郭良帥,李懋坤,許慎恒,楊 帆

（清華大學(xué)電子工程系,北京 100084）

0 引言

目標(biāo)電磁散射與輻射特性在隱身與反隱身研究、雷達(dá)探測(cè)識(shí)別、天線優(yōu)化設(shè)計(jì)、信道建模等領(lǐng)域具有重要意義。受限于目標(biāo)電磁特性直接測(cè)量的高成本、長(zhǎng)周期、高費(fèi)效比等因素,電磁場(chǎng)仿真建模成為分析目標(biāo)電磁特性的核心技術(shù)手段。

電磁場(chǎng)仿真建模方法主要有基于積分方程的矩量法（MoM）、基于微分方程的有限元法（FEM）及時(shí)域有限差分方法（FDTD）等。其中MoM自動(dòng)滿足輻射邊界條件,更加適合求解電大目標(biāo)電磁問(wèn)題?；贛oM的快速仿真算法,如多層快速多極子（MLFMA）、區(qū)域分解（DMM）等,進(jìn)一步提升了MoM的計(jì)算效率,可滿足復(fù)雜中等電尺寸目標(biāo)電磁場(chǎng)分析求解的需求。

采用MoM求解目標(biāo)電磁場(chǎng)時(shí),需求解矩陣方程以獲取目標(biāo)表面的感應(yīng)電磁流系數(shù),從而獲取金屬表面或介質(zhì)體內(nèi)的電磁流。矩陣方程的求解復(fù)雜度是決定計(jì)算效率的核心。LU分解法、高斯（Gauss）消元法等傳統(tǒng)直接求解器的復(fù)雜度為O（N）（N為矩量法未知量數(shù)目）,僅能用于小維度矩陣方程求解。共軛梯度（CG）、最小殘差余量（GMRES）等算法基于Krylov子空間的迭代求解器的計(jì)算復(fù)雜度為O（N）,較直接求解器具有更高的計(jì)算效率,但仍無(wú)法滿足電大目標(biāo)電磁場(chǎng)仿真建模需求。

降低MoM未知量數(shù)目的高階基函數(shù)是一種降低計(jì)算復(fù)雜度的有效方法,通過(guò)增大離散網(wǎng)格密度,可以有效降低目標(biāo)離散單元個(gè)數(shù),減小阻抗矩陣方程維度,從而提升計(jì)算效率。但對(duì)于電大目標(biāo),該方法的矩陣方程計(jì)算復(fù)雜度仍無(wú)法滿足要求。文獻(xiàn)[7]將自適應(yīng)矩估計(jì)（adaptive moment estimation,Adam）用于電小目標(biāo)電磁仿真,取得了較好的效果,為基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的MoM仿真提供了一種新的思路。

本文提出了一種基于Adam的電大目標(biāo)電磁求解技術(shù),將矩陣方程的求解過(guò)程轉(zhuǎn)化為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)優(yōu)化過(guò)程。矩陣方程由行向量組成,每一個(gè)行向量視作一個(gè)訓(xùn)練樣本,激勵(lì)項(xiàng)向量視作數(shù)據(jù)標(biāo)簽。訓(xùn)練得到的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)即為原矩陣方程的解。由于每次訓(xùn)練過(guò)程中,僅隨機(jī)選擇部分樣本進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)參數(shù)訓(xùn)練,因此可以有效降低單次網(wǎng)絡(luò)參數(shù)更新的計(jì)算復(fù)雜度,提升計(jì)算效率。

本文首先給出MoM求解電大目標(biāo)電磁問(wèn)題的積分算子和矩陣方程,然后建立一種矩陣方程的等效神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,并利用Adam對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)進(jìn)行求解,最后通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證本文方法的有效性。

1 MoM積分算子

式中Δ:k為波數(shù);η為波阻抗;s為電流源積分區(qū)域;′為對(duì)源點(diǎn)的梯度算符;J（·）為目標(biāo)表面電流函數(shù);G（r,r′）為自由空間格林函數(shù),其中r,r′分別為場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)位置坐標(biāo)矢量。對(duì)于目標(biāo)表面未知的感應(yīng)電流,通常采用離散單元上的局部電流基函數(shù)進(jìn)行展開(kāi),然后代入式（1）,形成局部基函數(shù)展開(kāi)的散射場(chǎng)。目標(biāo)離散網(wǎng)格單元示意如圖1所示。目標(biāo)為雙錐體結(jié)構(gòu),尺寸為0.254 m×0.051 m×0.051 m,采用三角形網(wǎng)格剖分,網(wǎng)格密度為0.003 m。

圖1 目標(biāo)離散網(wǎng)格單元示意圖

選用RWG基函數(shù)作為展開(kāi)函數(shù),將目標(biāo)上連續(xù)的感應(yīng)電磁流離散為三角形面元上的局部基函數(shù)的線性組合,以分析目標(biāo)的散射場(chǎng)。RWG基函數(shù)表達(dá)式為

圖2 RWG基函數(shù)示意圖

假設(shè)外部照射平面波為E（r）=exp（jk·r）,k為傳播矢量。根據(jù)金屬表面邊界條件,采用伽遼金（Galerkin）匹配方法,建立的矩量法矩陣方程為

式中:N為基函數(shù)個(gè)數(shù)（一般為剖分網(wǎng)絡(luò)單元的公共邊個(gè)數(shù)）;z為矩量法阻抗矩陣第i行第j列的矩陣元素;x為感應(yīng)電流在基函數(shù)上的展開(kāi)系數(shù);b為第i個(gè)激勵(lì)項(xiàng)元素;f（·）,f（·）分別為第i個(gè)和第j個(gè)基函數(shù);Δ為對(duì)場(chǎng)點(diǎn)的梯度算符;s,s分別為第i個(gè)和第j個(gè)基函數(shù)對(duì)應(yīng)的積分區(qū)域。

根據(jù)式（4）,通過(guò)求解矩陣方程得到展開(kāi)電流系數(shù)x,進(jìn)而可得到目標(biāo)表面的感應(yīng)電磁流。由于RWG基函數(shù)要求離散網(wǎng)格密度不大于0.2λ（λ為電磁波波長(zhǎng)）,對(duì)于電大目標(biāo)通常會(huì)產(chǎn)生大量的未知數(shù)。為降低基函數(shù)數(shù)目,本文采用大面元上的相位提?。╬hase extraction,PE）基函數(shù)開(kāi)展電流擬合,以降低計(jì)算復(fù)雜度。

采用PE基函數(shù)進(jìn)行電流擬合,可以定義為

式中:k為入射電磁波矢量。將式（7）帶入式（4）可得到相應(yīng)的矩陣方程。相較于RWG基函數(shù),PE基函數(shù)將變化劇烈的相位項(xiàng)單獨(dú)提出,變化平緩的幅度項(xiàng)用RWG基函數(shù)描述,降低了對(duì)基函數(shù)離散網(wǎng)絡(luò)密度的要求。對(duì)于平滑結(jié)構(gòu),PE基函數(shù)對(duì)目標(biāo)的離散網(wǎng)格密度可達(dá)到0.5λ以上。

式中：σ為黑體輻射常數(shù)；εeff為腔體有效發(fā)射率；Tcav為吸收腔內(nèi)表面溫度；Ta為周?chē)h(huán)境溫度；εw為腔體內(nèi)壁材料的熱發(fā)射率。

2 矩陣方程的網(wǎng)絡(luò)等效

MoM求解目標(biāo)電磁問(wèn)題的關(guān)鍵在于式（4）的計(jì)算。將式（4）中矩陣方差簡(jiǎn)化描述為

式中:Z為阻抗矩陣;x為系數(shù)矩陣;b為激勵(lì)項(xiàng)矩陣。式（8）的求解可轉(zhuǎn)化為代價(jià)函數(shù)的最小值優(yōu)化問(wèn)題,代價(jià)函數(shù)J（x）定義為

式中:min（·）為取最小值函數(shù);|·|為求絕對(duì)值運(yùn)算符。

針對(duì)該優(yōu)化問(wèn)題,建立等效神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型,如圖3所示。阻抗矩陣Z的每一行看作一個(gè)訓(xùn)練樣本,網(wǎng)絡(luò)模型實(shí)現(xiàn)矩陣向量乘運(yùn)算。激勵(lì)項(xiàng)矩陣b看作數(shù)據(jù)標(biāo)簽,待求系數(shù)矩陣x看作神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù),訓(xùn)練得到的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)即為原矩陣方程的解。圖3中,網(wǎng)絡(luò)輸出包含的兩個(gè)元素b,b分別對(duì)應(yīng)數(shù)值標(biāo)簽的實(shí)部和虛部;z,z分別為阻抗矩陣行向量z的實(shí)部和虛部;x,x分別為展開(kāi)系數(shù)向量的實(shí)部和虛部;w-w分別為矩陣向量相乘得到的中間結(jié)果（復(fù)數(shù)矩陣分成實(shí)部、虛部后得到的實(shí)數(shù)向量）。對(duì)于式（9）的優(yōu)化,應(yīng)分別按照實(shí)部和虛部進(jìn)行范數(shù)計(jì)算。通過(guò)梯度下降算法可獲取網(wǎng)絡(luò)參數(shù),實(shí)現(xiàn)原矩陣方程的求解。

圖3 等效神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型

3 Adam求解算法

Adam是一種自適應(yīng)更新步長(zhǎng)的求解算法,通過(guò)自動(dòng)調(diào)整梯度下降過(guò)程中的更新步長(zhǎng)提升神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)訓(xùn)練效率。Adam算法迭代求解公式為

當(dāng)更新步長(zhǎng)α較大時(shí),更新快,但不易收斂;當(dāng)α較小時(shí),更新慢。不同更新步長(zhǎng)的收斂效果如圖4所示。

圖4 不同更新步長(zhǎng)的收斂效果

更新步長(zhǎng)太大,則收斂很快,但在最優(yōu)解附近易出現(xiàn)振蕩;更新步長(zhǎng)太小,則收斂很慢,而且易陷入局部最優(yōu)解中。為解決該問(wèn)題,本文采用的步長(zhǎng)更新方程為

式中:α（n）為第n步的更新步長(zhǎng);α（0）為初始步長(zhǎng);υ為加權(quán)系數(shù);τ為修正系數(shù);n′為步長(zhǎng)修正數(shù)目,用于控制更新步長(zhǎng)大小;L為步數(shù)控制參數(shù)。當(dāng)?shù)綌?shù)大于L時(shí),更新步長(zhǎng)不再改變。

該策略可以將更新步長(zhǎng)控制在有限的范圍內(nèi)。設(shè)α（0）=0.1,υ=0.5,L=70,更新步長(zhǎng)余弦衰減曲線如圖5所示。

圖5 更新步長(zhǎng)余弦衰減曲線

利用Adam算法求解式（9）中的代價(jià)函數(shù),可完成矩陣方程求解。根據(jù)式（10）,求解過(guò)程中,采用不同的迭代步數(shù),隨機(jī)地選擇部分樣本數(shù)據(jù)而不是全部數(shù)據(jù),進(jìn)行g(shù)（n）的計(jì)算,以降低單步求解復(fù)雜度。

4 數(shù)值算例

在計(jì)算機(jī)（Intel i5-9600K@3.7GHz）上對(duì)圖6所示的半徑為5.0 m的金屬球開(kāi)展遠(yuǎn)場(chǎng)雷達(dá)散射截面積（RCS）仿真。采用平面波入射,頻率為300 MHz,沿-x方向傳播,y方向極化。散射掃描平面為x-y平面,方位角掃描間隔0.5°。通過(guò)與GMRES算法求解結(jié)果對(duì)比,驗(yàn)證Adam算法仿真精度和效率。

圖6 金屬球仿真示意圖

不同求解算法得到的金屬球RCS仿真結(jié)果如圖7所示。各算法求解結(jié)果吻合較好,Adam算法求解得到RCS與Mie級(jí)數(shù)的均方根誤差為0.53 dBsm,精度較高。

圖7 金屬球RCS仿真結(jié)果

圖8給出了采用GMRES算法和Adam算法求解矩陣方程的誤差收斂曲線,其中GMRES算法迭代步數(shù)20,耗時(shí)10.3 s,Adam算法（每次更新采用的樣本數(shù)為904）迭代步數(shù)213,耗時(shí)7.1 s。

圖8 不同算法迭代收斂曲線

對(duì)圖9所示的邊長(zhǎng)為1 m的金屬立方體開(kāi)展RCS仿真。平面波照射頻率為3.0 GHz,入射角度為俯仰90°、方位0°,水平極化;散射掃描角度為俯仰90°、方位0°～180°,掃描間隔0.5°。

圖9 立方體仿真模型

采用傳統(tǒng)RWG基函數(shù)的網(wǎng)格數(shù)為132 192,采用PE基函數(shù)的網(wǎng)格數(shù)為3 168,采用 MoM形成的阻抗矩陣維度縮減為傳統(tǒng)RWG阻抗矩陣維度的0.05%。以RWG基函數(shù)仿真結(jié)果為參考,采用Adam算法求解PE基函數(shù)生成的矩陣方程,單步更新樣本數(shù)為1 584。不同方法求解立方體RCS和感應(yīng)電流系數(shù)的仿真結(jié)果如圖10所示。

圖10（a）給出了采用RWG基函數(shù)離散目標(biāo),利用GMRES算法求解矩陣方程得到的RCS仿真結(jié)果,與本文所提方法求解仿真結(jié)果的對(duì)比曲線,均方根誤差為1.3 dBsm,仿真結(jié)果吻合較好。產(chǎn)生誤差的主要原因是Adam算法基于歷史梯度信息對(duì)更新方向進(jìn)行修正,而GMRES算法通過(guò)修正子空間上的全局梯度信息進(jìn)行更新,在預(yù)設(shè)閾值下存在一定偏差。圖10（b）給出了采用PE基函數(shù)離散目標(biāo),分別利用GMRES和Adam求解矩陣方程得到的目標(biāo)表面感應(yīng)電流系數(shù),實(shí)部均方根誤差為-70 dB,虛部均方根誤差為-58 dB,兩者吻合較好。其中阻抗矩陣條件數(shù)為259.9,GMRES迭代81步后相對(duì)誤差為0.009,耗時(shí)13.2 s,Adam迭代212步后相對(duì)誤差為0.01,耗時(shí)5.6 s。

圖10 不同方法求解立方體RCS和感應(yīng)電流系數(shù)的仿真結(jié)果

5 結(jié)論

本文提出了一種基于Adam的電大目標(biāo)電磁場(chǎng)快速求解方法。首先利用大離散單元上的PE基函數(shù)有效降低MoM阻抗矩陣維度,然后將矩陣方程求解轉(zhuǎn)化為代價(jià)函數(shù)的最小值優(yōu)化問(wèn)題,最后設(shè)計(jì)一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,訓(xùn)練得到的網(wǎng)絡(luò)權(quán)值即為原矩陣方程的解。網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程中Adam算法的梯度和二階矩的更新僅采用部分?jǐn)?shù)據(jù)開(kāi)展計(jì)算,降低了單步求解計(jì)算復(fù)雜度。數(shù)值仿真驗(yàn)證了本文所提算法的有效性。