崖腔型懸崖的穩(wěn)定性估算*

張年學 盛祝平 李守定

(①中國科學院地質與地球物理研究所，中國科學院頁巖氣與地質工程重點實驗室，北京 100029，中國)

(②德州農(nóng)工大學埃爾帕索農(nóng)業(yè)生命科學研究中心，德州 79927，美國)

0 引 言

我國山地與丘陵面積約占全國面積三分之二，沉積盆地眾多，懸崖廣泛分布，懸崖崩塌失穩(wěn)事故經(jīng)常發(fā)生，對全國各地懸崖穩(wěn)定性分析評價的研究已不下百處，分析計算方法百花齊放，不少研究者針對具體情況建立了多種極限平衡法(如陳洪凱等，2004；黃達等，2007，楊志等，2016；周云濤等，2017)。其他數(shù)值模擬的方法有：建立在塊體分析基礎上的離散元法(孫琪皓等，2021)、擴展有限元法(鄭安興等，2013)、有限差分(FLAC3D)和塊體離散元(3DEC)法(劉明星等，2016，黎晨等，2017；蘭俊等，2018；高相波等，2020)、基于層次分析法的模糊評判(董好剛等，2010)、灰色聚類綜合評價法(謝全敏等，2002)、RHRS系統(tǒng)方法(崔志強等，2020)、斷裂力學法(陳洪凱等，2009，2010a；王林峰等，2013，2014)、懸臂梁的彈性力學解等(于明明等，2012)。Hayakawa(2013)研究了日本基貢瀑布因跌水沖刷形成崖腔，用懸臂梁模型進行穩(wěn)定性分析，以該模型導出的崖腔深度公式計算了幾種情況下的抗拉強度的崖腔深度，崖腔深度與實際情況相差很大。由于未觀測到懸崖體的裂縫及其深度，于是只有根據(jù)計算結果假設垂直裂縫的深度達到懸崖高度的80%～90%、才基本符合所取的實際巖石抗拉強度。此外還作出了可能的發(fā)展預測。Tsesarsky et al.(2005)對一個高度為34m的崖壁進行了穩(wěn)定性分析，該懸崖由密集的水平層理和3組垂直節(jié)理橫切而成，上三分之一懸崖，相對坡腳突出11m，認為在坡腳產(chǎn)生偏心荷載，導致巖體內拉應力增加，在懸崖背面形成了“拉裂縫”，但與懸崖表面距離不確定，采用連續(xù)二維有限元(FEM)和二維離散元方法(DEM)的隱式非連續(xù)變形DDA方法研究了不同幾何形態(tài)下巖壁的穩(wěn)定性，以及不同位置(5m，10m，25m以及5m加動力作用)張裂縫的不連續(xù)變形分析。在數(shù)值分析結果的基礎上，采用DDA法建立錨桿加固模型，研究錨桿加固對邊坡變形的影響。Paul Schlotfeldt et al.(2018)對崖腔型懸崖分區(qū)用地質力學建模結合離散裂縫網(wǎng)絡(DFN)進行分析，并用代表性巖體驗證巖體強度，由于數(shù)值模型顯示，懸崖可能會破壞是由于剪切-拉伸(shear-tensile)作用聯(lián)合失效機理，即剪切破壞傾向于在較低的三分之一的懸垂巖石中占主導地位，而拉伸破壞占主導地位是在上三分之二的邊坡，并用極限平衡(LE)模型來驗證破壞機理假設。分析上述文獻中，多數(shù)是非崖腔型懸崖峭壁穩(wěn)定性分析計算方法，這類方法主要包括了滑移型破壞與傾倒型破壞的崩塌，數(shù)值模擬的應力、位移與塑性區(qū)分析，以及定性與半定量的可靠度與風險評估等方法。崖腔型懸崖破壞分析法包括部分極限平衡法和斷裂力學法，它們都考慮在坡頂后部存在一條裂隙的情況，并設定裂隙中存在地下水壓力以及地震作用力。但是節(jié)理裂縫的定位較易，其發(fā)育深度或長度以及內摩擦角在許多情況下很難準確測得，雖然從危險性角度出發(fā)、假設一般情況與暴雨情況下的充水高度為裂隙深度的1/3和2/3(陳洪凱等，2004)，但這種假設可靠性不高。由于實際地震力作用方向與入射角不清，對地震力的水平作用假設為近似估算，其精度無法確定。

文章基于懸崖體的工程地質調查與力學參數(shù)分析，提出一種有別于彈性力學懸臂梁與傳統(tǒng)的懸臂梁公式不同模型的解析方法，將崖腔型懸崖近似為懸臂梁，根據(jù)靜水壓三角形分布原理計算張力矩與壓力矩，采用力矩平衡原理計算總張力，張力線性分布原理計算最大張應力，由于巖體的抗拉強度遠小于抗剪強度，提出懸崖坡頂或裂縫底部拉張破壞模式與其他方法計算結果分析比較，綜合評估崖腔型懸崖的穩(wěn)定性。

1 分析計算模型

1.1 無裂縫懸臂梁的最大張應力

圖3a為一個崖腔型懸崖示意圖，它可視為一個懸崖體高(厚)度為H、崖腔深度為L的懸臂梁。取在崖腔處的垂直面為Y軸，在懸臂梁厚度的平分線為X軸、一般認為X軸是一條應力為0的中線，中線以上受拉力作用，中線以下受壓力作用，我們假設平分線上拉應力呈三角形分布，即頂面拉應力最大，平分線處為0，平分線下、對應壓應力的反力三角形則方向相反，它們構成一對平衡力偶。懸崖下表面壓應力最大。因此懸崖若要發(fā)生破壞，首先會在崖腔盡頭垂直面的頂部最大拉應力處拉裂巖層，一旦發(fā)生頂部拉裂，剩余部分不能承受更大的張力，懸崖即發(fā)生破壞。在相應的圖3b中，設應力中線為X軸，崖腔最深處的垂直線為Y軸，巖石容重為γ，崖腔深度為L。取長度為L，厚度為dh的微分單元，則該單位寬度微分單元的重量為：

dG=γLdh

(1)

由于X軸中線把懸崖厚度劃分為上下兩部分，但懸崖重力是由上下兩部分產(chǎn)生，為分析方便起見，上部微單元應同時代表對應下部單位寬度微單元的重力，以表示上下兩部分的重力，則有：

dG=2γLdh

(2)

這個微單元重力對坐標原點的旋轉力臂長為OA=S，可分解為對X軸的力臂長為L/2，有相應的微重力矩dmg=dG×L/2，對Y軸力臂為h，微單元重力對旋轉力臂要取得平衡，必須在微單元中點A的X方向產(chǎn)生拉力，微拉力的大小為：

dp=dG×tanα

(3)

(4)

將式(2)和式(4)代入式(3)有

(5)

此拉力dp的張力矩與微重力矩是等價的，即相等，有微分單元的張力矩：

dmt=h×dp=γL2dh

(6)

對X軸以上高度h處的張力矩進行如下積分：

(7)

積分得到張力區(qū)高度h處的張力矩為：

mth=γhL2

(8)

當式(4)h=H/2時，最大張力矩為：

(9)

設下部總壓應力為Ps，根據(jù)應力三角形分布假設，合力作用中心在H/2的2/3處，因此有壓應力的合力臂為：

Sd=(H/2)×2/3=H/3

(10)

總壓應力Ps的壓力矩為：

(11)

根據(jù)力矩平衡原理，設上部拉力矩逆時針旋轉為正，下部反壓力力矩順時針方向為負，兩者方向相反，處于平衡狀態(tài)或相等，即md+(-mt)=0，p=ps，解出單位寬度上的總拉力或總壓力為：

(12)

因為推導是基于極限平衡原理，把巖體作為剛體，不考慮巖體變形，微單元之間沒有相對位移，所以這個力系可認為微單元之間摩擦力為0，懸臂固定端Y軸面的剪力為0。(巖體實際并非剛體，所以本文所得公式仍為近似公式)。

下面求懸崖頂部最大拉應力。前面拉應力與壓應力呈三角形線性分布，假設與水壓力呈三角形線性分布一樣，在深度h點處的水壓力Ph與深度呈線性關系增加，有直線方程：

Ph=a×h

(13)

式中：a為斜率。則單寬微分高度dh面積上承受的微張力與計算水壓力一樣可表示為：

(14)

進行如下積分：

(15)

得到從0到H/2高度的單位寬度的總拉應力為：

(16)

(17)

根據(jù)式(13)，在高度h處的張應力為：

(18)

代入總張應力式(12)的P得到h高度的應力：

(19)

當h=H/2時，ph=pmax，即是最大張應力：

(20)

用抗拉強度σt代替最大張應力時、可得到懸崖發(fā)生破壞的崖腔深度：

(21)

1.2 懸臂梁有裂縫的最大張應力

考慮最不利情況：設在崖腔深度處的垂直坐標線上，在崖頂面發(fā)育有平行巖壁的垂直裂縫，裂縫深度為Hl，裂縫可能在降雨條件下充水，設裂縫中水的深度為Hw，Hw≤Hl，則裂縫單寬面積上的總水壓力為：

(22)

式中：γw為水的容重。由于總水壓的作用中心在2Hw/3處，距裂縫底高度為Hw/3。因為裂縫底部才承受懸臂崖體的張力，所以應力為0中線應下移，即坐標原點下移距離為(H-Hl)/2。單寬面積上裂縫中的總水壓力對坐標原點的張力臂為：

(23)

裂隙水的張力矩為：

mw=Pw×Sw

(24)

同前一樣，計算懸崖體產(chǎn)生的張力矩，對式(7)進行如下積分：

(25)

得到張力矩為：

(26)

式中：γ=γm(見后節(jié)式(37))。懸臂崖在懸崖力矩mt與水壓力矩mw的雙重作用下，應與總壓力的合力矩md相等，即：

md=mt+mw

(27)

在應力分布呈線性增加的假設下，對移動后的坐標原點懸崖的壓力臂為：

(28)

同前一樣，設總壓應力為P，總壓力矩：

(29)

將式(16)、式(18)與式(20)代入式(19)，解出總張應力：

(30)

在假設水壓力呈線性增加情況下，仿照前面方法、可得水壓力增加的斜率為：

(31)

最大張應力：

(32)

代入P，裂縫底部的最大張應力為：

(33)

若用抗拉強度σt代替最大張應力Pmax時，可得裂縫中有水壓力下懸崖破壞的臨界崖腔深度：

(34)

當無裂縫時Hl和Hw為0，式(33)和式(34)變?yōu)?20)和式(21)。若已知崖腔深度L，求設定裂縫中水的深度條件下，求發(fā)生破壞的裂縫長度，可以得到如下公式：

(35)

在已知裂縫深度和抗拉強度情況下，用式(37)算出γm代替式(34)中γ，計算出Pmax，用式(36)評價懸崖體的穩(wěn)定性。若已知巖體或巖石的抗拉強度，但要求崖腔破壞的裂縫深度和崖腔深度，則要進行迭代計算，步驟是用式(34)和式(37)計算相應裂縫深度的容重和崖腔深度L，然后代入式(33)計算出相應的張力，直到張應力P等于抗拉強度時，即是發(fā)生破壞的裂縫深度和崖腔深度。

2 穩(wěn)定性計算方法

定義崖腔型懸崖的安全系數(shù)為巖石或巖體的抗拉強度σt與懸崖頂部最大拉應力Pmax之比：

(36)

用以評估崖腔型懸崖的穩(wěn)定性。

由于實驗室用巖塊進行試驗，巖塊抗拉強度往往大于巖體抗拉強度，而巖體的抗拉強度一般難于獲得，尤其是懸崖體暴露于空氣中，受各種營力風化作用，以及發(fā)育有構造節(jié)理或卸荷裂隙，懸崖體的強度一般都是風化巖石的強度，所以懸崖巖體的強度究竟作為巖石強度或巖體強度是一個問題。因此必須對懸崖體進行詳細工程地質調察，進行節(jié)理裂隙的產(chǎn)狀與跡長和間距測量，若懸崖頂部非常完整，無風化，砂巖無節(jié)理裂隙，可采用接近巖塊的抗拉強度；若發(fā)育細微節(jié)理裂隙，而且風化，則應對巖塊強度進行折減，折減多少，視情況與經(jīng)驗而定。

若懸崖頂部存在平行巖壁的水平卸荷裂隙或應力松弛裂隙，或構造節(jié)理等裂縫，應測量其分布與間距密度深度等，若在崖腔發(fā)展范圍內，這部分裂縫巖體已不能承受拉應力，應把這個深(厚)度的巖體重量當做均布荷載壓在裂縫深度以下的懸臂巖體上，可用如下增加巖石容重的方法，使裂縫深度以下的懸崖體與整個懸崖體的重量相等。假設裂縫深度為Hl，增加的容重為γ×Hl/(H-Hl)，懸臂崖體的容重γm為：

(37)

此時式(33)、式(34)和式(35)中的γ用γm代替。

(38)

對于砂泥巖多層互層這種復雜情況，要根據(jù)各層具體抗拉強度情況進行懸崖體穩(wěn)定性判斷，因為應力是線性分布，懸崖體頂部受張力最大，計算的也是頂部的最大張應力，是頂部最先發(fā)生張破壞。若懸崖頂部是砂巖層，則應取用砂巖抗拉強度，因為一旦砂巖被拉破壞，產(chǎn)生了裂縫，下部泥巖將受到更大的拉應力，繼續(xù)的破壞不可避免地進行下去。若崖頂面是泥巖，則應采用泥巖抗拉強度，若泥巖抗拉強度小于最大張應力，泥巖發(fā)生該層厚度長度的張裂縫。這時就要計算泥巖破壞后的縫底最大張應力，看是否大于砂巖層的抗拉強度，若小于抗拉強度，則懸崖體穩(wěn)定，若大于抗拉強度則破壞將繼續(xù)下去，這樣分層對最大張應力與分層巖石抗拉強度進行比較來判斷分層是否破壞，最終來確定懸崖體的整體穩(wěn)定性。

3 最大張應力與破壞關系分析

4 算 例

4.1 模型認識算例

=224.695kPa

=347.259kPa

此例在上述巖體容重和懸崖厚度條件下，計算崖腔深度從1m到7m、在懸崖體應力中線以上厚度為3.5m的張應力三角形分布如圖5所示。圖5表明張應力隨應力面高度增加而線性增加，隨崖腔深度增大而線性增大，但在同一高度的情況下，張應力增大的幅度是隨高度的增加而增大的。圖6為上述3種抗拉強度的崖腔深度與安全系數(shù)的關系曲線，安全系數(shù)與崖腔深度的變化關系如圖6所示，呈下彎曲線關系，在崖腔深度較小時，安全系數(shù)高且變化很大，隨著崖腔深度增加安全系數(shù)遞減趨緩，在崖腔深度達4.58m、4.15m和3.55m時，崖腔處于極限平衡狀態(tài)。

4.2 比較算例

針對Hayakawa(2013)對基貢瀑布懸崖體的部分計算，引用了傳統(tǒng)懸臂梁公式計算，與提出的新公式進行結果對比。以1986年的一次大于8000m3崩塌為例(見圖7中崩塌體C)，由圖可知；1986年崩塌后(剖面中虛線)，整個懸崖高97m，上懸崖高50m，曲線分區(qū)表示了懸崖高度和計算預測的垂直裂縫深度之比(α)。裂縫懸崖為安山巖，抗壓強度達2550kg·cm-2文中取其約1/25的102kg·cm-2為抗拉強度，容重為25.497kg·cm-2用以檢查導致崩塌的最小崖腔深度。崩塌體高20m，崖腔深10m，原文：“在不存在裂縫情況下，(其文公式)計算崩塌巖體的臨界崖腔長度為51.1～114.3m，與實際崩塌崖腔長度10m相比，估計的臨界崖腔長度又過長。導致崩塌，裂縫長度接近80%是必要的”。(本文注：由于并未觀測到裂縫及其深度，這個裂縫深度是傳統(tǒng)懸臂梁公式估算的，即該作者認為必須存在裂縫，裂縫長度是懸臂高度的80%，即裂縫長約16m，懸臂體只有4m與母巖連接，若按其歸一化崖腔深度公式計算崖腔深度10m的歸一化裂縫深度，將得出歸一化裂縫深度為懸崖體厚度20m的86%，超過所示的80%，即裂縫深度為17.4m)。應用本文式(21)計算，無裂縫情況下臨界崖腔長度為35.8m，有裂縫情況下，式(21)中γ用式(38)計算，滿足崖腔深10m得到裂縫長度為14.46m，均比該文公式小。

4.3 與彈性力學解析法的對比算例

彈性力學簡支梁的多項式解法(于明明等，2012)，要對坐標進行變換，坐標原點從簡支梁中點移到端點、使簡支梁公式變成懸臂梁公式，簡支梁受均布載荷時，簡支梁半長為l，厚度為h，其坐標原點是取在簡支梁厚度中線h/2與半長l處，即簡支梁的重心處。徐芝綸(2006)在書中指出，求矩形梁受純彎曲時的應力分量σx“對于長度l遠大于深度h(h為梁的高度或厚度)的梁，其解答σx是有實用價值的；對于長度l與深度h同等大小的所謂深梁，這個解答是沒有什么實用價值的”，也就是說，計算結果不符合實際或誤差很大。而這個實例正好是后者，不但如此，該文計算還錯誤，我們將更正其計算結果與本文方法進行對比，證明本文計算結果與彈性力學解法的差別。應該特別指出的是，懸崖體的高度h往往大于崖腔深度L，因此用彈性力學懸臂梁的已有公式得出的結果不適用。

該危巖體位于四川省蒼溪縣三清村，危巖體寬10m，(懸臂)高H=2.5m，厚度L=0.8m(圖8)。

下面段落引自于明明等(2012)：依據(jù)彈性力學理論，懸臂梁的應力分量方程為(本文注：下式應為簡支梁應力分量方程，徐芝綸(2006)《彈性力學》42頁f、g、h式，下面的引用公式非本文導出公式，因此另行編號。于明明等(2012)引用徐芝綸(2006)中公式用(i)、(ii)等表示，徐芝綸(2006)中公式用(A)、(B)、(C)、(D)、(E)表示：

-2By2+6Hy+2K

(i)

=-x(3Ay2+2By+C)-(3Ey2+2Fy+G)

則應力分布的邊界條件為：

(σy)y=-h/2=-q

(σy)y=h/2=0

(σxy)y=0=0

(σxy)y=±h/2=0

(ii)

將邊界條件(ii)代入應力方程(i)，可得各個常系數(shù)分別為：A=-2q/h3，B=0，C=3q/2h，D=-q/2，E=0，F(xiàn)=0，G=0，H=-q/10h，K=0。(本文注：徐芝綸(2006)中對簡支梁H=ql2/h3-q/10h)，依據(jù)結構力學懸臂梁應力分布圖9(正值表示拉應力，負值表示壓應力)，由于巖體抗壓強度遠遠大于抗拉強度，所以懸臂梁點(L，-h/2)最容易受拉破壞。將該點處的應力分量代入方程(i)，計算得：

σx=0.8072q

σy=0

τxy=0

本文注：據(jù)徐芝綸(2006)中設梁不計算體力，q為梁的均布荷載，上述計算未列出計算過程，不知如何得出上述值。因為式(i)為簡支梁公式，根據(jù)徐芝綸(2006)《彈性力學》上冊43頁導出如下公式(即將上述常數(shù)代入式(i)導出)：

(A)

(B)

(C)

由于簡支梁不能用于計算懸臂梁，必須把坐標原點從簡支梁中線點向左移動到懸臂梁的懸端中線點，因此式(i)第1、2項x=0，把式(i)代入式(ii)中倒數(shù)第2式，在積分限-h/2到h/2對縱坐標進行積分(略計算過程)才能得上述常系數(shù)H=-q/10h，其余系數(shù)均與簡支梁相同。將系數(shù)H與K代入式(A)，得到懸臂梁的水平應力為：

(D)

取該懸崖懸端參數(shù)x=L=0.8m，h=2.5m，y=h/2=2.5/2=1.25m，代入式(D)計算σx

=-0.3072q+0.5q-0.3q=-0.1072q

(E)

σx負值表示張力。于明明等(2012)得到σx=0.8072q，顯然不對且偏大了。式(B)和式(C)代入上述x、y與h值才能得出結果為0。

自然工況下的穩(wěn)定性計算與分析(本文注：于明明等(2012)采用懸崖體寬10m的體積計算W)：

(iii)

(iv)

于明明等(2012)：依據(jù)材料力學理論，點(L，h/2)的最大主應力與最小主應力分別為：

(v)

(vi)

將σx=0.8072q、σy=0、τxy=0代入上式得

σ1=0.8072qσ3=0

τmax=(σ1-σ3)/2=0-(-0.1072q)/2=0.0536q

=0.0536×51 kN=2.7336kN=2.7336kPa

由上述計算結果可見，于明明等(2012)不僅計算錯誤，也與正確的懸臂梁計算結果相差很大，證明徐芝綸(2006)認為“深梁”是不適用彈性力學公式的建議是正確的。

5 結 論

為估算崖腔型懸崖的穩(wěn)定性，假設懸崖為懸臂梁模型，并設梁的中線拉壓應力為0，連接母巖端的上下部分各受拉壓應力，假設梁由無窮多的微分梁組成，相對坐標原點轉動，對微分梁進行積分，并假設產(chǎn)生的拉壓應力與直壁面水壓相同的線性分布，末端最大，導出最大應力公式。同時對存在裂縫情況以及裂縫充水條件下也進行了相應假設的推導。對上部產(chǎn)生裂縫層的巖體，作為均布載荷增加容重，對砂泥巖互層采用等效綜合容重，對砂泥巖互層情況采用最大張應力逐層與強度比較分析確定穩(wěn)定性，因此本文方法對崖腔型懸崖穩(wěn)定性評價有較為廣泛的應用條件。

崖腔型懸崖體的破壞取決于多種因素，即與巖石或巖體抗拉強度、容重、懸崖體厚度、崖腔深度幾個因素在懸崖體頂部產(chǎn)生的最大張應力是否達到抗拉強度有關，同時闡明了崖腔發(fā)展與抗拉強度、懸崖體厚度、容重的關系。因此評價崖腔型懸崖體的穩(wěn)定性，必須強調工程地質調查與試驗工作，要獲得較為可信的穩(wěn)定性評價結果，要求對懸崖體現(xiàn)場巖石取樣進行抗拉強度與容重測試，結合工程地質研究、做出巖體強度的合理取值，進行現(xiàn)場取巖樣做巖塊的抗拉強度與容重試驗，并根據(jù)巖體風化程度、巖塊強度與巖體節(jié)理裂隙發(fā)育程度、長度、間距等給出巖體的抗拉強度，在多層互層情況下、必須測定各層的容重。

關于巖體抗拉強度確定還是一個極不成熟的方面，初步建議如下：一般來講，若巖體沒有風化，沒有節(jié)理裂隙，巖體完整，可采用現(xiàn)場巖塊抗拉強度進行評估；若巖體微風化，發(fā)育少量與懸崖面平行的微細節(jié)理裂隙，采用折減系數(shù)為0.7～0.9；若在層理間發(fā)育有細到中等這種節(jié)理裂隙，但長度不切過沉積層理，可選擇折減系數(shù)為0.3～0.7；若巖體中等風化，發(fā)育細到中等節(jié)理裂隙且切層，折減系數(shù)取0.1～0.3。另外、懸崖體下的弱層性質也應進行研究，最好進行風化速度長期野外觀測，用式(21)計算懸崖體破壞的崖腔深度，進行懸崖體破壞時間估算。由此可知懸崖體的穩(wěn)定性估算，尚處于粗略評估階段。盡管如此，仍然要強調、崖腔型懸崖穩(wěn)定性評估、是時下風景區(qū)的熱門懸崖游、建筑與線路工程地質必須進行的工作。

文章提出的懸臂梁微分物理模型簡便易用，證實了彈性力學懸臂梁方法厚長比為“深梁”的計算結果不符合實際，同時新公式比傳統(tǒng)懸臂梁公式計算最大張應力要大一倍。若與其他方法同時使用，綜合評價可能會得到比較可靠的結果。