“雙減”背景下單元設(shè)計(jì)的課堂測評實(shí)踐與思考
——以“函數(shù)概念與性質(zhì)的應(yīng)用”復(fù)習(xí)課為例

浙江省富陽中學(xué) (311400) 陳 暉浙江省杭州市余杭區(qū)教育發(fā)展研究學(xué)院 (311100) 曹鳳山

1 課堂測評的背景分析

2021年7月《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》(以下簡稱“雙減”政策)公開發(fā)布.“雙減”政策核心目的是減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，讓學(xué)科教育回歸校園，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展和健康成長.“雙減”政策明確了9個(gè)“嚴(yán)禁”和15個(gè)“不得”，重點(diǎn)涉及作業(yè)布置、考試實(shí)施、教育教學(xué)質(zhì)量的內(nèi)容[1]. “雙減”政策減的是學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，但絕對不能以降低教學(xué)質(zhì)量、犧牲測評效果來實(shí)現(xiàn)“雙減”目標(biāo).雖然“雙減”政策只針對義務(wù)教育階段，還未在高中階段具體實(shí)施，但高中階段的教師應(yīng)以此為契機(jī)，重新審視教學(xué)效果，提高教學(xué)質(zhì)量，落實(shí)核心素養(yǎng).

2 課堂測評的意義研究

以學(xué)科大概念為核心的單元設(shè)計(jì)“以終為始”，強(qiáng)調(diào)預(yù)期結(jié)果，鼓勵(lì)學(xué)生依據(jù)核心概念進(jìn)行思考，實(shí)現(xiàn)掌握知能、理解意義、學(xué)會遷移的三種目標(biāo).基于單元設(shè)計(jì)的課堂測評將分?jǐn)?shù)的獲得融入素養(yǎng)培養(yǎng)的過程之中，實(shí)現(xiàn)“點(diǎn)→線→面”遞進(jìn)式考查，引導(dǎo)學(xué)生整合概念、尋找知識共性、提煉知識本質(zhì).

課堂測評有別于傳統(tǒng)課后作業(yè)和測驗(yàn)考試.課堂測評以測試為主、以講評為輔，在課堂內(nèi)完成整個(gè)測評流程.課堂測評的核心目的是改變過去“部分+部分=整體”的知識組織形式，代之為“整體-部分-整體”的知識建構(gòu)方式.教師通過自身建立的知識間的聯(lián)系，從知識點(diǎn)的教學(xué)轉(zhuǎn)為核心概念的理解和認(rèn)識，將零散的知識進(jìn)行整合實(shí)現(xiàn)“整體”意識.學(xué)生在課堂測評過程中，逐層體會知識點(diǎn)的“形散神不散”，從簡單概念理解到基本性質(zhì)應(yīng)用再到核心概念理解，實(shí)現(xiàn)遷移的最終目標(biāo).

3 課堂測評的內(nèi)容選擇

課堂測評的內(nèi)容以知識概念為明線，以能力素養(yǎng)為暗線，關(guān)注學(xué)科知識技能的結(jié)構(gòu)化，突顯概念本質(zhì)和學(xué)科實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)通過基礎(chǔ)性知識技能進(jìn)行意義建構(gòu)的目標(biāo).

函數(shù)是描述現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，在解決實(shí)際問題中發(fā)揮重要作用[2].函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的四條主線之一，并且是必修課程的第二個(gè)主題，包含函數(shù)概念與性質(zhì)，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，函數(shù)應(yīng)用等四個(gè)單元內(nèi)容.函數(shù)概念與性質(zhì)單元包括：函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)的形成與發(fā)展(屬于選學(xué)內(nèi)容，不作為考試要求).

函數(shù)概念與性質(zhì)單元學(xué)習(xí)意義重大.必修課程的主題一預(yù)備知識的最后一個(gè)單元內(nèi)容為從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式，并且本單元又是主題二的第一單元內(nèi)容，承擔(dān)著承上啟下的作用.高中階段數(shù)學(xué)知識相比初中階段要抽象，更深層次地揭示概念本身.例如在初中用變量之間地依賴關(guān)系描述函數(shù)，但在高中運(yùn)用用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，強(qiáng)調(diào)對應(yīng)結(jié)果而非對應(yīng)過程，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).高中階段數(shù)學(xué)知識的連貫性同時(shí)體現(xiàn)于單元設(shè)計(jì)之中，函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、最大值、最小值、奇偶性、周期性)概念的定義和幾何意義的了解為后期學(xué)習(xí)具體函數(shù)指明研究方向，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)中所蘊(yùn)含的運(yùn)算規(guī)律，能夠建立簡單函數(shù)模型，解決簡單的實(shí)際問題.

4 課堂測評的實(shí)錄展示

本次課堂測評以高三復(fù)習(xí)課為模式，結(jié)合課堂練習(xí)、合作交流為基本活動(dòng)進(jìn)行開展.根據(jù)函數(shù)概念與性質(zhì)的單元學(xué)習(xí)內(nèi)容，一共安排兩課時(shí)五階段進(jìn)行實(shí)際教學(xué)，如表1所示.

表1 單元設(shè)計(jì)思路

4.1 課前檢測 理解概念

例1 下列圖形中可以表示為以M={x|0≤x≤1}為定義域，以N={y|0≤y≤1}為值域的函數(shù)的是( ).

A. B.

C. D.

解析：選項(xiàng)A，函數(shù)定義域?yàn)镸，但值域不是N；選項(xiàng)B，函數(shù)定義域不是M，值域?yàn)镹；選項(xiàng)D，集合M中存在x與集合N中的兩個(gè)y對應(yīng)，不能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系.故選C.

設(shè)計(jì)意圖：用圖象法表示函數(shù)，強(qiáng)調(diào)函數(shù)圖象的作用，從圖象中更直觀地理解函數(shù)的實(shí)數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系，能夠通過圖形直觀認(rèn)識數(shù)學(xué)問題、歸納數(shù)學(xué)概念，達(dá)到直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的水平一層次.

例2 已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由表2-1，表2-2表示.

x123f(x)211

x123g(x)321

則f(g(1))=；當(dāng)g(f(x))=2時(shí)，x=.

解析：由表格的對應(yīng)關(guān)系可知，f(g(1))=f(3)=1；當(dāng)g(f(x))=2時(shí)，則f(x)=2，此時(shí)x=1.

設(shè)計(jì)意圖：表示函數(shù)的方法有三種：圖象法、列表法、解析法.列表法是以表格形式呈現(xiàn)出實(shí)數(shù)之間的對應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)符號表達(dá)與抽象定義之間的聯(lián)系，能夠在熟悉的情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，達(dá)到邏輯推理的水平一層次.

例3 下列四組中，表示同一函數(shù)的是( ).

A.f(x)=lnex，g(x)=elnx

解析：通過簡單運(yùn)算，分析構(gòu)成函數(shù)的三個(gè)要素(定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域)，易得選C.

設(shè)計(jì)意圖：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域是構(gòu)成函數(shù)的三要素，幫助學(xué)生從實(shí)數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系理解函數(shù)概念，考查學(xué)生對概念本質(zhì)的理解，達(dá)到數(shù)學(xué)抽象的水平一層次.四個(gè)選項(xiàng)都必須通過一系列的運(yùn)算性質(zhì)才能化簡轉(zhuǎn)化，重點(diǎn)考查指數(shù)和對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算的水平一層次.

以上3例屬于課前檢測，從函數(shù)三個(gè)不同的表示方法為切入點(diǎn)，喚醒學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)知，強(qiáng)調(diào)對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用，檢測指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，為課堂的后續(xù)教學(xué)奠定基礎(chǔ).

4.2 性質(zhì)求解 落實(shí)基礎(chǔ)

例4 (2021年新高考Ⅰ卷第15題)函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為.

設(shè)計(jì)意圖：以含絕對值函數(shù)的形式考查分段函數(shù)的性質(zhì)，從具體的數(shù)學(xué)情境出發(fā)，讓學(xué)生探究求解函數(shù)最小值的策略與方法，理解單調(diào)性的作用與意義，達(dá)到邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的水平二層次.

例5 (2021年全國卷Ⅰ第13題)已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù)，則a=.

解析：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，故f(-x)=f(x)，即x3(a·2x-2-x)=-x3(a·2-x-2x)，整理得(a-1)(2x+2-x)=0，故a=1.

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合具體函數(shù)，以奇偶性的數(shù)學(xué)關(guān)系式為解題方法，重點(diǎn)考查奇偶性概念的知識技能，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象水平一的測評要求.

設(shè)計(jì)意圖：延續(xù)例5的奇偶性考查思路，進(jìn)一步探究函數(shù)奇偶性與周期性的相關(guān)聯(lián)系，要求學(xué)生能夠理解相關(guān)概念的邏輯關(guān)系，建立完善的知識體系，達(dá)到邏輯推理的水平二層次.

以上3例重點(diǎn)考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，對學(xué)生的基本知識和基本技能進(jìn)行考查，關(guān)注學(xué)生對概念與性質(zhì)的掌握程度，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

4.3 結(jié)構(gòu)分析 優(yōu)化算法

例7 (2015年浙江卷第7題)存在函數(shù)f(x)滿足，對任意x∈R都有( ).

A.f(sin 2x)=sinxB.f(sin 2x)=x2+x

C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|

設(shè)計(jì)意圖：兩種方法各有千秋，側(cè)重函數(shù)概念的方法一重點(diǎn)落實(shí)學(xué)生對概念的辨識度，要求學(xué)生理解概念、應(yīng)用概念；側(cè)重函數(shù)性質(zhì)的方法二要求學(xué)生對復(fù)合函數(shù)的理解，對性質(zhì)的把握與應(yīng)用.方法一能夠用恰當(dāng)?shù)睦咏忉寯?shù)學(xué)概念，現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)抽象水平二層次的考查；方法二對條件與結(jié)論的分析，實(shí)現(xiàn)邏輯推理水平二層次的考查.

例8 (2014年浙江卷第7題)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，且0

A.c≤3 B. 3

C. 69

解析：設(shè)f(-1)=f(-2)=f(-3)=k，則可令函數(shù)g(x)=f(x)-k=(x+1)(x+2)(x+3)，得到c=6+k∈(6,9]，故選C.

設(shè)計(jì)意圖：利用f(-1)=f(-2)=f(-3)構(gòu)造方程組求解實(shí)數(shù)a、b，是部分學(xué)生優(yōu)先選擇的方法，但對運(yùn)算能力較薄弱的學(xué)生較為容易失分.學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)二次函數(shù)的三種解析式：一般式、頂點(diǎn)式、兩根式，從二次函數(shù)到三次函數(shù)，利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造三次函數(shù)的根式，優(yōu)化計(jì)算過程，培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力和邏輯推理.

例9 (2020年全國Ⅰ卷第12題)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

設(shè)計(jì)意圖：從方程轉(zhuǎn)化到函數(shù)、等式到不等式，一系列的解題步驟滲透著轉(zhuǎn)化的思想方法，分別從數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的三個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

以上3例的情境設(shè)置是熟悉的數(shù)學(xué)情境，對數(shù)學(xué)問題的考查具有多角度深層次特性.要求學(xué)生針對具體問題，分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，優(yōu)化解題思路.

4.4 逆向而行 回歸原點(diǎn)

例10 (2004年浙江卷第12題)若f(x)和g(x)都是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且方程x-f(g(x))=0有實(shí)數(shù)解，則g(f(x))不可能是( ).

設(shè)計(jì)意圖：從方程的解到函數(shù)解析式，再從函數(shù)到方程無解，要求學(xué)生能正確用符號語言刻畫函數(shù)的概念和函數(shù)與方程之間的關(guān)系，切合高考的選拔性要求.

設(shè)計(jì)意圖：通過梳理函數(shù)的最大值定義，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，避免分類討論，減輕運(yùn)算負(fù)擔(dān)，認(rèn)識并應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì).此題方法不唯一，有分類討論、數(shù)形結(jié)合等多種解題策略.利用最大值定義的目的是讓學(xué)生從另一個(gè)角度分析和解決問題，回歸概念.

例12 若函數(shù)f(x)=x3-ax2-2ax+a2-1與x軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是.

設(shè)計(jì)意圖：正難則反的解題思路開拓學(xué)生的思維廣度，辯證的觀點(diǎn)看待問題提升學(xué)生的思維高度.能夠掌握常用邏輯推理方法的規(guī)則，理解其中所蘊(yùn)含的函數(shù)與方程思想，達(dá)到邏輯推理的水平三層次.

以上3例問題的難度較之前的幾個(gè)例題明顯加大，要求學(xué)生在看似熟悉的數(shù)學(xué)情景之中，結(jié)合基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能夠構(gòu)建過渡性命題，對概念的理解以及深入地應(yīng)用.

4.5 跨界應(yīng)用 滲透思想

例13 已知關(guān)于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)在[2,+∞)有解，則a2+b2的最小值為.

設(shè)計(jì)意圖：通過主元分析，學(xué)生能夠一目了然地理解方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合方法，從代數(shù)轉(zhuǎn)化到幾何，提升解題正確率.

設(shè)計(jì)意圖：以向量的基本知識為載體，構(gòu)建具體函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)值域問題.

例15 (2010年浙江卷理科第15題)設(shè)a1,d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6+15=0，則d的取值范圍是.

設(shè)計(jì)意圖：以數(shù)列的基本知識為載體，考查利用一元二次方程或函數(shù)知識解決參數(shù)取值問題.

以上3例的情境設(shè)置不再是題目中所呈現(xiàn)的情境，滲透函數(shù)思想，體現(xiàn)知識的連貫性、方法的普適性、思想的一致性.

5 課堂測評的反思建議

2019年教育部公布了《中國高考評價(jià)體系》，提出了“一核”“四層”“四翼”的構(gòu)架，指出“經(jīng)過素質(zhì)教育的培養(yǎng)，思維認(rèn)知強(qiáng)的學(xué)習(xí)者應(yīng)當(dāng)能夠獨(dú)立思考，通過自己的邏輯思辨，發(fā)表獨(dú)立的、有創(chuàng)造性的看法；能夠從多個(gè)角度觀察、思考同一個(gè)問題，能夠靈活地、創(chuàng)造性地運(yùn)用不同地方法，發(fā)散地、逆向地解決問題；能夠通過敏銳地洞察力，發(fā)現(xiàn)復(fù)雜、新穎情境中的關(guān)鍵事實(shí)特征和有價(jià)值的新問題”[3].課堂測評要求教師結(jié)合實(shí)際教學(xué)環(huán)境，精心準(zhǔn)備相關(guān)問題引導(dǎo)學(xué)生積極思考、主動(dòng)探索，幫助學(xué)生厘清事物發(fā)展的脈絡(luò)，形成用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題、用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生理性精神.

針對高三習(xí)題課特點(diǎn)，依托于單元設(shè)計(jì)的課堂測評能幫助教師更好地發(fā)現(xiàn)學(xué)生問題，減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，避免重復(fù)性低效性的訓(xùn)練.基于單元整體設(shè)計(jì)的課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)，發(fā)揮每道例題的必備知識測試作用，強(qiáng)調(diào)在思考問題、分析問題和發(fā)現(xiàn)問題的過程中關(guān)鍵能力的運(yùn)用，例題之間的層層遞進(jìn)凸顯學(xué)生在不同情境之下處理問題的學(xué)科素養(yǎng)，大概念間不同的測評角度落實(shí)立德樹人的育人功能和政治使命.課堂測評的具體實(shí)例應(yīng)以課程標(biāo)準(zhǔn)為綱領(lǐng)性文件，突顯知識內(nèi)容的核心價(jià)值，以“四翼”為根本準(zhǔn)則.同時(shí)，課堂測評受限于課堂時(shí)間、學(xué)生心理、基礎(chǔ)等各種因素，教師需重視課堂測評有效值和后效措施.

課堂測評中，教師應(yīng)始終占據(jù)主體地位，對測評的設(shè)計(jì)、組織、實(shí)施、評價(jià)和效果負(fù)有主要責(zé)任.測評的實(shí)施過程中，合適的測評定位、適當(dāng)?shù)臏y評難度、精準(zhǔn)的測評目標(biāo)是根本準(zhǔn)則.測評內(nèi)容的選擇要遵循其有效性、突出性、代表性，從核心概念出發(fā)，強(qiáng)調(diào)核心方法應(yīng)用，構(gòu)建核心知識體系，注重核心素養(yǎng)培養(yǎng).

“雙減”政策的貫徹執(zhí)行和核心素養(yǎng)的落地落實(shí)，是教師教育教學(xué)的根本任務(wù).發(fā)揮數(shù)學(xué)試題的功能價(jià)值、踐行課堂測評的評價(jià)價(jià)值、落實(shí)教育教學(xué)的育人價(jià)值，是教師努力的措施與方向.