張凱望，惠飛，張國(guó)祥，石琦，劉志忠

（1.長(zhǎng)安大學(xué)信息工程學(xué)院，西安 710064；2.河北省高速公路集團(tuán)有限公司延崇籌建處，河北張家口 075400）

0 引言

伴隨著車聯(lián)網(wǎng)（Internet of Vehicles，IoV）技術(shù)的不斷發(fā)展，駕駛員可以通過(guò)車載終端有效地獲取越來(lái)越多的車輛信息和道路信息，從而優(yōu)化駕駛動(dòng)作，從微觀交通流層面改善交通的運(yùn)行質(zhì)量［1］。微觀交通流的主要研究方向智能網(wǎng)聯(lián)車跟馳模型可以為未來(lái)大規(guī)模實(shí)施自動(dòng)駕駛的實(shí)地測(cè)試提供模型參照，已經(jīng)成為當(dāng)前車聯(lián)網(wǎng)技術(shù)和智慧交通領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)［2］。

早在20 世紀(jì)，Bando 等［3］通過(guò)對(duì)車輛跟馳行為的研究，提出OV（Optimal Velocity）跟馳模型，可以用來(lái)描述多種現(xiàn)實(shí)生活中的交通行為（如：走走停停、交通阻塞、交通順暢等），但是該模型具有不切合實(shí)際的加速度和減速度，這部分內(nèi)容和實(shí)際相差過(guò)大。Jiang 等［4］根據(jù)OV 模型存在的問題，提出了FVD（Full Velocity Difference）模型，該模型考慮了在跟馳車流中，速度差信息對(duì)穩(wěn)定性的影響，更加全面地描述了車輛的跟馳行為。近幾年，人們對(duì)跟馳模型進(jìn)行了更加深入的研究，不斷改進(jìn)FVD 模型使之盡可能貼近現(xiàn)實(shí)［5-13］。早在1958 年，時(shí)延就被認(rèn)為是交通研究中一個(gè)重要的影響參數(shù)，它主要來(lái)源于駕駛員感知周圍環(huán)境變化而采取相應(yīng)行動(dòng)所需要以及車輛根據(jù)駕駛員做出行為而完成動(dòng)作的時(shí)間，其主要受駕駛員自身狀況、周圍環(huán)境以及車輛特征的影響［14-16］。由于時(shí)延對(duì)交通流有著重大影響，因此，有必要對(duì)交通流中的時(shí)延問題進(jìn)行更深入的研究。Orosz 等［17-18］討論了以車輛驅(qū)動(dòng)時(shí)延為特征的OV 模型的局部和全局穩(wěn)定性；Yu 等［19］研究了OV 模型的密度波；Zhou 等［20］提出了最優(yōu)速度差模型（Optimal Velocity Difference Model，OVDM），該模型考慮了車輛驅(qū)動(dòng)的反應(yīng)時(shí)間延遲；Jia 等［21］研究了考慮了車輛之間的時(shí)延以及駕駛員感知時(shí)延信息對(duì)交通流的影響；Zhang 等［22］研究了由于駕駛員反應(yīng)性時(shí)間延遲效應(yīng)造成的時(shí)滯速度差對(duì)車輛加速度的影響；Ma 等［23］提出了考慮時(shí)延速度差的跟馳模型。但是這些模型都沒有考慮到在當(dāng)前的車聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下，不僅可以通過(guò)分析獲得時(shí)延速度差，也可以輕松獲得道路的限速信息，駕駛員可以通過(guò)對(duì)這些信息，及時(shí)對(duì)車輛駕駛進(jìn)行調(diào)整，從而有利于提高跟馳車流的穩(wěn)定性。

本文提出了一種基于智能網(wǎng)聯(lián)車的跟馳模型——考慮時(shí)延速度差和限速信息的跟馳模型TD-VDVL（Time-Delayed Velocity Difference and Velocity Limit）。為了驗(yàn)證TD-VDVL模型的穩(wěn)定性，首先，通過(guò)線性譜波微擾法對(duì)模型進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析；然后，分析模型中各個(gè)參數(shù)對(duì)跟馳系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；最后，使用Matlab 數(shù)值仿真平臺(tái)，對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值模擬和仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明改進(jìn)模型對(duì)于穩(wěn)定道路交通流具有一定的優(yōu)越性。

1 TD-VDVL模型建立

駕駛員在跟馳駕駛過(guò)程中，可以根據(jù)道路環(huán)境和車輛情況作出相應(yīng)的駕駛決策，從而影響整個(gè)跟馳車隊(duì)的穩(wěn)定性。Jiang 等［4］為了更好地描述這種跟馳行為，提出了FVD 模型。

FVD 模型的車輛運(yùn)動(dòng)方程展開式為：

其中：a表示最優(yōu)速度敏感系數(shù)，V(Δyi)表示最優(yōu)速度函數(shù)，λ表示速度差反應(yīng)系數(shù)。

該模型沒有考慮到在現(xiàn)有的駕駛環(huán)境下，駕駛員可以通過(guò)智能網(wǎng)聯(lián)汽車獲取當(dāng)前道路的限速信息［24］以及時(shí)延造成的速度差信息，這些都將對(duì)駕駛員的駕駛決策產(chǎn)生影響，從而影響整個(gè)交通系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此引入時(shí)延速度差信息和限速信息對(duì)FVD 模型進(jìn)行改進(jìn)。

改進(jìn)后的模型為：

對(duì)其進(jìn)行展開描述為：

其中：t表示當(dāng)前時(shí)刻；v表示t時(shí)刻車速；λ表示速度差的反應(yīng)系數(shù)；Δyi(t) 表示前后車車頭之間的間距，Δyi(t)=yi+1(t) -yi(t)；Δvi(t) 表示前后 車的速度 差，Δvi(t)=vi+1(t) -vi(t)；V(·)表示跟馳車的最優(yōu)速度函數(shù)；T表示駕駛員感知周圍環(huán)境的時(shí)間；γ表示限速信息的敏感系數(shù)；td表示時(shí)延；vi(t) -vi(t-td)表示時(shí)延造成的速度差；u表示對(duì)vi(t) -vi(t-td)的敏感系數(shù)。

本文使用的最優(yōu)速度函數(shù)V(Δyi)［25］如下：

為了更加清楚地反映跟馳車流的穩(wěn)定性，參照文獻(xiàn)［26］，對(duì)T進(jìn)行簡(jiǎn)化，過(guò)程如下：

將式（5）代入式（3）中得：

2 穩(wěn)定性分析

根據(jù)參考文獻(xiàn)［27］，使用線性譜波微擾法對(duì)TD-VDVL模型進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析，即對(duì)處于同質(zhì)均衡狀態(tài)的跟馳車流（即道路上行駛的車輛全部使用同一種跟馳模型，并且沒有發(fā)生換道行為以及行人等其他交通單元的干擾），改變其中某一個(gè)車輛的位置，使之稍微偏離其處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的位置。若在該干擾下，跟馳車隊(duì)的車頭間距或者車隊(duì)速度沒有較大變化，則認(rèn)為交通流是穩(wěn)定的［28］。

故有：

泰勒展開式為：

對(duì)V(Δyi(t))和vi(t)分別進(jìn)行泰勒展開并忽略非線性項(xiàng)的影響得到：

聯(lián)立式（12）、（13），可得：

為了便于穩(wěn)定性分析和計(jì)算，這里取vlim=V(h)，將式（12）～（14）代入式（6）中得到關(guān)于xi(t)的微分方程：

將式（16）代入式（15）并化簡(jiǎn)可得：對(duì)ejk和e-ztd進(jìn)行泰勒展開，并將參數(shù)z展開為z=z1(jk) +z2(jk)2，并根據(jù)(jk)，(jk)2的系數(shù)對(duì)應(yīng)可得：

根據(jù)交通流理論，若z2＞0，則交通系統(tǒng)保持穩(wěn)定狀態(tài)，車流平穩(wěn)行駛；若z2＜0，則交通系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，車流行駛無(wú)法保證平穩(wěn)［30］。

因此通過(guò)式（18）可得臨界穩(wěn)定性曲線方程為：

圖1 為OV 模型、FVD 模型和TD-VDVL 模型的穩(wěn)定性曲線對(duì)比，其優(yōu)化速度函數(shù)都采用式（3）所示的函數(shù)，曲線上方為交通系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域，曲線下方為不穩(wěn)定區(qū)域。通過(guò)對(duì)圖1的三條曲線進(jìn)行對(duì)比，可以明顯觀測(cè)到TD-VDVL 模型比其他兩個(gè)模型具有更大的穩(wěn)定性區(qū)域和更小的不穩(wěn)定性區(qū)域。從交通流穩(wěn)定性的角度上來(lái)看，TD-VDVL 模型（λ=0.3，u=0.3，r=0.3）＞FVD 模型（λ=0.3）＞OV 模型。

圖1 臨界穩(wěn)定性曲線對(duì)比Fig.1 Comparison of critical stability curves

圖2（a）是在其他參數(shù)確定的情況下（r=0.3，λ=0.3），TD-VDVL 模型中對(duì)u的穩(wěn)定性相位分析圖。由圖2 所示，隨著u的增大，TD-VDVL模型的穩(wěn)定性區(qū)域也在逐步增大，說(shuō)明在模型中引入時(shí)延速度差信息可以有效提高模型的穩(wěn)定性。

圖2（b）是在u=0.3，λ=0.3 的情況下，對(duì)TD-VDVL 模型中的r限速敏感系數(shù)進(jìn)行的穩(wěn)定性分析。由圖2（b）可以看出，隨著對(duì)道路限速信息的敏感度系數(shù)的提高，交通系統(tǒng)的穩(wěn)定性也在提高。

圖2 不同r和u的相位圖Fig.2 Phase diagrams of different r and u

綜上所述，在跟馳模型中引入時(shí)延速度差信息和道路限速信息有利于提高交通系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)與分析

利用Matlab 對(duì)TD-VDVL 模型進(jìn)行數(shù)值模擬和仿真分析，研究引入時(shí)延速度差和限速信息的跟馳模型對(duì)跟馳車流穩(wěn)定性所起到的綜合作用。

3.1 仿真環(huán)境一

在一條長(zhǎng)度為L(zhǎng)=1 500 m 的仿真直道上［31］，均勻排列著N=100 輛車，設(shè)置它們的初始車距為其安全車距即hc=4 m，車道限速為vlim=2 m/s；根據(jù)參考文獻(xiàn)［23］設(shè)置時(shí)延速度差敏感度系數(shù)為u=0.3，時(shí)延td=1 s；限速敏感系數(shù)設(shè)置為r=0.3；其他參數(shù)都使用經(jīng)典跟馳模型仿真參數(shù)設(shè)置，駕駛員敏感系數(shù)取值a=0.85，速度差敏感系數(shù)λ=0.3，采樣步長(zhǎng)為0.1 s；最優(yōu)速度敏感系數(shù)β=1，仿真總步長(zhǎng)設(shè)置為15 000。

對(duì)初始狀態(tài)為穩(wěn)定車流中的第100 輛車施加一個(gè)輕微擾動(dòng)，則此時(shí)車流的初始狀態(tài)為：

圖3 是t=200 s 和t=600 s 時(shí)，OV模型、FVD模型、TD-VDVL 模型中100 輛車的速度分布曲線。從圖3 可以看出，不管是200 s 還是600 s 時(shí)，TD-VDVL 模型的車流的速度波動(dòng)要比OV 模型、FVD 模型中的車流速度波動(dòng)都要小。隨著時(shí)間的推移，可以明顯看到從200～600 s，OV 模型和FVD模型的速度波動(dòng)越來(lái)越大，而TD-VDVL 模型的速度波動(dòng)越來(lái)越小。施加擾動(dòng)后，擾動(dòng)在OV 模型和FVD 模型中，沒有隨著時(shí)間而消散，反而隨著時(shí)間的推移傳播的越來(lái)越大，說(shuō)明FVD 模型和OV 模型不具備消散系統(tǒng)中干擾的能力，容易造成跟馳系統(tǒng)的不穩(wěn)定，甚至于導(dǎo)致交通堵塞的出現(xiàn)；在TD-VDVL 模型中擾動(dòng)隨著時(shí)間的推移得到控制，說(shuō)明TD-VDVL 模型具備著較強(qiáng)的消散系統(tǒng)干擾的能力。因此TD-VDVL 模型相較于OV 模型和FVD 模型在消散系統(tǒng)擾動(dòng)方面具有一定的優(yōu)越性。

圖3 不同時(shí)刻的速度分布Fig.3 Velocity distribution at different time

為了更加直觀地對(duì)比3 個(gè)模型的穩(wěn)定性，對(duì)t=300 s 和t=500 s 處分別進(jìn)行了采樣，獲得3 個(gè)模型的最小速度、最大速度、平均速度、速度向上波動(dòng)率、速度向下波動(dòng)率，以及速度平均波動(dòng)率，如表1、2 所示。可以清楚發(fā)現(xiàn)：OV 模型、FVD模型中跟馳車流的速度波動(dòng)起伏很大，最大速度和最小速度差特別大，特別是OV 模型的最大速度一直位于在1.9 m/s 左右，而最小速度僅有0.05 m/s。它們的速度波動(dòng)率也一直處于一個(gè)較大的值。其中：OV 模型在500 s 時(shí)的速度平均波動(dòng)率達(dá)到78.84%；FVD 模型的速度平均波動(dòng)率達(dá)到67.59%；TD-VDVL 模型的速度波動(dòng)率一直不大，并且隨著時(shí)間的推移，其速度平均波動(dòng)率還在降低，最大速度和最小速度數(shù)值穩(wěn)定一直保持在1.3 m/s 左右，說(shuō)明跟馳系統(tǒng)一直處于一個(gè)比較穩(wěn)定的狀態(tài)，特別是在500 s 時(shí)，速度平均波動(dòng)率僅有2.35%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在相同條件下，TD-VDVL 跟馳模型具備比OV 模型、FVD 模型更優(yōu)的致穩(wěn)性，有利于穩(wěn)定跟馳車流中的車輛速度，降低跟馳車流的速度波動(dòng)率，從而提高跟馳系統(tǒng)的穩(wěn)定性；同時(shí)也表明，在跟馳模型中引入時(shí)延速度差和道路限速信息可以對(duì)交通流起到致穩(wěn)作用。

表1 t=300 s時(shí)的速度波動(dòng)對(duì)比表Tab.1 Velocity fluctuation comparison table at 300 s

表2 t=500 s時(shí)的速度波動(dòng)對(duì)比表Tab.2 Velocity fluctuation comparison table at 500 s

3.2 仿真環(huán)境二

為了更好地研究時(shí)延速度差和限速信息對(duì)跟馳車流穩(wěn)定性的影響。參照參考文獻(xiàn)［13］，在一個(gè)長(zhǎng)度為400 m 的環(huán)形道路進(jìn)行仿真，a設(shè)置為0.8，仿真步長(zhǎng)為0.01 s，其他參數(shù)保持不變。

圖4 是在300 s 和500 s 時(shí)TD-VDVL模型在r=0 的情況下，u=0，0.1，0.3 時(shí)與r=0.3、u=0.3 情況下100 輛車的車頭間距對(duì)比。圖4（c）和（d）是在300 s 和500 s 時(shí)TD-VDVL 模型在u=0 的情況下，r=0，0.1，0.3 時(shí)與r=0.3、u=0.3 情況下100 輛車的車頭間距對(duì)比。通過(guò)圖4（a）和（b）的對(duì)比以及圖4（c）和（d）對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)其他條件保持一致時(shí)，改變r(jià)或者u的取值，跟馳車流的車頭間距都會(huì)發(fā)生改變，尤其是當(dāng)r=0 和u=0 時(shí)（即模型退化為FVD 模型時(shí)），車頭間距的振動(dòng)幅度最大，特別是在500 s 時(shí)車頭間距波峰波谷差可以達(dá)到0.419 6 m，而當(dāng)r=0.3、u=0.3 時(shí)，500 s 的車頭間距的波峰波谷差僅為0.019 4 m。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，F(xiàn)VD 模型在遭受到干擾之后，車頭間距波動(dòng)很大，并且一直維持在一個(gè)較大的數(shù)值；改進(jìn)的TD-VDVL 模型的車頭間距波動(dòng)不大，因?yàn)榇藭r(shí)駕駛員考慮了道路的限速信息以及車輛的時(shí)延速度差信息，使其可以作出更準(zhǔn)確的駕駛決策，從而適應(yīng)跟馳系統(tǒng)的變化，使跟馳車流中的擾動(dòng)消散，避免出現(xiàn)交通堵塞的情況。

圖4 不同u和r取值時(shí)的車頭間距對(duì)比Fig.4 Headway comparison with different r and u

圖5 分別是r和u取不同值時(shí)擾動(dòng)在跟馳車流中傳播時(shí)的速度時(shí)空變化圖。

圖5 不同r和u取值時(shí)的速度時(shí)空變化Fig.5 Space-time evolution of velocity with different r and u

從圖5（a）中可以明顯發(fā)現(xiàn)：當(dāng)r=0、u=0 時(shí)，此時(shí)模型為FVD 模型，在擾動(dòng)作用下，車流的速度時(shí)空?qǐng)D中出現(xiàn)很多褶皺帶，時(shí)空平面出現(xiàn)很多山峰和低谷，說(shuō)明車流內(nèi)的速度在不斷變化；并且隨著時(shí)間的推移，速度波動(dòng)越來(lái)越大，因?yàn)閿_動(dòng)在跟馳車流中不斷傳播并且逐漸被放大，最終影響到交通系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使得整個(gè)系統(tǒng)處在不穩(wěn)定狀態(tài)（比如造成交通堵塞），說(shuō)明FVD 模型對(duì)交通系統(tǒng)中干擾的致散性比較差，容易受到外界干擾的影響。在圖5（b）、（c）、（d）中，逐步開始增大r和u的取值，跟馳車流的速度時(shí)空?qǐng)D起伏開始逐漸變小，褶皺帶開始收縮，時(shí)空平面的山峰和山谷逐漸變少，在r=0.3、u=0.3 時(shí)，褶皺帶已經(jīng)基本消失，整個(gè)速度時(shí)空平面基本趨于平緩，說(shuō)明擾動(dòng)在跟馳車流中得到控制，甚至消散，交通系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)。以上數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)以及分析結(jié)果表明，在FVD 模型中，引入時(shí)延速度差和限速信息，能夠較好地吸收車隊(duì)中的擾動(dòng)，從而進(jìn)一步提高跟馳車隊(duì)的穩(wěn)定性。

4 結(jié)語(yǔ)

在車聯(lián)網(wǎng)的環(huán)境下，本文提出基于FVD 模型的考慮時(shí)延速度差和限速信息的跟馳模型TD-VDVL，通過(guò)穩(wěn)定性分析圖可以看出，TD-VDVL 模型的穩(wěn)定性區(qū)域明顯大于OV 模型和FVD 模型的穩(wěn)定性區(qū)域。數(shù)值模擬和仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在實(shí)際交通流中，不可以忽視時(shí)延速度差和限速信息對(duì)跟馳系統(tǒng)的影響，驗(yàn)證了所提TD-VDVL 模型可以進(jìn)一步提高跟馳車流的穩(wěn)定性。這對(duì)于開發(fā)和完善交通仿真軟件和算法，以及設(shè)計(jì)相應(yīng)的駕駛輔助軟件和平臺(tái)，輔助駕駛員做出正確的駕駛決策，緩解交通壓力和未來(lái)自動(dòng)駕駛的大規(guī)模實(shí)施具有一定的指導(dǎo)意義。此外，所提模型并沒有考慮不同車型車輛的時(shí)延是否不同，不同道路的限速信息是否不同，這些因素也將影響著跟馳車流的穩(wěn)定性，在跟馳模型中應(yīng)該反映這種差異，以便建立更加符合實(shí)際情況的跟馳模型，這將是以后的研究和改進(jìn)方向。