超寬帶系統(tǒng)中基于稀疏恢復(fù)的TOA和DOA聯(lián)合估計(jì)方法*

韋 磊,蔣承伶,郭雅娟,徐江濤

(1.國網(wǎng)江蘇省電力有限公司，南京 210000；2.國網(wǎng)江蘇省電力有限公司電力科學(xué)研究院，南京 210008)

0 引 言

目前，在超寬帶通信系統(tǒng)中，到達(dá)時(shí)間(Time of Arrival,TOA)和波達(dá)方向(Direction of Arrival,DOA)的估計(jì)是一個(gè)熱點(diǎn)問題[1]。TOA和DOA聯(lián)合估計(jì)方法是從TOA中提取出DOA估計(jì)，由于超寬帶信號的高時(shí)效性，可以獲得較高精度的DOA估計(jì)。

壓縮感知(Compressed Sensing,CS)是文獻(xiàn)[2-3]中引入的一種新理論，它將信號感知和壓縮統(tǒng)一到單個(gè)任務(wù)中，利用非線性重構(gòu)算法從一組隨機(jī)線性投影中恢復(fù)出具有高概率的稀疏信號。除了信號重建和恢復(fù)[2-3]外，CS框架還被應(yīng)用于UWB通信系統(tǒng)中，用于信號檢測、信道估計(jì)和TOA估計(jì)[4-8]。本文提出了一種基于雙天線聯(lián)合稀疏表示框架的紅外超寬帶信號TOA和DOA聯(lián)合估計(jì)算法。將信號進(jìn)行頻域變換后，在稀疏表示框架中考慮TOA與DOA聯(lián)合估計(jì)問題。利用這一原理，首先采用聯(lián)合正交匹配追蹤(Joint Orthogonal Matching Pursuit,JOMP)算法對兩副天線的到達(dá)時(shí)延進(jìn)行估計(jì)，然后根據(jù)兩副天線的到達(dá)時(shí)延的差值來估計(jì)DOA參數(shù)。該算法能獲得自動匹配的TOA和DOA參數(shù)，無需信源數(shù)已知這一先驗(yàn)條件就能有效獲取高精度的TOA和DOA估計(jì)結(jié)果，且只需較粗略的網(wǎng)格。與借助旋轉(zhuǎn)不變性的信號參數(shù)估計(jì)技術(shù)(Estimating Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques,ESPRIT)算法、傳統(tǒng)的PM算法和矩陣束(Matrix Pencil,MP)算法相比，本文所提算法具有更好的參數(shù)估計(jì)性能。

2 信號模型

假設(shè)超寬帶系統(tǒng)中的發(fā)射信號為高斯脈沖信號的二階導(dǎo)數(shù)，并設(shè)每個(gè)發(fā)射信號都是通過直接序列二進(jìn)制相移鍵控(Direct Sequence Binary Phase Shift Keying，DS-BPSK)調(diào)制的短脈沖重復(fù)實(shí)現(xiàn)的，則超寬帶系統(tǒng)發(fā)射的傳輸信號的表達(dá)式如下：

(1)

式中：bj∈{-1,+1}和cn∈{-1,+1}分別表示被調(diào)制的二進(jìn)制數(shù)據(jù)符號序列和偽隨機(jī)序列，該序列可以實(shí)現(xiàn)多址通信；Tc是脈沖信號的重復(fù)周期；Ts是二進(jìn)制數(shù)據(jù)符號的周期；Nc表示單個(gè)二進(jìn)制數(shù)據(jù)符號的脈沖重復(fù)次數(shù)；p(t)是脈沖波形，由高斯脈沖的二階導(dǎo)數(shù)得到，

(2)

式中：Γ表示脈沖形成因子，主要由脈沖寬度決定。

考慮到一般情況下超寬帶信號會通過多徑信道傳輸，根據(jù)SV(Saleh-Valenzuela)模型，假設(shè)在多徑信道下，系統(tǒng)中發(fā)射信號的一個(gè)脈沖會變?yōu)槎鄠€(gè)多徑分量，且在接收陣列接收信號時(shí)這些分量會聚集為簇。現(xiàn)假設(shè)發(fā)射信號在通過多徑信道后產(chǎn)生K個(gè)簇，L個(gè)多徑包含在每一簇中，在超寬帶信道中，第k簇的信道沖激響應(yīng)模型表示如下：

(3)

令

βl(k)=αl(k)ejθl(k)

(4)

表示復(fù)數(shù)衰落的隨機(jī)幅度，則式(3)可簡化為

(5)

第k簇中陣列接收到的信號的時(shí)域形式可以根據(jù)發(fā)射信號s(t)和k簇信道沖激響應(yīng)h(k)(t)的卷積得到。根據(jù)式(1)和式(5)可得

y(k)(t)=s(t)*h(k)(t)+w(k)(t)=

(6)

式中：“*”為卷積運(yùn)算符號，w(k)(t)為第k簇信號的加性高斯白噪聲。轉(zhuǎn)換上式成頻域形式可得

Y(k)(ω)=S(ω)H(k)(ω)+W(k)(ω)=

(7)

式中：Y(k)(ω)、S(ω)、H(k)(ω)、W(k)(ω)分別表示y(k)(t)、s(t)、h(k)(t)、w(k)(t)的傅里葉變換。

對頻域接收信號在頻域等間隔采樣，采樣點(diǎn)數(shù)為N(N>L)，采樣間隔為Δω=2π/N，將超寬帶信號采樣為多個(gè)子帶進(jìn)行依次處理。接收信號采樣后，離散信號的頻域表達(dá)式為

Y(k)(ωn)=S(ωn)H(k)(ωn)+W(k)(ωn)=

(8)

式中：ωn=nΔω,n=0,1,…,N-1。上式可以簡化為以下向量形式：

yk=SEτβk+wk。

(9)

式中：yk=[Y(k)(ω0),Y(k)(ω1),…,Y(k)(ωN-1)]T∈N×1表示接收信號y(k)(t)的N點(diǎn)頻域等間隔采樣；S=diag([S(ω0),S(ω1),…,S(ωN-1)])是一個(gè)N階對角矩陣，其對角元素等于發(fā)射信號s(t)的N點(diǎn)頻域等間隔采樣值；Eτ∈N×L是一個(gè)時(shí)延矩陣，矩陣中包含信號的全部多徑時(shí)延信息；βk∈L×1包含第k簇的信道復(fù)數(shù)衰落的系數(shù)；wk=[W(k)(ω0),W(k)(ω1),…,W(k)(ωN-1)]T∈N×1是噪聲的頻域采樣向量；Eτ的矩陣構(gòu)成為

Eτ=[eτ1,…,eτj,…,eτL]。

(10)

式中：eτj=[1,e-jΔωτj,…,e-j(N-1)Δωτj]T。βk具體可表示為

(11)

現(xiàn)假設(shè)接收陣列距離信號源足夠遠(yuǎn)，即接收陣列和信號源的距離遠(yuǎn)大于陣元的間距，因此認(rèn)為信號以遠(yuǎn)場平行方式入射到接收陣列。圖1所示為陣列結(jié)構(gòu)拓?fù)?，超寬帶系統(tǒng)聯(lián)合估計(jì)信號的TOA和DOA值一般僅需要兩副接收天線。

圖1 陣列結(jié)構(gòu)拓?fù)?/p>

(12)

式中：d是陣列中兩副天線的間距，c是光速。由上式就可以估計(jì)出DOA角度，即

(13)

式中：l=1,2,…,L。因此，要想估計(jì)信號源的DOA角度就需要先對兩副天線的TOA進(jìn)行估計(jì)。下面給出TOA估計(jì)的具體過程。

假設(shè)陣列接收系統(tǒng)中兩副天線的頻域接收信號分別為Y1∈N×K和Y2∈N×K，根據(jù)上述數(shù)據(jù)模型，Y1和Y2的具體表達(dá)式為

Y1=SEτB+W1，

(14)

Y2=SEζB+W2。

(15)

式中：S同式(9)；B=[β1,…,βk,…,βK]∈L×K表示信道復(fù)數(shù)衰落的系數(shù)；N×K和分別表示兩副天線接收到的噪聲；Eτ和Eζ分別表示兩副天線的時(shí)延矩陣，

(16)

(17)

3 基于聯(lián)合稀疏恢復(fù)的TOA和DOA估計(jì)方法

在快拍數(shù)為1的情況下，重新表示兩副天線接收到的信號，分別為

y1=SEτβ+w1，

(18)

y2=SEζβ+w2。

(19)

式中：β=[β1,β2,…,βL]T∈L×1表示信道復(fù)數(shù)衰落系數(shù)，w1=[W1(ω0),W1(ω1),…,W1(ωN-1)]T∈N×1和w2=[W2(ω0),W2(ω1),…,W2(ωN-1)]T∈N×1分別是在單快拍數(shù)據(jù)下采集到的頻域噪聲向量。將時(shí)延矩陣Eτ和Eζ擴(kuò)展為一個(gè)完備字典E，該字典E中包含所有可能的TOA信息并且滿足即有

(20)

y1=SEh1+w1，

(21)

y2=SEh2+w2。

(22)

(23)

增強(qiáng)的稀疏表示形式為

y1=(E+E′Λ)ρ。

(24)

(25)

因此偏移向量v和ρ是聯(lián)合稀疏。令σ=Λρ為一個(gè)稀疏向量，因此離網(wǎng)稀疏公式可以表示為

(26a)

s.t.h=[ρT,σT]T，

(26b)

(26c)

(27)

(28)

在對兩副天線的時(shí)延都估計(jì)得到后，DOA估計(jì)值可由配對好的TOA之差得到，即

(29)

本文所提方法的主要步驟如下：

Step1 得到式(18)和式(19)中兩副天線的單快拍數(shù)據(jù)向量y1和y2。

Step2 構(gòu)造完備字典E，并將式(18)和式(19)分別轉(zhuǎn)化成式(21)和式(22)的稀疏表示形式。

4 復(fù)雜度分析

以復(fù)乘次數(shù)作為復(fù)雜度評判標(biāo)準(zhǔn)，在相同的條件下分析采用傳統(tǒng)CS算法和本文算法進(jìn)行TOA和DOA聯(lián)合估計(jì)的復(fù)雜度。對于本文方法，首先需要將發(fā)射信號和接收信號變換到頻域模型S、Y1和Y2，復(fù)雜度為O(N2+2N2K)；根據(jù)公式(24)，對完備字典E求導(dǎo)，復(fù)雜度為O(PN)；OMP算法的迭代過程需要O{2LP(N-L)+2L(L+1)[L(L+1)/4+4(L+2)(N-L)/3]}，因此算法總的復(fù)雜度為O{N2+2N2K+PN+2LP(N-L)+2L(L+1)[L(L+1)/4+4(L+2)(N-L)/3]}。同理，傳統(tǒng)CS算法的迭代過程需要O{LP′(N-L)+L(L+1)[L(L+1)/4+2(L+2)(N-L)/3]}，所以其總的計(jì)算復(fù)雜度為O{N2+2N2K+LP′(N-L)+L(L+1)[L(L+1)/4+2(L+2)(N-L)/3]}。

本文所提算法考慮了離網(wǎng)格情況，其網(wǎng)格數(shù)P?P′，所以計(jì)算復(fù)雜度低于傳統(tǒng)CS算法。

5 性能對比

定義信噪比

式中：y(t)表示天線的時(shí)域接收信號，w(t)表示接收信號時(shí)產(chǎn)生的加性高斯白噪聲。定義均方根誤差

假設(shè)脈沖形成因子為Γ=0.25 ns，超寬帶信號的平均發(fā)射功率為-30 dBm，脈沖信號的重復(fù)周期Tc=2 ns，每個(gè)符號的脈沖重復(fù)次數(shù)Nc=5，符號周期Ts=NcTc=10 ns。假設(shè)信號多徑數(shù)目為L=3，每一個(gè)多徑的復(fù)數(shù)衰落系數(shù)都是隨機(jī)產(chǎn)生的并且已知，且多徑幅度分別為β=[0.7,0.4e-jπ/2,0.2]T，3個(gè)多徑信號到達(dá)兩副天線的多徑時(shí)延與波達(dá)方向角度分別為(τ1,ζ1,θ1)=(0.313 ns,0.242 ns,10°),(τ2,ζ2,θ2)=(0.462 ns,0.333 ns,20°)，(τ3,ζ3,θ3)=(0.628 ns,0.557 ns,30°)，信道內(nèi)的噪聲都是加性高斯白噪聲。假設(shè)對天線接收信號進(jìn)行N=64點(diǎn)頻域采樣，離網(wǎng)格字典中的網(wǎng)格間隔為0.01 ns。

圖2和圖3給出了在不同信噪比條件下本文所提算法與矩陣束方法、PM、ESPRIT算法、IST算法、LASSO算法以及傳統(tǒng)壓縮感知算法的TOA和DOA估計(jì)性能變化，可以看出，本文所提算法相較于其他算法具有更高的TOA和DOA估計(jì)性能。

圖2 不同算法TOA估計(jì)RMSE性能對比

圖3 不同算法DOA估計(jì)RMSE性能對比

圖4和圖5給出了在不同信噪比條件下，當(dāng)多徑數(shù)變化時(shí)本文所提算法估計(jì)性能變化。從圖4和圖5可以看出，隨著多徑數(shù)的增大，本文所提算法的TOA和DOA估計(jì)性能均降低。原因在于當(dāng)多徑數(shù)增大時(shí)，信號之間的相互干擾就會增強(qiáng)，進(jìn)而導(dǎo)致了算法的估計(jì)精度下降。

圖4 本文所提方法在不同多徑下的TOA估計(jì)RMSE性能對比

圖5 本文所提方法在不同多徑下的DOA估計(jì)RMSE性能對比

6 結(jié)束語

本文提出了超寬帶系統(tǒng)中一種基于稀疏恢復(fù)的TOA和DOA聯(lián)合估計(jì)方法。該方法首先將接收信號變換到頻域，考慮信號TOA和DOA離網(wǎng)格情況建立參數(shù)化稀疏模型，在稀疏表示框架下，經(jīng)過聯(lián)合稀疏恢復(fù)后，利用JOMP算法對信號到達(dá)兩副天線的TOA進(jìn)行估計(jì)，最后根據(jù)TOA與DOA的關(guān)系計(jì)算信號的DOA估計(jì)。所提算法解決了二維參數(shù)的配對以及離網(wǎng)格信號參數(shù)估計(jì)問題，具有較高的參數(shù)估計(jì)性能。仿真結(jié)果表明，所提算法在單快拍條件下可以獲得較好的參數(shù)估計(jì)性能，且估計(jì)性能優(yōu)于傳統(tǒng)的PM算法、矩陣束方法、IST算法、LASSO算法和傳統(tǒng)基于稀疏表示的方法。

下一步將考慮非同步信號接收的情況，針對異步效應(yīng)消除的問題展開研究。