文/黃萍
從全等三角形開始,幾何越發(fā)充滿智慧,有時一條輔助線能使“天塹”變“通途”。平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換只改變圖形的位置,不改變形狀與大小,變換前后圖形全等。若把這幾種變換(組合)稱為“搬移”,我們可以通過“搬移”巧添輔助線,構(gòu)造全等三角形,從而解決問題。
例如圖1,E是BC的中點,點A在DE上,且∠BAE=∠D,求證:AB=CD。
圖1
【分析】如圖2,延長AE到F,使EF=AE,連接CF,則△ABE≌△FCE,所以CF=BA,∠F=∠1=∠D,所以CD=CF=AB。
圖2
【點評】構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵。本題思路是利用倍長過中點的線段,構(gòu)造“八字形”全等。
【分析】如圖3,在DE上取點F,使CF=BE,因為BE=CE,得CF=CE,則∠CFE=∠CEF,所以∠DFC=∠AEB。再根據(jù)∠1=∠D,證得△ABE≌△DCF,則AB=CD。
圖3
【點評】若待證的結(jié)論一定“真”,則由它也能打開思路。運用目標啟發(fā)思考也要學(xué)會哦。
研究圖形的基本視角是“邊”和“角”,我們前面利用相等的邊構(gòu)造全等三角形,下面再看看相等的角。
【分析】基于∠1=∠D這一條件,我們不妨“搬移”△CDE。如圖4,使∠D與∠1重合,可這樣敘述輔助線:在DE的延長線上取點F,使BF=BE。余下的小讀者自己完成哦?。ǚ椒?也可以認為是從“角”的角度考慮。)
圖4
從相等的邊和相等的角這兩個視角出發(fā),還有其他搬移方法,同學(xué)們試試看吧!
初學(xué)全等,我們不妨借力“搬移”來投石問路,通過觀察,思考如何合理添加輔助線,構(gòu)造全等三角形。當你和各種圖形“相處熟悉”了,解題自然就水到渠成啦!