仇思楠，曹小紅

陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710119

線性算子的譜理論是算子理論的重要組成部分。該理論源于代數(shù)方程、線性方程組、積分方程和微分方程的特征值求解問(wèn)題，與算子方程的求解關(guān)系密切。1909 年，Weyl［1］在檢測(cè)Hilbert 空間上自伴算子所有緊攝動(dòng)的譜時(shí)發(fā)現(xiàn)：自伴算子T的所有緊攝動(dòng)譜集的交集恰好是其譜集中非孤立的有限重特征值全體，這一性質(zhì)被人們稱(chēng)為Weyl定理。自此之后，一方面，許多學(xué)者開(kāi)始研究哪些算子滿足Weyl定理，于是滿足Weyl 定理的算子范圍不斷地?cái)U(kuò)大［2-9］；另一方面，Weyl 定理的形式也在不斷變化，其中Weyl 定理的一種變形就是由Harte 和Lee 定義的Browder 定理［10］。近年來(lái)，許多學(xué)者利用不同的譜集給出了算子滿足Weyl 型定理的各種判定方法［11-13］。本文將借鑒文獻(xiàn)［11］的思想方法，用一種新定義的譜集來(lái)刻畫(huà)有界線性算子及其函數(shù)的Browder定理。

1 預(yù)備知識(shí)

在本文中，H表示無(wú)限維復(fù)可分的Hilbert 空間，B(H)表示H上的有界線性算子全體，T*表示T∈B(H)的共軛算子。稱(chēng)算子T∈B(H)為上半Fredholm 算子，若T的零空間N(T)是有限維的且值域

對(duì)T∈B(H)，算子T的譜，本質(zhì)譜，Weyl譜，Browder譜，本質(zhì)逼近點(diǎn)譜，Saphar譜，Kato譜分別表示為σ(T)，σe(T)，σw(T)，σb(T)，σea(T)，σS(T)以及σK(T). 相應(yīng)的預(yù)解集分別為：ρ(T) = Cσ(T)，ρe(T) = Cσe(T)，ρw(T) = Cσw(T)，ρb(T) = Cσb(T)，ρea(T) = Cσea(T)，ρS(T) = CσS(T)，ρK(T) = CσK(T). 記σC(T) ={λ∈C：R(T-λI)不閉}，由Kato 算子定義可知σK(T) =σS(T) ∪σC(T). 此外，記σ0(T) =σ(T)σb(T)，ρ+e(T) ={λ∈ρe(T)：ind(T-λI) ＞0}. 用B°(λ0；ε)表示λ0的ε空心鄰域，D 表示單位閉圓盤(pán)，Γ 表示單位圓周。對(duì)集合E?C，用isoE表示E中孤立點(diǎn)的全體，?E表示E中邊界點(diǎn)的全體，accE表示E中聚點(diǎn)的全體，intE表示E中內(nèi)點(diǎn)的全體。

我們知道，對(duì)于T∈B(H)，任給多項(xiàng)式p，有σ(p(T)) =p(σ(T))，σe(p(T)) =p(σe(T))，σb(p(T)) =p(σb(T))，σa(p(T)) =p(σa(T)). 特別地，由文獻(xiàn)([14，Satz6])知，對(duì)于T∈B(H)，任給多項(xiàng)式p，有σK(p(T)) =p(σK(T)).

2 有界線性算子的Browder定理

在文獻(xiàn)［11］中，作者定義了一個(gè)新的譜集σ3(T)并由此研究了有界線性算子T及其函數(shù)演算的Weyl型定理。下面將繼續(xù)該項(xiàng)工作。首先定義集合

令σ3(T) = Cρ3(T)，則σ3(T) ?σw(T) ?σb(T) ?σ(T).

設(shè)T∈B(H)， 算 子T滿 足Browder 定 理 是 指σ(T)σw(T) ?π00(T) 或σw(T) =σb(T)， 其 中π00(T) ={λ∈isoσ(T)：0 ＜n(T-λI) ＜∞}；算 子T滿 足Weyl 定 理 是 指σ(T)σw(T) =π00(T). 顯 然，Browder 定理只是Weyl 定理的一部分，算子滿足Weyl 定理則必定滿足Browder 定理，反之，若算子滿足Browder定理，則未必滿足Weyl定理。

下面，借助σ3(T)來(lái)刻畫(huà)有界線性算子及其函數(shù)的Browder定理。

定理1設(shè)T∈B(H)，則下列敘述等價(jià)：

（i）T滿足Browder定理；

（ii）σ(T) =σ3(T) ?isoσ(T)；

（iii）accσ(T) ?σ3(T)；

（iv）σ3(T) = accσ(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}；

（v）intσ(T) ?σ3(T)；

（vi）σ(T) =σ3(T) ??σ(T)；

（vii）intσ(T) = intσ3(T)；

（viii）accσ(T) = accσ3(T) ?accisoσ(T)；

（ix）σ3(T) = intσ(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?[accσ(T) ??σ(T)]；

（x）σ(T) = accσ3(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σC(T) ?σ0(T)；

（xi）σ(T) = accσ3(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σK(T)；

（xii）σ(T) =σ3(T) ?σC(T) ?σ0(T)；

（xiii）σ(T) =σ3(T) ?σK(T).

證明

（i）?（ii）任 給λ0?σ3(T) ?isoσ(T)，由ρ3(T) 的 定 義 及 已 知 條 件T滿 足Browder 定 理 可 知λ0∈ρ(T) ?isoσ(T). 又由于λ0?isoσ(T)，因此λ0?σ(T).反包含顯然成立。

（ii）?（iii）由accσ(T) ?σ(T) =σ3(T) ?isoσ(T)知accσ(T) ?σ3(T).

（iii）?（iv）對(duì)任意λ0?accσ(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}，則λ0∈ρ(T) ?isoσ(T)，且n(T-λ0I) ＜∞，于是λ0?σ3(T).反包含顯然成立。

（iv）?（v）顯然。

（v）?（vi）σ(T) = intσ(T) ??σ(T) ?σ3(T) ??σ(T).

（vi）?（vii）由intσ(T) ?σ(T) =σ3(T) ??σ(T)知intσ(T) ?σ3(T)，于是intσ(T) ?intσ3(T). 反包含顯然成立。

（vii）?（i）設(shè)T-λ0I是Weyl 算子，則λ0?intσ3(T) = intσ(T)，所以λ0∈ρ(T) ??σ(T)，故T-λ0I是Browder算子。

（ii）?（viii）顯然。

（viii）?（i）設(shè)T-λ0I是Weyl 算子，則λ0?accσ3(T) ?accisoσ(T)，因此λ0?accσ(T)，于是T-λ0I是Browder算子。

（iii） ? （ix） 對(duì) 任 意λ0?intσ(T) ∪{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?[accσ(T) ??σ(T)]， 則λ0∈ρ(T)?isoσ(T)，且n(T-λ0I)＜∞，因此λ0?σ3(T). 反包含顯然成立。

（ix）?（v）顯然。

（i）?（x）任給λ0?accσ3(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σC(T) ?σ0(T)，則T-λ0I是上半Fredholm算子且λ0∈ρ3(T) ?isoσ3(T)且λ0?σ0(T). 由半Fredholm 算子的攝動(dòng)理論以及ρ3(T)的定義知T-λ0I為Weyl算子。由于T滿足Browder定理，則T-λ0I為Browder算子，又由于λ0?σ0(T)，于是λ0?σ(T). 反包含顯然成立。

（x）?（xi）顯然。

（xi）?（i）設(shè)T-λ0I是Weyl 算子，則存在ε＞0，當(dāng)0 ＜|λ-λ0|＜ε時(shí)，λ∈ρw(T) ?ρK(T). 所以λ?accσ3(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σK(T)，從而T-λI可逆。于是T-λ0I是Browder算子。

（xii）?（xiii）顯然。

（xiii）?（i）設(shè)T-λ0I是Weyl 算子，則存在ε＞0，當(dāng)0 ＜|λ-λ0|＜ε時(shí)，λ∈ρw(T) ?ρK(T). 所以λ?σ3(T) ?σK(T)，從而T-λI可逆。于是T-λ0I是Browder算子。

注1

（i）當(dāng)T滿足Browder定理時(shí)，定理1的（x）中σ(T)分解的四部分缺一不可。

例2令T∈B(?2)定 義 為：T(x1，x2，x3，…) =(0，x1，x2，x3，…)，則σ(T) =σw(T) =σb(T) = D，但 是{λ∈C：n(T-λI) = ∞}=σ0(T) = ?，σC(T) = Γ，σ(T) ≠{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σC(T) ?σ0(T)， 故accσ3(T)不能缺。

例3令T∈B(?2)定義為：T(x1，x2，x3，…) =(0，x2，x3，x4，…)，則σ(T) ={0，1}，σw(T) =σb(T) ={1}，即T滿 足Browder 定 理。 但 是accσ3(T) =σC(T) = ?，{λ∈C：n(T-λI) = ∞}={1}，σ0(T) ={0}，σ(T) ≠accσ3(T) ?σC(T) ∪σ0(T)，故{λ∈C：n(T-λI) = ∞}不能缺。σ(T) ≠accσ3(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σC(T)，故σ0(T)不能缺。

（iv）σ(T) =σ3(T)當(dāng)且僅當(dāng)T滿足Browder定理且{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}= ?.

證 明 必 要 性。根 據(jù) 定 理1，T滿 足Browder 定 理 顯 然 成 立。由{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}?ρ3(T) =ρ(T)知{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}= ?.

充分性。σ(T) ?σ3(T) 顯然。下證σ3(T) ?σ(T). 若λ0?σ3(T)，由T滿足Browder 定理，則λ0∈ρ(T) ?isoσ(T)，但是{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}= ?，于是λ0?σ(T).

（v）當(dāng)accσ(T) = accσ3(T)時(shí)，T滿足Browder 定理。反之不成立。如例4，雖然T滿足Browder 定理，但是accσ(T) ={0}，accσ3(T) = ?，accσ(T) ≠accσ3(T).

（vi）accσ(T) = accσ3(T)當(dāng)且僅當(dāng)T滿足Browder定理且E= ?，其中

E={λ∈C：存在ε＞0，當(dāng)0 ＜|μ-λ|＜ε時(shí)，n(T-μI) ＜∞，并且μ∈ρ(T) ?isoσ(T)}?accisoσ(T).

證明 必要性。當(dāng)accσ(T) = accσ3(T)時(shí)，E?accσ(T)，但E∩accσ3(T) = ?，故E= ?.

充分性。任給λ0?accσ3(T)，則由T滿足Browder 定理可知存在ε＞0，使得當(dāng)0 ＜|μ-λ0|＜ε時(shí)，n(T-μI) ＜∞并且μ∈ρ(T) ?isoσ(T). 由E= ? 知，λ0?accisoσ(T). 從 而 當(dāng)0 ＜|μ-λ0|＜ε時(shí)，μ∈ρ(T)，即λ0∈ρ(T) ?isoσ(T). 故accσ(T) = accσ3(T).

在定理1 中，主要用σ(T)與σ3(T)，accσ(T)與σ3(T)，intσ(T)與σ3(T)，σ(T)與accσ3(T)之間的關(guān)系來(lái)刻畫(huà)算子T的Browder 定理。接下來(lái)，繼續(xù)用σ(T)與accσ3(T)之間的關(guān)系來(lái)討論算子T的Browder定理。

推論1設(shè)T∈B(H)，則下列敘述等價(jià)：

（i）T滿足Browder定理；

證明

（i）?（ii） 任 給λ0?accσ3(T) ?accisoσ(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?σ0(T)，由定理1 可知，λ0∈ρ(T) ?isoσ(T). 斷言：λ0?isoσ(T). 若否，則n(T-λ0I) ≥d(T-λ0I)，又n(T-λ0I) ＜∞，從而T-λ0I是Fredholm算子。由于λ0∈isoσ(T)，因此λ0∈σ0(T). 這與λ0?σ0(T)矛盾。于是λ0?σ(T)得證。反包含顯然成立。

（ii）?（iii）顯然。

（iii）?（i）設(shè)T-λ0I是Weyl 算子，則存在ε＞0，使得當(dāng)0 ＜|μ-λ0|＜ε時(shí)，μ∈ρw(T) ?ρS(T). 故μ?accσ3(T) ?accisoσ(T) ?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?σS(T)，從而μ?σ(T). 于是λ0∈ρ(T) ?isoσ(T)，即T-λ0I是Browder算子。

接下來(lái)，用σ(T)和intσ3(T)之間的關(guān)系來(lái)討論算子T的Browder定理。推論2設(shè)T∈B(H)，則下列敘述等價(jià)：

（i）T滿足Browder定理；

（ii）σ(T) = intσ3(T) ?{λ∈?σ(T)：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σ0(T)；

（iii）σ(T) = intσ3(T) ?{λ∈?σ(T)：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σS(T).

證明

（i）?（ii）任給λ0?intσ3(T) ?{λ∈?σ(T)：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σ0(T)，則 對(duì) 任 意Bo(λ0，ε)， 存 在λ1∈Bo(λ0，ε)， 使 得λ1∈ρ3(T). 于 是 存 在λ2∈Bo(λ0，ε)， 使 得λ2∈ρw(T) ∪ρS(T). 由T滿足Browder 定理，所以λ2∈ρ(T). 因此λ0∈ρ(T) ??σ(T). 若λ0∈?σ(T)，則T-λ0I是Fredholm 算子，由Fredholm 算子的攝動(dòng)定理可知，T-λ0I是Weyl算子，又由T滿足Browder定理且λ0?σ0(T) 得到λ0∈ρ(T). 反包含顯然成立。

（ii）?（iii）顯然。

（iii）?（i）設(shè)T-λ0I是Weyl 算子，則存在ε＞0，使得當(dāng)0 ＜|μ-λ0|＜ε時(shí)，μ∈ρw(T) ?ρS(T). 故μ?intσ3(T) ?{λ∈?σ(T)：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?{λ∈C：n(T-λI) = ∞}?σS(T)， 從 而μ?σ(T).于是λ0∈ρ(T) ?isoσ(T)，因此T-λ0I是Browder算子。

注2

（i）在推論1和推論2中，通過(guò)舉例可知，當(dāng)T滿足Browder定理時(shí)，σ(T)分解的幾部分仍然是缺一不可的。

（ii）intσ3(T) = ?且T滿足Browder定理當(dāng)且僅當(dāng)

證明 必要性。由條件及推論2 知σ(T) ={λ∈?σ(T)：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?{λ∈C：n(T-λI) =∞}?σ0(T). 容易證明

于是可得

所以σ(T) ={λ∈?σ(T)：n(T-λI) ≤d(T-λI)}∪σ0(T).

充分性。因?yàn)棣?T) ={λ∈?σ(T)：n(T-λI) ≤d(T-λI)}?σ0(T) ??σ(T)，所以intσ(T) = ?，于是intσ3(T) = ?，根據(jù)定理1可知T滿足Browder定理。

（iii）由前面的結(jié)論，當(dāng)σ(T) =σ3(T) 或accσ(T) = accσ3(T) 或intσ(T) = intσ3(T) 時(shí)，T均 滿 足Browder定理。但是，當(dāng)?σ(T) = ?σ3(T)時(shí)，無(wú)法確定T是否滿足Browder定理。下面，舉例進(jìn)行說(shuō)明。

例5設(shè)A，B∈B(?2)分別定義為：A(x1，x2，x3，…) =(0，x1，x2，x3，…)，B(x1，x2，x3，…) =(x2，x3，x4，…)，令T= diag(A，B)，則σ(T) = D，σ3(T) = Γ，?σ(T) = ?σ3(T)，但是σb(T) = D，σw(T) = Γ，故T不滿足Browder定理。

（i）T滿足Browder定理；

（ii）σ3(T) = intσ(T) ??σ3(T)；

（iii）σ(T) = ?σ3(T) ?isoσ(T) ?accσw(T)；

（iv）σ(T) = ?σ3(T) ?{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?accσw(T) ?σ0(T)；

（v）σ(T) = ?σ3(T) ?{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?accσw(T) ?σS(T).

證明

（i）?（ii）因?yàn)門(mén)滿足Browder定理，根據(jù)定理1，故σ3(T) = intσ(T) ??σ3(T).

（ii） ?（iii）σ(T) =σ3(T) ?[ρ3(T) ?σ(T)]= intσ(T) ??σ3(T) ?[ρ3(T) ?σ(T)]. 由σ3(T) =intσ(T) ??σ3(T) 知，ρw(T) ?ρ(T) ??σ(T). 故T滿 足Browder 定 理，于 是intσ(T) ?accσw(T)，ρ3(T) ?σ(T) ?isoσ(T). 因此?σ3(T) ?isoσ(T) ?accσw(T) ?σ(T). 反包含顯然成立。

（iii）?（iv）由（iii）知σ(T) = ?σ3(T) ?isoσ(T) ?accσw(T)，又因?yàn)?/p>

所以σ(T) ??σ3(T) ∪{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?accσw(T) ?σ0(T). 反包含顯然成立。

（iv）?（v）顯然。

（v）?（i）設(shè)T-λ0I是Weyl 算子，則存在ε＞0，使是當(dāng)0 ＜|μ-λ0|＜ε時(shí)，μ∈ρw(T) ?ρS(T). 故μ??σ3(T) ?{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}?accσw(T) ?σS(T)， 從 而μ?σ(T). 于 是λ0∈ρ(T) ?isoσ(T)，因此T-λ0I是Browder算子。

注3

（i）設(shè)T滿足Browder定理且{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}= ?，則?σ(T) = ?σ3(T). 反之不成立。

事實(shí)上，由T滿足Browder 定理知ρ3(T) ={λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}?ρ(T) =ρ(T)，于是?σ(T) =?σ3(T). 而當(dāng)?σ(T) = ?σ3(T)時(shí)，一定有{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}= ?.

（ii）T滿足Browder定理且{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}= ?當(dāng)且僅當(dāng)σ(T) =σ3(T).

（iii）T滿足Browder定理且?σ(T) = ?σ3(T)當(dāng)且僅當(dāng)σ(T) =σ3(T).

3 算子函數(shù)的Browder定理

我們知道，算子滿足Browder 定理并不能推出其函數(shù)演算滿足Browder 定理。接下來(lái)，借助σ(T)和σ3(T)之間的關(guān)系來(lái)討論算子函數(shù)的Browder定理。

定理2設(shè)T∈B(H)，則對(duì)任意的多項(xiàng)式p，p(T)滿足Browder定理當(dāng)且僅當(dāng)

（i）T滿足Browder定理；

（ii） 對(duì)任意多項(xiàng)式p，p(σ3(T)) ?σw(p(T)).

證明 必要性。（i）顯然成立。對(duì)任意多項(xiàng)式p，p(σ3(T)) ?p(σb(T)) =σb(p(T)) =σw(p(T))，故（ii）成立。

充分性。先證明對(duì)任意λ，μ∈ρe(T)，有ind(T-λI) · ind(T-μI) ≥0. 反證：若存在λ0，μ0∈ρe(T)，使得ind(T-λ0I) =n＞0，ind(T-μ0I) = -m＜0，其中n和m都是正整數(shù)。令p0(T) =(T-λ0I)m(T-μ0I)n，則p0(T)為Weyl算子，而0 =p0(λ0)=p0(μ0) ∈p0(σ3(T)) ?σw(p0(T))，矛盾。故對(duì)任意λ，μ∈ρe(T)，有ind(T-λI) · ind(T-μI) ≥0. 設(shè)p(T) -μI是 Weyl 算 子， 令p(x) -μ=a(x-λ)n1(x-λ)n2…(x-12λk)nk，μ=p(λi)，i= 1，…，k.則p(T) -μI=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nk，且

所以T-λiI是Weyl算子。故T-λiI是Browder算子，于是p(T) -μI是Browder算子。

注4對(duì)于定理2，考慮這樣一個(gè)問(wèn)題：條件“對(duì)任意多項(xiàng)式p，p(σ3(T)) ?σw(p(T))”在什么情況下可以加強(qiáng)為“對(duì)任意多項(xiàng)式p，p(σ3(T)) =σw(p(T))”？為此，有如下結(jié)論。

設(shè)T∈B(H)，則對(duì)任意的多項(xiàng)式p，p(T)滿足Browder 定理且{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}=σ0(T)當(dāng)且僅當(dāng)

（i）T滿足Browder定理；

（ii）對(duì)任意多項(xiàng)式p，p(σ3(T)) =σw(p(T)).

證明 必要性。只需證p(σ3(T)) ?σw(p(T)). 對(duì)任意μ0?p(σ3(T))，令p(x) -μ0=a(x-λ1)n1(x-λ2)n2…(x-λk)nk，μ0=p(λi)，i= 1，…，k. 則p(T) -μ0I=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nk. 顯 然λi?σ3(T). 從而λi∈ρ(T) ?isoσ(T). 不妨設(shè)λi∈isoσ(T)，則由已知條件得λi∈σ0(T)，因此T-λiI是Browder算子。故μ0?σw(p(T)).

充分性。只需證{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}?σ0(T). 由已知條件可知σ3(T) =σw(T)，又因?yàn)閧λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}?ρ3(T)，所以{λ∈isoσ(T)：n(T-λI) ＜∞}?σ0(T).

推論4設(shè)T∈B(H)，則對(duì)任意的多項(xiàng)式p，p(T)滿足Browder定理當(dāng)且僅當(dāng)

（i）T滿足Browder定理；

（ii）對(duì)任意多項(xiàng)式p，p(σ3(T) ?ρe(T)) ?ρw(p(T)) = ?.

證明 必要性。由定理2 知，對(duì)任意多項(xiàng)式p，p(σ3(T) ?ρe(T)) ?p(σ3(T)) ?σw(p(T)). 因此p(σ3(T) ?ρe(T)) ?ρw(p(T)) = ?.

充分性。根據(jù)定理2，只需證對(duì)任意多項(xiàng)式p，p(σ3(T)) ?σw(p(T)). 對(duì)任意μ0?σw(p(T))，設(shè)p(T) -μ0I=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nk，則T-λiI是Fredholm 算子，其中i= 1，…，k.若存在j，使得ind(T-λjI) ＞0，則λj∈σ3(T)，從而p(σ3(T) ?ρe(T)) ?ρw(p(T)) ≠?，矛盾。于是任意1 ≤i≤k有ind(T-λiI) ≤0. 同理可得任意1 ≤i≤k有ind(T-λiI) ≥0. 從而λi?σ3(T)，故μ0?p(σ3(T)).

推論5設(shè)T∈B(H)，則對(duì)任意的多項(xiàng)式p，p(T)滿足Browder定理當(dāng)且僅當(dāng)

（i）T滿足Browder定理；

（ii）對(duì)任意多項(xiàng)式p，p(σ3(T)) =σ3(p(T)).

證明 充分性。由定理2，顯然。

下證σ3(p(T)) ?p(σ3(T)). 任意μ0?p(σ3(T))，設(shè)p(T) -μ0I=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nk，其中i= 1，…，k. 則λi?σ3(T)，從而n(p(T) -μ0I) ＜∞. 由T滿足Browder 定理，λi∈ρ(T) ?isoσ(T). 不妨設(shè)λi∈isoσ(T)，i= 1，…，k. 則{λi}，i= 1，…，k，為k個(gè)開(kāi)閉集，從而T= diag(T1，T2，…，Tk，A)，其中σ(Ti)={λi}，σ(A) =σ(T){λ1，…λk}. 于 是p(T) = diag(p(T1)，p(T2)，…，p(Tk)，p(A))， 其 中σ(p(Ti)) =p(σ(Ti)) ={μ0}，σ(p(A)) =p(σ(A)). 因 為λi?σ(A)，故μ0?p(σ(A))，于 是μ0∈isoσ(p(T))，因 此μ0?σ3(p(T)).

定理3設(shè)T∈B(H)，則對(duì)任意的多項(xiàng)式p，p(T)滿足Browder定理當(dāng)且僅當(dāng)T滿足Browder定理且下列之一成立：

（i）ρ+e(T) = ?；

（ii）σ3(T) ?σe(T) ?σea(T).

證明 必要性。T滿足Browder定理顯然成立。下面證明（i），（ii）至少有一個(gè)成立。采用反證法，若存在λ1∈ρ+e(T)且λ2∈σ3(T) ?ρe(T) ?ρea(T)，則T-λ1I是Fredholm 算子且ind(T-λ1I) =n＞0，T-λ2I是Fredholm 算子且ind(T-λ2I) = -m＜0，其中n和m都是正整數(shù)。令p(T) =(T-λ1I)m(T-λ2I)n，則p(T)為Fredholm 算子且ind(p(T)) = 0，由p(T)滿足Browder 定理，從而p(T)是Browder 算子，因此T-λ1I是Browder 算子，這與ind(T-λ1I) ＞0 矛盾。故ρ+e(T) = ?與σ3(T) ?σe(T) ?σea(T)至少有一個(gè)成立。

充分性。若（i）成立，即若T-λI是Fredholm 算子，則ind(T-λI) ≤0. 設(shè)p(T) -μ0I是Weyl算子，令p(x) -μ0=a(x-λ1)n1(x-λ2)n2…(x-λk)nk，μ0=p(λi)，i= 1，…，k. 則p(T) -μ0I=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nk且0 = ind(p(T) -μ0I) =n1ind(T-λ1I) +n2ind(T-λ2I) + … +nkind(T-λkI)， 所 以T-λiI是Weyl算子，又T滿足Browder定理，故T-λiI是Browder算子，于是p(T) -μ0I是Browder算子。

同理，若（ii）成立，由ρ3(T)的定義及Fredholm 算子的攝動(dòng)定理可知，若T-λI是Fredholm 算子，則ind(T-λI) ≥0. 于是，仍可證得對(duì)任意的多項(xiàng)式p，p(T)滿足Browder定理。

事實(shí)上，σ3(T) ?σe(T) ?σea(T*)當(dāng)且僅當(dāng)ρ+e(T) = ?. 因此，有如下推論。

推論6設(shè)T∈B(H)，則對(duì)任意的多項(xiàng)式p，p(T)滿足Browder定理當(dāng)且僅當(dāng)T滿足Browder定理且下列之一成立

（i）σ3(T) ?σe(T) ?σea(T*)；

（ii）σ3(T) ?σe(T) ?σea(T).