陳 熙，申 柯，李運(yùn)蘭

(1. 貴州師范大學(xué)大數(shù)據(jù)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025； 2. 長(zhǎng)沙學(xué)院計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410022)

1 引言

圖像特征提取在計(jì)算機(jī)視覺(jué)和模式識(shí)別領(lǐng)域扮演著重要的角色，它在視頻監(jiān)控，圖像檢索，運(yùn)動(dòng)檢測(cè)，遠(yuǎn)程遙感，生物醫(yī)學(xué)圖像分析和人臉識(shí)別等方面發(fā)揮著重要作用?；诮y(tǒng)計(jì)的圖像特征提取是非常重要的圖像特征提取方法，到目前為止，已經(jīng)有很多統(tǒng)計(jì)圖像特征提取方法。R. Chellappa等人提出了二維馬爾可夫隨機(jī)場(chǎng)模型的圖像紋理分類(lèi)特征提取方法，所提方法利用馬爾可夫隨機(jī)場(chǎng)模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)作為特征[1]。Jorjandi S等人提出非對(duì)稱(chēng)正態(tài)拉普拉斯混合模型進(jìn)行圖像統(tǒng)計(jì)特征建模[2]。

通過(guò)對(duì)小波變換系數(shù)分布特征構(gòu)建不同的統(tǒng)計(jì)模型也是圖像特征描述的一類(lèi)主流方法。Vasconcelos詳細(xì)討論了特征空間中各成分獨(dú)立性的影響，得出獨(dú)立性對(duì)檢索精度有負(fù)面影響的結(jié)論，因此采用統(tǒng)計(jì)模型來(lái)建模不同尺度和方向下的小波變換系數(shù)的相關(guān)性是一種被證明有效的紋理描述方法[3]，從而有一些研究人員開(kāi)展這方面的工作。文獻(xiàn)[4]采用金字塔離散小波變換(DWT)對(duì)圖像進(jìn)行分解，并用廣義高斯分布(GGD)對(duì)細(xì)節(jié)子帶系數(shù)進(jìn)行建模。圖像之間的相似度匹配采用廣義高斯概率密度之間的K-L散度進(jìn)行計(jì)算?？紤]到一個(gè)高斯模型難于對(duì)紋理分布進(jìn)行準(zhǔn)確建模，Hind Oulhaj等人提出了高斯混合模型來(lái)刻畫(huà)復(fù)小波變換子帶系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征，其中用最大似然估計(jì)方法估計(jì)高斯混合模型的參數(shù)[5]。Kim和TJ-Kang提出了一種基于小波包幀分解的圖像紋理特征提取方法，并對(duì)每一自帶系數(shù)采用高斯混合模型建模，而概率密度函數(shù)之間的距離采用K-L散度函數(shù)來(lái)計(jì)算[6]。Tzagkarakis等人提出利用對(duì)稱(chēng)α穩(wěn)定分布對(duì)小波細(xì)節(jié)子帶系數(shù)進(jìn)行建模[7]，由于一般分布情況下KL散度不存在閉式解，他們采用特征函數(shù)代替概率密度函數(shù)(PDF)來(lái)計(jì)算相似性。針對(duì)圖像紋理分布的傾斜性和非對(duì)稱(chēng)性，Matza和Y-Bistritz提出了混合傾斜高斯函數(shù)來(lái)獲得紋理圖像的更好的特征向量，其中EM算法被用來(lái)估計(jì)混合傾斜高斯分布的參數(shù)[8]。Yijin Peng等人針對(duì)合成孔徑雷達(dá)(SAR)圖像的統(tǒng)計(jì)特性，提出了一種基于馬爾可夫鏈蒙特卡羅(MCMC)的偽模擬退火(PSA)估計(jì)方法，有效地估計(jì)了混合α穩(wěn)定分布的模型參數(shù)[9]。同樣的，當(dāng)紋理分布具有傾斜性和非對(duì)稱(chēng)性特點(diǎn)時(shí)，傾斜α穩(wěn)定分布[10]用來(lái)建模紋理是一種更合理的辦法. 對(duì)于具有厚拖尾分布特征的紋理，SRH Shojaei等人提出混合傾斜α穩(wěn)定分布來(lái)進(jìn)行建模[11]。Li C 等人在2019年指出，不同尺度和方向下的Gabor小波子帶系數(shù)存在強(qiáng)相關(guān)性，然后他們采用copula來(lái)建模這種相關(guān)性并用于人臉識(shí)別，取得了很好的效果[12]。

從上面一系列的研究文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)，對(duì)小波變換子帶系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模是圖像識(shí)別與檢索的一條有效途徑，但是盡我所知，紋理統(tǒng)計(jì)建模時(shí)，對(duì)圖像進(jìn)行小波變換一般都是采用雙樹(shù)復(fù)小波，小波包和Gabor小波等，很少看見(jiàn)采用Log-Gabor小波[13]對(duì)圖像進(jìn)行變換，然后對(duì)不同尺度和方向下的Log-Gabor小波子帶系數(shù)進(jìn)行建模。Field等人指出，使用在對(duì)數(shù)頻率尺度上傳遞函數(shù)為高斯函數(shù)的濾波器可以對(duì)圖像進(jìn)行更有效的編碼，即Log-Gabor函數(shù)能更真實(shí)的反應(yīng)自然圖像的頻率響應(yīng)[14]。針對(duì)Field等人在文獻(xiàn)[14]中給出的這一結(jié)論，改進(jìn)了Li C等人的算法[12]，把文獻(xiàn)[12]中的Gabor變換改為L(zhǎng)og-Gabor變換。因?yàn)長(zhǎng)og-Gabor濾波函數(shù)比Gabor濾波函數(shù)的頻譜更符合自然圖像的頻譜特征，故在頻域來(lái)說(shuō)，Log-Gabor變換后的變換系數(shù)更具有自然圖像的頻譜特征。在所提Log-Gabor系數(shù)高斯建模方法中，首先對(duì)圖像進(jìn)行Log-Gabor變換，然后不同方向和尺度下的Log-Gabor變換系數(shù)采用廣義高斯模型進(jìn)行建模，而所建模型的參數(shù)采用期望最大[15]進(jìn)行估計(jì)，模型之間的距離采用K-L散度函數(shù)來(lái)定義。

2 Log-gabor小波變換及子帶系數(shù)相關(guān)性

2.1 多尺度多方向Log-gabor小波變換

Koviesi在頻域中通過(guò)采用極性可分離的二維高斯函數(shù)構(gòu)造了二維Log-Gabor濾波器，其由徑向分量和角度分量相乘得到[16]，所設(shè)計(jì)的二維Log-Gabor濾波器的頻域形式定義為

(1)

u1=ucosθ+vsinθ，v1=-usinθ+vcosθ

其中θ表示濾波器的方向，u0表示濾波器的中心頻率，k調(diào)節(jié)濾波器在u1方向的帶寬，σv調(diào)節(jié)濾波器在v1方向上的帶寬。對(duì)于多尺度多方向Log-Gabor濾波器而言，需要調(diào)整的參數(shù)為u0，k和σv。Log-Gabor濾波器無(wú)直流分量，因此所以采用Log-Gabor濾波器提取的特征不受光照的影響[17]。另外，Log-Gabor函數(shù)的傳遞函數(shù)在高頻端有一個(gè)延長(zhǎng)的尾巴，適合對(duì)頻譜具有厚拖尾的圖像進(jìn)行編碼。圖1展示了二維Log-Gabor函數(shù)在某一尺度和方向下頻域形式的徑向分量，角度分量和幅度。圖2顯示了一幅人臉圖像在某一尺度下不同方向的濾波結(jié)果的模，在后面的實(shí)驗(yàn)中，都是采用Log-Gabor濾波結(jié)果的模做實(shí)驗(yàn)。

圖1 二維Log-gabor的頻域形式

圖2 一幅人臉圖像在二維Log-Gabor濾波后的模

2.2 不同尺度和方向下Log-Gabor小波變換子帶系數(shù)相關(guān)性

正如Vasconcelos等人指出不同尺度和方向下的小波變換系數(shù)如果獨(dú)立的話(huà)，則會(huì)對(duì)檢索精度有負(fù)面影響[3]，所以接下來(lái)通過(guò)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)圖像經(jīng)過(guò)Log-Gabor小波變換后不同尺度不同方向下變換系數(shù)的相關(guān)性。

采用繪制Chi-plot圖來(lái)觀(guān)察一對(duì)隨機(jī)變量之間的相關(guān)性[18]。設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的n個(gè)抽樣為：(x1，y1)，…，(xn，yn)，同時(shí)假設(shè)I(A)是事件A的隸屬函數(shù)。對(duì)于每個(gè)樣本點(diǎn)(xi，yi)，定義如下式子

根據(jù)上面式子，計(jì)算

Mi=(Hi-FiGi)/{Fi(1-Fi)Gi(1-Gi)}1/2

(2)

和

(3)

然后在平面上繪制所有的點(diǎn)(Mi，Ni)(i=1，2，…，n)，則所繪制的圖形就是Chi-plot散點(diǎn)圖。這里Mi是隨機(jī)變量X和Y的一個(gè)非參數(shù)相關(guān)性度量，取值處于[-1，1]之間，如果Y是X的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，則Mi=1，若Y是X的嚴(yán)格單減函數(shù)，則Mi=-1。Ni表示樣本(xi，yi)到樣本集中心位置的距離，其取值也處于[-1，1]之間。如果變量X和Y為獨(dú)立的連續(xù)隨機(jī)變量，則Ni的取值服從[-1，1]上均勻分布；而當(dāng)隨機(jī)變量X和Y相關(guān)時(shí)，Ni的取值會(huì)出現(xiàn)一定的聚集性，表現(xiàn)為散點(diǎn)圖會(huì)出現(xiàn)聚集性。

記gm，n為一幅圖像經(jīng)過(guò)尺度為m和方向?yàn)閚的Log-Gabor濾波后的模，它是和圖像大小相同的一個(gè)矩陣。當(dāng)考察gm，n和gm′，n′的相關(guān)性時(shí)，其實(shí)就是把gm，n中各元素當(dāng)成一個(gè)隨機(jī)變量v的樣本，把gm′，n′中各元素當(dāng)成一個(gè)隨機(jī)變量v′的樣本，考察隨機(jī)變量v和v′之間的相關(guān)性。圖3給出了不同尺度和方向下Log-Gabor各子帶系數(shù)的相關(guān)性的Chi-plot圖。

圖3 一幅人臉圖像在二維Log-Gabor濾波后各子帶系數(shù)相關(guān)性的Chi-plot圖

3 基于Log-gabor的廣義高斯密度估計(jì)

3.1 廣義高斯分布

很多研究論文表明，廣義高斯概率分布比較適合對(duì)小波變換系數(shù)進(jìn)行建模[4，19，20]。廣義高斯密度(generalized Gaussian density，GGD)函數(shù)定義為

(4)

(5)

3.2 基于Log-Gabor和廣義高斯概率模型的圖像特征提取及匹配

前面介紹了Log-Gabor小波和廣義高斯概率模型，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步介紹設(shè)計(jì)的基于Log-Gabor和廣義高斯概率模型的圖像特征提取及匹配方案。此方案可以歸納為如下5個(gè)步驟：

1) 假設(shè)圖像X被均勻分成不重疊8×8子塊，這些子塊分別表示為X(i)(i=0，1，2，…，63)．

2) 假設(shè)Log-Gabor有5個(gè)尺度k1，k2，…，k5和4個(gè)方向θ1，θ2，θ3，θ4。設(shè)圖像子塊的Log-Gabor小波系數(shù)為：L(i)(km，θh)=(m=1，2，…，5；h=1，2，…，4；i=0，1，…，63)，這里m表示尺度，h表示方向，i表示子塊。

3) 對(duì)每個(gè)子帶系數(shù)L(i)(km，θh)采用廣義高斯概率模型進(jìn)行建模。將子帶系數(shù)矩陣L(i)(km，θh)里面的元素當(dāng)成一個(gè)隨機(jī)變量的樣本，此隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為廣義高斯概率密度函數(shù)，采用期望最大[15]方法估計(jì)此廣義高斯概率密度函數(shù)的參數(shù)，假設(shè)子帶系數(shù)L(i)(km，θh)經(jīng)參數(shù)估計(jì)后獲得的概率密度函數(shù)為p(i，km，θh)(α，β)。

(6)

5) 考慮到Kullback-Leiler距離的非對(duì)稱(chēng)性，即

將式(6)修改為如下形式

(7)

4 試驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證所提基于Log-Gabor和廣義高斯概率模型的圖像紋理特征提取及匹配算法的有效性，在二個(gè)紋理圖像庫(kù)：USPTex數(shù)據(jù)庫(kù)[21]、Brodatz數(shù)據(jù)庫(kù)[22]和FERET人臉圖像數(shù)據(jù)庫(kù)[23]的一個(gè)子集上進(jìn)行了相關(guān)測(cè)試。此三個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)中圖片都是自然圖片，而非人造圖片，其頻譜分布具有厚拖尾的特征。所提算法與廣義高斯模型[4]、基于Copula模型的Gabor小波變換[12]、Log-Gabor直方圖[24]，正交Log-Gabor方法[25]和Gabor濾波器[28]進(jìn)行了識(shí)別率比較分析。為了直接體現(xiàn)各算法的紋理特征提取能力，采用了比較簡(jiǎn)單的最近鄰分類(lèi)方法。

4.1 圖像數(shù)據(jù)庫(kù)

USPTex紋理圖像數(shù)據(jù)庫(kù)中圖片為自然紋理圖像，包括生活中各種常見(jiàn)物品，如種子，蔬菜，稻谷，織物，道路，和土壤等。USPTex紋理數(shù)據(jù)庫(kù)共有191類(lèi)彩色紋理圖片，每類(lèi)12張，總計(jì)2292張紋理圖像。在下面關(guān)于USPTex數(shù)據(jù)庫(kù)的試驗(yàn)中，選取了100類(lèi)紋理，每類(lèi)選取9張圖片，每張樣本圖像都轉(zhuǎn)化成灰度圖像，大小調(diào)整為128×128像素。圖4(a)是該數(shù)據(jù)庫(kù)中1種紋理12張圖片。Brodatz紋理圖像數(shù)據(jù)庫(kù)也是一個(gè)為研究人員常常采用的自然紋理圖像庫(kù)，采用了其中100類(lèi)紋理，每類(lèi)9張圖片，每張樣本圖像都轉(zhuǎn)化成灰度圖像，其大小調(diào)整為128×128像素。圖4(b)是1種Brodatz紋理的9張圖片。FERET人臉數(shù)據(jù)庫(kù)由美國(guó)軍方FERET項(xiàng)目創(chuàng)建，此圖片庫(kù)包含大量人臉圖像，每張圖片中只含有一張人臉。人臉變化覆蓋表情、光照、姿態(tài)和年齡。數(shù)據(jù)庫(kù)包含1萬(wàn)多張人臉圖片，是人臉識(shí)別領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的人臉數(shù)據(jù)庫(kù)之一。從中選擇了100個(gè)人的圖片，每個(gè)人7張圖片，共700張圖片做實(shí)驗(yàn)，其中每張圖片調(diào)整為80×80像素的灰度圖片。圖4(c)是此數(shù)據(jù)庫(kù)中一個(gè)人的7張圖片。

圖4 預(yù)處理后樣本圖像

4.2 累加匹配特性曲線(xiàn)

累加匹配特性曲線(xiàn)常常用來(lái)展示生物特征識(shí)別系統(tǒng)性能。在計(jì)算CMC曲線(xiàn)時(shí)，先需要構(gòu)建一個(gè)“Gallery”圖庫(kù)集和一個(gè)“Probe”圖庫(kù)集?？梢栽谒玫哪硞€(gè)實(shí)驗(yàn)圖片庫(kù)中每類(lèi)圖片抽一張出來(lái)構(gòu)建此圖片庫(kù)的“Gallery”圖庫(kù)集，而此圖片庫(kù)中剩余的圖片構(gòu)成“Probe”圖庫(kù)集。比如實(shí)驗(yàn)中FERET圖片庫(kù)包含100個(gè)人的700張圖片，那么每個(gè)人挑一張圖片構(gòu)成包含100張圖片的“Gallery”圖庫(kù)集，而剩下的600張圖片構(gòu)成“Probe”圖庫(kù)集。CMC曲線(xiàn)的繪制方法在李子青博士撰寫(xiě)的一本人臉識(shí)別專(zhuān)著中有較詳細(xì)的介紹[26]，文獻(xiàn)[27]中也采用了CMC曲線(xiàn)來(lái)衡量識(shí)別系統(tǒng)的性能。

圖5(a)中，文中所提算法秩1識(shí)別率雖然比Copula plus Gabor算法[12]稍低，但是其曲線(xiàn)明顯在Copula plus Gabor算法上方，整體性能最好。Copula plus Gabor、廣義高斯模型[4]和正交Log-Gabor算法[25]性能接近，而Log-Gabor直方圖算法[24]在這幾種算法中只比Gabor算法性能稍好。在圖5(b)中，所提算法秩1識(shí)別率達(dá)到56.4%，是所有算法中最好的，而整個(gè)曲線(xiàn)也是明顯位于其它曲線(xiàn)上方。正交Log-Gabor算法性能比其它幾種算法都弱。在圖5(c)中，整體而言，六種算法性能差別都不太大，特別是文中所提算法，Copula plus Gabor[12]和廣義高斯模型[4]三種算法性能從CMC曲線(xiàn)上看很接近。Log-Gabor直方圖算法的性能比正交Log-Gabor算法性能稍差，而Log-Gabor直方圖算法的性能比Gabor算法性能稍好。比較以上三個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)，可以看出，所提算法比其它二種統(tǒng)計(jì)方法，即廣義高斯模型[4]和Copula plus Gabor[12]，性能還是要好。正交Log-Gabor由二個(gè)方向相互垂直的Log-Gabor濾波器構(gòu)成，其性能比Log-Gabor直方圖算法性能稍好。

圖5 各圖像數(shù)據(jù)庫(kù)的累加匹配特性曲線(xiàn)

4.3 正確識(shí)別率與訓(xùn)練樣本集大小的關(guān)系

一般來(lái)說(shuō)，圖像往往具有光照，角度和遮擋等變化，同一個(gè)人或物體，因?yàn)楣庹?，角度和遮擋等變化，可能?dǎo)致類(lèi)內(nèi)差別大于類(lèi)間差別，所以在構(gòu)建訓(xùn)練樣本圖像庫(kù)時(shí)，挑選的照片需要覆蓋圖像的各種變化，從而使得訓(xùn)練圖片盡可能體現(xiàn)圖像在不同環(huán)境下的特點(diǎn)。在測(cè)試正確識(shí)別率與訓(xùn)練樣本集大小的關(guān)系時(shí)，隨機(jī)從USPTex紋理庫(kù)、Brodatz紋理庫(kù)和FERET人臉庫(kù)中分別選擇1、2、3、4和5張圖片構(gòu)成它們各自的訓(xùn)練庫(kù)，各圖像庫(kù)中所剩下的為相應(yīng)的測(cè)試圖像集，例如從FERET圖庫(kù)中每個(gè)人隨機(jī)選擇2張圖片，共200張圖片，計(jì)算每張圖片的廣義高斯概率密度函數(shù)，然后計(jì)算剩下的400張圖片的廣義高斯概率密度函數(shù)，用這400張圖片的概率密度函數(shù)去比對(duì)訓(xùn)練用200張圖片的概率密度函數(shù)，從而得到正確識(shí)別率。試驗(yàn)重復(fù)5次，各次的平均識(shí)別率分別列在表1，表2和表3中。表1、表2和表3中顯示了隨著訓(xùn)練樣本的增加各算法識(shí)別率情況。整體而言，隨著訓(xùn)練樣本增加，各算法的識(shí)別性能還是明顯增加了。在表1中，看到，幾種算法識(shí)別率都不很高，這是因?yàn)檫@個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)是自然紋理圖片，同一類(lèi)圖片類(lèi)內(nèi)差別很大，而且這里用到的是灰度圖片，沒(méi)有色彩信息，所以識(shí)別率不高，在表2中也是有這種情況。表1中數(shù)據(jù)顯示所提算法在五種算法中基本上是最好的，然后Copula plus Gabor[12]次之，Log-Gabor直方圖[24]算法是最弱的。表2中數(shù)據(jù)是幾種算法在Brodatz紋理庫(kù)數(shù)據(jù)庫(kù)上測(cè)試而來(lái)，在該數(shù)據(jù)庫(kù)上，所提算法也顯示了其優(yōu)勢(shì)。表3中數(shù)據(jù)是在FERET人臉圖像庫(kù)數(shù)據(jù)庫(kù)上測(cè)試而來(lái)，該數(shù)據(jù)庫(kù)是一個(gè)在人臉識(shí)別方面應(yīng)用非常廣的數(shù)據(jù)庫(kù)，在該數(shù)據(jù)庫(kù)中，當(dāng)訓(xùn)練樣本比較少的時(shí)候，所提算法并沒(méi)優(yōu)勢(shì)，但當(dāng)增加訓(xùn)練樣本時(shí)，所提算法的識(shí)別率比其它幾種算法要好。實(shí)際中，為了讓訓(xùn)練樣本具有代表性，一般是每一類(lèi)圖像都多取幾個(gè)典型訓(xùn)練樣本，所以在實(shí)際中，所提算法還是具有優(yōu)勢(shì)。

表1 USPTex紋理數(shù)據(jù)庫(kù)上的平均識(shí)別(%)

表2 Brodatz紋理庫(kù)上的平均識(shí)別率 (%)

表3 ERET人臉庫(kù)上的平均識(shí)別率

5 結(jié)束語(yǔ)

圖像分布建模是圖像統(tǒng)計(jì)特征提取的一種方法，而圖像在變換域的分布建模比在像素域建模一般更加有效。由于自然圖像的頻譜具有非高斯性，故Log-Gabor變換比Gabor變換更能保持自然圖像原始頻譜特征。本文提出了基于Log-Gabor的廣義高斯模型圖像建模的算法。所提算法包括將圖像進(jìn)行不同方向和尺度下的Log-Gabor變換，對(duì)Log-Gabor的子帶變換系數(shù)采用廣義高斯模型進(jìn)行建模，得到代表圖像特征的概率密度函數(shù)和采用K-L距離函數(shù)計(jì)算概率密度函數(shù)之間的距離這樣幾個(gè)關(guān)鍵步驟。從相關(guān)實(shí)驗(yàn)中可以得出幾個(gè)結(jié)論：1)圖像Log-Gabor不同尺度和方向下的子帶系數(shù)具有強(qiáng)相關(guān)性；2)Log-Gabor函數(shù)比Gabor函數(shù)更適合進(jìn)行自然圖像統(tǒng)計(jì)建模；3)三個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)上的CMC曲線(xiàn)和識(shí)別率證實(shí)了所提算法比幾種相關(guān)的算法具有更好的識(shí)別性能。