樸勇杰

延邊大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，吉林 延吉 133002

令R+是非負(fù)實(shí)數(shù)集。2008年，Akram等[1]引進(jìn)了一個(gè)滿足以下條件的函數(shù)α：(R+)3→R+的集合的函數(shù)類A

（i）α在(R+)3是連續(xù)的；

（ii）存在實(shí)數(shù)k∈[0，1)使得對(duì)任意a，b∈[0，∞)，當(dāng)a≤α(a，b，b)或a≤α(b，a，b)或a≤α(b，b，a)時(shí)有a≤kb.

同時(shí)，稱實(shí)數(shù)空間X上的自映射T是A-收縮，是指存在α∈A使得對(duì)任意x，y∈X，有

他們利用這一新的收縮條件得到了若干重要的結(jié)果，所得結(jié)果推廣和改進(jìn)了Banach 收縮原理[2]，Kannan 不動(dòng)點(diǎn)定理[3]及若干其他不動(dòng)點(diǎn)定理，而Saha 等[4]于2012 年利用A-收縮把文獻(xiàn)［1］的結(jié)果推廣到積分型結(jié)果。文獻(xiàn)［1］中指出A-收縮推廣和改進(jìn)了M-收縮[5]，K-收縮[2]，B-收縮[6]，R-收縮[7]及其他若干收縮。顯然，A-收縮是如下收縮的推廣

為了解決此問題，文獻(xiàn)［12］作者在復(fù)值度量空間上引進(jìn)一復(fù)值函數(shù)類B，并利用該函數(shù)類討論了若干不動(dòng)點(diǎn)和公共不動(dòng)點(diǎn)問題，所得結(jié)果推廣和改進(jìn)了Chatterjea-型不動(dòng)點(diǎn)定理和變形結(jié)果以及一些其他結(jié)果。但是B的定義中一個(gè)條件類似于α（ii），要求k∈[0，1). 當(dāng)k∈[0，1)時(shí)利用柯西原理[13]判定序列的柯西性，而k= 1時(shí)由于復(fù)值度量空間上的偏序關(guān)系不是全序[9，12]，所以在k= 1的條件下復(fù)值度量空間上判定序列的柯西性是不容易的。于是在本文，將在實(shí)空間上定義B的推廣概念并在k= 1 的條件下得到具有兩個(gè)度量的集合上映射族的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)存在定理，并給出兩個(gè)實(shí)例驗(yàn)證所得結(jié)論的正確性。

1 基本概念

2 唯一公共不動(dòng)點(diǎn)

定理1設(shè)(X，d)和(X，δ)是兩個(gè)度量空間，S，T：X→X是兩個(gè)映射。假設(shè)

（i）對(duì)任意x，y∈X，d(x，y) ≤δ(x，y)；

（ii）(X，d)是完備的；

因此由定義1的條件（ii）得δ(z，Sz) = 0，從而Tz=z=Sz.

如果w也是T和S的公共不動(dòng)點(diǎn)，則

結(jié)合式（13）知式（1）成立，因此β，T，S滿足定理1的所有條件，于是T和S有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)0.

注記1 如果定理1 中的(X，d)的完備性用(X，δ)的完備性代替，則條件（i）和（iii）是多余的。事實(shí)上，在定理1 中僅利用（iv）證明了{(lán)xn}在(X，δ)上是柯西的，因此存在z∈X使得{xn}在(X，δ)收斂于z. 根據(jù)式（1），

因此根據(jù)定義1的條件（ii）得Tz=z. 再由式（1）得

從而由定義1的條件（ii）得δ(z，Sz) = 0，于是Tz=z=Sz.

注記2 根據(jù)定理1和例1可知當(dāng)定理1 中的β取為例1的函數(shù)時(shí)得到滿足線性收縮條件的公共不動(dòng)點(diǎn)定理，特別當(dāng)a= 0，b=c或a=b=c時(shí)分別得到Chatterjea-型公共不動(dòng)點(diǎn)定理或其變形結(jié)果。于是定理1推廣和改進(jìn)了很多已知的（公共）不動(dòng)點(diǎn)定理。

“這真離奇。一個(gè)偷香竊玉的男人，找到真愛卻又遭到拋棄而最終厭倦了女人。這個(gè)情場(chǎng)的浪子回頭又太遲了。他遇到了一個(gè)女浪子。我想現(xiàn)實(shí)生活中不會(huì)有這樣的男人?！?/p>

下列結(jié)果是定理1在非連續(xù)條件下的表現(xiàn)形式。

定理2設(shè)(X，d)和(X，δ)是兩個(gè)度量空間，S，T：X→X是兩個(gè)映射。假設(shè)

（i）對(duì)任意x，y∈X，d(x，y) ≤δ(x，y)；

（ii）(X，d)是完備的；

（iii）對(duì)任意x，y∈X，

從而根據(jù)定義1的條件（ii）得d(z，Sz) = 0，于是Tz=z=Sz. 公共不動(dòng)點(diǎn)的唯一性的證明類似于定理1。

下列結(jié)果是定理1在兩個(gè)度量空間的非完備條件及兩個(gè)映射之一僅在一個(gè)空間的某一點(diǎn)處連續(xù)條件下的表現(xiàn)形式。

（i）對(duì)任意x，y∈X，d(x，y) ≤δ(x，y)；

（ii）存在一個(gè)點(diǎn)x0∈X及由滿足條件x2n+1=Tx2n和x2n+2=Sx2n+1的序列{xn}的子序列{xni}在(X，d)上收斂于某點(diǎn)z∈X；

（iii）T或S在(X，d)的點(diǎn)z上連續(xù)；

（iv）對(duì)任意x，y∈X，

如果β具有P-性質(zhì)，則S，T有唯一公共不動(dòng)點(diǎn)。

（i）對(duì)任意x，y∈X，d(x，y) ≤δ(x，y)；

（ii）(X，d)是完備的；

于是根據(jù)定義1的條件（ii）得

利用式（20）并采用定理1 的證明路線可以證明{xn}在(X，d)上是柯西的。于是根據(jù)假設(shè)（ii）存在z∈X使得

固定n= 1，2，…，且任取i∈N使得i＞n，則根據(jù)式（20）得