基于聚類綜合評價值的灰色決策模型

趙維濤，胡東超，尹福平

(沈陽航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院, 沈陽 110136)

1 引言

灰色決策通過多個不同的決策指標(biāo)對決策對象進(jìn)行分類和優(yōu)選，可以有效處理多目標(biāo)多準(zhǔn)則分類與優(yōu)選問題?；疑珱Q策方法提出以來，被大量應(yīng)用于各類評估實(shí)踐。2017年，Cao等結(jié)合層次分析和灰色聚類法建立了老齡導(dǎo)管架平臺安全評估模型。2017年，Mao等將分?jǐn)?shù)階灰色累加算子應(yīng)用于城市交通流的預(yù)測與分析。2019年，李建華等使用灰色理論構(gòu)建了裝備維修經(jīng)費(fèi)投入預(yù)測模型。2019年，E等將模糊灰色關(guān)聯(lián)理論應(yīng)用于微型渦輪發(fā)動機(jī)燃燒特性影響分析。2020年，范紀(jì)松等將多層次灰色關(guān)聯(lián)分析理論和層次分析法進(jìn)行結(jié)合，應(yīng)用于合成旅工程保障能力評估。2020年，胡昌棟等將灰色層次分析方法應(yīng)用于機(jī)動通信系統(tǒng)效能評估。2020年，Yu等將改進(jìn)灰色聚類法應(yīng)用于復(fù)合材料無損檢測的評估之中。2021年，Su等將灰色關(guān)聯(lián)聚類應(yīng)用物業(yè)服務(wù)滿意度分析。2021年，梁振剛等基于蒙特卡洛抽樣方法和灰色系統(tǒng)理論建立子母彈對機(jī)場目標(biāo)毀傷效能計(jì)算模型。

在灰色決策方法應(yīng)用的同時，眾多學(xué)者對灰色決策理論進(jìn)行了研究和改進(jìn)。2016年，Liu等提出了一種基于灰色累加生成算子的灰數(shù)預(yù)測模型。2019年，Gao等提出了基于分?jǐn)?shù)階弱化緩沖算子的灰色預(yù)測模型。2021年，周弘揚(yáng)等將D數(shù)理論與灰色理論用于改進(jìn)層次分析法。2021年，張軍濤等以模糊數(shù)學(xué)和關(guān)聯(lián)函數(shù)理論為基礎(chǔ)，提出了基于灰色關(guān)聯(lián)-模糊綜合評判方法。范紀(jì)松等傳統(tǒng)模型中的調(diào)整系數(shù)向量進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，優(yōu)先結(jié)果相對傳統(tǒng)方法有所改進(jìn)。

目前，灰色決策在實(shí)際工程中獲得了廣泛應(yīng)用。然而，傳統(tǒng)灰色決策中綜合決策測度僅能對同灰類決策對象進(jìn)行優(yōu)選，優(yōu)選結(jié)果是建立在分類準(zhǔn)確的基礎(chǔ)上。但在實(shí)際運(yùn)用中，往往會遇到?jīng)Q策系數(shù)無顯著性差異等情況，此時無法進(jìn)行準(zhǔn)確分類。如果基于存在偏差的分類進(jìn)行優(yōu)選，這種偏差會被繼承且放大。另外，綜合決策測度構(gòu)造不合理，對除第1灰類外的其他灰類，排序結(jié)果可能與實(shí)際不符。為解決以上問題，以聚類綜合評價值表征評估結(jié)果，提出基于聚類綜合評價值的灰色決策模型。

2 傳統(tǒng)方法

傳統(tǒng)方法是根據(jù)白化權(quán)函數(shù)對決策對象的待評估決策指標(biāo)樣本值按幾個灰類進(jìn)行歸納，以判斷該決策對象最可能隸屬于哪個灰類，再根據(jù)綜合決策測度對同一灰類評級的決策對象進(jìn)行排序優(yōu)選。

2.1 基本方法

(1)

當(dāng)有多個對象屬于灰類時，對象綜合決策測度為

(2)

若>，則在灰類中，對象優(yōu)于。

2.2 缺陷分析

傳統(tǒng)方法包含分類與優(yōu)選2個步驟，以聚類系數(shù)進(jìn)行分類，以綜合決策測度對同灰類對象進(jìn)行排序，然后將各個灰類的排序按灰類高低合并成總的排序結(jié)果，進(jìn)而優(yōu)選。在實(shí)際運(yùn)用中，傳統(tǒng)方法有時會給出不合理的優(yōu)選結(jié)果。

例如設(shè)有高、中、低3個灰類，對象1和對象2聚類系數(shù)向量分別為{040,017043}、{000,057,043}，通過隸屬度的比較即可判斷對象2優(yōu)于對象1。具體說明如下：對象1對“高”灰類隸屬度高于對象2，對“中”灰類隸屬度低于對象2，對“低”灰類隸屬度與對象2相同，因而對象1應(yīng)優(yōu)于對象2。按傳統(tǒng)方法對象1屬于“低”灰類，對象2屬于“中”灰類，因綜合決策測度無法對不同灰類決策對象進(jìn)行排序比較，只能根據(jù)灰類高低判斷優(yōu)劣，排序結(jié)果為對象2優(yōu)于對象1，排序結(jié)果與實(shí)際相反。

現(xiàn)有調(diào)整系數(shù)向量設(shè)計(jì)存在缺陷，本灰類權(quán)值(調(diào)整系數(shù))比優(yōu)于本灰類的灰類權(quán)值更高，造成本灰類決策系數(shù)越大的決策對象，排序結(jié)果越靠前。對第1灰類是合理的，但對第(=2,3,…,)灰類，尤其是第灰類，決策排序結(jié)果可能與實(shí)際不符。另外，在優(yōu)選時，樣本值高且分布穩(wěn)定的決策對象應(yīng)優(yōu)于樣本值低且分布不穩(wěn)定的決策對象，但傳統(tǒng)灰色決策并未考慮樣本值分布是否穩(wěn)定，即未考慮系統(tǒng)數(shù)據(jù)(規(guī)范化無量綱樣本值)的離散程度，具有一定的片面性。

3 基于聚類綜合評價值的灰色決策

將分類與優(yōu)選作為整體考慮，在傳統(tǒng)模型僅考慮各灰類決策系數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮各指標(biāo)樣本值、各灰類臨界值以及系統(tǒng)數(shù)據(jù)離散程度，將樣本蘊(yùn)含的信息充分利用，分類與優(yōu)選在理論上相比傳統(tǒng)模型更具客觀性。本文方法的具體步驟如下：

1) 數(shù)據(jù)處理

將指標(biāo)樣本值進(jìn)行無量綱化處理，將量綱數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為0～1之間的無量綱數(shù)據(jù)。

2) 指標(biāo)權(quán)重及白化權(quán)函數(shù)

按照傳統(tǒng)方法確定各指標(biāo)權(quán)重及白化權(quán)函數(shù)。

3) 歸一化白化權(quán)函數(shù)

(3)

4) 歸一化聚類系數(shù)

(4)

5) 聚類綜合評價值

在加權(quán)平均原則基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮樣本標(biāo)準(zhǔn)差，給出聚類綜合評價值概念，提出一種新的灰類量化取值方法。

聚類對象的聚類綜合評價值為

(5)

式中：為第灰類量化值；為聚類對象的無量綱樣本標(biāo)準(zhǔn)差；()為的函數(shù)。

在灰類量化時，取落在灰類的各個樣本值的平均值為該灰類量化值。若某個灰類沒有樣本值，則取該灰類臨界值為該灰類量化值。可通過白化權(quán)函數(shù)確定，相關(guān)定義及計(jì)算可參見文獻(xiàn)[1]。

函數(shù)()為無量綱樣本標(biāo)準(zhǔn)差的函數(shù)，采用分段函數(shù)表示，為

(6)

式中：為標(biāo)準(zhǔn)差臨界值，為相鄰2個灰類樣本值對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均值，權(quán)值為相應(yīng)灰類隸屬度。

從式(5)可以看出：聚類綜合評價值綜合考慮各灰類的聚類系數(shù)、各灰類臨界值、各樣本值以及系統(tǒng)數(shù)據(jù)的離散程度(標(biāo)準(zhǔn)差)，能夠?qū)⑸倭繕颖镜男畔⒊浞掷?，聚類結(jié)果在理論上相比傳統(tǒng)模型更具客觀性。

6) 分類與優(yōu)選

以相鄰灰類白化權(quán)函數(shù)交點(diǎn)為區(qū)間邊界，結(jié)合上下限，給出s個灰類區(qū)間，聚類綜合評價值落在哪個區(qū)間，聚類對象就屬于哪個灰類。

根據(jù)聚類綜合評價值數(shù)值大小，對決策對象進(jìn)行排序比較，聚類綜合評價值越大，排序結(jié)果越靠前。根據(jù)決策要求需要的目標(biāo)個數(shù)，選擇排序靠前的對象為優(yōu)選結(jié)果。

4 算例

4.1 算例1

該算例為防空武器毀傷能力評價與選擇，分為更優(yōu)、優(yōu)、良、中、差、更差6個灰類。采用基于中心點(diǎn)的三角白化權(quán)函數(shù)，各灰類取值范圍分別為[0.825，1.0]、[0.675，0.825]、[0.525，0.675]、[0.375，0.525]、[0.225，0.375]、[0.000，0.225]，灰類臨界值分別為0.9、0.75、0.6、0.45、0.3、0.15，指標(biāo)權(quán)重依次為0.245 1、0.127 8、0.251 7、0.253 9、0.121 5。指標(biāo)無量綱化樣本值(評分值)見表1，本文方法的計(jì)算結(jié)果見表2所示。

表1 指標(biāo)無量綱化樣本值Table 1 Non-dimension index value

表2 計(jì)算結(jié)果(算例1)Table 2 Results of example 1

傳統(tǒng)方法首先利用聚類系數(shù)對指標(biāo)進(jìn)行分類，然后利用綜合決策測度對同灰類指標(biāo)進(jìn)行排序。傳統(tǒng)方法排序結(jié)果為>>>>，分類結(jié)果為屬“更優(yōu)”，屬“優(yōu)”，、和屬“良”；本文方法排序結(jié)果為>>>>，分類結(jié)果見表2。本文方法計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)方法計(jì)算結(jié)果有所不同，具體說明如下：

1) 樣本與樣本

對于分類結(jié)果，從表2可知，樣本對“更優(yōu)”和“良”灰類的聚類系數(shù)分別為0373和0393，差異十分微小。當(dāng)采用聚類系數(shù)的最大值(傳統(tǒng)方法)作為分類結(jié)果，從數(shù)學(xué)理論上講，存在一定評估風(fēng)險。當(dāng)最大隸屬度(“良”灰類)和第二大隸屬度(“更優(yōu)”灰類)相差較小時，分類結(jié)果應(yīng)與二者對應(yīng)灰類等級的平均狀態(tài)“優(yōu)”大體相當(dāng)。然而，傳統(tǒng)方法分類結(jié)果為“良”，分類結(jié)果偏于保守。

對于排序結(jié)果，樣本和樣本歸一化聚類系數(shù)向量分別為{0373,0034,0393,0000,0000,0000}、{0033,0574,0393,0000,0000,0000}，二者對“良”、“中”、“差”、“更差”灰類隸屬度相同，因此可以把這4項(xiàng)從分析中去掉，通過對其他灰類(“更優(yōu)”和“優(yōu)”)隸屬度即可判斷樣本與樣本的優(yōu)劣。樣本對“更優(yōu)”灰類隸屬度高于樣本，對“優(yōu)”灰類隸屬度低于樣本，說明樣本相比樣本傾向于更高灰類。另外，對表1中指標(biāo)評分值進(jìn)行分析，樣本的指標(biāo)3、4和5評分值與樣本相同，指標(biāo)1、2評分值比樣本高，即樣本應(yīng)優(yōu)于樣本。綜上所述，無論比較隸屬度，還是比較指標(biāo)評分值，樣本都應(yīng)優(yōu)于樣本，而傳統(tǒng)方法排序結(jié)果樣本優(yōu)于樣本，排序結(jié)果錯誤。

2) 樣本、樣本與樣本

傳統(tǒng)方法排序結(jié)果為>>，排序結(jié)果錯誤，具體解釋如下：灰色決策模型是根據(jù)多個不同指標(biāo)對樣本進(jìn)行排序比較，當(dāng)單獨(dú)按任意指標(biāo)的排序結(jié)果都一致時，灰色決策模型的排序結(jié)果也應(yīng)與按任意指標(biāo)的排序結(jié)果一致。從表1中的評分值可知，對于5個指標(biāo)的評分值，樣本均大于樣本、樣本均大于樣本，即對所有指標(biāo)而言，樣本均優(yōu)于樣本、樣本均優(yōu)于樣本。因此，實(shí)際排序結(jié)果應(yīng)為>>。

3) 討論

傳統(tǒng)方法結(jié)果不合理的主要原因是：傳統(tǒng)模型的綜合決策測度僅能對同灰類決策對象進(jìn)行排序，對于不同灰類決策對象間的排序則直接繼承分類結(jié)果，樣本分類不合理將被排序結(jié)果繼承并放大。

本文模型的聚類綜合評價值可對屬于不同灰類的所有決策對象進(jìn)行排序，排序結(jié)果不受分類結(jié)果影響；能夠減少因聚類系數(shù)無顯著差異引起的分類錯誤的風(fēng)險，能夠避免因不合理分類引起排序結(jié)果偏離實(shí)際的現(xiàn)象，分類與優(yōu)選結(jié)果更客觀。

4.2 算例2

該算例來源文獻(xiàn)[15]，為武器裝備供應(yīng)商的評價與選擇，分為優(yōu)、良、中、差4個灰類。各灰類取值范圍分別為[085，10]、[075，085]、[065，075]、[00，065]，各個灰類臨界值分別為09、08、07、06。各指標(biāo)無量綱化樣本值、權(quán)重及白化權(quán)函數(shù)見文獻(xiàn)[15]。本文方法的計(jì)算結(jié)果見表3所示。

表3 計(jì)算結(jié)果(算例2)Table 3 Results of example 2

傳統(tǒng)方法排序結(jié)果為>>。本文方法排序結(jié)果為>>。本文方法排序結(jié)果與傳統(tǒng)方法排序結(jié)果不同，具體說明如下：

1) 樣本與樣本

傳統(tǒng)方法排序結(jié)果為樣本優(yōu)于樣本，排序結(jié)果不合理。具體解釋為：對比表3中樣本與的數(shù)據(jù)可知，按最大隸屬度原則，樣本與均屬于“良”灰類，但樣本對“優(yōu)”灰類隸屬度優(yōu)于樣本，對其他灰類隸屬度劣于樣本，即樣本傾向于更高灰類、樣本傾向于更低灰類。另一方面，對于樣本的最大隸屬度0369與“優(yōu)”灰類隸屬度0327接近，即樣本相對偏向“優(yōu)”灰類；而樣本，其最大隸屬度0385與“中”灰類隸屬度0354接近，即樣本偏向于“中”灰類。綜上所述，樣本是優(yōu)于樣本的。

2) 討論

造成傳統(tǒng)模型排序結(jié)果不合理的主要原因是：傳統(tǒng)模型利用綜合決策測度進(jìn)行排序，本灰類權(quán)值(調(diào)整系數(shù))比優(yōu)于本灰類的灰類權(quán)值更高，造成本灰類決策系數(shù)越大的決策對象，綜合決策測度必然也越大。對第1灰類(最優(yōu)灰類)是合理的，但對其他灰類，排序結(jié)果可能出現(xiàn)不合理現(xiàn)象。

本文模型用聚類綜合評價值取代傳統(tǒng)方法中的綜合決策測度，能夠避免因綜合決策測度中的調(diào)整系數(shù)向量構(gòu)造不合理引起的排序偏差。本文模型同時考慮了指標(biāo)樣本值、各灰類臨界值及樣本離散程度，將樣本蘊(yùn)含的少量信息充分運(yùn)用。本文模型排序結(jié)果與文獻(xiàn)[15]通過重新設(shè)計(jì)調(diào)整系數(shù)向量得到的排序結(jié)果一致。

5 結(jié)論

1) 以聚類綜合評價值取代傳統(tǒng)模型中的綜合決策測度，提出了一種基于聚類綜合評價值的灰色決策模型。該模型將分類與優(yōu)選作為整體考慮，突破了傳統(tǒng)模型需要決策對象屬于同灰類的限制，可同時對所有灰類決策對象進(jìn)行排序優(yōu)選，排序結(jié)果不受分類結(jié)果影響。聚類綜合評價值能夠綜合考慮各灰類歸一化聚類系數(shù)、各灰類臨界值以及系統(tǒng)數(shù)據(jù)離散程度，能夠?qū)⑸倭繕颖拘畔⒊浞掷?，分類結(jié)果與排序優(yōu)選結(jié)果在理論上比傳統(tǒng)模型更具客觀性。

2) 本文模型既能避免因綜合決策測度中調(diào)整系數(shù)向量構(gòu)造不合理引起的排序偏差，也能消除綜合決策測度僅能對同灰類決策對象進(jìn)行排序的限制，同時還能減少聚類系數(shù)無顯著差異而引起的不合理排序及錯誤決策風(fēng)險。算例表明，本文模型合理有效，分類與優(yōu)選比傳統(tǒng)模型更加客觀。