常 云

(江蘇省南通市如皋市第二中學(xué)，江蘇南通，226500)

教材是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要資源；教材是命題的依據(jù)，很多題目的解題的切入點都是教材上的基礎(chǔ)知識.落實核心素養(yǎng)就要充分依托和發(fā)掘教材，選擇合適的問題情境作為載體，突出考查核心概念、主要結(jié)論、通性通法，這對于如何進(jìn)行高考備考復(fù)習(xí)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)起很好地導(dǎo)向和促進(jìn)作用.

1 試題源于教材，夯實基礎(chǔ)

源題1斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長.

分析及解答詳見人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第135頁例4.答案：|AB|=8，過程此處略.

評析：本題研究直線與拋物線的位置關(guān)系考查了通性通法的使用，體現(xiàn)了方程思想，重視學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，以及“數(shù)學(xué)運算”“邏輯推理”核心素養(yǎng).

分析二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).由拋物線定義知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，由此得|AB|=x1+x2+2，只要求出點A，B的橫坐標(biāo)之和x1+x2，就可以求出|AB|.

評析：本題題設(shè)中直線過焦點，有相應(yīng)的結(jié)論，利用數(shù)形結(jié)合的方法求拋物線焦點弦的長|AB|=x1+x2+p.體現(xiàn)出(1) 轉(zhuǎn)化的思想，即把求斜線段的長轉(zhuǎn)化為求與坐標(biāo)軸平行的線段長，轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)是拋物線的定義；(2) “設(shè)而不求”方法，即不需要單獨求出直線與拋物線交點的橫坐標(biāo)x1，x2，只要整體求出x1+x2即可.

源題2過點M(2，0)作斜率為1的直線l，交拋物線y2=4x于A，B兩點，求|AB|.

逆向思考，條件和結(jié)論互換，編擬題目

命題1已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，斜率為1的直線l與拋物線C的交點為A，B，且|AF|+|BF|=10，求直線l的方程.

分析：設(shè)直線l：y=x+t，則與拋物線C方程聯(lián)立得x2+2(t-2)x+t2=0，用母題分析二的結(jié)論|AF|+|BF|=x1+x2+2及已知建立關(guān)于t方程求解即可.

命題“源于教材，高于教材”. “高”在逆向思考，直線l并不過拋物線的焦點，以直線的縱截距為參數(shù)，滲透方程思想.盡管如此，求解方法、思想根植于教材.

命題專家在A，M，B三點共線上精心設(shè)計，不落俗套，又把根與系數(shù)的關(guān)系內(nèi)隱于題設(shè)的條件之中，“于無聲處聽驚雷”，兩者巧妙地結(jié)合起來建立關(guān)于y2的方程是破題的關(guān)鍵，使理性思維、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算充分結(jié)合起來，達(dá)到預(yù)期的目的.

高考命題“題在書外，但根在書里”，為了突出綜合性，將幾個母題經(jīng)過加工改造，編擬為一個題，使得特殊性在外而普遍性在內(nèi).一旦問題的特殊性被發(fā)現(xiàn)，命題突破口就找到了，平和中適度彰顯創(chuàng)新性、綜合性與實踐性，以體現(xiàn)高考的選拔功能與導(dǎo)向作用.

2 試題展示

(1) 若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

3 多視角探究，落實素養(yǎng)

點評：直線與拋物線的位置關(guān)系，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系，消元，“設(shè)而不求”“整體代入”.有關(guān)弦長問題，要注意是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點，則可直接使用公式|AB|=x1+x2+p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.

4 變式探究，提升應(yīng)變能力

變式：已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是該拋物線上位于x軸兩側(cè)的點，且|AF|+|BF|=4.

(1) 求該拋物線的方程；

評注：本題第(1)小題如果不過焦點，則縱坐標(biāo)關(guān)系更簡單，故考慮橫截式方程.充分利用拋物線弦長公式和方程思想，采用“設(shè)而不求”的方法即可；第(2)小題以平面向量數(shù)量積為抓手，轉(zhuǎn)化為以y1y2為變元的方程，再用根與系數(shù)關(guān)系得到直線與x軸的交點，最后把△ABO與△AFO面積之和表示為關(guān)于y1的函數(shù)，用基本不等式求解即可，試題一經(jīng)這樣的變式同樣考查了“四基”和“四能”.

變式教學(xué)著眼于學(xué)生的基礎(chǔ)，在學(xué)生的 “最近發(fā)展區(qū)”逐步拓展，最終達(dá)到《考試大綱》《考試說明》所要求的高度，與高考試題充分的對接，這也是避免“教材題簡單不足以應(yīng)對高考”的最好例證，也是避免學(xué)生在“題海”中增加負(fù)擔(dān)的最有效方式.基于教材，能在教材中找到影子，真正發(fā)揮教材的示范引領(lǐng)與育人功能.

5 反思總結(jié)

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，應(yīng)該立足教材.教師需要讀懂教材，根植教材，選擇典型例習(xí)題進(jìn)行加工改造，把基礎(chǔ)題編擬成具有多向考點的中檔綜合題；還要充實教材，進(jìn)行一題多變，多題一法的變式教學(xué)，用教材最少的資源獲取最大的功利，而不是在題海中增加學(xué)生的負(fù)擔(dān).因此，教學(xué)中教師要做到狠下功夫，鉆研教材，精心設(shè)計，回歸課堂，用好教材，通過設(shè)計變式題，注重“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處命題”來培養(yǎng)學(xué)生的思維能力與創(chuàng)新意識，提高學(xué)生知識遷移能力、綜合分析能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

解析法是用代數(shù)方法研究幾何問題的方法，其操作步驟是程序化的，關(guān)鍵在于幾何條件代數(shù)化(坐標(biāo)化)，其關(guān)系式的簡潔程度和處理的容易程度就是解析幾何的精妙所在.

直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于每年必考的內(nèi)容之一.重視學(xué)科的主干知識，圍繞主干內(nèi)容加強(qiáng)學(xué)生對基本概念、基本思想方法的理解和關(guān)鍵能力的培養(yǎng)仍然是教學(xué)的著力點和目標(biāo).立德樹人不僅僅在書面上、口頭上，而且要落實在實際行動上，用自己的行為去感化學(xué)生、激勵學(xué)生去學(xué)會數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)，更好地形成終身學(xué)習(xí)的能力和意識.