郭 璐，吳桂英，王志華

(太原理工大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，應(yīng)用力學(xué)研究所，太原 030024)

晶格材料由于具有優(yōu)異的比剛度、比強(qiáng)度且可表現(xiàn)出較好的韌性，近來(lái)得到了廣泛關(guān)注[1]，其可集成晶格結(jié)構(gòu)和復(fù)合材料的優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)在材料和結(jié)構(gòu)兩個(gè)層次上的優(yōu)化，在航天航空、交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域都存在廣闊的應(yīng)用前景。與傳統(tǒng)輕質(zhì)材料相比，晶格材料由精細(xì)且規(guī)則的單元晶格結(jié)構(gòu)周期性排列而成，其力學(xué)性能高度依賴于單元晶格的特性。目前光刻及增材制造技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)晶格結(jié)構(gòu)的小尺度幾何控制[2-3]，從而制造出具有各種不同優(yōu)異力學(xué)性能的晶格材料。這些晶格材料大致可分為桁架晶格、殼晶格及板晶格，其中桁架晶格主要由結(jié)點(diǎn)連接的桿構(gòu)成[4]，殼晶格由彎曲薄壁殼構(gòu)成[5]，而板晶格則由封閉薄板構(gòu)成[6]。

早期關(guān)于桁架晶格的研究主要集中于力學(xué)性能與相對(duì)密度之間的關(guān)系[7]。對(duì)常見(jiàn)的晶格材料主要分為[8]：拉伸主導(dǎo)型晶格(細(xì)觀桿或晶格壁通過(guò)軸力作用來(lái)抵抗外載荷且其他內(nèi)力可忽略不計(jì))，其力學(xué)性能與相對(duì)密度間呈線性關(guān)系；彎曲主導(dǎo)型晶格材料(桿或晶格壁主要承受彎矩作用)，其等效楊氏模量及單軸壓縮強(qiáng)度滿足非線性冪率關(guān)系[9]。在以往的研究中，對(duì)彎曲型主導(dǎo)晶格理論分析常用的是經(jīng)典的Euler-Bernoulli梁模型，該模型假定桿件具有較大的長(zhǎng)徑比，僅考慮彎曲變形的影響。但當(dāng)晶格長(zhǎng)徑比相對(duì)較小時(shí)，必須同時(shí)考慮純彎曲和剪切變形[10]的聯(lián)合作用。對(duì)于拉伸主導(dǎo)型晶格的研究，通常采用Truss模型[11]對(duì)其進(jìn)行理論分析，不考慮晶格細(xì)觀桿件彎矩等其他內(nèi)力的影響。

本文采用Timoshenko梁模型分別建立了BCC及新型FCC晶格材料等效楊氏模量的理論模型，分析了晶格結(jié)點(diǎn)、剪力等因素對(duì)其等效楊氏模量的影響。此外，建立了兩種晶格材料等效剪切模量及泊松比的理論模型，討論了晶格結(jié)點(diǎn)對(duì)結(jié)果的影響。利用ABAQUS對(duì)BCC及FCC晶格材料的彈性力學(xué)行為進(jìn)行數(shù)值模擬研究，并與現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)研究[4]及相應(yīng)理論模型進(jìn)行了對(duì)比。

1 仿金屬晶體晶格材料模型的建立

1.1 晶格材料模型

兩種仿金屬晶體結(jié)構(gòu)的單元晶格如圖1所示?；诮饘傥⒂^較常見(jiàn)的面心立方(FCC)晶體結(jié)構(gòu)，構(gòu)造了一種新穎的FCC晶格單元，如圖1(b)所示，考慮到設(shè)置z方向桿件的晶格材料在外載作用下極易因豎直桿件的屈曲而導(dǎo)致材料整體破壞，本文FCC單元晶格中未添加豎直支撐桿件。此外，在圖1(b)所示FCC晶格框內(nèi)添加八面體晶格單元，可得常見(jiàn)的具有較高比剛度的Octet[11]單元晶格。故具有相同單元晶格體積及桿件尺寸的FCC比Octet晶格有更小的相對(duì)密度，更加符合“輕質(zhì)化(減輕材料相對(duì)密度的同時(shí)提高等效剛度)”需求。目前已有大量研究者對(duì)BCC晶格材料(圖1(a))的彈塑性力學(xué)行為進(jìn)行了較全面的研究[12]。而有關(guān)圖1(b)所示FCC晶格材料的相關(guān)報(bào)道很少見(jiàn)。根據(jù)DSHPANDE et al[8]提出的Maxwell's準(zhǔn)則，假設(shè)單元晶格各結(jié)點(diǎn)連接桿數(shù)為Z，則拉伸主導(dǎo)型晶格拓?fù)錁?gòu)型需滿足Z≥12，即BCC屬于彎曲主導(dǎo)型晶格，F(xiàn)CC屬于拉伸主導(dǎo)型晶格。

圖1 兩種仿金屬晶體結(jié)構(gòu)的單元晶格Fig.1 Unit cells of two lattice materials mimicking metal crystal structures

1.2 晶格材料相對(duì)密度

GüMRüK et al[12]假設(shè)晶格材料結(jié)點(diǎn)為球體(圖1(a))，確定BCC晶格材料的相對(duì)密度為：

(1)

(2)

圖2 相對(duì)密度理論模型與CAD模型結(jié)果的比較Fig.2 Comparison of the predictions for relative density from theory and CAD models

2 晶格材料的等效彈性參數(shù)理論

2.1 晶格材料柔度矩陣

如圖1所示BCC與FCC單元晶格的立方對(duì)稱性決定了其線彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可由式(3)表述?？赏ㄟ^(guò)確定各單元晶格的等效楊氏模量(E*)、泊松比(ν*)及等效剪切模量(G*)來(lái)確定晶格材料的柔度矩陣。

(3)

2.2 BCC晶格材料的等效彈性參數(shù)

2.2.1BCC晶格材料的等效楊氏模量

BCC單元晶格承受單軸壓縮載荷時(shí)其力學(xué)簡(jiǎn)圖如圖3所示?；赥imoshenko梁[12]理論，考慮桿件承受軸力、剪力及彎矩的聯(lián)合作用，確定N1=psinθ/4，F(xiàn)1=pcosθ/4，其中p=σzL2為簡(jiǎn)化的集中力載荷。根據(jù)對(duì)稱性①桿在z方向位移為：

(4)

圖3 單軸壓縮下BCC晶格材料力學(xué)簡(jiǎn)圖Fig.3 Mechanical diagram of BCC lattice materials under uniaxial compression

其中，k1為基于晶格細(xì)觀桿橫截面形狀的剪切因子；I為桿截面慣性矩；Es，Gs分別為桿基體材料楊氏模量及剪切模量?？傻肂CC晶格材料等效楊氏模量為：

(5)

2.2.2BCC晶格材料泊松比

與式(4)類似的，可知單軸壓縮載荷作用下BCC單元晶格①桿沿x方向(圖3)位移為：

(6)

聯(lián)立式(4)可得材料泊松比為：

(7)

2.2.3BCC晶格材料等效剪切模量

假設(shè)BCC晶格在x-y平面內(nèi)發(fā)生面內(nèi)剪切，如圖4所示。

(8)

圖4 平面剪切BCC晶格材料受力簡(jiǎn)圖Fig.4 Schematic diagram of BCC lattice materials under in-plane shear

(9)

整理得到BCC晶格結(jié)構(gòu)等效剪切模量為：

(10)

2.3 FCC晶格材料的等效彈性參數(shù)

2.3.1FCC晶格材料泊松比

據(jù)DSHPANDE et al[8]提出的Maxwell's準(zhǔn)則，F(xiàn)CC單元晶格屬于拉伸主導(dǎo)型晶格。HE et al[13-14]通過(guò)假設(shè)拉伸主導(dǎo)型Octet單元晶格細(xì)觀桿件的自由體變形模式(圖5(b))對(duì)其等效彈性參數(shù)進(jìn)行了推導(dǎo)。類似地，假設(shè)FCC單元晶格單軸壓縮載荷下①桿變形模式如圖5(b)所示。

圖5 單軸壓縮載荷下FCC 1/4單元晶格受力簡(jiǎn)圖Fig.5 Schematic diagram of FCC 1/4 unit lattice under uniaxial compression

考慮FCC單元晶格對(duì)稱性，取其1/4單元晶格進(jìn)行分析(圖5(a))，①，②桿受力相等且有相同的變形模式。僅考慮桿件的面內(nèi)變形，根據(jù)圖5(b)幾何關(guān)系及Timoshenko梁模型有：

(11)

(12)

(13)

由式(11)可知，①、②桿剪力與軸力的比值正比于(d/L)2，忽略二階小量并考慮FCC單元晶格在J1結(jié)點(diǎn)處沿x軸受力平衡，整理式(11)、式(13)可得δz與δx之間關(guān)系，并確定FCC晶格材料泊松比為：

(14)

2.3.2FCC晶格等效楊氏模量

考慮晶格J1節(jié)點(diǎn)處沿z軸方向受力平衡，即2N1sinα+2F1cosα=P/4，綜合上式并整理式(11)、(12)、(13)、(14)可得FCC晶格材料等效楊氏模量為：

(15)

2.3.3FCC晶格材料等效剪切模量

FCC單元晶格在x-y平面受剪應(yīng)力作用如圖6所示。認(rèn)為周期性排列FCC晶格材料中J1節(jié)點(diǎn)剛度大于J2節(jié)點(diǎn)(圖6(b))，即J1節(jié)點(diǎn)處不易發(fā)生變形。為簡(jiǎn)化理論模型，僅考慮③桿承受軸力作用(圖6(b))：

(16)

(17)

圖6 x-y平面剪切下FCC單元晶格受力Fig.6 Unit lattice of FCC subjected to shear loading in x-y plane

3 仿金屬晶體晶格材料的等效彈性參數(shù)的數(shù)值模擬研究

利用ABAQUS對(duì)上述兩種晶格在不同應(yīng)力狀態(tài)下的線彈性力學(xué)性能進(jìn)行數(shù)值模擬研究。ZHANG et al[15]通過(guò)數(shù)值研究表明對(duì)于d/L小于0.125的晶格材料，單元晶格細(xì)觀桿的梁?jiǎn)卧驅(qū)嶓w單元網(wǎng)格劃分對(duì)晶格材料線彈性力學(xué)性能的影響可忽略不計(jì)。但當(dāng)d/L大于0.125時(shí)，實(shí)體單元網(wǎng)格劃分則明顯優(yōu)于梁?jiǎn)卧猍12]。使用C3D4實(shí)體單元對(duì)單元晶格細(xì)觀桿進(jìn)行網(wǎng)格劃分如圖7所示。對(duì)單元晶格施加周期性邊界約束[16]，即在單元晶格相對(duì)面上建立約束方程且保證相對(duì)面上網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，取單元晶格8個(gè)頂點(diǎn)為主節(jié)點(diǎn)，定義主節(jié)點(diǎn)與各面內(nèi)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的位移邊界條件，通過(guò)設(shè)置主節(jié)點(diǎn)自由度及位移加載來(lái)模擬不同應(yīng)力狀態(tài)下的晶格材料彈性力學(xué)行為[16]。

研究文獻(xiàn)[12]表明對(duì)于晶格特征尺寸L取1.25～8 mm范圍內(nèi)的晶格材料，具有相同d/L參數(shù)的同種晶格材料具有大致相同的彈性力學(xué)性能。為節(jié)約計(jì)算資源，建立5 mm×5 mm×5 mm的BCC及FCC單元晶格，通過(guò)改變桿直徑尺寸確定晶格材料d/L參數(shù)。對(duì)不同d/L參數(shù)的晶格模型均進(jìn)行了網(wǎng)格敏感性分析，以圖7(c)所示d/L=0.15的BCC晶格為例，當(dāng)網(wǎng)格尺寸小于0.15 mm時(shí)，其線彈性應(yīng)力-應(yīng)變曲線誤差較小且等效楊氏模量誤差小于4%，忽略不計(jì)，故取有限元模型網(wǎng)格尺寸為0.15 mm.

圖7 有限元模型及網(wǎng)格敏感性分析Fig.7 Finite element model and mesh sensitivity analysis

材料模型采用各向同性理想彈塑性模型[17]，彈性模量為140 GPa，材料遵循Mises屈服準(zhǔn)則，屈服強(qiáng)度為0.144 GPa，泊松比為0.3.

4 結(jié)果與討論

如圖8所示為d/L=0.12，5 mm×5 mm×5 mm的FCC單元晶格在不同應(yīng)力狀態(tài)下變形模式及Mises應(yīng)力分布圖。在x-y平面剪切應(yīng)力狀態(tài)下，1/4單元晶格中③桿內(nèi)力最大，比其他桿中內(nèi)力值大近一倍(圖8(b)).驗(yàn)證了FCC等效剪切模量理論模型的基本假設(shè)是合理的。

圖8 不同應(yīng)力狀態(tài)下FCC單元晶格的變形模式與Mises應(yīng)力分布圖Fig.8 Deformation form and Mises stress distribution of FCC unit lattice under different stress states

4.1 BCC晶格材料的歸一化等效彈性參數(shù)

為排除基體材料的影響，僅考慮單元晶格構(gòu)型對(duì)晶格材料等效彈性參數(shù)的影響，將晶格材料等效楊氏模量及剪切模量歸一化為E*/Es，G*/Es.

如圖9(a)所示為BCC晶格材料在單軸壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的歸一化等效楊氏模量理論計(jì)算結(jié)果、數(shù)值模擬結(jié)果及實(shí)驗(yàn)結(jié)果[17]的對(duì)比。驗(yàn)證了理論模型及數(shù)值模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性。

圖9 不同應(yīng)力狀態(tài)下BCC單元晶格的歸一化等效彈性參數(shù)與數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比Fig.9 Comparison between theoretical and numerical simulation results of equivalent elastic parameters of BCC materials under different stress states

采用Timoshenko梁模型的理論模型結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果吻合最好(圖9(a)黑色實(shí)線)。忽略軸力作用同樣可以得到較準(zhǔn)確的理論結(jié)果(圖9(a)紅色劃線)，即單軸壓縮載荷下BCC晶格彈性階段各細(xì)觀桿件的拉壓變形很小，可忽略不計(jì)。對(duì)d/L大于0.1的BCC晶格材料，忽略單元晶格中結(jié)點(diǎn)的影響(圖9(a)藍(lán)色點(diǎn)線)會(huì)使理論計(jì)算結(jié)果偏小，例如當(dāng)d/L=0.15時(shí)，其理論結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果相對(duì)誤差為40.6%.同時(shí)剪切力對(duì)d/L較大的BCC晶格材料影響較為顯著(圖9(a)橙色點(diǎn)線)，當(dāng)d/L大于0.15時(shí)，忽略剪切力作用會(huì)低估BCC晶格材料的等效楊氏模量。

對(duì)BCC晶格材料的等效剪切模量理論分析中，由于理論模型的簡(jiǎn)化，僅討論結(jié)點(diǎn)尺寸對(duì)其結(jié)果的影響。如圖9(b)所示，隨著B(niǎo)CC晶格材料d/L的增加，結(jié)點(diǎn)的影響逐漸增大。當(dāng)d/L大于0.15時(shí)，結(jié)點(diǎn)的影響較大。這與圖2中所示BCC晶格結(jié)點(diǎn)相對(duì)體積隨d/L的增大而快速增加相吻合。

4.2 FCC晶格材料的歸一化等效彈性參數(shù)

FCC單元晶格在不同應(yīng)力狀態(tài)下的歸一化等效彈性參數(shù)的理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比如圖10所示。

采用Timoshenko梁模型的理論計(jì)算結(jié)果(圖10(a)黑色實(shí)線)與數(shù)值模擬結(jié)果基本保持一致。隨著d/L的增加，忽略彎曲作用的理論模型與數(shù)值模擬誤差逐漸增大(圖10(a)紅色劃線)，即FCC晶格桿的彎曲變形占比逐漸增加，且當(dāng)d/L大于0.15時(shí)其增加更為顯著。故當(dāng)d/L大于0.15時(shí)，不可忽略FCC晶格桿的彎曲變形。此外，剪切力對(duì)FCC單元晶格等效楊氏模量的影響極小可忽略不計(jì)(圖10(a)橙色點(diǎn)劃線)，這是由于FCC單元晶格屬于拉伸主導(dǎo)型晶格，晶格主要通過(guò)各細(xì)觀桿的拉壓來(lái)抵抗外載荷和整體變形，同時(shí)FCC晶格桿彎曲變形中剪切力彎曲占比較小，故剪切力作用影響較小，可忽略不計(jì)。對(duì)d/L大于0.1的FCC晶格材料，忽略單元晶格結(jié)點(diǎn)的理論計(jì)算結(jié)果偏小 (圖10(a)藍(lán)色點(diǎn)線)，會(huì)低估FCC晶格材料的等效楊氏模量，例如當(dāng)d/L=0.2時(shí)，忽略結(jié)點(diǎn)的理論結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果間相對(duì)誤差較大為27.0%.

對(duì)于FCC晶格材料等效剪切模量，由于理論模型的簡(jiǎn)化僅考慮結(jié)點(diǎn)的影響。如圖10(b)所示，忽略結(jié)點(diǎn)將在一定程度上低估FCC晶格材料的剪切模量，當(dāng)d/L=0.2時(shí)，忽略結(jié)點(diǎn)體積的理論結(jié)果比有限元結(jié)果小12%.

4.3 晶格材料等效彈性參數(shù)的比較

BCC與FCC晶格材料泊松比理論模型及數(shù)值模型結(jié)果基本保持一致(圖11(a))，驗(yàn)證了式(7)、(14)理論模型的準(zhǔn)確性。圖11(b)、(c)表明相同密度的BCC及FCC晶格材料，F(xiàn)CC晶格材料具有更高的歸一化楊氏模量，且其歸一化楊氏模量-相對(duì)密度曲線始終位于BCC曲線上方(圖11(b))，即FCC晶格具有更大的比楊氏模量。而相同密度的BCC晶格材料具有更高的歸一化剪切模量，即有更大的比剪切模量。

圖11 BCC與FCC晶格材料等效彈性參數(shù)的比較Fig.11 Comparison of equivalent elastic parameters between BCC and FCC lattice materials

將本文中兩種晶格材料的歸一化彈性模量與其它常見(jiàn)晶格材料進(jìn)行了比較，結(jié)果表明FCC晶格材料較大多數(shù)晶格材料具有更高的比剛度，其歸一化彈性模量與相對(duì)密度間大體上呈線性關(guān)系(圖11(d)粉色劃線)，且相對(duì)密度為5%～10%的FCC晶格材料具有與等相對(duì)密度Octet晶格材料基本一致的歸一化楊氏模量。

5 結(jié)論

本文對(duì)BCC及FCC兩種晶格材料的等效彈性參數(shù)進(jìn)行了理論及數(shù)值模擬研究，分析比較晶格結(jié)點(diǎn)尺寸、剪切力等對(duì)晶格材料等效彈性參數(shù)的影響。主要結(jié)論如下：

1) 采用Timoshenko梁模型的BCC及FCC晶格材料的等效楊氏模量理論模型與數(shù)值模擬結(jié)果有更好的吻合。

2) 晶格結(jié)點(diǎn)對(duì)BCC及FCC晶格等效楊氏模量及剪切模量均有較大影響，且隨著晶格d/L參數(shù)的增大而增大。忽略結(jié)點(diǎn)效應(yīng)會(huì)低估晶格材料的線彈性力學(xué)性能。

3) 對(duì)彎曲主導(dǎo)型BCC晶格材料的等效楊氏模量理論模型，其軸力影響很小可忽略不計(jì)。而對(duì)于拉伸主導(dǎo)型FCC晶格材料，當(dāng)d/L大于0.15時(shí)，細(xì)觀桿件的彎曲變形對(duì)其等效楊氏模量理論模型結(jié)果影響較大，故桿的彎曲不可忽略。

4) 相同密度的FCC晶格比BCC晶格材料具有更高的歸一化楊氏模量，BCC晶格則比FCC晶格具有更高的歸一化剪切模量。此外，相對(duì)密度為5%～10%的FCC晶格材料具有與等相對(duì)密度Octet晶格材料基本一致的歸一化楊氏模量。FCC晶格材料較大部分晶格材料具有更高的抗壓比剛度。