林 程，梁 晟，宮新樂(lè)，于 瀟，汪博文

（1.北京理工大學(xué)，電動(dòng)車(chē)輛國(guó)家工程研究中心，北京100081；2.北京電動(dòng)車(chē)輛協(xié)同創(chuàng)新中心，北京100081；3.清華大學(xué)車(chē)輛與運(yùn)載學(xué)院，北京100084）

前言

近年來(lái)，隨著以我國(guó)為代表的新興國(guó)家經(jīng)濟(jì)持續(xù)快速發(fā)展，全球能源需求短期內(nèi)仍將持續(xù)增長(zhǎng)，這將會(huì)導(dǎo)致煤炭、石油等化石燃料能源短缺問(wèn)題日益嚴(yán)重。因此，我國(guó)自“十五”期間以來(lái)，一直大力發(fā)展新能源汽車(chē)，已經(jīng)將其視為汽車(chē)工業(yè)彎道超車(chē)的重要途徑。在此背景下，能夠進(jìn)一步提升電動(dòng)汽車(chē)性能的先進(jìn)控制技術(shù)成為了推動(dòng)新能源汽車(chē)持續(xù)發(fā)展的重要驅(qū)動(dòng)力。在眾多新興技術(shù)領(lǐng)域中，分布式驅(qū)動(dòng)作為一種新型純電動(dòng)汽車(chē)構(gòu)型，有著巨大的發(fā)展?jié)摿Γ藝?guó)內(nèi)外研究機(jī)構(gòu)以及汽車(chē)廠商越來(lái)越多的關(guān)注，已成為近年來(lái)的研究熱點(diǎn)之一。該構(gòu)型由輪轂電機(jī)或輪邊電機(jī)作為執(zhí)行器，獨(dú)立驅(qū)動(dòng)單個(gè)車(chē)輪，能夠?qū)崿F(xiàn)動(dòng)力系統(tǒng)總體需求轉(zhuǎn)矩的集中分配與單個(gè)車(chē)輪轉(zhuǎn)矩的獨(dú)立精確控制，具有動(dòng)力學(xué)控制靈活、主動(dòng)安全性高的固有特性，更適用于極限工況下的控制需求。因此，本文以分布式驅(qū)動(dòng)電動(dòng)汽車(chē)為研究對(duì)象，提出了極限工況動(dòng)力學(xué)集成控制方法，充分挖掘其在極限工況下的控制潛力。

為保證極限工況下的主動(dòng)安全性，應(yīng)當(dāng)首要保證車(chē)輛的橫擺穩(wěn)定性。在現(xiàn)有研究中，橫擺動(dòng)力學(xué)控制方法主要分為兩類：直接橫擺控制（direct yaw control，DYC）與主動(dòng)轉(zhuǎn)向控制（active front steering，AFS）。其中，DYC是以驅(qū)動(dòng)電機(jī)為執(zhí)行器，通過(guò)分配四輪轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生附加橫擺力矩，從而改善橫擺穩(wěn)定性的方法。分布式驅(qū)動(dòng)電動(dòng)汽車(chē)各驅(qū)動(dòng)輪采用獨(dú)立控制，能夠更容易、更精確地實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩的靈活分配，因此非常適合應(yīng)用DYC。目前，大多數(shù)DYC控制策略采用的分層架構(gòu)為：上層控制器以橫擺穩(wěn)定性為控制目標(biāo)求解得出最優(yōu)附加橫擺力矩，下層控制器以附加橫擺力矩為跟蹤目標(biāo)對(duì)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩進(jìn)行分配。在上層廣義力控制器中，常用滑?？刂疲╯liding mode control，SMC）、模 型 預(yù) 測(cè) 控 制（model predictive control，MPC）以及線性二次型調(diào)節(jié)器等基于模型的控制算法。下層轉(zhuǎn)矩分配控制器中，應(yīng)用最為廣泛的則是基于規(guī)則的方法與二次規(guī)劃（quadratic programming，QP）等優(yōu)化算法。AFS控制方法則以轉(zhuǎn)向電機(jī)作為執(zhí)行器，通過(guò)計(jì)算主動(dòng)轉(zhuǎn)向角實(shí)現(xiàn)車(chē)輛的橫擺穩(wěn)定性控制。與DYC類似，大多數(shù)的AFS控制策略一般也采用SMC、MPC等優(yōu)化控制算法。此外，一些文獻(xiàn)中提出了綜合AFS與DYC的復(fù)合控制方法，結(jié)合二者優(yōu)點(diǎn)，能夠在更苛刻的條件下提升車(chē)輛控制效果。

在極限工況中，車(chē)輛行駛速度、路面附著等情況復(fù)雜多變，僅關(guān)注橫擺穩(wěn)定性的單目標(biāo)控制方法往往不能滿足控制需求。因此，一些研究將高速轉(zhuǎn)向、車(chē)輪打滑等多個(gè)失穩(wěn)因素綜合考慮，提出了協(xié)同優(yōu)化控制方法。對(duì)于協(xié)同優(yōu)化方法來(lái)說(shuō)，在低附著路面轉(zhuǎn)向時(shí)，為了防止車(chē)輪打滑導(dǎo)致的車(chē)輛失控，應(yīng)當(dāng)綜合考慮車(chē)輛橫向、縱向動(dòng)力學(xué)，協(xié)同控制車(chē)輛整體的橫擺穩(wěn)定性與各個(gè)車(chē)輪的滑動(dòng)率；在高速轉(zhuǎn)向工況中，則需要綜合考慮車(chē)輛的橫擺、側(cè)傾穩(wěn)定性。此外，為應(yīng)對(duì)極限工況中控制模型的不確定性與控制系統(tǒng)的外部擾動(dòng)，一些研究還采用了例如H控制、魯棒MPC控制等方法，提升了車(chē)輛動(dòng)力學(xué)控制策略的魯棒性。

然而，現(xiàn)有的極限工況控制方法中，一部分為了降低計(jì)算負(fù)擔(dān)采用線性控制模型，另一部分則為了改善控制精度采用迭代的非線性規(guī)劃方法，兩者均沒(méi)有很好地平衡精確性與實(shí)時(shí)性。同時(shí)，現(xiàn)有的魯棒控制方法往往將系統(tǒng)擾動(dòng)假設(shè)為最大值，導(dǎo)致控制方法過(guò)于保守，甚至出現(xiàn)沒(méi)有可行解的情況。此外，多數(shù)文獻(xiàn)中的穩(wěn)定性判據(jù)也被忽略或簡(jiǎn)化，沒(méi)有對(duì)極限工況的范圍進(jìn)行明確定義，具有一定的局限性。

為應(yīng)對(duì)這些問(wèn)題，本文首先建立了分段仿射（piecewise affine，PWA）輪胎側(cè)向力簡(jiǎn)化模型，并基于此將非線性橫擺動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)化為分段線性的混雜系統(tǒng)，在保證建模精度的同時(shí)盡量減少控制問(wèn)題的復(fù)雜度。然后，提出了PWA穩(wěn)定性分析方法，分析了車(chē)速、路面附著系數(shù)變化條件下的系統(tǒng)分岔點(diǎn)變化機(jī)理，將主動(dòng)轉(zhuǎn)向角超過(guò)系統(tǒng)分岔點(diǎn)后極易失穩(wěn)的工況定義為極限工況，構(gòu)造了識(shí)別極限工況的車(chē)輛穩(wěn)定性判據(jù)。最終，提出了面向極限工況的動(dòng)力學(xué)集成控制方法。為了將多個(gè)控制目標(biāo)解耦，集成控制方法采用了分層控制架構(gòu)：上層控制器具有多個(gè)控制模式，在非極限工況下采用AFS控制模式，在極限工況下則采用AFS+DYC復(fù)合控制模式，并利用混雜系統(tǒng)模型預(yù)測(cè)（hybrid model predictive control，HMPC）方法求解出主動(dòng)轉(zhuǎn)向角、車(chē)輪縱向力等最優(yōu)控制輸入，并通過(guò)構(gòu)建混雜系統(tǒng)的Tube魯棒不變集應(yīng)對(duì)控制過(guò)程中車(chē)速變化導(dǎo)致的預(yù)測(cè)模型建模失配問(wèn)題；下層控制器根據(jù)上層控制器計(jì)算出的最優(yōu)縱向力分配結(jié)果對(duì)各車(chē)輪滑移率或滑轉(zhuǎn)率（下文統(tǒng)稱滑動(dòng)率）進(jìn)行獨(dú)立控制。處理器在環(huán)試驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的極限工況動(dòng)力學(xué)集成控制方法能夠在低附著路面雙移線工況、高速雙移線工況等極限工況下，對(duì)分布式驅(qū)動(dòng)電動(dòng)汽車(chē)的橫擺穩(wěn)定性、防滑性能以及側(cè)傾穩(wěn)定性進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化。

1 整車(chē)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 PWA橫擺動(dòng)力學(xué)模型

為了兼顧極限工況下控制器的精度與實(shí)時(shí)性，本節(jié)對(duì)純側(cè)偏魔術(shù)公式輪胎模型進(jìn)行分段仿射，將其簡(jiǎn)化為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱并具有五段線性函數(shù)的5段PWA模型。輪胎側(cè)向力計(jì)算公式如下：

式中：∈｛f，r｝表示2自由度自行車(chē)模型中的前、后等效車(chē)輪；、為分段仿射輪胎模型的分段點(diǎn)；為側(cè)偏角約束的上界；c為第1段線性區(qū)域的側(cè)偏剛度；、與、分別是第2、3段分段函數(shù)的斜率與截距。以路面附著系數(shù)為0.85時(shí)的輪胎側(cè)向力為例，PWA擬合結(jié)果如圖1所示。PWA輪胎側(cè)向力曲線的擬合誤差如表1所示。

圖1 輪胎側(cè)向力擬合結(jié)果

由表1可知，5段PWA模型的平均擬合誤差較小，具有較高的擬合精度。

表1 PWA輪胎側(cè)向力擬合誤差

將式（1）代入2自由度自行車(chē)橫擺動(dòng)力學(xué)模型，并將系統(tǒng)狀態(tài)量變?yōu)榍昂筌?chē)輪側(cè)偏角后，可以得到以下PWA橫擺動(dòng)力學(xué)模型：

式中：、為前、后輪胎側(cè)偏角；為整車(chē)質(zhì)量；v為縱向車(chē)速；、為質(zhì)心到前、后軸的距離；為軸距；為前輪轉(zhuǎn)向角；M為附加橫擺力矩；k、k分別為前、后輪對(duì)應(yīng)的PWA輪胎力的斜率；m、m分別為相應(yīng)的截距，其中，下標(biāo)“”、“”代表前、后輪側(cè)偏角處于PWA模型的第、段線性函數(shù)上?？梢钥闯觯琍WA系統(tǒng)共有25個(gè)線性控制區(qū)域，當(dāng)前控制區(qū)域由下標(biāo)“”、“”確定。

本文提出的上層控制器是通過(guò)跟蹤期望的橫擺角速度實(shí)現(xiàn)橫擺穩(wěn)定性控制的，因此，為了消除橫擺角速度的跟蹤誤差累積所導(dǎo)致的車(chē)輛方向偏轉(zhuǎn)，本節(jié)建立的模型中加入如下的離散系統(tǒng)誤差累積項(xiàng)：

式中：γ為控制器計(jì)算出的實(shí)際值；為期望值。根據(jù)線性側(cè)偏假設(shè)下的駕駛員輸入轉(zhuǎn)角計(jì)算得到，其表達(dá)式如下：

式中：為駕駛員輸入的轉(zhuǎn)向角；、為參數(shù)。

式中：I為繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；、為前后輪的線性區(qū)側(cè)偏剛度。

為了簡(jiǎn)化控制邏輯，縮短整個(gè)控制策略的控制周期，本文將傳統(tǒng)分層控制架構(gòu)的廣義力計(jì)算層與轉(zhuǎn)矩分配層合并，直接以四輪縱向輪胎力作為控制輸入。附加橫擺力矩M與四輪縱向輪胎力的關(guān)系為

式中為車(chē)輛的輪距。

令=［，，，e］為狀態(tài)向量，橫擺角速度=為輸出量，=［，F，F，F，F］為輸入量，并利用向前歐拉法將模型離散化，式（2）的離散狀態(tài)空間表達(dá)式可以表示為

與式（2）類似，式中的下標(biāo)“”表示此時(shí)前、后側(cè)偏角處于PWA模型的第、段線性函數(shù)上。式（7）中的系數(shù)矩陣與常數(shù)項(xiàng)為

1.2 驅(qū)動(dòng)輪動(dòng)力學(xué)模型

單個(gè)驅(qū)動(dòng)輪的受力分析如圖2所示，其中，下標(biāo)，∈｛f，r｝。其力矩平衡微分方程為

圖2 驅(qū)動(dòng)輪受力分析圖

式中：ω為車(chē)輪角速度；J為車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；為輪上的輸出轉(zhuǎn)矩，以驅(qū)動(dòng)方向?yàn)檎较颍?span id="j5i0abt0b" class="emphasis_italic">為滾動(dòng)摩阻；F為輪胎縱向力；為滾動(dòng)半徑。

在本文提出的動(dòng)力學(xué)集成控制策略中，上層控制器使用的時(shí)純側(cè)偏假設(shè)下的輪胎側(cè)向力模型。為了保證上層控制器的建模精確性，下層控制器在跟蹤各車(chē)輪的目標(biāo)滑動(dòng)率時(shí)，應(yīng)當(dāng)盡量將其限制在一個(gè)較小的范圍內(nèi)。因此，本節(jié)將滑動(dòng)率與車(chē)輪縱向力視為線性關(guān)系，可以由下式表示：

式中為輪胎縱向力的等效斜率。

綜上，單個(gè)車(chē)輪的滑動(dòng)率跟蹤控制器的動(dòng)力學(xué)模型可以表示為

令=s為狀態(tài)量，=為輸入量，=為輸出量，并對(duì)式（10）進(jìn)行離散化，寫(xiě)為以下離散的狀態(tài)空間表達(dá)式：

2 車(chē)輛失穩(wěn)機(jī)理分析與穩(wěn)定性判據(jù)

在復(fù)合極限工況中，存在高車(chē)速、低附著、大轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)向等情況，此時(shí)車(chē)輛穩(wěn)定性區(qū)域會(huì)發(fā)生明顯的變化，甚至有可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象（即相平面中的不動(dòng)點(diǎn)的數(shù)量或類型發(fā)生突變）。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生分岔時(shí)，穩(wěn)定區(qū)域?qū)?huì)發(fā)生突變，此時(shí)，車(chē)輛極易失穩(wěn)，橫擺動(dòng)力學(xué)控制的難度將顯著增加。因此，本文將能夠?qū)е萝?chē)輛橫擺動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)發(fā)生分岔的工況定義為極限工況。

2.1 車(chē)輛失穩(wěn)機(jī)理分析

由于非線性系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)難以解析求出，本文基于PWA簡(jiǎn)化模型在速度、路面附著系數(shù)等多參數(shù)變化條件下計(jì)算每個(gè)線性控制區(qū)域不動(dòng)點(diǎn)的位置與類別，并分析系統(tǒng)的分岔行為。

穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向角下的系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)位置可以通過(guò)求解以下方程得到對(duì)于系統(tǒng)的每一個(gè)線性控制區(qū)域，式（12）的解為

在本文提出的集成控制策略中，當(dāng)車(chē)輛處于非極限工況下控制模式為AFS模式，此時(shí)控制輸入僅有前輪轉(zhuǎn)向角。因此，本文將僅與前輪轉(zhuǎn)角相關(guān)的分岔點(diǎn)作為極限工況的判據(jù)。

不動(dòng)點(diǎn)的類別可以通過(guò)特征值來(lái)判定。首先，求解以下系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的特征方程：

式中A為連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣。求解后，將兩個(gè)特征值表示為，不動(dòng)點(diǎn)的類型可以由算法1所示的偽代碼得到：

算法1：不動(dòng)點(diǎn)類型判別1.輸入：特征值λ1、λ2 2.if λ1λ2＞0 then 3.不動(dòng)點(diǎn)為鞍點(diǎn)4.elseif Re（λ1）＜0 and Re（λ2）＜0 then 5.不動(dòng)點(diǎn)不穩(wěn)定6.elseif（λ1+λ2）2-4λ1λ2＞0 then 7.不動(dòng)點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)8.else 9.不動(dòng)點(diǎn)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)10.輸出：不動(dòng)點(diǎn)類型

以車(chē)速v=15 m/s，路面附著系數(shù)=1時(shí)的系統(tǒng)為例，在∈［-0.5 rad，0.5rad］范圍內(nèi)，利用算法1求出的系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)軌跡如圖3所示。圖3（a）中，紫色實(shí)線為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)的軌跡，藍(lán)色實(shí)線為穩(wěn)定焦點(diǎn)的軌跡，綠色實(shí)線為鞍點(diǎn)的軌跡，紅色虛線為PWA模型控制區(qū)域的分界線。可以看出，當(dāng)前輪轉(zhuǎn)角變化時(shí)，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)在某一時(shí)刻發(fā)生分岔現(xiàn)象，此時(shí)前輪轉(zhuǎn)角值稱為系統(tǒng)分岔點(diǎn)。由于圖3（a）所示的軌跡是基于PWA簡(jiǎn)化模型得出的，與原非線性系統(tǒng)存在偏差。為了驗(yàn)證圖3（a）所示結(jié)果的準(zhǔn)確性，圖3（b）將原非線性系統(tǒng)的相平面與算法1求出的不動(dòng)點(diǎn)軌跡進(jìn)行了對(duì)比，此時(shí)前輪轉(zhuǎn)向角為0.2 rad，藍(lán)色、綠色圓圈分別為相平面中穩(wěn)定焦點(diǎn)與鞍點(diǎn)?？梢钥闯觯赑WA簡(jiǎn)化模型得出不動(dòng)點(diǎn)軌跡雖然存在一定的誤差，但是具有較好的計(jì)算精度。因此，本文將PWA系統(tǒng)的分岔點(diǎn)作為極限工況與非極限工況的臨界點(diǎn)。將圖3中的PWA模型控制區(qū)域如圖4所示進(jìn)行編號(hào)后可知，系統(tǒng)分岔現(xiàn)象出現(xiàn)在不動(dòng)點(diǎn)由18號(hào)區(qū)域移動(dòng)至17號(hào)區(qū)域以及9號(hào)區(qū)域移動(dòng)至10號(hào)區(qū)域時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的分岔點(diǎn)為=±0.1130 rad。

圖3 系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)軌跡

圖4 控制區(qū)域編號(hào)示意圖

為了進(jìn)一步分析車(chē)速、路面附著系數(shù)對(duì)系統(tǒng)分岔點(diǎn)的影響，本文在15~30 m/s的車(chē)速范圍與1~0.2的路面附著系數(shù)取值范圍內(nèi)等間隔選取了多組參數(shù)，并應(yīng)用算法1對(duì)各組參數(shù)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)分岔點(diǎn)進(jìn)行了計(jì)算。其中，車(chē)速取值間隔3 m/s，路面附著系數(shù)取值間隔為0.1。多參數(shù)變化時(shí)分岔點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

圖5 多參數(shù)變化時(shí)的系統(tǒng)分岔點(diǎn)

如圖5所示，當(dāng)附著系數(shù)降低或車(chē)速上升時(shí)，系統(tǒng)分岔點(diǎn)會(huì)明顯減小。由此可知，車(chē)輛在高速、低附著工況下行駛時(shí)，即使轉(zhuǎn)向角較小也有可能導(dǎo)致分岔現(xiàn)象的發(fā)生，更容易進(jìn)入極限工況。在本文后續(xù)提出的車(chē)輛穩(wěn)定性判據(jù)中，將利用圖5的結(jié)論以車(chē)輛當(dāng)前的車(chē)速、路面附著系數(shù)對(duì)應(yīng)的分岔點(diǎn)作為控制模式切換的閾值。

2.2 車(chē)輛穩(wěn)定性判據(jù)

將分岔點(diǎn)表示為車(chē)速與路面附著系數(shù)的函數(shù)，極限工況的判定方法可以由下式表示：

車(chē)輛穩(wěn)定性判據(jù)與相應(yīng)的控制模式可以歸結(jié)為：當(dāng)車(chē)輛轉(zhuǎn)向角不符合式（15）的條件時(shí)，車(chē)輛沒(méi)有處于極限工況，控制策略采用AFS模式，狀態(tài)量的物理約束為=0時(shí)的穩(wěn)定區(qū)域；當(dāng)車(chē)輛轉(zhuǎn)向角符合式（15）時(shí)，判定車(chē)輛處于極限工況，控制策略切換至AFS+DYC復(fù)合控制模式，狀態(tài)量的物理約束為=±時(shí)的穩(wěn)定區(qū)域。此外，為了防止車(chē)輛控制模式頻繁切換，只有當(dāng)前輪轉(zhuǎn)角重新回到安全范圍內(nèi)并持續(xù)1 s時(shí)，才會(huì)判定車(chē)輛已經(jīng)退出極限工況。

3 極限工況動(dòng)力學(xué)集成控制策略

本文提出的動(dòng)力學(xué)集成控制策略具有分層控制結(jié)構(gòu)，整體架構(gòu)如圖6所示。上層控制策略首先基于第2部分提出的PWA橫擺動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)化為混合邏輯動(dòng)態(tài)（mixed logical dynamical，MLD）預(yù)測(cè)模型；然后采用混雜模型預(yù)測(cè)控制（hybrid model predictive control，HMPC）算法進(jìn)行優(yōu)化問(wèn)題的求解；同時(shí)，在控制過(guò)程中將車(chē)速變化視為有界擾動(dòng)，構(gòu)造了偏差系統(tǒng)的Tube控制不變集，提升了上層控制策略的魯棒性。下層控制器以車(chē)輛驅(qū)動(dòng)防滑性能為控制目標(biāo)，對(duì)各驅(qū)動(dòng)輪的滑動(dòng)率進(jìn)行獨(dú)立控制。

圖6 動(dòng)力學(xué)集成控制架構(gòu)

3.1 上層橫擺穩(wěn)定性控制

大多數(shù)基于PWA模型的控制方法會(huì)通過(guò)一組切換條件將各區(qū)域的動(dòng)力學(xué)模型聯(lián)合為一個(gè)切換系統(tǒng)，當(dāng)滿足某個(gè)切換條件時(shí)會(huì)將系統(tǒng)模型切換至某一區(qū)域。然而，對(duì)于MPC控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，當(dāng)實(shí)際狀態(tài)量接近切換點(diǎn)時(shí)，由于單個(gè)有限時(shí)域求解過(guò)程中無(wú)法切換預(yù)測(cè)模型，會(huì)使得狀態(tài)量保持在當(dāng)前的區(qū)域內(nèi)，無(wú)法根據(jù)實(shí)際的狀態(tài)量進(jìn)行切換，導(dǎo)致控制效果受到影響，甚至導(dǎo)致有限時(shí)域優(yōu)化問(wèn)題無(wú)可行解。因此，本文通過(guò)引入邏輯輔助變量與連續(xù)輔助變量，將PWA模型的切換條件表示為一組混合整數(shù)線性不等式約束，從而建立MLD預(yù)測(cè)模型。

首先，引入輔助邏輯變量∈｛0，1｝，其中=25為整個(gè)系統(tǒng)的區(qū)域數(shù)量，由、的分段數(shù)量相乘得到。引入后，式（7）可以改寫(xiě)為

式（16）的內(nèi)涵為當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入第個(gè)區(qū)域時(shí)等價(jià)于v（）=1。因此，式（16）可以改寫(xiě)為

假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)向量的容許集為多面體，式（17）第2項(xiàng)的上界與下界可以定義為

式中上標(biāo)∈｛1，2，3｝代表系統(tǒng)中第個(gè)狀態(tài)方程式。為了方便理解，式（18）可以解釋為：上界與下界為單獨(dú)求出各個(gè)狀態(tài)方程式在約束中的最大、最小值后重新組合的向量。其中，與可以由數(shù)值的方法求出。

引入以下新的連續(xù)輔助變量：

易知，與滿足以下布爾關(guān)系式：

式中“→”為包含關(guān)系的布爾運(yùn)算符。

綜合式（17）、式（18）與式（20），系統(tǒng)狀態(tài)方程可以寫(xiě)為如下的形式：

綜上，預(yù)測(cè)模型可以寫(xiě)為如下MLD形式：

本文使用基于MATLAB的HYSDEL工具箱計(jì)算MLD模型中的各矩陣。

值得注意的是，當(dāng)穩(wěn)定性判據(jù)沒(méi)有判定車(chē)輛處于極限工況時(shí)，控制輸入中的四輪縱向力固定為左右兩側(cè)轉(zhuǎn)矩平均分配模式，不進(jìn)行優(yōu)化求解。穩(wěn)定性判據(jù)使用的前輪轉(zhuǎn)角為上一次有限時(shí)域優(yōu)化計(jì)算出的輸入序列的第二個(gè)值。

雖然MPC的滾動(dòng)優(yōu)化機(jī)制可以在一定程度上提高控制器魯棒性，但是當(dāng)車(chē)速變化幅度稍大時(shí)，還是會(huì)對(duì)控制效果造成負(fù)面影響。因此，為了提高控制策略的魯棒性，本文將車(chē)速的變化視為系統(tǒng)的有界外部擾動(dòng)，將系統(tǒng)的確定部分與擾動(dòng)部分分離，將式（22）無(wú)擾動(dòng)的系統(tǒng)稱為標(biāo)稱系統(tǒng)，然后根據(jù)擾動(dòng)的范圍利用狀態(tài)反饋控制在標(biāo)稱系統(tǒng)狀態(tài)軌跡的鄰域構(gòu)造一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)量的“管道”，即Tube不變集，并將去除Tube不變集后的系統(tǒng)物理約束作為標(biāo)稱狀態(tài)容許集，最后求出使標(biāo)稱狀態(tài)量維持在該在容許集內(nèi)的最優(yōu)輸入，使?fàn)顟B(tài)軌跡保持在Tube不變集內(nèi)，保持系統(tǒng)穩(wěn)定。圖7為T(mén)ube不變集的示意圖，如圖所示，盡管車(chē)速變化導(dǎo)致的外部有界擾動(dòng)使實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)軌跡偏離了標(biāo)稱狀態(tài)軌跡，但實(shí)際系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡仍然可以保持在標(biāo)稱系統(tǒng)狀態(tài)軌跡周?chē)腡ube不變集中。

圖7 Tube不變集示意圖

首先，將車(chē)速變化作為有界的外部擾動(dòng)，實(shí)際系統(tǒng)的離散系統(tǒng)狀態(tài)方程可以寫(xiě)為

式中w為車(chē)速變化帶來(lái)的外部擾動(dòng)，其范圍是干擾集W。值得注意的是，由于車(chē)速擾動(dòng)是有界的，W為一個(gè)包含原點(diǎn)的緊集。

為了描述實(shí)際系統(tǒng)與標(biāo)稱系統(tǒng)之間的偏差，定義偏差系統(tǒng)的狀態(tài)量為

同時(shí)，經(jīng)過(guò)狀態(tài)反饋增益調(diào)整后的實(shí)際系統(tǒng)輸入量可以寫(xiě)為

式中為狀態(tài)反饋增益，滿足Hurwitz條件。

根據(jù)式（23）-式（25），偏差系統(tǒng)狀態(tài)方程可寫(xiě)為

為了方便后續(xù)描述，將矩陣+表示為。

下面將對(duì)偏差系統(tǒng)在有界車(chē)速擾動(dòng)下的魯棒控制不變集（robust control invariant，RCI）進(jìn)行計(jì)算，并將其作為控制系統(tǒng)的Tube不變集。

當(dāng)一個(gè)偏差系統(tǒng)狀態(tài)量的集合滿足以下條件時(shí)，稱其為偏差系統(tǒng)的一個(gè)RCI集：

為了兼顧閉環(huán)控制系統(tǒng)的可行性與魯棒性，應(yīng)當(dāng)盡可能增大標(biāo)稱系統(tǒng)狀態(tài)量容許集，并使實(shí)際狀態(tài)軌跡盡量貼近標(biāo)稱狀態(tài)軌跡，為達(dá)到這一目的，Tube不變集應(yīng)當(dāng)盡可能小。因此，本文將計(jì)算偏差系統(tǒng)的最小RCI集作為偏差系統(tǒng)Tube不變集。大多數(shù)系統(tǒng)的最小RCI集難以解析求出，因此本文采用近似集來(lái)逼近最小RCI集。

當(dāng)一個(gè)集合C滿足以下條件時(shí)，稱其為最小RCI集C的一個(gè)近似集：

式中：為一個(gè)很小的正數(shù)；⊕表示集合的Minkowski和。

然后，將包含原點(diǎn)的有界干擾集W表示為如下一般形式：

式中：f∈R；g∈R；為一個(gè)由車(chē)速變化范圍決定的有限集。

則C的計(jì)算方法可以表示為算法2：

算法2：Cε計(jì)算方法1.輸入：Wv，A*，ε=10-6 2.初始化：s：=0，M：=1，α：=1 3.while（α＞ε/(ε+M(s))）do 4.begin while 5.s：=s+1 6.α=α（s）7.M=M（s）8.end while 9.Cε=(1-α)-1(⊕∞i=0(A*)iWv)10.輸出：Cε

其中，（）計(jì)算方法為

式中：e為維實(shí)數(shù)空間第個(gè)單位基向量；h為擾動(dòng)上確界函數(shù)。

（）計(jì)算方法為

通過(guò)算法2，可以計(jì)算每個(gè)控制區(qū)域?qū)?yīng)的線性系統(tǒng)的最小RCI集近似集，兼顧了所有控制區(qū)域，并滿足凸優(yōu)化問(wèn)題的求解條件，混雜系統(tǒng)的Tube不變集由下式計(jì)算得到：

式中：C(∈{1，...，25})為各區(qū)域最小RCI集的近似集；{?}為凸包運(yùn)算。本文借助MATLAB軟件內(nèi)置的MPT工具箱完成集合運(yùn)算。

式（33）中構(gòu)造的Tube不變集包含了所有控制區(qū)域下偏差系統(tǒng)的最小RCI集，在進(jìn)行基于標(biāo)稱系統(tǒng)的hMPC優(yōu)化控制時(shí)，無(wú)論狀態(tài)量處于哪個(gè)控制區(qū)域中，都可以保證實(shí)際系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡在有界車(chē)速擾動(dòng)存在的情況下保持于Tube不變集內(nèi)。由于各區(qū)域內(nèi)偏差系統(tǒng)的最小RCI集都是原點(diǎn)附近的鄰域，即便凸包運(yùn)算在一定程度上擴(kuò)大了Tube不變集的范圍，式（33）中的計(jì)算方法仍然保證控制系統(tǒng)不會(huì)過(guò)于保守。

求出Tube不變集后，預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)標(biāo)稱狀態(tài)量與標(biāo)稱輸入量的容許集、可以寫(xiě)為

式中：、為實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)量與輸入量的物理約束；$表示集合的Pontryagin差。

綜上，上層控制器有限時(shí)域優(yōu)化問(wèn)題表示為

式中：為預(yù)測(cè)時(shí)域；y、r、u分別是輸出量、參考量、輸入量在有限預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)的序列；、、R分別為輸出量誤差權(quán)重矩陣、控制輸入權(quán)重矩陣、控制輸入變化率權(quán)重矩陣；為松弛權(quán)重系數(shù)，一般被設(shè)置為一個(gè)遠(yuǎn)大于其余權(quán)重矩陣內(nèi)元素的正數(shù)；ε為狀態(tài)約束的松弛變量。代價(jià)函數(shù)前3項(xiàng)分別懲罰輸出量與期望值的誤差、控制輸入的幅度、控制輸入的變化率；第4項(xiàng)是狀態(tài)約束松弛項(xiàng)，其作用是保證hMPC的持續(xù)可行性，當(dāng)hMPC控制器在無(wú)松弛的容許集式（34）內(nèi)存在可行解時(shí)，由于遠(yuǎn)大于其余3項(xiàng)的權(quán)重矩陣，當(dāng)狀態(tài)松弛變量ε增加時(shí)，會(huì)被迅速地被懲罰至0附近，此時(shí)約束不會(huì)被松弛；而當(dāng)容許集式（34）內(nèi)無(wú)可行解時(shí)，狀態(tài)松弛變量ε會(huì)適當(dāng)增加，使?fàn)顟B(tài)量的容許集擴(kuò)大，保證hMPC的有限時(shí)域優(yōu)化問(wèn)題在新的狀態(tài)容許集中有可行解。

由于預(yù)測(cè)模型與不等式約束中均帶有只能取整數(shù)的邏輯變量，在求解hMPC的有限時(shí)域優(yōu)化問(wèn)題時(shí)需要用到混合整數(shù)規(guī)劃求解器，由于該類問(wèn)題求解的計(jì)算量遠(yuǎn)大于一般的連續(xù)變量規(guī)劃問(wèn)題，為了保證算法的實(shí)時(shí)性，本文利用混合整數(shù)線性規(guī)劃（mixed integer quadratic programming，MILP）方法求解上層控制器的有限時(shí)域優(yōu)化問(wèn)題。

3.2 下層滑動(dòng)率跟蹤控制

上層控制器的輪胎側(cè)向力是基于純側(cè)偏工況輪胎模型計(jì)算的，而本章定義的極限工況包含了低附著路面情況，當(dāng)車(chē)輪在低附著路面打滑嚴(yán)重時(shí)，輪胎將會(huì)進(jìn)入縱滑-側(cè)偏聯(lián)合工況，上層控制器的控制效果將大打折扣。因此，本節(jié)提出的下層滑動(dòng)率跟蹤控制器的控制目標(biāo)是獨(dú)立跟蹤中間層計(jì)算出的各車(chē)輪滑動(dòng)率目標(biāo)值，并且將各車(chē)輪滑動(dòng)率的數(shù)值限制在較小的范圍，以保證動(dòng)力學(xué)集成控制策略在低附著路面的控制效果。

首先，本文使用Burckhardt輪胎模型來(lái)建立不同路面附著條件下的縱向力-滑動(dòng)率對(duì)應(yīng)規(guī)則。Burckhardt輪胎模型中，輪胎縱向力可以表示為

式中c、c、c為擬合系數(shù)，會(huì)隨著附著條件而變化。不同附著條件下的擬合系數(shù)如表2所示。

表2 不同附著條件下的擬合系數(shù)

由于下層控制器將滑動(dòng)率限制在線性區(qū)域內(nèi)，因此，縱向力-滑動(dòng)率對(duì)應(yīng)規(guī)則最終可以由式（9）中的線性方程表示，式中的輪胎縱向力的等效斜率由式（36）與表2獲得。上層控制器計(jì)算得到的4個(gè)車(chē)輪的最優(yōu)縱向力可以根據(jù)式（9）轉(zhuǎn)化為目標(biāo)滑動(dòng)率。

然后，以式（11）作為預(yù)測(cè)模型，下層控制器采用線性MPC算法進(jìn)行滑動(dòng)率跟蹤控制。其有限時(shí)域優(yōu)化問(wèn)題可以寫(xiě)為

式中：N為預(yù)測(cè)時(shí)域；y、r、u分別是輸出量、參考量、輸入量在有限預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)的序列；Q、R、R分別為輸出量誤差權(quán)重矩陣、控制輸入權(quán)重矩陣、控制輸入變化率權(quán)重矩陣；ρ為松弛權(quán)重系數(shù)，ε為狀態(tài)約束的松弛變量；U為控輸入的容許集；X為滑動(dòng)率的容許集，由當(dāng)前路面附著條件下輪胎縱向力曲線決定。在本文仿真中，高附著路面為s∈［-5%，5%］，低附著路面為s∈［-3%，3%］。

4 處理器在環(huán)試驗(yàn)驗(yàn)證

本文提出的控制算法包括了極限工況下的動(dòng)力學(xué)集成控制方法，實(shí)車(chē)試驗(yàn)危險(xiǎn)性較大，并且試驗(yàn)場(chǎng)地及條件苛刻。因此，利用本課題組的dSPACE實(shí)時(shí)仿真機(jī)與MicroAutoBox II等設(shè)備搭建了處理器在環(huán)（processor-in-the-loop，PIL）試驗(yàn)平臺(tái)，以線性MPC橫擺穩(wěn)定控制器（路面附著系數(shù)、輪胎側(cè)偏剛度均為常數(shù)）作為對(duì)比算法，在對(duì)開(kāi)路面雙移線（double lane change，DLC）與高速DLC工況下進(jìn)行了驗(yàn)證。

4.1 PIL臺(tái)架搭建

本文使用的PIL試驗(yàn)平臺(tái)如圖8所示。PIL平臺(tái)中，被控對(duì)象為四輪分布式驅(qū)動(dòng)電動(dòng)乘用車(chē)，其動(dòng)力學(xué)模型與工況環(huán)境模型基于dSPACE Automotive Simulation Models（ASM）搭建，在仿真過(guò)程中運(yùn)行于Midsize Simulator實(shí)時(shí)仿真機(jī)中，其基本參數(shù)如表3所示。為了在算法調(diào)試初期分別驗(yàn)證穩(wěn)定性判據(jù)與動(dòng)力學(xué)集成控制，兩部分控制軟件分別運(yùn)行于獨(dú)立的硬件中。其中，由于本文提出的動(dòng)力學(xué)集成控制策略有一定的在線計(jì)算負(fù)擔(dān)，其首先被搭建在基于Matlab/Simulink的控制模型中，再利用dSPACE公司開(kāi)發(fā)的Targetlink工具生成相應(yīng)的C語(yǔ)言代碼，最后運(yùn)行于算力較高的Micro AutoBox II中；由于穩(wěn)定性判據(jù)控制軟件在線計(jì)算量小，其被單獨(dú)刷寫(xiě)于一個(gè)嵌入式整車(chē)控制器（vehicle control unit，VCU）中，根據(jù)環(huán)境信息來(lái)決策控制模式。此外，駕駛員輸入的驅(qū)動(dòng)/制動(dòng)踏板、轉(zhuǎn)向盤(pán)等控制指令由一臺(tái)PC電腦通過(guò)ControlDesk軟件進(jìn)行模擬。仿真平臺(tái)中，所有設(shè)備間的通信方式均為CAN通信，由Kvaser CAN卡實(shí)現(xiàn)USB信號(hào)與CAN總線信號(hào)的轉(zhuǎn)換；VCU、Micro AutoBox II等設(shè)備由一個(gè)可調(diào)低壓電源供電。為提高控制系統(tǒng)實(shí)時(shí)性，本文利用高性能求解器FORCES pro求解有限時(shí)域優(yōu)化問(wèn)題。

圖8 基于dSPACE的HIL試驗(yàn)平臺(tái)

表3 車(chē)輛基本參數(shù)

4.2 對(duì)開(kāi)路面雙移線工況驗(yàn)證

對(duì)開(kāi)路面工況如圖9所示，道路中的紅色圓圈代表DLC工況的錐形桶，上下兩車(chē)道路面附著系數(shù)分別為0.2與0.85，行駛車(chē)速為55 km/h。

圖9 對(duì)開(kāi)路面雙移線工況示意圖

圖10為本文提出的集成控制策略與線性MPC控制器的效果對(duì)比。本文提出的集成控制方法在高附著路段中平均路徑跟蹤誤差為線性MPC的76.39%，在低附著路段中僅為線性MPC的3.19%，控制精度提升顯著。由圖10（a）可以看出，本文提出的動(dòng)力學(xué)集成控制策略可以在圖10（b）所示的車(chē)速變化擾動(dòng)下，在對(duì)開(kāi)路面上很好地實(shí)現(xiàn)目標(biāo)軌跡的跟蹤，橫向位置在DLC結(jié)束時(shí)也能夠迅速回到初始位置。另一方面，動(dòng)力學(xué)集成控制策略存在輕微的控制延時(shí)，這是因?yàn)榭刂撇呗圆捎昧朔謱蛹軜?gòu)，在控制時(shí)下層控制器計(jì)算出的電機(jī)轉(zhuǎn)矩實(shí)際上是上一個(gè)控制周期對(duì)應(yīng)的最優(yōu)電機(jī)轉(zhuǎn)矩。在本文提出的控制策略中，控制周期為50 ms，因此，控制器的延時(shí)也為50 ms。雖然線性MPC控制器也能在高附著路面上實(shí)現(xiàn)目標(biāo)軌跡的跟蹤，但當(dāng)車(chē)輛進(jìn)入低附著路面時(shí)，跟蹤誤差明顯大于動(dòng)力學(xué)集成策略，在DLC結(jié)束后橫向位置經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的震蕩才回歸初始位置。

圖10 控制效果對(duì)比

圖11展示了控制過(guò)程中動(dòng)力學(xué)集成控制策略與對(duì)比算法的前、后輪胎側(cè)偏角的控制效果。在車(chē)輛從高附著路面進(jìn)入低附著路面時(shí)，集成控制策略產(chǎn)生的前、后輪側(cè)偏角出現(xiàn)了波動(dòng)，這是由于此時(shí)控制模式發(fā)生了改變，這一結(jié)論在圖12中展示的控制輸入仿真結(jié)果中也有體現(xiàn)。而線性MPC控制器產(chǎn)生的前輪側(cè)偏角在進(jìn)入低附著路面后，前輪側(cè)偏角明顯大于集成控制策略，已進(jìn)入非線性側(cè)偏區(qū)域，使得輪胎側(cè)偏剛度發(fā)生了變化；然而，由于其預(yù)測(cè)模型是基于線性化的模型建立的，在此情況下將會(huì)導(dǎo)致建模失配問(wèn)題，使控制效果大打折扣。

圖11 輪胎側(cè)偏角結(jié)果對(duì)比

圖12 動(dòng)力學(xué)集成控制最優(yōu)輸入結(jié)果

圖12展示了對(duì)開(kāi)路面DLC工況中動(dòng)力學(xué)集成控制策略計(jì)算出的最優(yōu)輸入。如圖所示，在控制過(guò)程中，當(dāng)車(chē)輛在高附著路面或轉(zhuǎn)向角較小時(shí)控制模式為AFS模式，不產(chǎn)生橫擺力矩；控制模式僅在低附著路段中轉(zhuǎn)向時(shí)切換為AFS+DYC復(fù)合控制模式，此時(shí)控制模式的切換也導(dǎo)致了圖11中變量的波動(dòng)。

圖13展示了對(duì)開(kāi)路面DLC工況中動(dòng)力學(xué)滑動(dòng)率的仿真結(jié)果。如圖所示，在控制過(guò)程中，滑動(dòng)率被限制在較小的范圍內(nèi)，符合前文規(guī)定的范圍（高附著路面s∈［-5%，5%］，低附著路面s∈［-3%，3%］）。

圖13 滑動(dòng)率仿真結(jié)果

4.3 高速雙移線工況驗(yàn)證

在本文的高速DLC工況中，路面附著系數(shù)為0.85，行駛車(chē)速為120 km/h。圖14為本文提出的集成控制策略與線性MPC控制器的效果對(duì)比。可以看出，與對(duì)開(kāi)路面類似，本文提出的動(dòng)力學(xué)集成控制策略可以在帶有車(chē)速變化擾動(dòng)的高速DLC工況中很好地實(shí)現(xiàn)目標(biāo)軌跡的跟蹤。此工況下產(chǎn)生的路徑跟蹤誤差僅為線性MPC的4.41%。

圖14 控制效果對(duì)比

圖15展示了控制過(guò)程中動(dòng)力學(xué)集成控制策略與對(duì)比算法的前、后輪胎側(cè)偏角的對(duì)比結(jié)果。根據(jù)圖1所示的PWA輪胎模型可知，在控制過(guò)程中，前后輪側(cè)偏角均已進(jìn)入非線性區(qū)域，因此，由于線性MPC控制器預(yù)測(cè)模型中的線性輪胎側(cè)向力與實(shí)際值產(chǎn)生了較大的差距，其路徑跟蹤誤差明顯大于本文提出的集成控制方法。此外，根據(jù)圖5所示的系統(tǒng)分岔點(diǎn)變化規(guī)律可知，當(dāng)車(chē)輛在較高的車(chē)速下，系統(tǒng)分岔點(diǎn)較小，此時(shí)主動(dòng)轉(zhuǎn)向角將會(huì)更容易達(dá)到系統(tǒng)分岔點(diǎn)，AFS+DYC復(fù)合控制模式也將會(huì)更頻繁地介入，導(dǎo)致集成控制策略產(chǎn)生的前、后輪側(cè)偏角因?yàn)榭刂颇Ｊ降那袚Q出現(xiàn)了波動(dòng)。

圖15 輪胎側(cè)偏角結(jié)果對(duì)比

圖16展示了高速雙移線工況中動(dòng)力學(xué)集成控制策略計(jì)算出的最優(yōu)輸入。如圖所示，在控制過(guò)程中，當(dāng)車(chē)輛在DLC中兩次換道開(kāi)始、結(jié)束的轉(zhuǎn)向時(shí)均將控制模式切換為了AFS+DYC復(fù)合控制模式，此時(shí)控制模式的切換也導(dǎo)致了圖15中變量的波動(dòng)。

圖16 動(dòng)力學(xué)集成控制最優(yōu)輸入結(jié)果

綜上，本文提出的動(dòng)力學(xué)集成控制方法能夠在低附著路面轉(zhuǎn)向、高速轉(zhuǎn)向等易失穩(wěn)的極限工況下顯著改善車(chē)輛的橫擺穩(wěn)定性，降低路徑跟蹤誤差。

5 結(jié)論

為了充分發(fā)揮分布式驅(qū)動(dòng)構(gòu)型的控制靈活性，提高分布式電驅(qū)動(dòng)汽車(chē)在極限工況下的主動(dòng)安全性，本文提出了一種基于魯棒混雜模型預(yù)測(cè)控制算法的動(dòng)力學(xué)集成控制方法。

（1）建立了分段仿射橫擺動(dòng)力學(xué)模型，均衡了預(yù)測(cè)模型的建模精度與控制器的計(jì)算負(fù)擔(dān)，基于該方法生成的工程代碼能夠滿足PIL試驗(yàn)平臺(tái)的實(shí)時(shí)性要求，在50 ms的控制周期內(nèi)完成有限時(shí)域優(yōu)化問(wèn)題的求解。

（2）分析了多參數(shù)變化條件下的系統(tǒng)分岔行為，將系統(tǒng)分岔點(diǎn)作為極限工況的判別條件，構(gòu)造了車(chē)輛穩(wěn)定性判據(jù)。

（3）提出了基于魯棒混雜模型預(yù)測(cè)控制算法的動(dòng)力學(xué)集成控制策略，在車(chē)速存在有界擾動(dòng)時(shí)仍能保持控制策略的有效性。

處理器在環(huán)試驗(yàn)表明，相比于基于線性模型的MPC橫擺穩(wěn)定性控制方法，本文提出的動(dòng)力學(xué)集成控制方法在低附著路面行駛與高速轉(zhuǎn)向工況下可顯著改善車(chē)輛的橫擺穩(wěn)定性，提升了車(chē)輛的安全性能。其中，在對(duì)開(kāi)路面DLC工況下，高附著路段平均路徑跟蹤誤差為線性MPC的76.39%，低附著路段僅為線性MPC的3.19%；在高速DLC工況中，整個(gè)控制過(guò)程的平均路徑跟蹤誤差僅為線性MPC的4.41%。

在后續(xù)工作中，將對(duì)路面附著條件的快速辨識(shí)方法與考慮附著系數(shù)擾動(dòng)的魯棒控制方法開(kāi)展研究，使本文提出的控制方法能夠?qū)嶋H應(yīng)用于具有更加復(fù)雜多變的路面附著條件的場(chǎng)景中；并研究更精確的不動(dòng)點(diǎn)計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)更加精準(zhǔn)的非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。