)計(jì)解題路徑，優(yōu)化解題策略；

拓展聯(lián)系——考慮變式問(wèn)題，比較問(wèn)題間的異同，深化理解；

反思啟迪——總結(jié)本課中體現(xiàn)的思想方法，提升為一般規(guī)律；

鞏固練習(xí)——將解決方法類(lèi)似的問(wèn)題作為練習(xí)，鞏固所學(xué)．

根據(jù)單元內(nèi)容解析和單元目標(biāo)解析，將“絕對(duì)值問(wèn)題”單元分解為3個(gè)課時(shí)，內(nèi)容分別為絕對(duì)值問(wèn)題中的分類(lèi)討論法、數(shù)形結(jié)合法和函數(shù)思想．下面以第一課時(shí)“絕對(duì)值問(wèn)題的分類(lèi)討論法”為例，對(duì)課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行探討．

課時(shí)重點(diǎn)“去絕對(duì)值—分類(lèi)討論”過(guò)程的理解與運(yùn)用．

課時(shí)難點(diǎn)正確執(zhí)行分類(lèi)討論的過(guò)程．

環(huán)節(jié)1知識(shí)點(diǎn)擊.

問(wèn)題1含絕對(duì)值的函數(shù)y=|x|±|ax+b|(其中a,b>0)的圖像具有什么特征？其作圖過(guò)程是什么？

師生活動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考，教師選擇學(xué)生代表面向全班交流，并完善結(jié)論——圖像由兩條射線和連接它們端點(diǎn)的線段組成，一般先確定兩條射線端點(diǎn)的位置，再找出兩條射線的斜率．

追問(wèn)11)函數(shù)y=|x|±|ax+b|(其中a,b>0)的圖像上有兩處“拐角”，它們的位置如何確定？

師生活動(dòng)學(xué)生思考并回答，教師提示其中蘊(yùn)涵的分類(lèi)討論思想——作圖前需要將y=|x|±|ax+b|改寫(xiě)為不含絕對(duì)值的分段函數(shù)形式，討論其3段表達(dá)式分段點(diǎn)的位置和相應(yīng)的解析式．教師提示：該過(guò)程可歸納為“去絕對(duì)值—分類(lèi)討論”．

師生活動(dòng)學(xué)生思考、討論，師生共同總結(jié)——“拐角”的位置和圖像各段的斜率都需要按系數(shù)的情況進(jìn)一步分類(lèi)討論，但是“拐角”的個(gè)數(shù)和圖像的“分段線性”特征是一致的．

設(shè)計(jì)意圖函數(shù)圖像的直觀特性使它成為研究函數(shù)性質(zhì)的得力“助手”．由于我們關(guān)注的是函數(shù)圖像所反映的函數(shù)整體性質(zhì)，因此，函數(shù)作圖的重點(diǎn)在于盡可能準(zhǔn)確地描述函數(shù)的動(dòng)態(tài)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期性等．形如y=|ax+b|±|cx+d|的函數(shù)提供了分段函數(shù)作圖的范本，其中的“分段線性”和“拐角”特征既展示了處理絕對(duì)值問(wèn)題時(shí)的分類(lèi)討論思想，又區(qū)別于描點(diǎn)作圖，蘊(yùn)涵著“化無(wú)限為有限”的思想，體現(xiàn)了函數(shù)作圖的一般研究路徑．同時(shí)，y=|x|±|ax+b|可以作為形如y=|ax+b|±|cx+d|的函數(shù)的代表，其作圖的研究也為后續(xù)問(wèn)題的展開(kāi)提供了思路．

環(huán)節(jié)2讀題審題.

例1設(shè)f(x)=|x-b1|+|kx-b2|-|2x-b3|，其中常數(shù)k>0，b1,b2,b3∈R．若函數(shù)y=f(x)的圖像如圖1所示，則數(shù)組(b1,b2,b3)的一組值可以是

圖1

( )

A．(3,-1,1) B．(1,-2,-1)

C．(-1,2,2) D．(1,-3,1)

水稻是建湖縣的主要糧食作物，常年種植面積在4.67萬(wàn)hm2左右，稻谷產(chǎn)量41.4萬(wàn)噸左右。大力推廣水稻病蟲(chóng)綠色防控技術(shù)，既能經(jīng)濟(jì)有效地控制農(nóng)作物病蟲(chóng)危害、保證稻谷產(chǎn)量，又達(dá)到農(nóng)藥減量增效、保護(hù)生態(tài)環(huán)境和農(nóng)產(chǎn)品質(zhì)量安全的目的。為此，植保植檢站做了大量的工作。

(上海市長(zhǎng)寧區(qū)2021屆高三數(shù)學(xué)一模試題第16題)

師生活動(dòng)共同分析題目條件，特別是函數(shù)圖像蘊(yùn)涵的信息．對(duì)比圖像的特征，討論題干中出現(xiàn)的參數(shù)對(duì)圖像形態(tài)的影響．

設(shè)計(jì)意圖雖然函數(shù)的表示方法以解析式形式為主，但是不能忽視由圖像法表示的函數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)分析中強(qiáng)調(diào)通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)來(lái)作圖，將圖像作為函數(shù)性質(zhì)的綜合反映.因此，由圖像給出函數(shù)也可視作對(duì)上述由性質(zhì)到圖像過(guò)程的逆向思維，考查此類(lèi)問(wèn)題有助于發(fā)展學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．

環(huán)節(jié)3策略設(shè)計(jì).

問(wèn)題2我們已經(jīng)看到，要把f(x)的解析式和圖像聯(lián)系起來(lái)，首先需要確定k的值．通過(guò)圖像給出的什么信息可以解決這個(gè)問(wèn)題？

師生活動(dòng)學(xué)生思考并回答．必要時(shí)，教師提示此問(wèn)題與y=|ax+b|±|cx+d|的圖像特征的聯(lián)系．得出結(jié)論：由圖像兩端的水平射線可知k=1．

問(wèn)題3對(duì)比y=|ax+b|±|cx+d|的圖像特征，可以通過(guò)已知函數(shù)圖像的哪個(gè)特征來(lái)排除干擾選項(xiàng)？

追問(wèn)“拐角”位置相匹配是(b1,b2,b3)符合要求的充要條件嗎？可以怎樣檢驗(yàn)我們選出的答案？

師生活動(dòng)學(xué)生思考、討論，師生共同總結(jié)——上述解決方案考慮的是(b1,b2,b3)成為解的必要條件，并未將各段圖像的斜率變化情況考慮在內(nèi)．(b1,b2,b3)應(yīng)滿足的充要條件較為復(fù)雜，留待課后思考．

環(huán)節(jié)4拓展聯(lián)系.

(上海市浦東新區(qū)2017屆高三數(shù)學(xué)二模試題第12題)

問(wèn)題4“去絕對(duì)值—分類(lèi)討論”的過(guò)程可以怎樣應(yīng)用于本題？

師生活動(dòng)學(xué)生討論、回答，教師完善結(jié)論：原式必取|a·e±2b·e±3c·e|的4種可能的值之一．由|e|=1知原式的最大值一定等于|a±2b±3c|的4種可能值中的最大者．

設(shè)計(jì)意圖含絕對(duì)值表達(dá)式的最大值問(wèn)題常用三角不等式求解，將和的絕對(duì)值放大為絕對(duì)值的和．但是本例所求表達(dá)式是3個(gè)絕對(duì)值的和，按照上述思路無(wú)法繼續(xù)放大，因此需要回歸基本的“去絕對(duì)值—分類(lèi)討論”過(guò)程，也可算是一種逆向思維．

環(huán)節(jié)5反思啟迪.

問(wèn)題5回顧本課內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：

1)本課處理絕對(duì)值問(wèn)題的主要方法是什么？

2)你能結(jié)合具體實(shí)例說(shuō)明自己對(duì)“去絕對(duì)值—分類(lèi)討論”過(guò)程的理解嗎？

3)有人認(rèn)為“含絕對(duì)值的函數(shù)本質(zhì)是分段函數(shù)”，你如何理解這種觀點(diǎn)？

師生活動(dòng)學(xué)生討論、回答，教師進(jìn)行補(bǔ)充完善，歸納出本課聚焦的處理絕對(duì)值問(wèn)題的主要方法，突出分類(lèi)討論思想在此類(lèi)問(wèn)題解決過(guò)程中的具體表現(xiàn)形式，即“去絕對(duì)值—分類(lèi)討論”．

設(shè)計(jì)意圖回顧本課的主要內(nèi)容，使學(xué)生在歸納提煉思想方法的同時(shí)，體悟數(shù)學(xué)基本技能和基本思想，提高分析和解決問(wèn)題的能力．問(wèn)題3)是開(kāi)放性的，因?yàn)椤胺侄魏瘮?shù)”并不是一個(gè)明確界定的數(shù)學(xué)概念，而是函數(shù)的一種表示方法．有人認(rèn)為處理含絕對(duì)值的函數(shù)問(wèn)題經(jīng)常需要進(jìn)行分類(lèi)討論，但是后續(xù)授課內(nèi)容會(huì)打破這一思維定勢(shì)．用該問(wèn)題引發(fā)學(xué)生的關(guān)注也正是對(duì)此進(jìn)行批判性的思考．

環(huán)節(jié)6鞏固練習(xí).

例3設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an是數(shù)列1+21,2+22,3+23,…,n+2n(其中n∈N*，n≥3)的一個(gè)排列，求表達(dá)式f(a1,a2,…,an)=|a1-a2|+|a2-a3|+…+|an-1-an|的最大值，并說(shuō)明理由．

(上海市浦東新區(qū)2020屆高三數(shù)學(xué)一模試題第21題)

設(shè)計(jì)意圖該問(wèn)題的解決沿用了“去絕對(duì)值—分類(lèi)討論”的思路，但是需要對(duì)各個(gè)絕對(duì)值的符號(hào)進(jìn)行定量討論，這是本課思想方法的延伸與細(xì)化．

以上是我們對(duì)“絕對(duì)值”這個(gè)大概念統(tǒng)領(lǐng)下的“絕對(duì)值問(wèn)題”單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)初步嘗試，對(duì)“大概念”在單元復(fù)習(xí)中的“錨點(diǎn)”作用及其教學(xué)效果還有待進(jìn)一步研究．